Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget

Transkript

1 FA K U L T E T FO R NA T U R V I T E N S K A P O G TE K N O L O G I EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K alkulator. Kvaløy & Tjelmeland: Statistiske tabeller. 4 sider (2 ark) egne notat. Oppgavesettet er på 13 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Georg Elvebakk Telefon:

2 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Merk at i disse utskriftene kan noen av tallene være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået for tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 Den unge lovende skøytesprinteren Alf har bestemt seg for å analysere løpene sine gjennom debutsesongen i seniorklassen. Han har konsentrert seg om løp på distansen 500 meter, og registrerer om han har vunnet eller tapt hvert parløp, og hvor stor forskjell det var mellom motstanderen sin personlige rekord og hans egen. For de første n = 20 løpa fikk han disse resultata: Løp nr Diff. (x) Resultat (y) Løp nr Diff. (x) Resultat (y) Dette betyr at i løp nummer 1 var Alf sin personlige rekord 0.98 sekund dårligere enn motstanderens, men han vant løpet (1 = seier). Alf vil gjerne bruke dataene til å kunne si hvor stor sannsynlighet han har for å vinne et løp, basert på differansen i personlig rekord. a) Forklar hvordan logistisk regresjon kan brukes til å oppnå det Alf ønsker. Bruk utskriftene til å finne den estimerte regresjonsmodellen. Skisser den estimerte regresjonskurva. Vi vil nå bruke den tilpassa regresjonsmodellen til estimering. b) Hvor mye bedre må Alf bli for at oddsen hans for å vinne skal dobles? Forklar hva den effektive dosen er, og rekn den ut for dette tilfellet. Er den omtrent som du forventa? Kan alderen til Alf forklare et eventuelt avvik? Oppgave 2 I 1768 (antakelig) gjorde Benjamin Franklin et eksperiment der han ville undersøke om vanndybden i en kanal hadde noe å si for fluidmotstanden ( drag ) som båter påføres. Han konstruerte derfor et basseng der en modellbåt ble trukket av en konstant kraft (et lodd), og noterte tida (i sekund) det tok båten å krysse bassenget. Det blei gjort n = 8 forsøk for hver av tre forskjellige vanndybder, vi kaller tidene Y ij, der i = 1, 2, 3 og j = 1,..., 8: Vanndybde y i s i 1.5 tommer tommer tommer a) Sett opp en modell for dette forsøket, med forutsetninger. Sett opp og utfør en test for om de ulike vanndybdene gir ulik forventa tid. Forklar hvordan du kan bruke Bonferronimetoden til å undersøke parvis om gruppene er ulike (skal ikke utføres). 2

3 Oppgave 3 I denne oppgava skal vi se på fordelinga for lønninger blant personer som tjener over i året. For slike data er det vanlig å bruke ei såkalt paretofordeling: f(x) = 1 γ x 1 γ +1, 1 < x < Her er x lik inntekt i millioner kroner, og parameteren γ bestemmer forventning (og varians). For å estimere den ukjente γ er n = 10 tilfeldige data samla inn: i x i a) Sett opp sannsynlighetsmaksimeringsfunksjonen (likelihooden) og bruk den til å finne en estimator for γ. n i=1 Vis at denne blir ˆγ = ln(xi) n. Finn et estimat fra oppgitte tallverdier. Vi vil sjekke om estimatoren er forventningrett, og lage et konfidensintervall for γ. b) Vis at Y = ln(x) er eksponensialfordelt med parameter γ. Bruk dette til å finne forventninga til ˆγ. Finn fordelinga til ln(x) γ og argumenter ut fra denne at nˆγ γ er gammafordelt med α =? og β = 1. Lag så et 95%-konfidensintervall for γ med de gitte tallverdiene, kvantiler er oppgitt bak i oppgavesettet. I en alternativ analyse vil vi bruke en bayesiansk modell. Som apriorifordeling for γ velger vi ei invers gammafordeling: π(γ) = 1 e 1/γβ β α Γ(α) γ α+1, γ > 0 Forventninga i invers gammafordeling er gitt som 1 β(α 1). c) Vis at aposteriorifordelinga for γ òg blir invers gammafordeling, med parametre α = n + α og β 1 =. n log(xi)+1/β i=1 Finn en bayesestimator for γ, og vis at denne kan skrives som en lineærkombinasjon av informasjon fra data og fra apriorifordelinga. Finn et estimat nå vi antar at α = 6 og β = 1/3. 3

4 Oppgave 4 I denne oppgava skal vi se på målinger av fordamping fra bakken. Responsvariabelen er daglig fordamping, og forklaringsvariablene er daglige målinger av temperaturer, luftfuktighet og vind: Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Daglig fordamping fra bakken. Høgste lufttemperatur. Laveste lufttemperatur. Gjennomsnittlig lufttemperatur. Høgste jordtemperatur. Laveste jordtemperatur. Gjennomsnittlig jordtemperatur. Høgste luftfuktighet. Laveste luftfuktighet. Gjennomsnittlig luftfuktighet. Gjennomsnittlig vidhastighet. Det er målinger fra tilsammen 46 dager, dataene er lista lengre bak i oppgavesettet. Målet er å bruke forklaringsvariablene (som er enkle å få informasjon om) til å modellere variabelen Y. a) Sett opp den fulle modellen på matriseform. Hva er forutsetningene i denne modellen. Forklar kort prinsippet i minste kvadrat-metoden. Skriv opp det estimerte regresjonsmodellen for denne modellen Vi vil gjerne lage en best mulig modell fra disse forklaringsvariablene, og foretar derfor en automatisk stegvis-prosedyre i R (se utskriftene). b) Beskriv kort hvordan stegvis-prosedyren virker, forklar hva som skjer dette tilfellet, og oppgi hva som blir den endelige modellen. I R brukes et mål som kalles AIC til å sammelikne modeller. På nest siste steg i prosedyren har vi fem forklaringsvariabler, X1, X2, X6, X8 og X10, og til slutt blir X1 fjerna. Bruk nå i stedet en test til å til å sjekke om X1 er signifikant. Får du samme konklusjon? Vi skal fra nå av ta for oss sluttmodellen fra stegvisprosedyren. c) Skriv opp den estimerte regresjonsmodellen. Utfør en test for om det gir bedre prediksjon av Y om de 6 utelatte forklaringsvariablene inkluderes i modellen? Finn et estimat for daglig fordamping når x2 = 70, x6 = 200, x8 = 50 og x10 = 200. Vis hvordan du utleder et konfidensintervall for regresjonsplanet i et punktet x 0. (Hint: Ta utgangpunkt i estimatoren Ŷ0 = x 0 B og finn forventning og varians av denne.) Du skal ikke rekne ut intervallet. Til slutt vil vi gjerne sjekke om forutsetningene er oppfylt og om modellen har andre gunstige/ugunstige egenskaper. d) Forklar hva du vil undersøke, og spesifiser hvilke typer plott, mål og utskrifter du gjerne ville ha hatt tilgang til for å utføre dette. 4

5 > glm(y~x,family=binomial(link=logit),data=alf) Call: glm(formula = y ~ x, family = binomial(link = logit), data = alf) Coefficients: (Intercept) x Degrees of Freedom: 19 Total (i.e. Null); 18 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC:

6 > summary(aov(tid~as.factor(dybde),data=franklin)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) as.factor(dybde)? ??? Residuals? 115.7? 6

7 Kvantiler (2.5% og 97.5%) fra gammafordeling med β = 1 (scale) og α = 1, 2,..., 50 (shape): > qgamma(0.025,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] > qgamma(0.975,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [8] [15] [22] [29] [36] [43] [50]

8 > fordamp X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Y

9 > summary(lm(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10,data=fordamp)) Call: lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10, data = fordamp) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X X X X X X ** X X ** X X Residual standard error: on 35 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 10 and 35 DF, p-value: 1.92e-09 > anova(lm(y~x2+x6+x8+x10+x1+x3+x4+x5+x7+x9,data=fordamp)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-08 *** X e-07 *** X e-07 *** X * X X X X X X Residuals

10 > step(lm(y~1,data=fordamp),y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10,type="both") Start: AIC= Y ~ 1 + X X X X X X <none> X X X X Step: Y ~ X1 AIC= X X X X <none> X X X X X X Step: AIC= Y ~ X1 + X2 + X X X <none> X X X X X X X Step: AIC= Y ~ X1 + X2 + X6 + X

11 <none> X X X X X X X X X Step: AIC= Y ~ X1 + X2 + X6 + X8 + X X X <none> X X X X X X X Step: AIC=186.1 Y ~ X1 + X2 + X6 + X8 + X10 - X <none> X X X X X X X X X Step: AIC= Y ~ X2 + X6 + X8 + X10 <none> X X X X X X

12 - X X X X Call: lm(formula = Y ~ X2 + X6 + X8 + X10, data = fordamp) Coefficients: (Intercept) X2 X6 X8 X > summary(lm(y~x2+x6+x8+x10+x1,data=fordamp)) Call: lm(formula = Y ~ X2 + X6 + X8 + X10 + X1, data = fordamp) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) X X *** X *** X * X ?? Residual standard error: on 40 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.79, Adjusted R-squared: F-statistic: on 5 and 40 DF, p-value: 1.473e-12 > anova(lm(y~x2+x6+x8+x10+x1,data=fordamp)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-09 *** X e-07 *** X e-08 *** X * X ??? Residuals

13 > summary(lm(y~x2+x6+x8+x10,data=fordamp)) Call: lm(formula = Y ~ X2 + X6 + X8 + X10, data = fordamp) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * X * X e-06 *** X e-09 *** X * Residual standard error: on 41 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 41 DF, p-value: 2.278e-13 > anova(lm(y~x2+x6+x8+x10,data=fordamp)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-09 *** X e-08 *** X e-08 *** X * Residuals