Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Transkript

1 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs for ; Kp. 1.1 Nytt: to-utvalgser for μ X vs. μ Y (...), p 1 vs p 2 og σx 2 vs. σ2 Y Kp. 1.5, 1.9 og : (grafisk) Nytt: Choice of sample size, : Case study 1.15: Potetial miscoceptios ad... Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 1 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Statistisk iferes : Trekke koklusjoer på bakgru av data med statistisk usikkerhet. Metode: Hypoteseig Begrep / tema: ull- og alterativhypotese (esidig / tosidig) størrelse (observator), ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifiaksivå styrke, styrkefuksjo p-verdi hypotese vs. kofidesitervall Disse to begrepee repeteres samme med gjeomgag av toutvalgser. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 2 / 32

2 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempel på problemstillig: 1 ph-måliger: 6., 5.59, 5.74, 3.43, 5.3, 6.48, 5.15, 4.28, 4.52, 6.2; Gjeomsitt: ph-data Modell: måligee oppfattes som utfall av 1 u.i.f. tilfeldigevariable X 1,...,X 1. E(X i )=μ: virkelig ph, ukjet størrelse 5.27 er et estimat av μ med statistisk usikkerhet! Ka vi hevde at μ<6.?? Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 3 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Vi betrakter våre data som utfall av tilfeldige variable (X 1,...,X 1 ). Atas u.i.f. og ormalfordelte. Forvetige, μ, kjeer vi ikke. (Var(X i )= =1atas å være riktig, kjet.) Tyder dataee (klart) på at μ<6? Ka dataee med rimelighet sees på som utfall av N (6, 1)-tetthete (heltrukket lije, μ =6)? Eller må vi bruke μ<6 for å få det til å virke rimelig? (Jf. f.eks. tetthet med prikket lije.) Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 4 / 32

3 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Spørsmålet besvares ved å e H : μ =6 mot H 1 : μ<6 Vi baserer oss på gjeomsittsresultatet 5.27 Omfaget av statistisk usikkerhet i estimatet 5.27, gjespeiles av variase eller fordelige til gjeomsittet av X 1,...,X 1,dvs.:X. Nullfordelig til X: N (6,.1) (Var(X) = σ2 = 1 1 ) (Normalatakelse og kjet =1.) Er 5.27 et rimelig utfall av X dersom μ =6? N (6,.1) tetthet Nullfordelige: størrelse si fordelig uder H Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 5 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Test (på stadardisert form) (m/sig.ivå α) for: H : μ =6 mot H 1 : μ<6 Forkast H dersom Z = X z α størrelse: Z ullfordelig: Z N(, 1) Beskriver hva som er rimelig utfall av størrelse dersom H er riktig! kritisk verdi: z α Skisse av N (, 1)-fordelig og forkastigsområde. z α }{{}}{{} Forkastigsområde Akseptområde Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 6 / 32

4 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempelet: 1 ph-måliger med gjeomsitt: 5.27; ormalatakelse med kjet varias lik 1. Test (m/ sig.ivå α =.5) for H : μ =6. mot H 1 : μ<6. Forkast H dersom Z = X z.5 = Alterativt (X som størrelse): 1 Forkast H dersom X = Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 7 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Gjeomførig/koklusjo: Utfall av: X Koklusjo: Forkast H : = 2.31 < z.5 = Alterativt: 1 Data: utfall av X: 5.27 < kritisk verdi = = Koklusjo: Forkast H Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 8 / 32

5 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Def.: Sigifikasivå til = P (forkaste H H riktig) Sigifikasivået er sasylighete at utfallet faller i forkastigsområdet ved e tilfeldighet (og at vi kokluderer med H 1 ), år i virkelghete H er riktig. α er sigifikasivået. I eksempelet: Forkast H dersom Z = X z α Skisse av N (, 1)-fordelig og forkastigsområde. α velges lite, valigvis.1,.5,.25,... Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 9 / 32 Hypoteseig, ; oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Vi må repetere for μ i situasjoee: Med ormalatakelse og kjet, Med ormalatakelse og ute kjet (t-), Ute ormalatakelsetake og ute kjet,memedstor, og vi må repetere for p med stor. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 1 / 32

6 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempel: 1blodsukkeriholdmåliger: 4.1, 5.1, 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Øsker å e H : μ =4. mot H 1 : μ>4. Vi atar at: De =1måligee: x 1,...,x ; ka betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable, der E(X i )=μ og Var(X i )=, i =1,...,,ogder X i er ormalfordelt og er ukjet. 2 = 1 Variase,, estimeres med: = = 1 i=1 (X i X) 2 Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 11 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Vil e: H : μ =4 mot H 1 : μ>4 Uder H er (størrelse, ullfordelig) T = X 4 1 t(9) (jf. def. av t-fordelig) Forkaster H dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test (sig.ivå α):.5.3 f9(x) Forkast H dersom.2.1 T t α, t(9) tetthettetth Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 12 / 32

7 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Gjeomførig av på 5% ivå: Sig.ivå, α =.5 t.5,9 =1.83 Data: (Gj.s. = 4.35, emp. varias =.3183) Utfall av: X 4 1 : =1.962 Side >t.5,9 =1.83, ka vi forkaste H. Dataee tyder på at virkelig blodsukkerihold, μ, er større e 4. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 13 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Oppsummerig, t-er Modell: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=, i =1,..., X i ormalfordelt og σ 2 ukjet. Estimator for variase: = = 1 = 1 i=1 ( Xi X ) 2 Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 14 / 32

8 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Test (sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ<μ Forkast H dersom t α, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Test (sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ>μ Forkast H dersom t α, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 15 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Test (sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ μ Forkast H dersom t α/2, 1, eller t α/2, Skisse av t-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig etes 16 / 32

9 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempel (to-sidig t-): Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: itt: 322.8; estimert varias (empirisk varias): Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 3 kg/mm 2. Tyder resultateepåa hardhete er ulik 3? Modell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = 1 ( Xi X ) 2 = σ Forvetige, μ: virkelig hardhet 1 i=1 Vil e: H : μ = 3 mot H 1 : μ 3 Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 17 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Vil e: H : μ = 3 mot H 1 : μ 3 Uder H er (størrelse, ullfordelig) T = X 3 6 t( 1) Forkaster H dersom μ = X peker klart i retig av at H 1 er korrekt. Test (sig.ivå α): Forkast H dersom T t α/2, 1 eller T t α/2, Skisse av t(5)-fordelig. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 18 / 32

10 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Gjeomførig av på 5% ivå: Sig.ivå, α =.5 α/2 =.25; t.25,5 =2.57 Data: Utfallav: X 3 6 : =2.13 Side 2.13 t.25,5 = (og 2.13 t.25,5 = 2.57), ka vi ikke forkaste H. Det er ikke grulag i dataee for å.3.2 hevde at virkelig hardhet, μ, er ulik 3 kg/mm Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 19 / 32 Hypoteseig, ; oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Vi må repetere for μ i situasjoee: Med ormalatakelse og kjet, Med ormalatakelse og ute kjet (t-), Ute ormalatakelse og ute kjet,memedstor, og vi må repetere for p med stor. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 2 / 32

11 Hypoteseig, ; stor ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Modell: måliger: x 1,...,x ; betraktes som utfall av: X 1,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=, i =1,...,. (og μ ) ukjet; (ige forutsetig om fordelig til X i ee eller om kjet varias) Vi har at (SGT) tilærmet er: X μ N(, 1) : = = 1 1 i=1 ( Xi ) 2 X Basert på dette, får vi ee... Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 21 / 32 Hypoteseig, ; stor ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Test (til. sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ<μ Forkast H dersom.3.2 z α Skisse av N (, 1)-fordelig og forkastigsområde. Test (til. sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ>μ Forkast H dersom z α Skisse av N (, 1)-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 22 / 32

12 Hypoteseig, ; stor ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Test (til. sig.ivå α) for: H : μ = μ mot H 1 : μ μ Forkast H dersom z α/2, eller z α/ Skisse av N (, 1)-fordelig og forkastigsområde. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 23 / 32 Hypoteseig, ; stor ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempel: E type tabletter ieholder et stoff R. Iholdet pr. tablett må helst ikke overstige 3 mg. I e kotroll ble iholdet i 5 tilfeldigig utvalgte tabletter registrert. Resultat t(x 1,...,x 5 ): Gjeomsitt: x =3.7; empirisk stadardavvik: s = i=1 (x x) 2 i =4. Oppgave: Gir dette grulag for å hevde at iholdet av R er mer e 3 mg? Formuler problemet som et hypoteseigsproblem, og gjeomfør e! Bruk sigifikasivåivå 1%. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig etes 24 / 32

13 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Statistisk iferes : Trekke koklusjoer på bakgru av data med statistisk usikkerhet. Metode: Hypoteseig Begrep / tema: ull- og alterativhypotese (esidig / tosidig) størrelse (observator), ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifiaksivå hypotese vs. kofidesitervall Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 25 / 32 Hypoteseig, ; ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Geerelt: La (L, U) være et (ev. tilærmet) 1(1 α)% kofidesitervall for parametere θ. Vi vil e H : θ = θ mot H 1 : θ θ Test: Forkast H dersom θ (L, U). Teste har sigifikasivå α (ev. tilærmet). Veldig god måte å gjeomføre (tosidige) er på! Obs.: dersom dette blir brukt for esidig får vi e ae sammeheg mellom itervallets kofidesgrad og sig.ivået til e. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 26 / 32

14 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger (i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias (empirisk varias): Ma er iteressert i om hardhete er forskjelig fra 3 kg/mm 2. Tyder resultatee på at hardhete er ulik 3? Modell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = = 1 ( 1 i=1 Xi X ) 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Vil e: H : μ = 3 mot H 1 : μ 3 Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 27 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Øsker å bruke 5% sigifikasivå. Gjeomfører vha. kofidesitervall; dvs., e er: Forkast H dersom et 95% kofidesitervall for μ ikke ieholder 3. Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S (X t 2.25,5 6, X + t.25,5 6 Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 28 / 32

15 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S (X t 2.25,5 6, X + t.25,5 6 Isatt data (Gj.s. = 322.8, emp. varias = 689.4, t.25,5 =2.571), blir utreget itervall: ( ) ( ) , = 295.2, 35 Koklusjo: Behold H side μ = 3 (295.2, 35) side μ = 3 er ieholdt i kofidesitervallet. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 29 / 32 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Kofidesitervall ; begruelse Vil e: H : μ = μ mot H 1 : μ μ Test (sig.ivå α, orm.at., kjet ): Forkast H dersom z α/2 eller Er det samme som: Behold H dersom z α/2 og z α/2 z α/2...somerdetsammesom... Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 3 / 32

16 Hypoteseig, ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ;...Behold H dersom z α/2...somerdetsammesom... X + z α/2 Som er det samme som: X z α/2 og μ og X z α/2 μ X + z α/2 z α/2 μ Dette siste betyr: behold H dersom μ 1(1 α)% kofidesitervall for μ. Bjør H. Auestad Kp. 1: Hypoteseig 31 / 32