Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Transkript

1 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i + β 2 x i2 + β 3 x i3 + ϵ i Her er respose besiforbruket for bil ummer i, mes forklarigsvariablee x i, x i2 og x i3 er heholdsvis atall hestekrefter for motore, vekte til bile og slagvolumet for motore. Videre agir ϵ i -ee de tilfeldige avvikee, som atas å være uavhegige og N0, σ 2 -fordelte. I R-utskrifte står det følgede i koloee i tabelle: Estimate: Miste kvadraters estimater for β 0, β, β 2 og β 3. Std. Error: Estimerte stadardfeil til estimatee evt i forrige pukt. t value: Testobservatorer for testig av H 0 : β j 0 mot H a : β j 0; j 0,, 2, 3. Testobservatoree er forholdet mellom estimatee og de estimerte stadardfeilee. Pr> t : P-verdier for testee evt i forrige pukt. Uder tabelle er Residual stadard error oppgitt. Det er estimatet for σ. Videre er det gitt Multipple R-squared. Dee står for R 2, som er et mål for hvor stor adel av variasjoe i respose dvs. besiforbruket som er forklart av regresjosmodelle dvs. av atall hestekrefter, vekt og slagvolum. b Vi lar som i forrige pukt β 3 være regresjoskoeffisiete for slagvolum. Vi vil teste ullhypotese H 0 : β 3 0 mot de alterative hypotese H 0 : β 3 0. Vi bruker da testobservatore T ˆβ 3 /S ˆβ3, der S ˆβ3 er e estimator for stadardfeile til ˆβ 3. Hvis ullhypotese er sa, er testobservatore t-fordelt med frihetsgrader. E test med sigifikasivå α forkaster H 0 hvis T t α/2, 5 eller T t α/2, 5 Av R-utskrifte i pukt a er miste kvadraters estimat for regresjoskoeffisiete ˆβ , mes estimatet for stadardfeile er s ˆβ Testobservatore T får dermed verdie t / Fra tabelle over t-fordeligee, fier vi at t 0.005, og t 0.00, Vi forkaster altså ullhypotese hvis sigifikasivået er %, me ikke hvis sigifikasivået er %. P-verdie for teste jf. oppgave 2b er dermed mellom 0.2% og %. Vi forkaster ullhypotese og kokludere med at slagvolumet har e sigifikat effekt for besiforbruket. Estimatet ˆβ forteller oss at hvis slagvolumet økes med é liter og atall hestekrefter og vekte av bile ikke edres, så vil forvetet besiforbruk bli redusert med 0.24 liter per mil. Hvis vi sammeliger biler med samme motorstyrke og samme vekt, vil vi atså forvete at de bile som har størst slagvolum bruker mist besi. Av plottet først i oppgave ser det ut til at besiforbruket øker med slagvolumet. Me det kommer av at e bil som har stort slagvolum typisk også vil veie mer og ha e sterkere motor e e bil med midre slagvolum. c Som i pukt a lar vi β være regresjoskoeffisiete for hestekrefter. Det betyr at β er forvetet edrig i besiforbruket år styrke til motore økes med é hestekraft og vekt og slagvolum ikke edres. Vi vil bestemme et 95% kofidesitervall for θ 0β. Vi har at ˆβ β /S ˆβ er t-fordelt med 5 frihetsgrader. Det gir P t 0.025, 5 < ˆβ β S ˆβ < t 0.025, Av dette følger på valig måte at P ˆβ t 0.025, 5 S < β ˆβ < ˆβ + t 0.025, 5 S ˆβ 0.95

2 Vi gager med 0 på begge sider av ulikhetee og får side θ 0β P 0 ˆβ 0 t 0.025, 5 S ˆβ < θ < 0 ˆβ + 0 t 0.025, 5 0S ˆβ 0.95 Et 95% kofidesitervall for θ er dermed gitt som 0 ˆβ 0 t 0.025, 5 S ˆβ, 0 ˆβ + 0 t 0.025, 5 S ˆβ Fra R-utskrifte fier vi estimatee ˆβ og s ˆβ , og av tabelle for t-fordeligee fier vi t 0.025, Det gir følgede 95% kofidesitervall for θ , dvs , Det betyr at vi med stor grad av sikkerhet ka si at år mororstyrke økes med 0 hestekrefter og vekt og slagvolum ikke edres, så vil forvetet besiforbruk øke med mellom og liter per mil. d I pukt a skrev vi opp modelle for de multiple lieære regresjoe. Modelle bygger på følgede forutsetiger: i Forvetet besiforbruk avheger lieært av de tre forklarigsvariablee x hestekrefter, x 2 vekt og x 3 slagvolum ii De tilfeldige avvikee dvs. ϵ i -ee har alle samme varias. iii De tilfeldige avvikee er ormalfordelte. iv De tilfeldige avvikee er uavhegige. For å kotrollere disse forutsetigee ka vi lage ulike plott av residualee. Residualee er gitt ved e i y i ŷ i y i ˆβ 0 + ˆβ x i + ˆβ 2 x i2 + ˆβ 3 x i3 der y i -ee er de observerte forbrukee av besi. Residualee er prediksjoer av de uobserverte ϵ i -ee, og hvis forutsetigee for regresjosaalyse er rimelig godt oppfylt, skal residualee oppføre seg omtret som uavhegige og N0, σ 2 -fordelte variabler. Plottet øverst til vestre er et ormalfordeligsplott av residualee. Hvis de tilfeldige avvikee er ormalfordelte vil puktee i dette plottet ligge oelude på e rett lije. Det er tilfellet her, så forutsetig iii er rimelig godt oppfylt. Plottet øverst til høyre er et plott av residualee mot de tilpassede verdiee ŷ i -ee. Hvis de tilfeldige avvikee alle har samme varias, vil residualee fordele seg tilfeldig i y-retige, mes e viftefasog av residualee vil være et teg på at de tilfeldige avvikee ikke har samme varias. Her fordeler residualee seg oelude tilfeldig, så forutsetig ii er rimelig godt oppfylt. De tre ederste plottee er plott av residualee mot hver av forklarigsvariablee. Hvis forvetet besiforbruk avheger lieært av e forklarigsvariabel, vi residualee fordele seg tilfeldig i y-retige, mes et systematisk møster for residualee f. eks. e krumig vil tyde på at sammehege ikke er lieær. Her fordeler residualee seg oelude tilfeldig, så forutsetig i er rimelig godt oppfylt for alle forklarigsvariablee muliges med utak av slagvolum der det er atydig til e viss krummig. Ige av residualplottee som er gitt i oppgave eger seg til å kotrollere forutsetig iv. Me det er atageligvis e uproblematisk forutsetig her. Oppgave 2 a La X være atall seksere vi får år marmorterige blir kastet 204 gager. Da er X biomisk, p- fordelt, der 204 og p er sasylighete for å få sekser år vi kaster marmorterige. Vi vil teste ullhypotese H 0 : p p 0 mot de alterative hypotese H a : p > p 0, der p 0. Vi ifører 2

3 ˆp X/ og merker oss at p og p begge er større e 0. Det følger da at Z ˆp p 0 p 0 p 0 ˆp ˆp / 5/7344 er tilærmet stadardormalfordelt hvis H 0 er sa. La z α være som gitt i læreboka. Da er P Z z α α hvis H 0 er sa. Vi får derfor e test med sigifikasivå 5% hvis vi forkaster H 0 såsat Z z Da marmorterige ble kastet 204 gager, fikk e sekser i 54 av kastee. Testobservatore Z får da verdie z 54/204 / 5/ Side z forkaster vi ullhypotese. Koklusjoe er da at sasylighete for å få sekser med marmorterige er større e e seksdel. b P-verdie til e test er det miste sigifikasivået α som gir forkastig av ullhypotese. Litt mer uformelt, ka vi si at P-verdie er sasylighete for å få et resultat som det vi har fått, eller et resultat som er eda mer i favør av de alterative hypotese, bare på gru av tilfeldigheter dvs. hvis H 0 er sa. Tabelle over de kumulative stadardormalfordelige Φz som er gitt i læreboka dekker verdier av z fra 3.49 til Side testobservatore har verdie 3.7, klarer vi ikke å bestemme P-verdie helt øyaktig av tabelle. Me av tabelle ser vi at vi får e test med sigifikasivå 0.02% hvis vi forkaster H 0 såsat Z Vi vil altså forkaste ullhypotese på dette ivået, så P-verdie er midre e 0.02%. Det betyr at det er svært usasylig å få 54 eller flere seksere i 204 kast hvis sasylighete for sekser er /. Vi er derfor veldig sikre på at sasylighete for å få sekser med marmorterige er større e e seksdel. c Da terige av jer ble kastet 204 gager, fikk e sekser i 42 av kastee. Testobservatore Z i pukt a får da verdie z 42/204 / 5/ Side z.50 <.45 forkaster vi ikke ullhypotese på sigifikasivå 5%. Vi ka derfor ikke kokludere med at sasylighete for å få sekser med terige av jer er større e e seksdel. Me side P-verdie er såpass lite som.7% har vi e idikasjo på at sasylighete for sekser ka være større e e seksdel, me at teste ikke har ok styrke til å oppdage det. d Vi gjør e feil av type II hvis vi ikke forkaster ullhypotese år de er gal. Vi forkaster ikke H 0 på sigifikasivå 5% hvis Z <.45. Hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er p 0.20, blir sasylighete for feil av type II β0.20 P Z <.45 p 0.20 ˆp / P <.45 5/7344 p 0.20 P P P ˆp < / / p 0.20 < / /7344 p / / /204 < 0.34 p

4 Her får vi de siste likhete fra tabelle over de kumulative stadardormalfordelige side /204 er tilærmet stadardormalfordelt år p Sasylighete for feil av type II er altså 3.3% hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er 20%. e Hvis vi kaster terige av jer gager, vil e test med sigifikasivå 5% forkaste H 0 såsat Z ˆp p 0 p 0 p 0 ˆp 5 ˆp / 5/3.45 jf. pukt a. Hvis sasylighete for å få sekser med terige av jer er p 0.20, blir sasylighete for feil av type II jf. pukt d: β0.20 P Z <.45 p 0.20 ˆp / P <.45 5/3 p 0.20 P P P ˆp < / /3 p 0.20 < / /3 p / / / < p 0.20 Hvis p 0.20 er ˆp 0.20/ / tilærmet stadardormalfordelt. Av tabelle over de kumulative stadardormalfordelige har vi dermed at P < / p For at sasylighete for feil av type II skal være 20% hvis p 0.20 må derfor bestemmes slik at Det gir Hvis sasylighete for feil av type II skal være 20% år p 0.20 må vi kaste terige omtret 80 gager. Oppgave 3 a Miste kvadraters estimatorer for β 0 og β er de verdiee av b 0 og b som miimerer kvadratsumme SSb 0, b b 0 b 2 Vi deriverer med hesy på b 0 og fier b 0 SSb 0, b 2 b 0 b 4

5 2 b 0 b 2 b 0 der de siste likhete følger side 0. Vi deriverer også med hesy på b og får SSb 0, b 2 b 0 b b der 2. 2 b 0 b 2 2 b 2 2 b Miste kvadraters estimatorer for ˆβ 0 og ˆβ er løsigee av de ligigee vi får år vi setter de partiell deriverte lik ull. Det gir ˆβ 0 0 ˆβ 0 Miste kvadraters estimatorer er dermed ˆβ 0 Y ˆβ b Vi bruker at E β 0 + β og får E ˆβ 0 E E β 0 + β β 0 + β β β 0 Det viser at ˆβ 0 er forvetigsrett. 5

6 Vi fier videre at E ˆβ E β 0 β 0 + β + β 0 + β β Det viser at også ˆβ er forvetigsrett. E 2 c Vi bruker at V σ 2 og får side -ee er uavhegige V ˆβ 0 V 2 V 2 σ2 σ2 og V ˆβ V σ2 S 2 xx 2 xi x V 2 σ2 S 2 xx For kovariase får vi år vi bruker hitet Cov ˆβ 0, ˆβ Cov, V σ 2 0 σ2 d Vi bruker resultatet i pukt b og fier at E ˆµ Y x E ˆβ0 + ˆβ x x E ˆβ 0 + E ˆβ x x β 0 + β x x µ Y x så estimatore er forvetigsrett. Videre får vi av resultatet i pukt c V ˆµ Y x V ˆβ0 + ˆβ x x V ˆβ 0 + V ˆβ x x + 2 Cov ˆβ0, ˆβ x x V ˆβ 0 + x x 2 V ˆβ + 2 x x Cov ˆβ 0, ˆβ σ2 + x x 2 σ2 + 2 x x 0

7 σ 2 + x x 2 Alterativt ka vi fie variase ved å skrive ˆµ Y x som e lieærkombiasjo av -ee jf. pukt e og bruke formele for variase til e lieærkombiasjo av uavhegige variabler. e Av resultatet i pukt a har vi at ˆµ Y x ˆβ 0 + x x ˆβ + x x + x x Altså er ˆµ Y x e lieærkombiasjo av ormalfordelte stokastiske variabler, så ˆµ Y x er ormalfordelt. Det følger av dette at Z ˆµ Y x Eˆµ Y x V ˆµY x er stadardormalfordelt. ˆµ Y x µ Y x σ + x x 2 Side ˆµ Y x er e fuksjo av ˆβ 0 og ˆβ, som er uavhegige av S 2, er Z og V 2S 2 /σ 2 uavhegige. Videre er V kji-kvadratfordelt med 2 frihetsgrader. Dermed er Z V/ 2 ˆµ Y x µ Y x σ + x x 2 Sxx / ˆµ Y x µ Y x σ 2 S 2 2S 2 t-fordelt med 2 frihetsgrader. + x x 2 La å t α/2, 2 være som gitt i læreboka. Da har vi at P t α/2, 2 < ˆµ Y x µ Y x S + x x 2 < t α/2, 2 α Vi omformer ulikhetee og får at dette er det samme som P t α/2, 2 S + x x 2 < ˆµ Y x µ Y x < t α/2, 2 S + x x 2 som igje er det samme som P ˆµ Y x t α/2, 2 S + x x 2 < µ Y x < ˆµ Y x + t α/2, 2 S + x x 2 Et 00 α% kofidesitervall for µ Y x er dermed gitt ved ˆµ Y x t α/2, 2 S + x x 2, ˆµ Y x + t α/2, 2 S + x x 2 α α 7