MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012
|
|
- Solbjørg Camilla Jacobsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om hva kurset hadler om - faglig itroduksjo Kursopplegget - praktisk Start på faglig del; repetisjo av bakgrustoff oppgaveregig start på kp. 8 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 2 / 57
2 Praktisk iformasjo... Iformasjo på it s:learig:... Regeøviger / oppgaveregig Småoppgaver iimellom... Regig/gjeomgag av oppgaver fra oppgavesett Repetisjo Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 3 / 57 Repetisjo. Stokastisk variabel. Diskret sasylighetsfordelig. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 4 / 57
3 Repetisjo. Kotiuerlig fordelig. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 5 / 57 Repetisjo. Forvetig og varias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 6 / 57
4 Repetisjo. Kovarias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 7 / 57 Repetisjo. Regeregler for forvetig og varias. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 8 / 57
5 Repetisjo. Normalfordelige. X Nμ, σ 2 ): the radom variable X is ormally distributed with mea μ ad variace σ 2. Stadardormal distributio: N0, 1), i.e.μ =0σ 2 =1. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 9 / 57 Repetisjo Regeoppgave! forvetig og varias) X har forvetig 100 og varias 10. Fi E0.5X 40), Var0.5X 40) og Var 0.5X). Regeoppgave! Normalfordelig, sasyligheter, stadardiserig) Y er ormalfordelt med forvetig 50 og stadardavvik 10. Fi P Y < 40), P Y >50) og P Y >60). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 10 / 57
6 Repetisjo Biomial distributio: X = is the umber of successes i Beroulli trials idepedet trials withz zero failure) / oe success) outcomes. The X B, p), p: probability of success i each trial). Expectatio: EX) =p ad variace VarX) =p1 p). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 11 / 57 Repetisjo Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 12 / 57
7 Repetisjo Regeoppgave! Biomisk situasjo) Ata at 25% av UiS-studetee er TN-studeter. 100 av UiS-studetee skal plukkes tilfeldig ut for å være med i e udersøkelse. Hvor mage TN-studeter ka ma forvete i utvalget? Hva er stadardavviket til atall TN-studeter i utvalget? Hva er tilærmet sasylighete for at færre e 15 er med i utvalget? Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 13 / 57 Repetisjo. Grulag for statistisk aalyse. Kp. 8.2 Some Importat Statistics Statistiske størrelser observatorer) statistics ) gjeomsitt og media empirisk varias og stadardavvik Data: x 1,x 2,...,x Betraktes som utfall av tilfeldige variable: X 1,X 2,...,X Tilfeldig utvalg: X 1,X 2,...,X ka atas å være uavhegige og idetisk fordelt u.i.f.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 14 / 57
8 Repetisjo, Kp. 8.2 Data: x 1,x 2,...,x Gjeomsitt: x = 1 ) x 1 + x x = 1 Empirisk stadardavvik: } 1 s = {x 1 x) 1 2 +x 2 x) 2 + +x x) 2 Faste tallverdier! s = 1 1 x i x) 2 i=1 i=1 x i Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 15 / 57 Repetisjo, Kp. 8.2 De statistiske størrelsee observatoree er de tilhørede tilfeldige variable: Gjeomsitt: X = 1 ) X 1 + X X = 1 X i Empirisk stadardavvik: } 1 S = {X 1 X) 1 2 +X 2 X) 2 + +X X) 2 Tilfedige variable! S = 1 1 X i X) 2 i=1 i=1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 16 / 57
9 Repetisjo, Kp. 8.2 Eks.: Tilfeldig utvalg av 134 orske gutter i 20-åree; høyde og vekt registrert: Boys. = 134 height weight Average media Emp. variace Emp. st. dev Populatio: Collectio of all Norwegia boys about 20 years old. Sample: a radom selectio of size 134. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 17 / 57 Repetisjo, Kp. 8.2 Betrakt de 134 guttedataee; x 1,...,x 134 Tilh. tilf.var.:x 1,...,X 134, u.i.f. μ = EX i ): gj.s. høyde i hele populasjoe X tilf.var.): estimator av μ x =1.82 tall): estimat av μ Tilsvarede for de adre størrelsee Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 18 / 57
10 Over view. cp Radom Samplig 8.2 Some importat Statistics 8.3 Samplig distributios 8.4 Samplig distributio of meas ad the Cetral limit theorem 8.5 Samplig distributio of 8.6 t-distributio 8.7 F -distributio 8.8 Quatile ad probability plots 8.9 Potetial miscoceptios ad hazards; relatioship to material i other chapters Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 19 / 57 Over view. cp Itroductio 9.2 Statistical iferece 9.3 Classical methods of estimatio 9.4 Sigle sample: estimatig the mea 9.5 Stadard error of a poit estimate 9.6 Predictio itervals 9.8 Two samples: estimatig the differece betwee two meas 9.9 Paired observatios 9.10 Sigle sample: estimatig a proportio 9.11 Two samples: estimatig the differece betwee two proportios 9.12 Sigle sample: estimatig a the variace 9.13 Two samples: estimatig the ratio of two variaces Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 20 / 57
11 Repetisjo Kp. 8.3, 8.4 Samplig Distributios Det er viktig å kjee fordeligee til observatoree/estimatoree! Utgagspukt: måliger med tilhørede u.i.f. tilf.var.: X 1,...,X. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 21 / 57 Repetisjo, 8.3 og 8.4 Dersom X i Nμ, σ 2 ),så: X Nμ, σ2 ) og X μ σ 2 / N0, 1) Dette utyttes i statistiske aalyser. Noe gager er det ikke rimelig å bruke ormalatakelse hvada? Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 22 / 57
12 Repetisjo, 8.3 og 8.4 Teorem 8.2: Setralgreseteoremet: Dersom X 1,...,X er u.i.f., så vil år er stor, tilærmet: X Nμ, σ2 ) og X μ σ 2 / N0, 1) stor?? Tommelfigerregel: 30 er tilstrekkelig for god tilærmig. E del gager er det bra tilærmig også for midre. Kp. 8.5, 8.6 og 8.7 gjeomgås etterhvert som vi gjeomgår kp. 9. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 23 / 57 Repetisjo Kp.9.1,9.2,9.3,9.4,9.5,og9.10: Pukt)estimerig og kofidesitervall for μ og p. Først: Pukt)estimerig av μ Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 24 / 57
13 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks.: Vekter i kg) av 25 tilfeldig utvalgte laks: Dataee betraktes som utfall av =25u.i.f. tilfeldige variable X 1,...,X 25. μ = EX i ), forvetige til X i ee, represeterer gjeomsittsvekt til alle laksee i aktuell populasjo merd?). Estimator for μ: μ = X Estimat av μ: utfallav μ = X som er x =2.65 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 25 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Det er statistisk usikkerhet i estimatet 2.65 Mål på statistisk usikkerhet: stadardavvik til estimator. σ 2 SD μ) =SDX) =, der σ2 er variase til X i ee, σ 2 = VarX i ) og =25. Treger estimat av σ 2 2 = 1 : s 1 i=1 x i x) 2 = Estimat av SD μ): = Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 26 / 57
14 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Poit estimatio: Cf. ch. 9.3: We wat a ubiased estimator with as small variace as possible. Blat to forvetigsrette estimatorer velger vi de som har mist varias. Oppgaver: Sett 1 og Sett 2, oppgave r. 1 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 27 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Kofidesitervall for μ Estimat, puktestimat; itervallestimat, kofidesitervall Kofidesitervall for μ: vi øsker et itervall som er slik at: P L μ U) =1 α, der 1 α er stor, og L og U er edre- og øvregrese i itervallet. Det er tre ulike situasjoer å se på: 1. Med ormalatakelse og kjet σ 2 2. Med ormalatakelse og ute kjet σ 2 3. Ute ormalatakelse og ute kjet σ 2,memedstor. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 28 / 57
15 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med ormalatakelse og kjet σ 2 Fraktiler i N 0, 1)-fordelige: Def. z α Dersom Z er N 0, 1)-fordelt, defieres tallet z α ved at P Z >z α )=α Skisse av N 0, 1)-fordelig; arealetalet P Z >z α )=αer farget. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 29 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordeltorde og σ 2 er kjet. Side Z = X μ σ 2 N0, 1), har vi: P z α/2 X μ σ 2 z α/2 ) = 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 30 / 57
16 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 X z α/2 σ 2 X μ σ 2 z α/2 μ X + z α/2 σ 2 Derfor har vi: ) σ 2 σ P X z α/2 μ X + z 2 α/2 = 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 31 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er ) σ X z 2 α/2, X + z σ 2 α/2, et 1001 α)% kofidesitervall for μ. Obs.: ka umerisk bereges fordi σ 2 er kjet. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 32 / 57
17 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65. Med ormalatakelse for laksedataee og atakelse om at σ 2 =0.5 2 er kjet, får vi at et 95% kofidesitervall for μ er: ) ) , = 2.45, % α =0.05 α/2 =0.025, ogz α/2 = z =1.96.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 33 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med ormalatakelse og ukjet σ 2 Må bruke t-fordelig kp. 8.6): X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ). La σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2,og T = X μ Def. Studet s t-fordelig: Dersom X 1,...,X,er u.i.f. tilf. var. der X i er ormalfordelt med forvetig μ og varias σ 2, i =1,...,,såerT Studet s) t-fordelt med 1 frihetsgrader: T t 1) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 34 / 57
18 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Egeskaper til t-fordelige: x) f1x) f2x) f15x) t-fordelige er avhegig av atall frihetsgrader ). De blir mer og mer lik N 0, 1)-fordelige år atall frihetsgrader øker. symmetrisk omkrig 0 tygre haler e N 0, 1)-fordelige Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 35 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Fraktiler i t-fordelige: Def. t α,d Dersom T er Studet s) t-fordelt med d frihetsgrader, defieres tallet t α,d ved at P T >t α,d )=α Skisse av td)-fordelig; arealet P T > t α,d )=α er farget. Tilsvarer z α i N 0, 1)-fordelige.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 36 / 57
19 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,, og der X i er ormalfordelt og σ 2 er ukjet. Side T = X μ t 1), har vi: P t α/2, 1 X μ t α/2, 1 ) = 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 37 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: t α/2, 1 X t α/2, 1 X μ t α/2, 1 μ X + t α/2, 1 Derfor har vi: ) S P X t α/2, 1 μ X + t 2 α/2, 1 = 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 38 / 57
20 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er X t α/2, 1, X + t α/2, 1 et 1001 α)% kofidesitervall for μ. ), Obs.: Normalatakelse også i dee situasjoe. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 39 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65, ogs 2 = Med ormalatakelse for laksedataee og ukjet σ 2,fårviat et 95% kofidesitervall t-itervall) for μ er: , ) = 2.43, ) 25 95% α =0.05 α/2 =0.025, ogt α/2, 1 = t 0.025,24 =2.064; =25.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 40 / 57
21 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Med stor Treger ikke ormalatakelse eller kjet σ 2 : Setralgreseteoremet: Tilærmet gjelder: X μ σ 2 / N0, 1) X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derEX )=μ og VarX i )=σ 2 i.) Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 41 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Tilærmige gjelder også dersom σ 2 erstattes av estimatore, σ 2 2 = 1 = S 1 i=1 X i X) 2. Tilærmet gjelder: X μ / N0, 1). Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 42 / 57
22 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: måliger; x 1,...,x ; betraktes som utfall av u.i.f. tilfeldige variable: X 1,...,X. EX i )=μ og VarX i )=σ 2, i =1,...,,og σ 2 = = 1 1 i=1 X i X) 2. Side vi tilærmet har at X μ N0, 1), har vi: P z α/2 X μ ) z α/2 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 43 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 X z α/2 X μ z α/2 μ X + z α/2 Derfor har vi: ) S P X z α/2 μ X + z 2 α/2 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 44 / 57
23 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Derfor er ) S X z 2 α/2, X + z α/2, et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for μ. Obs.1: Treger ikke ormalatakelse i dee situasjoe. Obs.2: Treger ikke kjet σ 2 i dee situasjoe. Obs.3: Må ha stor. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 45 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eks., laksedata: x =2.65, ogs 2 = Med =25har vi litt for få data til å bruke ormaltilærmig ifølge tommelfigerregele. Me dersom vi sier at det er ok likevel, fårvi: at et tilærmet 95% kofidesitervall for μ er: , ) = 2.44, ) 25 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 46 / 57
24 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Pukt)estimerig og kofidesitervall for p. Eks.: Meigsmålig: AP får 34.5% oppslutig; = 1120 tilfeldig valgte persoer spurt. 386 av 1120 slutter opp om AP.) Hva ka vi si om AP s virkelige oppslutig? Vi betrakter resultatett 386 som utfall av e tilfeldig variabel, Y, og vi ka ata at Y er tilærmet) biomisk fordelt, p); Y B, p). Estimere adel proportio): Biomisk modell = 1120 p: virkelig oppslutig til AP på aktuelt tidspukt. Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 47 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Estimator for p: p = Y Estimat av p: utfallav p = Y som er y = = Mål på statistisk usikkerhet: stadardavvik til estimator. SD p) =SD Y p1 p) )= Setter i estmatet av p, foråfåetestimatavsd p): es ) 1120 =0.014 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo etisj 48 / 57
25 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Tilærmet kofidesitervall for p stor, og p > 5 og 1 p) > 5: Setralgreseteoremet: Tilærmet gjelder: Y p = p1 p) p p p1 p) N0, 1), Tilærmige gjelder også om p i evere erstattes med p: Y p p1 p) = p p p1 p) N0, 1), Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 49 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Situasjo: Telle)resultatet y; betraktes som utfall av e tilfeldig Y som er biomisk fordelt ev.tilærmet). stor, og p > 5 og 1 p) > 5 Side vi tilærmet har at p p N0, 1), p1 p) har vi: P z α/2 p p p1 p) ) z α/2 1 α Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 50 / 57
26 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Me: z α/2 p p p1 p) z α/2 p1 p) p1 p) p z α/2 p p + z α/2 Derfor har vi: p1 p) P p z α/2 p1 p) p p + z α/2 ) 1 α, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 51 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 ) p1 p) p1 p) Derfor er p z α/2, p + z α/2, et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for p. Eks., meigsmålig: Utfall av p: Et tilærmet 95% kofidesitervall for p er: z ) 1120 = ) ), z ) 0.318, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 52 / 57
27 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Oppgaver: 1. lage t-itervall Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Lag et 95% kofidesitervall for forvetet hardhet til dette stålet. 2. lage kof.it. for biomisk p. Ata at vi ikke kjeer hva adel TN-studeter ved UiS er. AV 300 tilfeldig utvalgte er 60 fra TN. Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig adel TN-studeter! Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 53 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Eksempel: Hardhet til et spesielt stål blir udersøkt; seks måliger i kg/mm 2 ): 351, 322, 297, 291, 354, 322. Gjeomsitt: 322.8; estimert varias empirisk varias): Modell med ormalatakelse; ukjet varias. Estimator for variase: = σ 2 = 1 1 i=1 Xi X ) 2 Forvetige, μ: virkelig hardhet Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S X t ,5 6, X + t 0.025,5 6 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 54 / 57
28 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 Et 95% kofidesitervall for μ er gitt ved: ) S X t ,5 6, X + t 0.025,5 6 Isatt data Gj.s. = 322.8, emp. varias = 689.4, t 0.025,5 =2.571), blir utreget itervall: ) ) , = 295.2, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 55 / 57 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og lage kof.it. for biomisk p. Ata at vi ikke kjeer hva adel TN-studeter ved UiS er. AV 300 tilfeldig utvalgte er 60 fra TN. Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig adel TN-studeter! La Y være atall TN-studeter i et tilfeldig utvalg på =300 UiS-studeter. Vi betrakter y =60som et utfall av Y.) Det er rimelig å bruke at Y er biomisk fordelt, Y B300,p), der p er adel ukjet parameter) TN-studeter ved UiS. Tilærmet 90% kofidesitervall for p:... Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 56 / 57
29 Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 ) p1 p) p1 p) p z α/2, p + z α/2, er et tilærmet 1001 α)% kofidesitervall for p. 90%, betyr α =0.1; z α/2 = z 0.05 =1.645 Utfall av p = Y 300 er: =0.2 Et tilærmet 90% kofidesitervall for p er: ) ) ) , ) = 0.162, Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 57 / 57
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør
DetaljerRep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3
Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk. Kp. 5 Estimering.
ÅMA asylighetsregig med statistikk våre 008 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig
Detaljer2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.
Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerOppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.
EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerEmnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal
EKSAMEN Emekode: SFB10711 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 10. oktober 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerKLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon
Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emekode: SFB107111 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard
DetaljerSTK1100 våren 2017 Estimering
STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerX = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som
DetaljerEstimering 2. -Konfidensintervall
Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er
DetaljerOppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)
MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi
DetaljerHypotesetesting, del 5
Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger
DetaljerKonfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.
Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege
DetaljerMer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.
DetaljerOppgaver fra boka: X 2 X n 1
MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerLØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).
LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerH 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2
TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4
DetaljerLøsningsforslag Oppgave 1
Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader
DetaljerKort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram
2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
Detaljer5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sasylighetsregig statistikk våre 0 Kp. 4 Kotiulige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiulige tilfeldige variable itro. (ell: Kotiulige sasylighetsfordelig Vi har til å sett på diskrete fordelig
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette
DetaljerForventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del
DetaljerTMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > 88 85
DetaljerOppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?
ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt
Detaljer) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013
TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >
DetaljerECON240 Statistikk og økonometri
ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
DetaljerForelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling
STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig
DetaljerOversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt
Detaljer211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%
Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet
DetaljerEstimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting
3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA4240 H2006: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet «The hardest thig to teach i ay itroductory statistics
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Mat-1060 Beregningsorientert programmering og statistikk
Fakultet for aturviteskap og tekologi EKSAMENSOPPGAVE Eksame i: (Kode og av) Dato: 05.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdv 9 Mat-1060 Beregigsorietert programmerig og statistikk Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksame i: ECON130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamesdag: 6.05.017 Sesur kugøres: 16.06.017 Tid for eksame: kl. 14:30 17:30 Oppgavesettet er på 6 sider Tillatte helpemidler: Alle
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerLøsningsforslag ST2301 øving 3
Løsigsforslag ST2301 øvig 3 Kapittel 1 Exercise 11 Et utvalg på 100 idivider trekkes fra e populasjo med tilfeldig parrig. Det ble observert AA 63 idivider av geotype AA, Aa 27, og aa 10. Lag et 95 % kofidesitervall
DetaljerModeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x
STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
Detaljer0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio
DetaljerEksempler fra slutten av forrige uke. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Oversikt, del 5 Hypotesetestig, del 4 (oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler (styrke, dimesjoerig,...
DetaljerOversikt over konfidensintervall i Econ 2130
1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.
ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse
DetaljerTMA4245 Statistikk. Øving nummer 12, blokk II Løsningsskisse. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Vår 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA440 Statistikk H00 9.8: To uvalg (siste del) 9.9: Parvise observasjoer 9.0-9.: Adelser 9.: Varias Mette Lagaas Foreleses oag 0.oktober, 00 Norske hoppdommere og Jae Ahoe Jae Ahoe er e fisk skihopper,
DetaljerLøsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018
Løsigsforslag ST/ST6 kotiuasjoseksame Oppgave a Defier hedelsee R, B, B rød kule i første trekig, blå kule i adre trekig, blå kule i tredje trekig. Vi skal fie PR B B for to ulike situasjoer. Geerelt vet
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe
DetaljerForelesning Moment og Momentgenererende funksjoner
ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert
DetaljerOppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE =
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2015
Eksame august 15 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave 1 a asylighetee blir og X > Z > 1 1 Z 1 Φ.3,.5 W > 5 X + Y > 5 b Forvetet samfuskostad blir
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt
DetaljerOversikt over konfidensintervall i Econ 2130
HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma
DetaljerEKSAMEN. Oppgavesettet består av 5 oppgaver, hvor vekten til hver oppgave er angitt i prosent i oppgaveteksten. Alle oppgavene skal besvares.
EKSAMEN Emekode: SFB12003 Eme: Metodekurs II: Samfusviteskapelig metode og avedt statistikk Dato: 2.6.2014 Eksamestid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal Eksamesoppgave:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a - β agir biles besiforbruk i liter/mil - Rimelig med α 0 fordi med x 0 ige
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel
DetaljerOversikt over konfidensintervall i Econ 2130
1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller
Detaljer