TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017"

Ingvild Gustavsen
6 år siden
Visninger:

1 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee for X er 3, 4, P (X > 3 P (X 3 P (X 3 p 3 ( p 0 3 P (X < 6 p x P (X x p 3 ( p x 3 3 x3 x3 3 4 p 3 ( p 0 + p 3 ( p + p 3 ( p p 3 ( + 3( p + 6( p 0. 3 ( P (X 6 X > 3 P (X 6 X > 3 P (X > 3 P (X < 6 P (X 3 P (X 6 P (X > b For å fie SME må ma starte med å fie rimelighetsfuksjoe. Side X, X,..., X er uavhegige får vi at L(p f(x, x,..., x ; p Log-rimelighetsfuksjoe blir da l(p l L(p l l (( xi k f(x i ; p (( xi k + k l p + l( p xi p k ( p x i k. k + k l p + (x i k l( p x i k l( p. eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side

2 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 For å fie for hvilke verdi av p dee fuksjoe har sitt maksimum deriverer vi med hesy på p, l (p 0 + k p + p ( k p x i p + k p x i k p ( Fier for hvilke verdi av p log-rimelighetsfuksjoe har sitt maksimum ved å løse ligige l (p 0 med hesy på p, l (p 0 k p x i k p ( k( p x i k p k kp p k p x i p k x. i Sasylighetsmaksimerigsestimatore blir dermed p k X i x i kp k X. c La A og B være hedelsee at klokkee som ispiseres kommer fra heholdsvis produksjoslije A og B. Vi har da oppgitt at P (A P (B 0.5 og at x x P (X x A p k k A( p A x k og P (X x B p k k B( p B x k. Oppgave spør etter sasylighete P (A X x. Ved å bruke Bayes regel får ma at P (A X x P (X x AP (A P (X x ( x P (X x AP (A P (X x AP (A + P (X x BP (B k p k A ( p A x k 0.5 ( x k p k A ( p A x k ( x k p k B ( p B x k 0.5 p k A ( p A x k p k A ( p A x k + p k B ( p B x k. Setter ma i de oppgitte tallee får ma at P (A X ( ( ( eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side

3 Oppgave TMA445 Statistikk Eksame mai 07 a I figur A ser det ut til at det er e ikke-lieær sammeheg mellom x og y, oe som ikke stemmer med regresjosmodelle gitt i oppgave. I figur B ser det ut til at variabilitete til y øker med økede x, mes ma i regresjosmodelle gitt i oppgavetekste spesifiserer at variase til Y er de samme for alle verdier av x. Dette datasettet passer dermed heller ikke regresjosmodelle gitt i oppgavetekste. I figur C ser det ut til å være e lieær sammeheg mellom x og y og variabilitete til y ser ut til å være de samme for alle verdier av x. De oppgitte regresjosmodelle ser ut til å være e god modell for dette datasettet. Side Y er tykkelse på e bremsekloss må ma ret fysisk ødvedigvis ha at Y 0. Me ifølge regresjosmodelle vil EY x bli egativ år x er stor ok og P (Y < 0 vil også bli stor år x er stor ok. Dermed ka ikke regresjosmodelle være e rimelig modell for alle x. De lieære regresjosmodelle vil ku være gyldig for at itervall av x-verdier, x 0, x max. Tilsvarede vil være tilfelle for de aller fleste regresjosmodeller, modelle er gyldig ku for et itervall av x-verdier. b Miste kvadraters metode agir at β er gitt ved { } β argmi (Y i (k 0 βx i. β Vi fier miimum ved å sette de deriverte av kvadratsumme lik ull, β (Y i (k 0 βx i (Y i (k 0 βx i x i Y i x i k 0 x i + β x i 0 β x i k 0 x i Y i x i β k 0 x i Y ix i. x i Ved å bruke regeregler for forvetigverdioperatore får vi at (ved å huske at x i ee eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 3

4 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 er kostater E β k0 E x i Y ix i x i E k 0 x i Y i x i x i x i x i k 0 k 0 x i x i E Y i x i x i E Y i. Ved å beytte modellatagelse EY i k 0 βx i får ma dermed E β k 0 x i x i (k 0 βx i x i k 0 x i k 0 x i + β x i x i β x i x i β. For å fie variase til β starter vi tilsvarede med å bruke regeregler for varias. Igje må ma huske på at x i ee er kostater, og ma må huske på at vi har atatt at Y i ee er uavhegige. Da får vi Var β k0 Var x i Y ix i x i Var x i Y i x i x i ( x i k ( Var Y i x i ( x x i Var Y i. i Ved å beytte modellatagelse VarY i får ma dermed Var β ( x x i i σ x i ( x i σ. x i c Fra forrige pukt har vi forvetigverdi og varias til β og side det er oppgitt at β er eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 4

5 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 ormalfordelt ka vi lage e stadard ormalfordelt variabel β E β Z Var β β β N(0,. x i Side verdie til variase er ukjet erstatter vi i dette uttrykket med vår estimator for. La oss kalle størrelse vi da får for T. Vi ka vise hvilke sasylighetsfordelig T har ved å skrive T β β x i β β σ x i ( Z. V Side Z N(0,, V χ, og Z og V er uavhegige side β og V er uavhegige, får vi at T er Studet t-fordelt med frihetsgrader. Vi ka da lage kofidesitervall ved å starte med kvatiler i e Studet t-fordelig. Side e Studet t-fordelig er symmetrisk om 0 har vi ( P t α, T t α, α P t α, β β t α, α x i Løser så hver av ulikhetee ii sasylighetsuttrykket med hesy på β. Vi får t α, β β σ t α, β β x i x i σ β x i β t α, β + t α, β β + t α, σ x i β x i eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 5

6 og tilsvarede for de adre ulikhete β β x i t α, β β t α, β β + t α, β β t α, β t α, x i x i TMA445 Statistikk Eksame mai 07 x i x i β. Vi har dermed ( P β t α, x i β β + t α, x i α. Et ( α 00%-kofidesitervall for β er dermed σ β t α,, β + t α x, i x i. Hvis vi øsker å utføre de tosidige hypoteseteste H 0 : β β 0 mot H : β β 0 med sigifikasivå α, ka vi beytte sammehege som alltid fies mellom et kofidesitervall og e tilhørede tosidig hypotesetest. Vi skal forkaste H 0 hvis kofidesitervallet ikke ieholder verdie β 0. Oppgave 3 a Estimatore µ er ormalfordelt fordi de e e liær fuksjo av X, X, X 3, som er uavhegige og ormalfordelt. Ved å beytte regeregler for forvetigsverdi får vi at E µ E X i E X i Ved å beytte at EX i µ får vi da EX i. E µ µ µ µ. eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 6

7 Side X, X, X 3 er uavhegige gir regeregler for varias at Var µ Var X i Var X i VarX i. Ved å beytte at VarX i gir dette TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Var µ σ σ. Hvis e estimator er forvetigsrett iebærer det at dersom ma gjetar forsøket uedelig mage gager vil gjeomsittet av de tilhørede estimatee være lik de sae parameterverdie. b Det er oppgitt at ma skal bruke µ som testobservator. Det er rimelig å forkaste H 0 dersom µ < k, der de kritiske verdie k må bestemmes fra kravet Ved å stadardisere µ får vi P ( µ < k µ 3 P P (Forkast H 0 H 0 er riktig P ( µ < k µ 3 α. µ µ < k µ µ 3 P Z < k 3 α, der Z N(0,. Ved å tege opp sasylighetstetthete i e stadard ormalfordelig ser vi da at vi må ha k 3 z α k 3 z α. Isatt tall får vi, ved å bruke at z α z , 0.4 k Vi skal altså forkaste H 0 hvis µ <.6. c Teststyrke til teste er for µ < 3 gitt ved β(µ P (Forkast H 0 µ P ( µ < 3 z α µ Stadardiserer µ for å fie et uttrykk for sasylighete, β(µ P µ µ < 3 z α µ µ Φ 3 z α µ, eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 7

8 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 der Φ( er kumulativ fordelig i stadard ormalfordelig. Isatt 3, z α.645 og 0.4 blir styrkefuksjoe dermed seede slik ut. β(µ µ Øsker så å fie ut hvor stor må være for at sasylighete for å forkaste H 0 skal være mist 0.9 år µ.9. Matematisk ka dette kravet uttrykkes som P (Forkast H 0 µ β( Ved å bruke uttrykket vi fat for styrkefuksjoe (før vi satte i for blir altså kravet Φ 3 z α Ved å lage e skisse av sasylighetstetthete av e stadard ormalfordelig ser ma at dette kravet er ekvivalet med σ 3 z α.9 σ z 0. 3 z α.9 z (z α + z ( σ ( ( ( Side atall poser som skal testes selvfølgelig må være et heltall må ma følgelig teste mist 38 poser. eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 8

9 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 d Starter med å utlede kumulativ fordeligsfuksjo for X (, F X( (x P (X ( x P (Mist to av X, X, X 3 x P (Nøyaktig to av X, X, X 3 x + P (Nøyaktig tre av X, X, X 3 x 3 3 F X (x ( F X (x 3 + F X (x 3 ( F X (x F X (x ( F X (x + F X (x 3 3F X (x 3F X (x 3 + F X (x 3 3F X (x F X (x 3. Fier så sasylighetstetthete til X ( ved å derivere, f X( (x F x ( (x 3 F X (x f X (x 3F X (x f X (x 6F X (xf X (x F X (x, der F X (x og f X (x er heholdsvis kumulativ fordelig og sasylighetstetthete i e ormalfordelig med forvetigsverdi µ og varias. Ma ka teke seg å udersøke om µ X ( er e forvetigsrett estimator for µ ved å rege ut E µ, me ma vil da ede opp med et itegral som er svært vaskelig å evaluere aalytisk. Det som gir eklere regig er å vise at f X(x (x er symmetrisk om x µ. Ma må altså vise at f X( (µ + δ f X( (µ δ for alle δ > 0. Side f X (x er sasylighetstetthete til e ormalfordelig med forvetigsverdi µ vet vi at f X (x er symmetrisk om µ, dvs. f X (µ + δ f X (µ δ for alle δ > 0. (3. Når X er ormalfordelt med forvetigsverdi µ har vi også at P (X > µ + δ P (X < µ δ for alle δ > 0. Side P (X > µ + δ P (X µ + δ F X (µ + δ og P (X < µ δ P (X µ δ F X (µ δ har vi dermed at F X (µ δ F X (µ + δ for alle δ > 0. (3. Ved å bruke (3. og (3. og uttrykket vi fat for f X( (x får vi da at f X( (µ + δ 6F X (µ + δf X (µ + δ F X (µ + δ 6 F X (µ δ f X (µ δf X (µ δ 6F X (µ δf X (µ δ F X (µ δ f X( (µ δ. Vi har dermed vist at f X( (x er symmetrisk om µ, og dermed blir E µ E X ( µ. eksmai7-lsf-b 3. jui 07 Side 9

Like dokumenter

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette