EKSAMENSOPPGAVE Georg Elvebakk NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA Dato: 30.mai Klokkeslett: Sted: Tillatte hjelpemidler: Teorifagbygget, «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Rute. 4 Georg Elvebakk Telefon/mobil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 VIKTIG: Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået for tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 De stokastiske variablene X og Y har simultan sannsynlighetstetthet { 1 f(x, y) = 2 y e x y, 0 < x <, 1 < y < 4. 0, ellers. a) Vis at marginalfordelinga for Y har sannsynlighetstetthet h(y) = 1 2 y, 1 < y < 4. Finn forventning for Y, og forklar hva forventning og varians er mål på. b) Vis at betinga fordeling (sannsynlighetstetthet) for X gitt Y er f(x y) = y e yx, 0 < x <. Finn kumulativ fordeling for X når Y = 2. Finn (når Y = 2) P (X > 1) og P (X > 2 X > 1). Oppgave 2 La X angi antall jordskjelv som rammer et sted i California i en tidsperiode av lengde t. Vi antar at X er Poisson-fordelt med rate λ = 5 per år. a) Finn sannsynligheten for akkurat 7 jordskjelv i løpet av 2 år. Finn sannsynligheten for at det kom minst 2 jordskjelv på 1 år. Vi antar nå at styrken Y (på Richters skala) av jordskjelva er uavhengige, og fordelinga er gitt ved normalfordeling med µ = 4 og σ = 1. b) Hva er sannsynligheten p for at et tilfeldig jordskjelv skal være følbart, det vil si ha styrke Y over 3? Gitt at det kom 5 jordskjelv ett år hva er sannsynligheten for at akkurat 3 av dem var følbare? Vi antar nå at jordskjelva kan stamme fra to ulike forkastinger. Dersom det kommer et jordskjelv er det sannsynlighet 0.5 for at dette stammer fra forkasting A, det samme for forkasting B. I tillegg veit vi at et jordskjelv fra forkasting A har en styrke som er normalfordelt med µ = 3 og σ = 1, et jordskjelv fra forkasting B har en styrke som er normalfordelt med µ = 5 og σ = 1. c) Hva er nå sannsynligheten for at et tilfeldig jordskjelv skal være følbart (ha styrke over 3)? Gitt at det kom et følbart jordksjelv, hva er sannsynligheten for at det kom fra forkasting A? 2

3 Oppgave 3 I en artikkel av Jolicouer & Mosimann (1960) blir det presentert observasjoner av skallengde for en type skilpadde. Vi har 12 skilpadder av hvert kjønn, observasjonene er gitt under. > skilpadde.ho [1] > skilpadde.han [1] > sd(skilpadde.ho) [1] > sd(skilpadde.han) [1] Vi ønsker å undersøke om det forskjell i forventa skallengde mellom kjønna, og det er foretatt en analyse i R: > t.test(x=skilpadde.ho,y=skilpadde.han,alternative="two.sided", var.equal=false,conf.level=0.95) Welch Two Sample t-test data: skilpadde.ho and skilpadde.han t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y a) Forklar hvorfor dette forsøket må analyseres som to uavhengige utvalg. Redegjør for antakelser i analysen som er utført. Sett opp hypoteser og testobservator, bruk utskriftene og trekk konklusjon. Forklar hvordan p-verdien finnes. Oppgave 4 Vi ønsker å finne konsentrasjonen µ av en bakterie i en drikkevannskilde, og tar derfor prøver av 1 liter fra vannet. Problemet er at bakterien ikke er jevnt (uniformt) fordelt i drikkevannet, men tenderer til å klumpe seg sammen noe, slik at prøvene ikke vil gi samme resultat, men bli normalfordelte med et standardavvik på σ: X N(µ, σ). Konsentrasjonen av bakterien ligger typisk rundt 100, og det er ikke ønskelig at konsentrasjonen skal bli for høg, så det tas jevnlig prøver av vannet. Vi antar i 3

4 det følgende at både µ og σ er ukjente. Et tilfeldig utvalg av n = 10 prøver av 1 liter ga disse observasjonene: > bakterie [1] > mean(bakterie) [1] > sd(bakterie) [1] a) Finn estimater for µ og σ fra observasjonene. Hva veit du om egenskapene til disse estimatorene? Hva blir estimert standardfeil (standardavvik) for gjennomsnittet X? Finn et 99%-konfidensintervall for konsentrasjonen µ. Hva kan du konkludere fra konfidensintervallet. På grunn av at bakteriene ikke er heilt jevnt fordelt i vannet vil større prøver tendere til å ha en konsentrasjon som er nærmere vannets gjennomsnittskonsentrasjon, µ. Vi antar nå at konsentrasjonen i en prøve Y i av volum l i liter har følgende fordeling: ( Y i N µ, ) σ li Nå er det tatt n = 5 uavhengige prøver av ulik størrelse, resultat: Nummer i Størrelse l i (liter) Konsentrasjon y i b) Sett opp en likelihoodfunksjon (sannsynlighetsmaksimeringsfunksjon) for de ukjente parametrene µ og σ 2. Vis at sannsynlighetmaksimeringsestimatorene for µ og σ 2 blir ˆµ = ni=1 l i Y ni=1 i ni=1 og ˆσ 2 l i (Y i ˆµ) 2 =. l i n σ c) Vis at ˆµ er forventningsrett. Vis at variansen til ˆµ er 2 n i=1 l. i Vis at ˆσ 2 ikke er forventningsrett. Du kan bruke at n ˆσ2 χ σ 2 2 n 1. Hva blir en forventningsrett estimator for σ 2? Vi ønsker å lage et 95%-konfidensintervall for µ basert på observasjonene y 1,..., y 5 (og størrelsene l 1,..., l 5 ). Du kan bruke at 5 i=1 l i y i = 3250 og 5 i=1 l i (y i ˆµ) 2 = d) Forklar hvorfor estimatoren ˆµ blir normalfordelt. Utled et 95%-konfidensintervall for µ basert på estimatoren ˆµ. Bruk observasjonene og finn intervallestimatet. (Om du ikke finner standardfeilen til ˆµ kan du bruke at ŜE(ˆµ) 1.5.) 4

5 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: STA Dato: 30.mai Klokkeslett: Stad: Lovlege hjelpemiddel: Teorifagbygget. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med eigne notat. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Rute. 4 Georg Elvebakk Telefon/mobil: NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

6 VIKTIG: Om ikkje anna er spesifisert skal signifikansnivået for testar vere 5%. Deloppgåvene vil telje likt ved vurderinga. Oppgåve 1 Dei stokastiske variablane X og Y har simultan sannsynstettleik { 1 f(x, y) = 2 y e x y, 0 < x <, 1 < y < 4. 0, elles. a) Vis at marginalfordelinga for Y har sannsynstettleik h(y) = 1 2 y, 1 < y < 4. Finn forventing for Y, og forklar kva forventing og varians er mål på. b) Vis at betinga fordeling (sannsynstettleiken) for X gitt Y er f(x y) = y e yx, 0 < x <. Finn kumulativ fordeling for X når Y = 2. Finn (når Y = 2) P (X > 1) og P (X > 2 X > 1). Oppgåve 2 La X vere talet på jordskjelv som rammar ein stad i California i ein tidsperiode av lengde t. Vi går ut frå at X er Poisson-fordelt med rate λ = 5 per år. a) Finn sannsynet for akkurat 7 jordskjelv i løpet av 2 år. Finn sannsynet for at det kom minst 2 jordskjelv på 1 år. Vi går no ut frå at styrken Y (på Richters skala) av jordskjelva er uavhengige, og fordelinga er gitt ved normalfordeling med µ = 4 og σ = 1. b) Kva er sannsynet p for at eit tilfeldig jordskjelv skal vere følbart, det vil seie ha styrke Y over 3? Gitt at det kom 5 jordskjelv eitt år kva er sannsynet for at akkurat 3 av dei var følbare? Vi går no ut frå at jordskjelva kan stamme fra to ulike forkastingar. Dersom det kjem eit jordskjelv er det sannsyn 0.5 for at dette stammar frå forkasting A, det samme for forkasting B. I tillegg veit vi at eit jordskjelv frå forkasting A har ein styrke som er normalfordelt med µ = 3 og σ = 1, eit jordskjelv fra forkasting B har en styrke som er normalfordelt med µ = 5 og σ = 1. c) Kva er no sannsynet for at eit tilfeldig jordskjelv skal vere følbart (ha styrke over 3)? Gitt at det kom eit følbart jordksjelv, kva er sannsynet for at det kom frå forkasting A? 2

7 Oppgåve 3 I ein artikkel av Jolicouer & Mosimann (1960) blir det presentert observasjonar av skallengde for ei type skallpadde. Vi har 12 skallpadder av kvart kjønn, observasjonane er gitt under. > skilpadde.ho [1] > skilpadde.han [1] > sd(skilpadde.ho) [1] > sd(skilpadde.han) [1] Vi ønskjer å undersøkje om det skilnad i forventa skallengde mellom kjønna, og det er gjort ein analyse i R: > t.test(x=skilpadde.ho,y=skilpadde.han,alternative="two.sided", var.equal=false,conf.level=0.95) Welch Two Sample t-test data: skilpadde.ho and skilpadde.han t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y a) Forklar kvifor dette forsøket må analyserast som to uavhengige utval. Grei ut om føresetnadene i analysen som er utført. Set opp hypotesar og testobservator, bruk utskriftene og trekk konklusjon. Forklar korleis p-verdien blir funne. Oppgåve 4 Vi ønskjer å finne konsentrasjonen µ av ein bakterie i ei drikkevasskjelde, og tar derfor prøver av 1 liter frå vatnet. Problemet er at bakterien ikkje er jamt (uniformt) fordelt i drikkevatnet, men tenderer til å klumpe seg noko saman, slik at prøvene ikkje vil gje same resultat, men bli normalfordelte med eit standardavvik på σ: X N(µ, σ). Konsentrasjonen av bakterien ligg typisk rundt 100, og det er ikkje ønskjeleg at konsentrasjonen skal bli for høg, så det blir jamleg tatt prøver av vatnet. Vi går 3

8 i det følgjande ut frå at både µ og σ er ukjende. Eit tilfeldig utval av n = 10 prøver av 1 liter ga desse observasjonane: > bakterie [1] > mean(bakterie) [1] > sd(bakterie) [1] a) Finn estimat for både µ og σ fra observasjonane. Kva veit du om eigenskapene til desse estimatorane? Kva blir estimert standardfeil (standardavvik) for gjennomsnittet X? Finn eit 99%-konfidensintervall for konsentrasjonen µ. Kva kan du konkludere frå konfidensintervallet. På grunn av at bakteriane ikkje er heilt jamt fordelt i vatnet vil større prøver tendere til å ha ein konsentrasjon som er nærmare gjennomsnittskonsentrasjonen µ i vatnet. Vi går no ut frå at konsentrasjonen i ei prøve Y i av volum l i liter har følgjande fordeling: ( ) σ Y i N µ, li No er det tatt n = 5 uavhengige prøver av ulik storleik, resultat: Nummer i Storleik l i (liter) Konsentrasjon y i b) Set opp ein likelihoodfunksjon (sannsynsmaksimeringsfunksjon) for dei ukjende parametrane µ og σ 2. Vis at sannsynsmaksimeringsestimatorene for µ og σ 2 blir ˆµ = ni=1 l i Y i ni=1 l i og ˆσ 2 = ni=1 l i (Y i ˆµ) 2. n σ c) Vis at ˆµ er forventingsrett. Vis at variansen til ˆµ er 2 n i=1 l. i Vis at ˆσ 2 ikkje er forventingsrett. Du kan bruke at n ˆσ2 χ σ 2 2 n 1. Kva blir en forventingsrett estimator for σ 2? Vi ønskjer å lage eit 95%-konfidensintervall for µ basert på observasjonane y 1,..., y 5 (og storleikane l 1,..., l 5 ). Du kan bruke at 5 i=1 l i y i = 3250 og 5 i=1 l i (y i ˆµ) 2 = d) Forklar kvifor estimatoren ˆµ blir normalfordelt. Utlei et 95%-konfidensintervall for µ basert på estimatoren ˆµ. Bruk observasjonane og finn intervallestimatet. (Om du ikkje finn standardfeilen til ˆµ kan du bruke at ŜE(ˆµ) 1.5.) 4