EKSAMENSOPPGAVE. B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004 Dato: 29.september 2016 Klokkeslett: Sted: Tillatte hjelpemidler: B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Rute. 10 Georg Elvebakk Telefon/mobil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Merk at i utskriftene kan noen av talla være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået for tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 Sannsynlighetstettheten til log-normalfordelinga er definert ved: f(x; µ, σ) = Her er parametrene < µ < og σ > πσx e (ln(x) µ)2 2σ 2, x > 0. Vi antar nå vi har et tilfeldig utvalg x 1, x 2,..., x n fra ei log-normalfordeling og ønsker å estimere de ukjente parametrene µ og σ 2. a) Sett opp likelihoodfunksjonen og vis at SME-estimatorene for µ og σ 2 blir ˆµ = ni=1 ln(x i ) n og ˆσ 2 = ni=1 [ln(x i ) ˆµ] 2 n For log-normalfordeling er det kjent at (se for eksempel tabell- og formelheftet): σ2 µ+ E(X) = e 2 V ar(x) = e 2(µ+σ2) e 2µ+σ2 b) Forklar hvordan momentestimatorer generelt utledes, og bruk uttrykka ovenfor til å finne momentestimatorene for parametrene µ og σ 2. Det er kjent at om X er lognormal(µ, σ) vil Y = ln(x) bli normalfordelt med de samme parametrene, altså Y N(µ, σ). c) Vis at dette stemmer, og bruk resultatet til å finne forventning og varians til likelihoodestimatoren ˆµ fra oppgave a). Log-normalfordeling blir blant anna brukt til å modellere tid fra smitte til utbrudd av sjukdom. I en undersøkelse blei det registert n = 9 tider fra salmonellasmitte til sjukdom. Med disse dataene ga estimatorene fra oppgave a) følgende estimater (i timer): ˆµ = 2.30 ˆσ 2 = 1.48 I tillegg til estimatet for µ ønsker vi et konfidensintervall for denne parameteren. d) Ta utgangspunkt at ln(x) er normalfordelt N(µ, σ), og argumentér, eller bruk momentgenerende funksjon, for å finne fordelinga til estimatoren ˆµ. Bruk denne fordelinga og estimatene for µ og σ 2 til å finne et 95%- konfidensintervall for µ. 2

3 Oppgave 2 I denne oppgava skal vi se på data fra et eksperiment som undersøker lengda av produserte metallstenger. Vi er interessert i å finne ut hvilken effekt 2 ulike varmebehandlinger har (for lengda), og hvilken effekt 4 ulike maskintyper har. (Baten, 1956). Det blei tilsammen utført 32 forsøk, 4 med hver kombinasjon av faktorene. Responsvariablen, Y ijk er lengda av metallstanga. Her er i = 1, 2 (a = 2 varmebehandlingstyper), j = 1, 2, 3, 4 (b = 4 maskintyper) og k = 1, 2, 3, 4 (n = 4 replikasjoner). Gjennomsnittet for hver faktorkombinasjon er også oppgitt. De oppgitte lengdene er avvik (i tusendeler av en tomme) fra ei ideallengde: Maskin A Maskin B Maskin C Maskin D Varmebehandling W Gj.snitt: Varmebehandling L Gj.snitt: Merk at noen resultater av en ANOVA-analyse er gitt i R-utskriftene. a) Sett opp en full modell med forutsetninger for dette forsøket, og forklar hva elementene i modellen representerer. Forklar hva et eventuelt sampill mellom de to faktorene betyr i denne modellen, og lag et plott for å avdekke eventuelt samspill. Konklusjon? b) Formuler hypoteser, og utfør tester for om hovedeffekter eller samspill er signifikante. Argumentér for rekkefølgen av testene. Anta nå at du velger å ekskludere faktoren varmebehandling fra modellen, og bruker de 32 forsøkene til å undersøke om det er forskjeller mellom de 4 ulike maskintypene (8 forsøk per maskintype). c) Skriv opp uttrykket for testobservatoren til denne testen, og forklar hvordan du kan rekne den ut ved å ta utgangspunkt i de oppgitte kvadratsummene for den fulle tofaktormodellen. Formuler hypoteser og utfør testen om det er forskjeller mellom de 4 maskintypene. 3

4 Oppgave 3 Her skal vi bruke et datasett over huspriser og en del andre eiendomsvariabler. En eiendomsmekler har data fra 28 hus solgt i Texas (Narula & Wellington, 1977), og ønsker å lage en modell for prisen som funksjon av de andre variablene. Variabler observert for hver eiendom: y : x 1 : x 2 : x 3 : x 4 : x 5 : Salgspris (i 1000 dollar). Tomteareal (i 1000 kvadratfot). Husareal (i 1000 kvadratfot). Antall rom. Antall soverom. Alder (i år). Merk at R-utskrifter av analyser o.l. finnes lengre bak i eksamensoppgaven. Eienedomsmekleren vil først bare bruke én av forklaringsvariablene, og anser husareal (x 2 ) for å være det naturlige valget. a) Formuler en regresjonsmodell for Y som funksjon av x 2. Hva er forutsetningene i denne modellen? Skriv også opp den estimerte modellen og gi en tolkning av hva denne sier deg. I R-utskriftene er det oppgitt en T-test og en F-test for x 2. Forklar hva som er hypotesene, testobservatorene, konklusjonene, og hva som er sammenhengen mellom T-tester og F-tester. Den neste variabelen han mistenker har betydning for prisen er antall rom i huset (x 3 ), denne variabelen legges derfor til modellen: Y i = β 0 + β 2 x 2i + β 3 x 3i + ɛ i, i = 1,..., 28 Den estimerte modellen er gitt i utskriftene. b) Forklar hva parametrene β 2 og β 3 representerer i denne modellen. Forklar hvordan en partiell F-test kan brukes til å avgjøre om det ga bedre predikjon av Y å legge variabelen x 3 til modellen. Sett opp hypoteser og utfør denne testen. Er resultatet overraskende? Hva kan resultatet skyldes? Vi ønsker nå å finne en god modell basert på en delmengde av de 5 forklaringsvariablene. c) I utskriftene er det foretatt en baklengseliminasjon. Forklar generelt hva ei slik prosedyre gjør, og spesielt det som skjer i hvert skritt i dette tilfellet. Skriv opp den endelige estimerte modellen fra prosedyra. Et nytt hus er kommet på markedet som er 30 år gammelt med et areal på 1.5. Bruk den estimerte modellen til å lage et intervall som med 95% sannsynlighet vil inneholde salgprisen av dette huset. 4

5 > anova(aov(lengde~factor(varme)*factor(maskin),data=metallstang)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(varme)? 22.78??? factor(maskin) ??? factor(varme):as.factor(maskin)? 1.34??? Residuals ? 5

6 > huspris Y X1 X2 X3 X4 X

7 > modell1 = lm(y~x2,data=huspris) > summary(modell1) Call: lm(formula = Y ~ X2, data = huspris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X e-12 *** Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 26 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 26 DF, p-value: 3.414e-12 > anova(modell1) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-12 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

8 > modell2 = lm(y~x2+x3,data=huspris) > summary(modell2) Call: lm(formula = Y ~ X2 + X3, data = huspris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X e-06 *** X ??? Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 25 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 25 DF, p-value: 5.255e-11 > anova(modell2) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-12 *** X ??? Residuals? 814.6? Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

9 > step(lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,data=huspris),direction="backward") Start: AIC= Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 Df Sum of Sq RSS AIC - X X X <none> X X Step: AIC=99.75 Y ~ X2 + X3 + X4 + X5 Df Sum of Sq RSS AIC - X X <none> X X Step: AIC=98.09 Y ~ X2 + X3 + X5 Df Sum of Sq RSS AIC - X <none> X X Step: AIC=96.6 Y ~ X2 + X5 Df Sum of Sq RSS AIC <none> X X Call: lm(formula = Y ~ X2 + X5, data = huspris) Coefficients: (Intercept) X2 X

10 > modell3 = lm(y~x2+x5,data=huspris) > summary(modell3) Call: lm(formula = Y ~ X2 + X5, data = huspris) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X e-12 *** X Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 25 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 25 DF, p-value: 9.734e-12 > X = model.matrix(modell3) > x0 = c(1,1.5,30) > t(x0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x0 [,1] [1,]