HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi 2 Material 2 Studiepoeg: 10 studiepoeg Bygg 2, Maski 2 Elektro 2 Forybar eergi 2 Faglærere: av og telefor på eksamesdage Kjetil L. Nielse , Lars Egvik, Eirik Spets, Ketil Arese Kotaktpersoadm. fylles ut ved behov ku ved kursemer Hjelpemidler: Oppgavesettet består av: atall oppgaver og atall sider ikl. forside Vedlegg består av: atall sider Kalkulator type B, formelark med tabeller. 4 oppgaver 12 deloppgaver, 8 sider ikl. dee forside Formelark 3 sider og tabeller 2 sider Merkad: Oppgavetekste ka beholdes av studeter som sitter eksamestide ut. NB! Les gjeom hele oppgavesettet før du begyer arbeidet, og dispoer tide. Dersom oe virker uklart i oppgavsettet, skal du gjøre die ege atagelser og forklare dette i besvarelse. Lykke til!

2 Oppgave 1 For to hedelser, A og B har vi: P A = 0.40, P B = 0.70, P A B = 0.28 a i. Er hedelsee, A og B, disjukte? Begru svaret. ii. Er hedelsee, A og B, uavhegige? Begru svaret. b i. Fi sasylighete for at ete A eller B eller begge itreffer. ii. Fi sasylighete for at A itreffer, me ikke B. Oppgave 2 Tabelle uder viser sasylighetsfordelige til e stokastisk variabel, X: x P X = x Ata at vi gjør 100 uavhegige måliger for X : X 1, X 2,..., X 100. La X være gjeomsittet av disse måligee. a i. Reg ut forvetige, EX, og variase, VarX. ii. Bereg P X 2.1. La Y være atall gager X = 1 i de 100 måligee, X 1, X 2,..., X 100. b Reg ut P Y = 30. c Bereg P Y 30. Oppgave 3 Atall skåriger for Roseborg i e kamp ka atas å være Poissofordelt med forvetig 1.5 hvis de spiller på hjemmebae og Poissofordelt med forvetig 1.0 hvis de spiller på bortebae. Ma spiller like mage kamper hjemme som borte. a Fi sasylighete for at Roseborg skårer mist 2 mål i e tilfeldig kamp på hjemmebae. b i. Fi sasylighete for at Roseborg skårer øyaktig 3 mål i e tilfeldig kamp. ii. I e tilfeldig kamp skårte Roseborg 3 mål. Fi sasylighete for at kampe ble spilt på hjemmebae. c E fotballkamp varer i 90 miutter atar ige overtid. Fi sasylighete for at Roseborg skårer ie 5 miutter på e kamp på bortebae. 2

3 Oppgave 4 Vi skal udersøke forekomster av det giftige stoffet arse i drikkeva. Resultatet av e ekeltmålig i et bestemt område atas å være ormalfordelt med forvetig 5.0 µg og varias 0.10 µg 2 per liter va. a Fi sasylighete for at e tilfeldig målig viser et arseihold per liter va på mellom 4.9 µg og 5.1 µg. Vi reiser til et ytt område og gjør 5 måliger av arseiholdet. Resulatet av måligee er gitt uder målt i µg per liter va: 5.12, 5.15, 4.99, 5.04, 5.10 Vi atar at måligee er uavhegige og idetisk ormalfordelte med samme varias som tidligere, me ukjet forvetig. b Sett opp e hypotesetest for å avgjøre om forvetet arseihold i det ye område er høyere e 5.0 µg per liter va. Bruk et sigifikasivå på c i. Reg ut sigifikassasylighete p-verdie basert på datamaterialet over. ii. Hva sier dee om utfallet av hypoteseteste dersom vi hadde brukt sigifikasivå 0.01? d Reg ut verdie for styrkefuksjoe for hypoteseteste i oppgave b dersom forvetige er lik 5.1 µg per liter va. Bruk sigifikasivå

4 Formler og tabeller for statistikk 1 Sasylighetsregig Geerell addisjossetig P A B = P A + P B P A B Betiget sasylighet P A B = P A B P B Ge. multiplikasjosregel P A B = P B P A B P A B = P A P B A Total sasylighet P A = Bayes lov r P B i P A B i P B A = P B P A B P A Hvis A og B uavhegige P A B = P A P B P A B = P A P B A = P B 2 Kombiatorikk Atall forskjellige utvalg år s eheter trekkes fra e populasjo på N eheter: Ordet utvalg med tilbakeleggig N s Ordet utvalg ute tilbakeleggig N s = NN 1...N s + 1 = Uordet utvalg ute tilbakeleggig N = N s N! = s s! s!n s! N! N s! 3 Sasylighetsfordeliger geerelt 1 variabel Fordeligsfuksjo Diskret Kotiuerlig x F x = P X x F x = fudu P a < X b = F b F a Forvetig Diskret µ = EX = x E[gX] = x Kotiuerlig µ = EX = E[gX] = Varias Diskret x P X = x gx P X = x x fxdx gx fxdx fx = d dx F x σ 2 = VarX = E[X µ 2 ] = EX 2 µ 2 = x 2 P X = x µ 2 Kotiuerlig σ 2 = VarX = Stadardavvik σ = SDX = V arx x µ 2 fxdx 4 Regler for forvetig og varias EaX + b = aex + b EX 1 + X 2 = EX 1 + EX 2 VaraX + b = a 2 VarX VarX 1 + X 2 = VarX 1 + VarX 2 X 2 er uavhegige. år X 1 og 1

5 5 Sasylighetsfordeliger geerelt 2 variable Simultafordelig for X og Y P [X = x Y = y] Expoesialfordelige T expα : ft = α e αt for t > 0 F t = 1 e αt for t > 0 Forvetig E[gX, Y ] = x gx, y P [X = x Y = y] y ET = 1 α VarT = 1 α 2 8 Tilærmiger Kovarias CovX, Y = E[X µ 1 Y µ 2 ] = EX Y µ 1 µ 2 Korrelasjoskoeffisiet ρx, Y = CovX, Y σ 1 σ 2 6 Diskrete sasylighetsfordeliger Biomisk fordelig X bi, p : P X = x = x px 1 p x EX = p VarX = p 1 p Poissofordelig X P oλ = P oα t : P X = x = λx x! e λ EX = λ VarX = λ 7 Kotiuerlige sasylighetsfordeliger Normalfordelige X Nµ, σ 2 : fx = 1 µ2 x e 2σ 2 2πσ F x = P X x = G x µ σ Stadard ormalfordelig X N0, 1 : F x = P X x = Gx G x = 1 Gx Setralgresesetige Dersom X 1, X 2,...,X er uavhegige og idetisk fordelte stokastiske variable med forvetig µ og varias σ 2, så er for store verdier av 30: 1 X 1 + X X Nµ, σ 2 2 X = 1 X 1 + X X Nµ, σ2 9 Puktestimerig Puktestimator for forvetig ˆµ = X = 1 Eˆµ = µ X i Varˆµ = σ2 Puktestimator for varias S 2 = 1 1 ES 2 = σ 2 X i X 2 = Hypotesetestig Sigifikassasylighet - p-verdi Xi 2 X 2 Sasylighete for å få et resultat som er lik eller mer ekstrem e de observerte verdie, gitt at H 0 er sa. Styrkefuksjoe βθ = P Påstå H 1 θ

6 Hypotesetestig med kjet σ Atar ormalfordelte, eller tilærmet ormalfordelte observasjoer: 1-α 100 % Kofidesitervall for µ X ± u α σ 2 Utvalgsstørrelse u α 2 = σ 2, d = feilmargi. d Testovervator for H 0 : µ = µ 0 U 0 = X µ 0 σ N µ µ 0 σ, 1 Hypotesetestig med ukjet σ Atar ormalfordelte observasjoer: 1-α 100 % Kofidesitervall for µ S X ± t α 2, 1 Testovervator for H 0 : µ = µ 0 T 0 = X µ 0 S Når H 0 er sa, er T 0 t-fordelt med -1 frihetsgrader. Poissofordelige ormaltilærmig Tilærmet 1-α 100 % Kofidesitervall for λ ˆλ ± u α 2 ˆλ, der ˆλ = X Testovervator for H 0 : λ = λ 0 U 0 = ˆλ λ 0 λ0 Biomisk fordelig ormaltilærmig 11 Korrelasjo S 2 X = 1 S 2 Y = 1 S XY = 1 X i X 2 = Y i Y 2 = 1 1 X i XY i Y = Empirisk korrelasjoskoeffisiet R = S XY S X S Y 12 Regresjosmodelle X 2 i Y 2 i 1 X 2 Y 2 X i Y i X Y Vi atar at vi har par observasjoer av x og Y : x 1, Y 1, x 2, Y 2,..., x, Y, der Y 1, Y 2,..., Y er uavhegige og ormalfordelte stokastiske variable, og der x 1, x 2,..., x er kjete tall.. EY i = β 0 + β 1 x i VarY i = σ 2 i = 1, 2,..., Miste kvadraters estimatorer ˆβ 1 = 1 x i xy i = 1 x i Y i xy, M M der M = x i x 2 = x 2 ˆβ 0 = Y ˆβ 1 x Estimert regresjoslije Ŷ = ˆβ 0 + ˆβ 1 x x 2 i ˆβ1 Nβ 1, σ2 M ˆβ0 Nβ 0, σ2 M 1-α 100 % Kofidesitervall for β 1 kjet σ ˆβ 1 ± u α σ 2 M Testovervator for H 0 : β 1 = β1 0 kjet σ U 0 = ˆβ 1 β1 0 β 1 β1 0 σ N σ, 1 M M x 2 i Tilærmet 1-α 100 % Kofidesitervall for p ˆp1 ˆp ˆp ± u α, der ˆp = X 2 Testovervator for H 0 : p = p 0 U 0 = ˆp p 0 p0 1 p 0

7 N0, 1-FORDELINGEN : Gx = PX x Eksempel: x = 2.04 gir PX 2.04 = G2.04 = For egative verdier beyttes formele: G x = 1 Gx. x Kvatiltabell: α u α

8 KVANTILTABELL FOR t-fordelingen Tabelle gir t α, m som er α-kvatile i t-fordelige med m frihetsgrader. PT > t α, m = α der T ~ t m Eksempel: t 0.10, 12 = Det betyr at PT > = 0.10 år T ~ t 12. m α