Til nå, og så videre... TMA4240 Statistikk H2010 (25) Mette Langaas. Foreleses mandag 15.november, 2010

Transkript

1 TMA4240 Statistikk H2010 (25) 11.4: Egeskaper til MKE 11.5: Iferes om α og β 11.6: Prediksjo Mette Lagaas Foreleses madag 15.ovember, Til å, og så videre... Modell ekel lieær regresjo: Y = α + βx + ε, E(ε) = 0, Var(ε) = σ 2. MKE A og B ved å miimere SSE = i=1 (y i a bx i ) 2. B = i=1 (x i x)y i i=1 (x i x) 2 A = Ȳ B X S 2 i=1 = (Y i A Bx i ) 2 2 Bestemmelseskoeffisiete R 2 gir et mål på hvor godt de lieære modelle passer til et gitt datasett.

2 3 Radioaktivitet og dødsfall av kreft Plutoium produksjo i Haford, Washigto, side 2.verdeskrig. Lagrig av radioaktivt avfall (strotium 90 og cecium 137), lekkasje til Columbia River, som går lags grese mellom Washigto og Orego og reer ut i Stillehavet. Exposure idex og kreftdødsfall registrert for 9 couties i Orego, Er det økt kreftdødlighet for lav exposure idex? Test: H 0 : β = 0 vs H 1 : β > 0. 4 Radioaktivitet og dødsfall av kreft Couty Exposure Mortality Umatilla Morrow Gilliam Sherma Wasco HoodRiver Portlad Columbia Clatsop

3 5 Haford cacer data Call: lm(formula = Mortality ~ Exposure) Coefficiets: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) e-06 *** Exposure *** --- Sigif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual stadard error: o 7 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: o 1 ad 7 DF, p-value: Iferes om α og β α Estimator A = Ȳ B X B = i=1 (x i x)y i Fordelig Normal Normal Forvet. E(A) = α E(B) = β P Varias Var(A) = σ2 i=1 x i 2 P σ i=1 (x. Var(B) = 2 i x) 2 A α T -observator T = Ss Pi=1 x 2 i i=1 (x i x) 2 T = Fordelig T t 2 t 2 Der S 2 = i=1 (Y i A Bx i ) 2 2. β B β S 1/

4 7 Til å, og så videre... P A er ormalfordelt med E(A) = α og Var(A) = σ2 i=1 x 2 i i=1 (x, slik at i x) 2 T = S s A α P i=1 x2 i i=1 (x i x) 2 er t-fordelt med 2 frihetsgrader. B er ormalfordelt med E(B) = β og Var(B) = σ 2 av desig), slik at T = frihetsgrader. B β S 1/ P er t-fordelt med 2 i=1 (x i x) 2 (avhegig Kofidesitervall og hypotesetestig for α og β i t-fordelige. Aktuell hypotese: β = 0 betyr ige lieær sammeheg mellom E(Y ) og x. Gjestår: Ka vi lage kofidesitervall for regresjoslije? Hva med prediksjositervall for e y observasjo? 8 Nile: verdes legste elv Aswa High Dam ligger i ordede av Lake Nasser og kotrollerer megde va som strømmer i i regioee rudt Nile (viktige jordbruksregioer, idustriområder og områder med tett bebyggelse, bla. Kairo). Megde va som igeiøree ved Aswa High Dam ka slippe ut av damme avheger av størrelse på vareservee i Lake Nasser, som igje avheger av strømigsrate i i Lake Nasser ved bye Wadi Halfa. Ma øsker (basert på historiske data) å kue predikere fremtidig strømigsrate ved Wadi Halfa. Kart laget av Mark Digemase, og vist fra Wikipedia.

5 9 Nile: strømigsrate ved Wadi Halfa Egyptiske igeiører har målt strømigsrate ved Wadi Halfa (milliarder m 3 pr måed) fra Data for jauar vs. februar for viser e sterk liær sammeheg. Ata at vi øsker å predikere strømigsrate i februar fra målt strømigsrate i jauar. Sett opp e regresjosmodell for problemet. Hva blir estimatee for regresjoskoeffisietee? Bereg kofidesitervall for regresjoslije. Bereg prediksjositervall for jauar-verdier i det målte området. Ata at strømigsrate for jauar 2006 er 4.02 milliarder m 3. Prediker strømigsrate for februar 2006, med prediksjositervall. 10 Scatterplott av data

6 11 Kofidesitervall for regresjoslije 12 Kofidesitervall for µ Y x0 µ Y x0 = α + βx 0 er forvetet verdi for Y ved x 0. Vi estimerer µ Y x0 med Ŷ0 = A + Bx 0. Ŷ0 er ormalfordelt med E(Ŷ0) = α + βx 0 = µ Y x0 og Var(Ŷ0) = σ 2 [ 1 + (x 0 x) 2 ]. T = Ŷ 0 µ Y x0 r 1 S + P (x 0 x)2 er t-fordelt med 2 frihetsgrader. 100(1 α)% kofidesitervall for µ Y x0 er gitt som: 1 µ Y x0 [Ŷ0 ± t α/2,( 2) S + (x 0 x) 2 i=1 (x i x) )] 2 Observer: itervallet er smalest år x 0 er ær x.