Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010"

Transkript

1 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i + β 2 x i2 + β 3 x i3 + ϵ i Her er respose besiforbruket for bil ummer i, mes forklarigsvariablee x i, x i2 og x i3 er heholdsvis atall hestekrefter for motore, vekte til bile og slagvolumet for motore. Videre agir ϵ i -ee de tilfeldige avvikee, som atas å være uavhegige og N0, σ 2 -fordelte. I R-utskrifte står det følgede i koloee i tabelle: Estimate: Miste kvadraters estimater for β 0, β, β 2 og β 3. Std. Error: Estimerte stadardfeil til estimatee evt i forrige pukt. t value: Testobservatorer for testig av H 0 : β j 0 mot H a : β j 0; j 0,, 2, 3. Testobservatoree er forholdet mellom estimatee og de estimerte stadardfeilee. Pr> t : P-verdier for testee evt i forrige pukt. Uder tabelle er Residual stadard error oppgitt. Det er estimatet for σ. Videre er det gitt Multipple R-squared. Dee står for R 2, som er et mål for hvor stor adel av variasjoe i respose dvs. besiforbruket som er forklart av regresjosmodelle dvs. av atall hestekrefter, vekt og slagvolum. b Vi lar som i forrige pukt β 3 være regresjoskoeffisiete for slagvolum. Vi vil teste ullhypotese H 0 : β 3 0 mot de alterative hypotese H 0 : β 3 0. Vi bruker da testobservatore T ˆβ 3 /S ˆβ3, der S ˆβ3 er e estimator for stadardfeile til ˆβ 3. Hvis ullhypotese er sa, er testobservatore t-fordelt med frihetsgrader. E test med sigifikasivå α forkaster H 0 hvis T t α/2, 5 eller T t α/2, 5 Av R-utskrifte i pukt a er miste kvadraters estimat for regresjoskoeffisiete ˆβ , mes estimatet for stadardfeile er s ˆβ Testobservatore T får dermed verdie t / Fra tabelle over t-fordeligee, fier vi at t 0.005, og t 0.00, Vi forkaster altså ullhypotese hvis sigifikasivået er %, me ikke hvis sigifikasivået er %. P-verdie for teste jf. oppgave 2b er dermed mellom 0.2% og %. Vi forkaster ullhypotese og kokludere med at slagvolumet har e sigifikat effekt for besiforbruket. Estimatet ˆβ forteller oss at hvis slagvolumet økes med é liter og atall hestekrefter og vekte av bile ikke edres, så vil forvetet besiforbruk bli redusert med 0.24 liter per mil. Hvis vi sammeliger biler med samme motorstyrke og samme vekt, vil vi atså forvete at de bile som har størst slagvolum bruker mist besi. Av plottet først i oppgave ser det ut til at besiforbruket øker med slagvolumet. Me det kommer av at e bil som har stort slagvolum typisk også vil veie mer og ha e sterkere motor e e bil med midre slagvolum. c Som i pukt a lar vi β være regresjoskoeffisiete for hestekrefter. Det betyr at β er forvetet edrig i besiforbruket år styrke til motore økes med é hestekraft og vekt og slagvolum ikke edres. Vi vil bestemme et 95% kofidesitervall for θ 0β. Vi har at ˆβ β /S ˆβ er t-fordelt med 5 frihetsgrader. Det gir P t 0.025, 5 < ˆβ β S ˆβ < t 0.025, Av dette følger på valig måte at P ˆβ t 0.025, 5 S < β ˆβ < ˆβ + t 0.025, 5 S ˆβ 0.95

2 Vi gager med 0 på begge sider av ulikhetee og får side θ 0β P 0 ˆβ 0 t 0.025, 5 S ˆβ < θ < 0 ˆβ + 0 t 0.025, 5 0S ˆβ 0.95 Et 95% kofidesitervall for θ er dermed gitt som 0 ˆβ 0 t 0.025, 5 S ˆβ, 0 ˆβ + 0 t 0.025, 5 S ˆβ Fra R-utskrifte fier vi estimatee ˆβ og s ˆβ , og av tabelle for t-fordeligee fier vi t 0.025, Det gir følgede 95% kofidesitervall for θ , dvs , Det betyr at vi med stor grad av sikkerhet ka si at år mororstyrke økes med 0 hestekrefter og vekt og slagvolum ikke edres, så vil forvetet besiforbruk øke med mellom og liter per mil. d I pukt a skrev vi opp modelle for de multiple lieære regresjoe. Modelle bygger på følgede forutsetiger: i Forvetet besiforbruk avheger lieært av de tre forklarigsvariablee x hestekrefter, x 2 vekt og x 3 slagvolum ii De tilfeldige avvikee dvs. ϵ i -ee har alle samme varias. iii De tilfeldige avvikee er ormalfordelte. iv De tilfeldige avvikee er uavhegige. For å kotrollere disse forutsetigee ka vi lage ulike plott av residualee. Residualee er gitt ved e i y i ŷ i y i ˆβ 0 + ˆβ x i + ˆβ 2 x i2 + ˆβ 3 x i3 der y i -ee er de observerte forbrukee av besi. Residualee er prediksjoer av de uobserverte ϵ i -ee, og hvis forutsetigee for regresjosaalyse er rimelig godt oppfylt, skal residualee oppføre seg omtret som uavhegige og N0, σ 2 -fordelte variabler. Plottet øverst til vestre er et ormalfordeligsplott av residualee. Hvis de tilfeldige avvikee er ormalfordelte vil puktee i dette plottet ligge oelude på e rett lije. Det er tilfellet her, så forutsetig iii er rimelig godt oppfylt. Plottet øverst til høyre er et plott av residualee mot de tilpassede verdiee ŷ i -ee. Hvis de tilfeldige avvikee alle har samme varias, vil residualee fordele seg tilfeldig i y-retige, mes e viftefasog av residualee vil være et teg på at de tilfeldige avvikee ikke har samme varias. Her fordeler residualee seg oelude tilfeldig, så forutsetig ii er rimelig godt oppfylt. De tre ederste plottee er plott av residualee mot hver av forklarigsvariablee. Hvis forvetet besiforbruk avheger lieært av e forklarigsvariabel, vi residualee fordele seg tilfeldig i y-retige, mes et systematisk møster for residualee f. eks. e krumig vil tyde på at sammehege ikke er lieær. Her fordeler residualee seg oelude tilfeldig, så forutsetig i er rimelig godt oppfylt for alle forklarigsvariablee muliges med utak av slagvolum der det er atydig til e viss krummig. Ige av residualplottee som er gitt i oppgave eger seg til å kotrollere forutsetig iv. Me det er atageligvis e uproblematisk forutsetig her. Oppgave 2 a La X være atall seksere vi får år marmorterige blir kastet 204 gager. Da er X biomisk, p- fordelt, der 204 og p er sasylighete for å få sekser år vi kaster marmorterige. Vi vil teste ullhypotese H 0 : p p 0 mot de alterative hypotese H a : p > p 0, der p 0. Vi ifører 2

3 ˆp X/ og merker oss at p og p begge er større e 0. Det følger da at Z ˆp p 0 p 0 p 0 ˆp ˆp / 5/7344 er tilærmet stadardormalfordelt hvis H 0 er sa. La z α være som gitt i læreboka. Da er P Z z α α hvis H 0 er sa. Vi får derfor e test med sigifikasivå 5% hvis vi forkaster H 0 såsat Z z Da marmorterige ble kastet 204 gager, fikk e sekser i 54 av kastee. Testobservatore Z får da verdie z 54/204 / 5/ Side z forkaster vi ullhypotese. Koklusjoe er da at sasylighete for å få sekser med marmorterige er større e e seksdel. b P-verdie til e test er det miste sigifikasivået α som gir forkastig av ullhypotese. Litt mer uformelt, ka vi si at P-verdie er sasylighete for å få et resultat som det vi har fått, eller et resultat som er eda mer i favør av de alterative hypotese, bare på gru av tilfeldigheter dvs. hvis H 0 er sa. Tabelle over de kumulative stadardormalfordelige Φz som er gitt i læreboka dekker verdier av z fra 3.49 til Side testobservatore har verdie 3.7, klarer vi ikke å bestemme P-verdie helt øyaktig av tabelle. Me av tabelle ser vi at vi får e test med sigifikasivå 0.02% hvis vi forkaster H 0 såsat Z Vi vil altså forkaste ullhypotese på dette ivået, så P-verdie er midre e 0.02%. Det betyr at det er svært usasylig å få 54 eller flere seksere i 204 kast hvis sasylighete for sekser er /. Vi er derfor veldig sikre på at sasylighete for å få sekser med marmorterige er større e e seksdel. c Da terige av jer ble kastet 204 gager, fikk e sekser i 42 av kastee. Testobservatore Z i pukt a får da verdie z 42/204 / 5/ Side z.50 <.45 forkaster vi ikke ullhypotese på sigifikasivå 5%. Vi ka derfor ikke kokludere med at sasylighete for å få sekser med terige av jer er større e e seksdel. Me side P-verdie er såpass lite som.7% har vi e idikasjo på at sasylighete for sekser ka være større e e seksdel, me at teste ikke har ok styrke til å oppdage det. d Vi gjør e feil av type II hvis vi ikke forkaster ullhypotese år de er gal. Vi forkaster ikke H 0 på sigifikasivå 5% hvis Z <.45. Hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er p 0.20, blir sasylighete for feil av type II β0.20 P Z <.45 p 0.20 ˆp / P <.45 5/7344 p 0.20 P P P ˆp < / / p 0.20 < / /7344 p / / /204 < 0.34 p

4 Her får vi de siste likhete fra tabelle over de kumulative stadardormalfordelige side /204 er tilærmet stadardormalfordelt år p Sasylighete for feil av type II er altså 3.3% hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er 20%. e Hvis vi kaster terige av jer gager, vil e test med sigifikasivå 5% forkaste H 0 såsat Z ˆp p 0 p 0 p 0 ˆp 5 ˆp / 5/3.45 jf. pukt a. Hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er p 0.20, blir sasylighete for feil av type II jf. pukt d: β0.20 P Z <.45 p 0.20 ˆp / P <.45 5/3 p 0.20 P P P ˆp < / /3 p 0.20 < / /3 p / / / < p 0.20 Hvis p 0.20 er ˆp 0.20/ / tilærmet stadardormalfordelt. Av tabelle over de kumulative stadardormalfordelige har vi dermed at P < / p For at sasylighete for feil av type II skal være 20% hvis p 0.20 må derfor bestemmes slik at Det gir Hvis sasylighete for feil av type II skal være 20% år p 0.20 må vi kaste terige omtret 80 gager. Oppgave 3 a Miste kvadraters estimatorer for β 0 og β er de verdiee av b 0 og b som miimerer kvadratsumme SSb 0, b b 0 b 2 Vi deriverer med hesy på b 0 og fier b 0 SSb 0, b 2 b 0 b 4

5 2 b 0 b 2 b 0 der de siste likhete følger side 0. Vi deriverer også med hesy på b og får SSb 0, b 2 b 0 b b der 2. 2 b 0 b 2 2 b 2 2 b Miste kvadraters estimatorer for ˆβ 0 og ˆβ er løsigee av de ligigee vi får år vi setter de partiell deriverte lik ull. Det gir ˆβ 0 0 ˆβ 0 Miste kvadraters estimatorer er dermed ˆβ 0 Y ˆβ b Vi bruker at E β 0 + β og får E ˆβ 0 E E β 0 + β β 0 + β β β 0 Det viser at ˆβ 0 er forvetigsrett. 5

6 Vi fier videre at E ˆβ E β 0 β 0 + β + β 0 + β β Det viser at også ˆβ er forvetigsrett. E 2 c Vi bruker at V σ 2 og får side -ee er uavhegige V ˆβ 0 V 2 V 2 σ2 σ2 og V ˆβ V σ2 S 2 xx 2 xi x V 2 σ2 S 2 xx For kovariase får vi år vi bruker hitet Cov ˆβ 0, ˆβ Cov, V σ 2 0 σ2 d Vi bruker resultatet i pukt b og fier at E ˆµ Y x E ˆβ0 + ˆβ x x E ˆβ 0 + E ˆβ x x β 0 + β x x µ Y x så estimatore er forvetigsrett. Videre får vi av resultatet i pukt c V ˆµ Y x V ˆβ0 + ˆβ x x V ˆβ 0 + V ˆβ x x + 2 Cov ˆβ0, ˆβ x x V ˆβ 0 + x x 2 V ˆβ + 2 x x Cov ˆβ 0, ˆβ σ2 + x x 2 σ2 + 2 x x 0

7 σ 2 + x x 2 Alterativt ka vi fie variase ved å skrive ˆµ Y x som e lieærkombiasjo av -ee jf. pukt e og bruke formele for variase til e lieærkombiasjo av uavhegige variabler. e Av resultatet i pukt a har vi at ˆµ Y x ˆβ 0 + x x ˆβ + x x + x x Altså er ˆµ Y x e lieærkombiasjo av ormalfordelte stokastiske variabler, så ˆµ Y x er ormalfordelt. Det følger av dette at Z ˆµ Y x Eˆµ Y x V ˆµY x er stadardormalfordelt. ˆµ Y x µ Y x σ + x x 2 Side ˆµ Y x er e fuksjo av ˆβ 0 og ˆβ, som er uavhegige av S 2, er Z og V 2S 2 /σ 2 uavhegige. Videre er V kji-kvadratfordelt med 2 frihetsgrader. Dermed er Z V/ 2 ˆµ Y x µ Y x σ + x x 2 Sxx / ˆµ Y x µ Y x σ 2 S 2 2S 2 t-fordelt med 2 frihetsgrader. + x x 2 La å t α/2, 2 være som gitt i læreboka. Da har vi at P t α/2, 2 < ˆµ Y x µ Y x S + x x 2 < t α/2, 2 α Vi omformer ulikhetee og får at dette er det samme som P t α/2, 2 S + x x 2 < ˆµ Y x µ Y x < t α/2, 2 S + x x 2 som igje er det samme som P ˆµ Y x t α/2, 2 S + x x 2 < µ Y x < ˆµ Y x + t α/2, 2 S + x x 2 Et 00 α% kofidesitervall for µ Y x er dermed gitt ved ˆµ Y x t α/2, 2 S + x x 2, ˆµ Y x + t α/2, 2 S + x x 2 α α 7

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 2 Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som miimerer kvadratsumme

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram

Kort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram 2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 øving 3

Løsningsforslag ST2301 øving 3 Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).

LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03). LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03

Detaljer

vekt. vol bruk

vekt. vol bruk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: 10. desember 2010. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

Løsningsforslag andre obligatoriske oppgave i STK 1110 høsten 2014

Løsningsforslag andre obligatoriske oppgave i STK 1110 høsten 2014 Løsigsforslag adre obligatoriske oppgave i STK 1110 høste 2014 Oppgave 1 Vi har 10 måliger av kroppstemperatur for friske kvier x 1,x 2,...,x 10 og 10 måliger for friske me y 1,y 2,...,y 10 a) Vi lager

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

Sammendrag i statistikk

Sammendrag i statistikk Sammedrag i statistikk Sammedrag Dette dokumetet er et sammedrag av pesum i faget ST0103 ved NTNU høste 2014. Notatet er derfor ikke tekt å være komplett eller spesielt grudig gjeomlest for feil, me det

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: STK11 Sasylighetsregig og statistisk modellerig. LØSNINGSFORSLAG Eksamesdag: Fredag 9. jui 217. Tid for eksame: 9. 13.. Oppgavesettet

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

STATISTIKK :D INNHOLD

STATISTIKK :D INNHOLD STATISTIKK :D INNHOLD Et par tig som ka bli yttige.... Sasylighetsregig... 3. Stokastiske variable og sasylighetsfordeliger.... 4. Forvetig og varias... 3 5. Diskrete fordeliger... 4 Diskret uiform fordelig...

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015

LØSNING: Eksamen 28. mai 2015 LØSNING: Eksame 28. mai 2015 MAT110 Statistikk 1, vår 2015 Oppgave 1: revisjo ) a) Situasjoe som beskrives i oppgave ka modelleres med e ure. I dee ure er fordelige kjet, M atall bilag med feil og N 100

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer 12, blokk II Løsningsskisse. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer 12, blokk II Løsningsskisse. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Vår 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige

Detaljer

f(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) =

f(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) = TMA Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for ateatiske fag Løsigsforslag - Eksae deseber 9 Oppgave a Besteer k ved å kreve fxdx =, fxdx = De kuulative fordeligsfuksjoe Fx er gitt

Detaljer

0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1

0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 σ2 MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.27 (11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal finne konfidensintervall

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 20. desember 2012

TMA4245 Statistikk Eksamen 20. desember 2012 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 20. desember 202 Løsigsskisse Oppgave a Sasylighete for å få 5 kro er P 5 kro = = /32 = 0.03. 25 Sasylighete

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: n + (x 0 x) 2 1. n + (x 0 x) 1 2 ) = 1 γ MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 Løsninger til regneøving nr. 7 (s. 1) Oppgaver fra boka: Oppgave 11.25 (11.27, 11.6:13) Modell: Y i = α + βx i + ε i der ε 1,..., ε n u.i.f. N(0, σ 2 ). Skal nne

Detaljer

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Noregs tekisk aturvitskaplege uiversitet Istitutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kotakt uder eksame: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik Mo (41

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,

Detaljer

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3.

11,7 12,4 12,8 12,9 13,3. TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b6 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =

Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + = OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:

Detaljer

STK juni 2016

STK juni 2016 Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6

Detaljer

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning H14 - Hjemmeeksame i statistikk/ped3008 - sesurveiledig (teller 1/3 av edelig karakter) Dee oppgave bestr av tre deler: i del 1 skal du svare p 5 teorispørsml, i del 2 skal du gjeomføre oe sigifikastester

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,

Detaljer