Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Transkript

1 STAT (V6) Statistikk Metoder Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet (momet about the mea) r Momet: rte ordes momet til e stokastisk variabel er E ( ) Setral Momet: rte ordes setral momet til er E ( ) r, E ( ) E ( ) r Skjevhet E ( ) r måler asymmetri i e sasylighetsfordelig. Verdie av er et tall mellom 0 og. Jo ærmere 0 verdie er jo mer symmetrisk er fordelige. Jo ærmere verdie er jo skjevere er fordelige. Skjevhet = 0, fordelig er symmetrisk; Skjevhet < 0: vestreskjev (skjevhet egativ) ; Skjevhet > 0: høyreskjev (skjevhet positiv) t.) Mometgeererede fuksjo til e S.V. defieres som M ( t) E ( e ). M(t) er e fuksjo til t! forsvier gjeom å ta forvetig! a. Når Mt (), h t h for oe h 0, da ka Mt () bestemme fordelige. Det betyr at for S.V. og Y, hvis M ( t) M ( t), da har og Y samme fordelige: Vet ma M () t, så vet ma f( x ) eller P( x) samme iformasjo. t b. mgf M () t eksisterer hvis summe (evt. itergralet) i Ee ( ) Y, de ieholder eksisterer, og 0 itervallet av t må ieholde 0: M(0) E( e ) ( h t h for oe h 0 ).) Egeskap til mometgeererede fuksjo Når Mt (), h t h for oe h 0, da gjelder: M E e E 0 (0) ( ) () ' t ' 0 M t E e M E e E... ( ) ( ), (0) ( ) ( ) M t E e M E e E t 0 ( ) ( ), (0) ( ) ( ) ' '' ' Vi ka se med e gag at M (0), M (0) [ M (0)]. Det vil bli mye lettere for å berege, ved bruk av mgf for visse fordeliger.

2 STAT (V6) Statistikk Metoder Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V..) Simultafordelig til to ye S.V. Ata at vi har to S.V., med simultafordelig f ( x, x ) i verdimegde S ( x, x ) : f ( x, x ) 0, og to ye S.V. Y, Y som er fuksjoer (trasformasjoer) av, : Y u Y u S.V. Y, Y: (, ) Geerell prosess: (, ), (, ). Vårt mål er fie simultafordelig til de to ye g y y, med verdimegde T ( y, y ) : g( y, y ) 0 a. Uttrykk, som fuksjoer av Y, Y, basert på Y u (, ), Y u(, ) : b. Fi partielt deriverte matrise: v ( Y, Y ), v ( Y, Y ) v ( y, y) v ( y, y) y y M v ( y, y) v ( y, y) y y c. Fi determiate (Jacobia) til matrise M: d. Fi simultafordelig til de Y, Y : * v v v v det( M ) y y y y g( y, y ) f [ v ( y, y ), v ( y, y )] det( M) ( y, y ) T Eks. Ata et system har e kompoet som ka erstattes umiddelbart år systemet utløper, la være levetide av de opprielige kompoet og være levetide til erstatig kompoet: exp( ), exp( ), og er uavhegig med hveradre. De følgede to ye variabler, som er fuksjoer av,, ka være av iteresse for e etterforsker: a. Totale levetid Y b. Adele av de opprielige kompoets levetid i de totale levetide Y / ( ) Fi simultafordelig g( y, y ) til Y, Y Eks. Ata N(0,), N (0,), og er uavhegig med hveradre; Y, Y. Fi simultafordelig g( y, y ) til Y, Y

3 STAT (V6) Statistikk Metoder Eks. Ata og ha simultafordelig f ( x, x) x x 0< x,0< x. Y, Y. Fi fordeligstetthete til Y..) Simultafordelig til mer e to ye S.V. Ata at vi har f.eks. tre S.V.,, med simultafordelig f ( x, x ) i verdimegde S ( x, x, x ) : f ( x, x, x ) 0, og tre ye S.V. Y, Y, Y som er fuksjoer (trasformasjoer) av,, : Y u (,, ), Y u (,, ), Y u (,, ). Og vi ka utrykke,, som fuksjoe av Y, Y, Y v ( Y, Y, Y ), v ( Y, Y, Y ), v ( Y, Y, Y ) De simultafordelig til de tre ye S.V. Y, Y, Y : g( y, y, y ), med verdimegde T ( y, y, y ) : g( y, y, y ) 0, er: g( y, y, y ) f [ v ( y, y, y ), v ( y, y, y ), v ( y, y, y )] det( M) ( y, y, y ) T, v v v y y y v v v M y y y v v v y y y *. Weibull-, Logormal-, Beta- fordelig.) Weibull fordelig..) Weibull fordelig er oppkalt etter de sveske fysikere Waloddi Weibull på 99. pdf (fordeligstetthet) av Weibull fordelig: er «shape parameter», som bestemmer forme på fordelige. Når, Weibull fordelig blir ekspoetialfordelig, og ka brukes for

4 STAT (V6) Statistikk Metoder levetidsforvetigsberegiger for ett utstyr. er «scale parameter», forskjellige verdier av strekker eller komprimerer pdf grafe i x-akse. a. Weibull fordelig med forskjellige år : Figure. Weibull fordelig med forskjellige år b. Weibull fordelig med forskjellige år : Figure. Weibull fordelig med forskjellige år *Weibull fordelig ka modellere styrke og levetid til mage fysiske feomeer på e god måte. Eks4. Weibull fordelig for å modellere vidstyrke: vidstyrke varierer med med tide. Det er ofte ikke ok med et gjeomsittstall for hvor vidhastighete. For å får e bedre beskrivelse av vidhastighete, ka vi bruke Weibull fordelig som e modell for å gi e god tilærmig. f eks. Vi ka bruke Weibull fordelig.667, for å modellere vidhasthete (måedlig data) i Plymouth i tre år:

5 STAT (V6) Statistikk Metoder Figure. Weibull fordelig for å modellere vidkraft Eks 5. Weibull fordelig for å modellere levetider: Følgede data ar ihetet i Kalbfleisch og Pretice (The Statistical Aalysis of Failure Time Data, Wiley, 00, s. 9), og represeterer tide til døde av pasieter med lugekreft uder e kliisk udersøkelse, vi ka bruke Weibull fordelig med 0.7,.4 : Figure 4. Weibull fordelig for å modellere levetider *På samme måte, ka vi bruk Weibull fordelige i pålitelighetsaalyser, slik som å modellere e ehets brukstid før feil oppstår...) Gamma fuksjo, forvetig og varias til Weibull fordelig For ethvert reelt tall r > 0, er gammafuksjoe av r defiert ved: r x r x e dx () 0 Gammafuksjoe har følgede egeskaper: () ; ( r ) r( r) for ethvert positivt reelt tall r ( r ) r! for ethvert ikke-egativt heltall r *Gammafuksjo er e kotiuerlig versjo av! ( )( )...;,,...

6 STAT (V6) Statistikk Metoder Forvetig og varias til Weibull fordelig:..) cdf (fordeligsfuksjo) av Weibull fordelig Eks 5. I de siste åree har Weibull fordelig blitt brukt til å modellere motor utslipp av ulike miljøgifter. La betege megde av NO utslipp fra e x tilfeldig valgt firetakts motor av e bestemt type, og ata at er Weibullfordelt med, 0. Fi P ( 0) og 95te-persetile av fordelige...) Weibull fordelig med parametere. I oe tilfeller, har vi de laveste grese til skal være e verdi 0. Vi ka bruke weibull fordelig med parametere gjeom å ikludere a «locatio parameter»..) Logormal fordelig Fra CLT, vet vi at hvis e variabel Z er summe av et stort atall av uavhegige, likt fordelte variabler, da er Z ormal fordelt. På samme måte, hvis e variabel er produktet av et stort atall av uavhegige, likt fordelte variabler, da er logormal fordelt. Def. E variabel er logormal fordelt hvis Log( ) N(, ) pdf til e logormal fordelt variabel med parameter :, Logormal fordelig er e fordelig som skjever til høyre. pdf av logormal fordeligstarter på ull, øker si modus, og avtar deretter.

7 STAT (V6) Statistikk Metoder Figure 5. Logormal fordelig med forskjellige og Forvetig og varias til (de er ikke og ): *Både log-ormal fordelig og Weibull fordelig brukes ofte til å modellere levetider i overlevelsesaalyse. Logormal fordelig ka også brukes i økoomiske modeller hvor variabler må multipliseres eller ekspoetielt aslått. Vi vet at for logormal fordelt variabel med parameter,, har vi: Log( ) N(, ). Da ka vi fie cdf til logormal fordelig:.) Beta fordelig Beta fordelig ka brukes til å modellere stokastisk variabel som er begreset til itervallet på edelig legde [A, B], for eksempel: tide tregs for å fullføre e oppgave, mulig prise for et bestemt produkt er Beta-fordelt med parametere 0, 0, A og B, hvis pdf til er Forvetig og varias til : Eks 6. Ata at tide (i dager) for å bygge fudametet til et rekkehus har e beta-fordelig med parametere A, de optimistiske tide år alt går bra, er ; B, de pessimistiske tide da alt går dårlig, er 5.,. Fi sasylighete for at det tar meste dager på å legge grulaget.

8 STAT (V6) Statistikk Metoder Når A=0, B=, har vi stadard Beta fordelig, og de brukes valigvis til å studere variasjoer i prosete av oe i et datautvalg, for eksempel hvor stor del av dage e perso sover. pdf til stadard Beta fordelig er: ( ) f x x x x ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0, 0 Figure 6. Stadard Beta fordelig med forskjellige og (*Stadard Beta fordelig = uiform (0,) fordelig år, ) Forvetig og varias til stadard Beta fordelig er: E( ), var( ) ( ) ( ) 4. kji-kvadrat-, t-, F-fordelig (Fordeligee avledet fra ormalfordelig) Vi å se på tre fordeliger som er avledet fra ormalfordelige. Disse fordeligee vil vi seere bruke ofte i kofides itervall og statistisk hypotesetestig. 4.) kji-kvadrat fordelig med v frihetsgrader () v, pdf: f x x e x ( v / ) v/ x/ ( ) /, 0 Forvetig, varias og mgf til ~ ( v) Eg.7 La Z N (0,), bevis at E( ) v, var( ) v, M ( t) ( t) v/ Z (). Eg.8 La Z, Z,..., Z v være v uavhegige S.V. fra N(0,) fordelig. Da er Y Z Z,..., Zv kji-kvadratfordelt med v frihetsgrader: Y () v.

9 f(x) STAT (V6) Statistikk Metoder Figure 7. ( k) foredlige ved ulike frihetsgrader k Eg 9. La,,..., være uavhegige S.V. fra samme sasylighetsfordelig N(, ) og S. Bevis at ( i ) i ( ) ( i ) S i ( ) Vi ka bruke resultatet fra Eg. 9 for å bygge kofides itervall og gjeomføre statistisk hypotesetestig for varias seere. 4.) Studet t fordelig Def. La Z N (0,), V () v og ata at Z, V er uavhegige. Da har vi: Z T t() v : T er (Studet) t-fordelt med frihetsgrader. V / v Få frihetsgrader v fordelige har stor spredig Når atall frihetsgrader v er stort, er t -fordelige tilærmet lik ormalfordelige Normal(0,) Studet Studet x Figure 8. t fordelig og ormal fordelig

10 STAT (V6) Statistikk Metoder Eks 0.,,,... : er uavhegige stokastiske variabler fra N(, ). La N(, ). Z, da har vi Z N(0,) /. I mage tilfeller er ikke kjet og vi bruker forvetigsrett estimator S ( i ) for å estimere. La t, da har vi t er i S / (Studet) t-fordelt med - frihetsgrader: t t( ) Vi ka bruke resultatet fra Eg. 0 for å bygge kofides itervall og gjeomføre statistisk hypotesetestig for forvetig seere. 4.) F-fordelig Def. La U ( m), V ( ) og ata at U, V er uavhegige. Da er variabele U / m F V / er Fisher-fordelt med m og frihetsgrader: F F ( m, ). Figure 9. F fordelig med m=d, =d Eks.,,,..., er uavhegige stokastiske variabler fra ( i ) i uavhegige stokastiske variabler fra S Y Y m Y ( i ) m i N. (, ) S. Y, Y, Y, Y m er. Bevis at S S / Y Y / N. ( Y, Y) F( m, ) Y Y Y Y m... m Vi ka bruke resultatet fra Eg. for å bygge kofides itervall og gjeomføre statistisk hypotesetestig for varias ratio av to S.V. seere.