Forelesning Moment og Momentgenererende funksjoner

Transkript

1 Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert ekeltutfall av eksperimetet svarer det e verdi for, og samtidig e verdi for. 1.) Fordeligsfuksjoe F til g( ) år vi kjeer F. La h g 1 a. g() er stregt voksede: F ( y) P( y) P( g( ) y) P( h( y)) F ( h( y)) b. g() er stregt avtagede: F ( y) P( y) P( g( ) y) P( h( y)) 1 F ( h( y)) c. g() er ikke mootoe trasformasjoer, F ( y) P( y) P( g( ) y) 1.3) Sasylighetstetthete av trasformasjoer år g() er stregt mootoe f y F y f h y h y ( ) y( ) ( ( )) ( ) 1.4) Geerer stokastisk variabel med fordeligsfuksjo F og iverse fordeligsfuksjoe 1 F a. Geerer u fra U (0,1) b. y F 1 ( u) ka betraktes som tilfeldig utvalg trukket fra. Momet Def. Momet (momet about 0) og setral momet (momet about the mea) r Momet: rte ordes momet til e stokastisk variabel er E ( ) Setral Momet: rte ordes setral momet til e stokastisk variabel er E ( ) r, E ( ) Eks 1. La være atall poeg opptjet på e kort quiz med sasylighet fordelige: x p(x)

2 Fi a. første ordes momet, b. adre og tredje ordes setral momet E ( ) r Skjevhet måler asymmetri i e sasylighetsfordelig. Verdie av 3 E ( ) r er et tall mellom 0 og 1. Jo ærmere 0 verdie er jo mer symmetrisk er 3 fordelige. Jo ærmere verdie er 1 jo skjevere er fordelige. Skjevhet = 0, fordelig er symmetrisk. f.ek. Normal fordelig Skjevhet < 0: vestreskjev (skjevhet egativ) Skjevhet > 0: høyreskjev (skjevhet positiv) Eks. Fi skjevhet til Eks.1. Eks 3. Fi skjevhet til i Eks.1 hivs fordelige er x p(x) Mometgeererede fuksjoer 3.1) La oss prøve å fie forvetigee til e bioomisk fordelt S.V Bi(, p ) som x E x P( x) x p (1 p) x0 x0 x x. Det vil bli e tøff jobb! Vi håper å fie e lettere måte å berege forvetige eller momet til e S.V. Vi har e løsig

3 Mometgeererede fuksjo: de mometgeererede fuksjoe (mgf) til e S.V. defieres som M ( t) E( e t ), h t h for oe h 0 t t a. Diskrete fallet: M ( t) E( e ) e P( x) xv t tx b. Kotiuerlig fallet: M ( t) E( e ) e f ( x) dx *** M () t er e fuksjo til t! S.V. forsvier gjeom å ta forvetig! Eks 4. Fi mgf til i Eks.1. Eks 5. Bi(, p), bereg M () t Når Mt (), h t h for oe h 0, da ka Mt () bestemme fordelige. Det betyr at for S.V. og, hvis M ( t) M ( t), da har og samme fordelige: Vet ma M () t, så vet ma f( x ) eller P( x) samme iformasjo., de ieholder t 3.) mgf M () t eksisterer hvis summe (evt. itergralet) i Ee ( ) eksisterer, og 0 itervallet av t må ieholde 0: M(0) E( e ) E(1) 1 ( h t h for oe h 0 ) Eks 6. La være e stokastisk variabel med p( x) k / x, x 1,,3, Bevis at mgf til eksisterer ikke 3.3) Egeskap til mometgeererede fuksjo Når Mt (), h t h for oe h 0, da gjelder:

4 M E e E 0 (0) ( ) (1) 1 M ( t) E( e ) M (0) E( e ) E( ) t 0 M ( t) E( e ) M (0) E( e ) E( ) t 0 M t E e M E e E r r t r r 0 r ( ) ( ) (0) ( ) ( ) Eks 7. Bevis at t M ( t) E( e ), t M ( t) E( e ) M r ( t) E( r e t ) r Eks 8. Bi(, p), bereg E( ), E( ) ( E ) fra M () t Eks 9. exp( ), bereg M () t, og videre E( ), E( ) ( E ) 3.4) Mt () i lieære trasformasjoer og lieære kombiasjo bt Eks 10. For S.V. og, la a b. Bevis M ( t) e M ( at) Eks 11. La 1,,, være uavhegige stokastiske variabler med mgf M ( t), M ( t),, M ( t ) heholdsvis. Sett a1 1 a a, 1 a1, a,, a er kostat. Fi M () t. Eks 1. La Poisso( ), Poisso( ), og er uavhegige med hveradre. Bevis Poisso ( ), med bruke av mgf Eks 13. Setralgreseteoremet (CLT): 1,, 3, er uavhegige stokastiske variabler fra samme sasylighetsfordelig med samme 1 forvetigsverdi og varias. Lar, Da har vi: N(, ), dette er samme som at Z N(0,1) år / ikke er for lite (tommelfigerregel 0 ) *Dette gjelder uasett hvilke fordelig ekeltvariablee i har!

5 f.eks. i : ummer vi få på de ite kaste år vi kaster e 6 sider terig med ummer 1,,3,4,5,6 gager. 1 : gjeomsitt ummer vi får år vi kaster terig =1 = =3 =5 =10 Fordelig for gjeomsitt terig kast 1 Vi ka Bevise setralgreseteoremet matematisk med hjelpe av mgf ( se «appedix» på side 39) * N(, ) 1 N(, ) : hvis e variabel Z er summe av et stort atall av uavhegige, likt fordelte variabler, da er Z ormal fordelt