EKSAMENSOPPGAVE. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator.

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA Dato: Fredag 26. mai Klokkeslett: Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Rute. 12 Georg Elvebakk Telefon/mobil: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabeller etc. som står bak i oppgavesettet. Merk at i utskriftene kan noen av talla være erstatta av?. Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået for tester være på 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. Oppgave 1 En stokastisk variabel har sannsynlighetstettheten { λk f(x) = λ x λ 1, 0 < x < k 0, ellers Her er parameteren λ > 0. Et tilfeldig utvalg på n = 8 fra denne fordelinga gav Nr x i Du vil gjerne bruke data til å lage et konfidensintervall for λ. a) Vis at den transformerte variabelen Y = ln(k/x) er eksponensialfordelt med forventning 1/λ. b) Ta utgangspunkt i momentgenererende funksjon for eksponensialfordelinga, og vis at fordelinga av 2λ n i=1 Y i blir ei kikvadratfordeling. Bruk dette til å utlede et 95% konfidensintervall for λ når k = 10, og finn intervallet fra oppgitte data. 2

3 Oppgave 2 Kristian arrangerer vaffelrekning, og han vil nytte sjansen til å samle inn data over hvor mangevaflersom blirfortærtav studentene. Hangår utfraatantallet vafler hver student spiser er uavhengig av de andre, og følger ei poissonfordeling. Men forventninga i fordelinga trur han er ulik for mannlige og kvinnelige studenter. La X vere antall vafler en mannlig student spiser i løpet av kvelden, og Y være antallet for en kvinnelig student: f X (x;µ) = µx e µ, x = 0,1,... f Y (y;a,µ) = (aµ)y e aµ, y = 0,1,... x! y! Han ønsker å bruke eksperimentet til å finne estimat for parametrene µ og a. Det kom n = 20 mannlige og m = 30 kvinnelige studenter på vaffelrekninga, resultatet blei: x i = 100 y i = 75 i=1 a) Hva representerer parametrene µ og a i modellen? Forklar hvorfor sannsynlighetsmaksimeringsfunksjonen (likelihooden) her blir { n } m L(µ,a) = f X (x i ) f Y (y i ) i=1 j=1 Finn likelihooden og log-likelihooden og bruk den til å vise at sannsynlighetsmaksimeringsestimatorene for µ og a blir j=1 ˆµ = X â = Y X Finn estimater fra de oppgitte tallverdiene. Kristian ønsker òg å finne ut hvor nøyaktige disse estimata er, han vil derfor gjerne ha et 95%-konfidensintervall for hver parameter. b) Finn den observerte fisherinformasjonen for disse parametrene, og bruk den til å finne tilnærma 95% Wald-konfidensintervall for hver av parametrene. Vil du ut fra intervallet konkludere at det er forskjell på mannlige og kvinnelige studenter når det gjelder antallet vafler de spiser på vaffelrekninga? Her kan du bruke at [ a b c d ] 1 = [ 1 ad bc d b c a ] 3

4 Oppgave 3 I denne oppgava skal vi bruke data fra et forsøk basert på Beall, G. (1942). Forsøket prøvde ut k = 6 forskjellige insektgifter (A, B, C, D, E, F) for å sammenlikne hvor effektive de var. Forsøket blei utført ved at en valgte ut 72 små områder som blei tilfeldig allokert til å bli spraya med en type insektgift. Hver insektgift blei brukt på n = 12 slike områder. Responsvariabelen er hvor mange døde insekter som blei funnet på hvert område, resultatet er printa ut i vedlegget, der det òg er gitt visse resultater, plott og analyser. Vi kaller antallet døde insekt på område j med gift i for D ij, i = 1,...,6 og j = 1,...,12. Merk at i R-ustriftene er responsvariabelen D kalt Antall, og giftvariabelen kalt Spray. Det er òg tatt med en kvadratrottransformasjon av responsvariabelen, Y ij = D ij, denne er i utskriftene kalt RotAntall. a) Sett opp en envegs variansanalysemodell (enfaktormodell) for antall døde som funksjon av gifttype, ta med forutsetninger. Ut fra plott og resultat, ser det ut som forutsetningene er oppfylte? Forklar hvorfor det her er rimelig å tru at ettersom D er ei opptelling vil den kvadratrottransformerte variabelen Y bedre oppfylle forutsetningene? Vi vil fra nå bruke den transformerte variabelen Y som responsvariabel. b) Sett opp hypoteser og testobservator, og og utfør en test for om det er forskjeller i respons mellom de ulike insektgiftene. Beskriv F-testobservatoren og forklar kort hvorfor du kan bruke denne til å teste for forskjeller mellom insektgiftene. En alternativ modell for forsøket er modellen med stokastiske effekter, den såkalte randommodellen. Vi vil nå bruke denne modellen: Y ij = µ+a i +ǫ ij, i = 1,...6, j = 1,...,12 Husk at i denne modellen er E(S 2 ) = σ 2 og E(S 2 A ) = σ2 +nσ 2 α. Vi er spesielt interessert i parameteren µ. c) Forklar forutsetningene i modellen, og hvordan forsøket skal være utforma for at randommodellen skal vere det riktige valget. Hva representerer µ i denne modellen? Finn hva som blir forventning og varians av det totale gjennomsnittet Y. Bruk så fordelinga av Y til å finne et 95%-konfidensintervall for µ. 4

5 Oppgave 4 Vi bruker et datasett over egenskaper ved 32 bilmodeller i Dataene er fra Motor Trend US Magazine og omfatter følgende variabler for hver biltype. y : Tid (sekund) for å kjøre ei kvart engelsk mil (rundt 400m). x 1 : Antall hestekrefter. x 2 : Motorstørrelse (i kubikktommer) x 3 : Vekt (i 1000 pund). z : Automatgir (indikatorvariabel, 1=automatgirt). Det er R-utskrifter av data og analyser o.l. lengre bak i oppgavesettet. Vi er interessert i å finne hvilke forklaringsvariabler som kan forklare skilnader i tida det tar å tilbakelegge ei kvart engelsk mil. Først vil vi lage en modell med den forklaringsvariabelen vi har mest tru på: Hestekrefter. a) Sett opp en lineær regresjonsmodell for Y med x 1 som forklaringsvariabel. Hva er forutsetingene i modellen? Skriv opp den tilpassa modellen, og gi ei tolking av hva denne uttrykker. Finn SST, SSR og SSE og forklar hva disse måler. Bruk de til å utføre en test for om det er signifikant sammenheng mellom Y og x 1. Vi vil nå innføre indikatorvariabelen for automatgir i modellen: Y i = β 0 +β 1 x 1i +β 2 z i +β 3 (x 1 z) i +ǫ i, i = 1,...,32 Merk at det òg er tatt med samspillsvariabel mellom hestekrefter og automatgir. b) Hva er tolkinga av parameteren β 3? Hva blir de tilpassa modellene for biler med og uten automatgir? Sett opp hypoteser og utfør en test for om det er forskjell mellom biler med og uten automatgir. Vi vil nå prøve å forbedre modellen ved å bruke de andre to forklaringsvariablene i en modell for Y. Det blir derfor utført en stegvis regresjon med mulige forklaringsvariabler x 1, x 2, x 3, z og x 1 z. c) Forklar kort stega i denne iterative prosedyren. R bruker minste AIC for å sammenlikne modellene, kunne de alternativt har brukt for eksempel største R 2? Skriv opp den estimerte sluttmodellen fra prosedyren. Om du (i 1974) kjøper en bilmodell med manuelt gir som har 150 hestekrefter, motor på 250 (kubikktommer) og vekt på 3(1000 pund), innafor hvilket interval kan du med 95% sannsynlighet finne tida for kvartmila? 5

6 > Insekt # Insektgiftdatasettet. Antall Spray RotAntall 1 10 A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E E E F F F F F F F F F F F F

7 For responsvariabel Antall: > tapply(insekt$antall,insekt$spray,mean) # Gjennomsnitt per spraytype. A B C D E F > tapply(insekt$antall,insekt$spray,var) # Varians per spraytype. A B C D E F Antall A B C D E F Spray For responsvariabel Kvadratrot av antall: > tapply(insekt$rotantall,insekt$spray,mean) # Gjennomsnitt per spraytype. A B C D E F > tapply(insekt$rotantall,insekt$spray,var) # Varians per spraytype. A B C D E F RotAntall A B C D E F Spray > summary(aov(rotantall~spray,data=insekt)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Spray ??? Residuals ? 7

8 > bil # Bildatasettet. Y X1 X2 X3 Z

9 > mod.x1.tilp = lm(y~x1,bil) # Tilpassa modell med X1. > summary(mod.x1.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X ?? --- Residual standard error: on 30 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: > anova(mod.x1.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X ?? Residuals > mod.x1_z_x1z.tilp = lm(y~x1+z+x1:z,bil) # Tilpassa modell med X1, Z og X1*Z. > summary(mod.x1_z_x1z.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X e-06 *** Z ** X1:Z Residual standard error: on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 28 DF, p-value: 2.271e-07 > anova(mod.x1_z_x1z.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-07 *** Z *** X1:Z Residuals

10 > step(lm(y~1,data=bil),scope=y~x1+z+x1:z+x2+x3,direction="both") # Stegvisprosedyre. Start: AIC=38.14 Y ~ 1 + X X <none> Z X Step: AIC=17.85 Y ~ X1 + Z X X <none> X Step: AIC=6.32 Y ~ X1 + Z + X1:Z <none> X X Z X Step: AIC=6.2 Y ~ X1 + Z + X1:Z + X <none> X1:Z X Step: AIC=5.19 Y ~ X1 + Z + X3 + X1:Z + X <none> X X1:Z Step: AIC=4 Y ~ X1 + Z + X3 + X2 + X1:Z - X1:Z <none> X X Step: AIC=3.49 Y ~ X1 + Z + X3 + X2 <none> X1:Z X

11 - X Z X Call: lm(formula = Y ~ X1 + Z + X3 + X2, data = bil) Coefficients: (Intercept) X1 Z X3 X

12 > mod.x1_x2_x3_z.tilp = lm(y~x1+x2+x3+z,bil) # Tilpassa modell med X1, X2, X3 og Z. > summary(mod.x1_x2_x3_z.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X *** X * X * Z * --- Residual standard error: on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 27 DF, p-value: 1.679e-07 > anova(mod.x1_x2_x3_z.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-07 *** X * X *** Z * Residuals > X = model.matrix(mod.x1_x2_x3_z.tilp) > solve(t(x)%*%x) (Intercept) X1 X2 X3 Z (Intercept) e e X e e X e e X e e Z e e > x.0 = c(1,150,250,3,0) > t(x.0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x.0 [,1] [1,]

13 Fakultet for naturvitskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: STA Dato: Fredag 26. mai Klokkeslett: Stad: Åsgårdvegen 9. Lovlege hjelpemiddel: «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med eigne notat. Godkjent kalkulator. Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Rute. 12 Georg Elvebakk Telefon/mobil: NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

14 VIKTIG: Du kan fritt bruke alle R-utskrifter, tabellar etc. som står bak i oppgåvesettet. Merk at i utskriftene kan nokon av tala vere erstatta av?. Om ikkje anna er spesifisert skal signifikansnivået for testar vere på 5%. Deloppgåvene vil telje likt ved vurderinga. Oppgåve 1 Ein stokastisk variabel har sannsynstettleiken { λk f(x) = λ x λ 1, 0 < x < k 0, elles Her er parameteren λ > 0. Eit tilfeldig utval på n = 8 frå denne fordelinga gav Nr x i Du vil gjerne bruke data til å lage eit konfidensintervall for λ. a) Vis at den transformerte variabelen Y = ln(k/x) er eksponensialfordelt med forventing 1/λ. b) Ta utgangspunkt i momentgenererende funksjon for eksponensialfordelinga, og vis at fordelinga av 2λ n i=1 Y i blir ei kikvadratfordeling. Bruk dette til å utleie eit 95% konfidensintervall for λ når k = 10, og finn intervallet frå oppgitte data. 2

15 Oppgåve 2 Kristian arrangerer vaffelrekning, og han vil nytte sjansen til å samle inn data over kor mange vaflar som blir fortært av studentane. Han går ut frå at talet på vaflar kvar student et er uavhengig av dei andre, og følgjer ei poissonfordeling. Men forventinga i fordelinga trur han er ulik for mannlege og kvinnelege studentar. La X vere talet på vaflar ein mannleg student et i løpet av kvelden, og Y vere talet for ein kvinneleg student: f X (x;µ) = µx e µ, x = 0,1,... f Y (y;a,µ) = (aµ)y e aµ, y = 0,1,... x! y! Han ønskjer å bruke eksperimentet til å finne estimat for parametrane µ og a. Det kom n = 20 mannlege og m = 30 kvinnelege studentar på vaffelrekninga, resultatet blei: x i = 100 y i = 75 i=1 a) Kva representerer parametrane µ og a i modellen? Forklar kvifor sannsynsmaksimeringsfunksjonen (likelihooden) her blir j=1 { n } m L(µ,a) = f X (x i ) f Y (y i ) i=1 j=1 Finn likelihooden og log-likelihooden og bruk den til å vise at sannsynsmaksimeringsestimatorane for µ og a blir ˆµ = X â = Y X Finn estimat frå dei oppgitte talverdiane. Kristian ønskjer òg å finne ut kor nøyaktige desse estimata er, han vil derfor gjerne ha eit 95%-konfidensintervall for kvar parameter. b) Finn den observerte fisherinformasjonen for desse parametrane, og bruk den til å finne tilnærma 95% Wald-konfidensintervall for kvar av parametrane. Vil duutfråintervallet konkludereat deter forskjellpåmannlegeogkvinnelege studentar når det gjeld talet på vaflar dei et på vaffelrekninga? Her kan du bruke at [ a b c d ] 1 = [ 1 ad bc d b c a ] 3

16 Oppgåve 3 I denne oppgava skal vi bruke data frå eit forsøk basert på Beall, G. (1942). Forsøket prøvde ut k = 6 forskjellige insektgifter (A, B, C, D, E, F) for å sammenlikne kor effektive dei var. Forsøket blei utført ved at ein valde ut 72 små område som blei tilfeldig allokert til å bli spraya med ein type insektgift. Kvar insektgift blei brukt på n = 12 slike område. Responsvariabelen er kor mange døde insekt som blei funne på kvart område, resultatet er printa ut i vedlegget, der det òg er gitt visse resultater, plott og analyser. Vi kaller talet på døde insekt på område j med gift i for D ij, i = 1,...,6 og j = 1,...,12. Merk at i R-ustriftene er responsvariabelen D kalt Antall, og giftvariabelen kalt Spray. Det er òg tatt med ein kvadratrottransformasjon av responsvariabelen, Y ij = D ij, denne er i utskriftene kalt RotAntall. a) Set opp ein einvegs variansanalysemodell (einfaktormodell) for talet på døde som funksjon av gifttype, med føresetnader. Ut frå plott og resultat, ser det ut som føresetnadene er oppfylde? Forklar kvifor det her er rimeleg å tru at ettersom D er ei opptelling vil den kvadratrottransformerte variabelen Y betre oppfylle føresetnadene? Vi vil frå no bruke den transformerte variabelen Y som responsvariabel. b) Set opp hypotesar og testobservator, og og utfør ein test for om det er forskjellar i respons mellom dei ulike insektgiftene. Beskriv F-testobservatoren og forklar kort kvifor du kan bruke denne til å teste for forskjellar mellom insektgiftene. Ein alternativ modell for forsøket er modellen med stokastiske effektar, den såkalte randommodellen. Vi vil no bruke denne modellen: Y ij = µ+a i +ǫ ij, i = 1,...6, j = 1,...,12 Hugs at i denne modellen er E(S 2 ) = σ 2 og E(S 2 A ) = σ2 +nσ 2 α. Vi er spesielt interessert i parameteren µ. c) Forklar føresetnadene i modellen, og korleis forsøket skal vere utforma for at randommodellen skal vere det riktige valet. Kva representerer µ i denne modellen? Finn kva som blir forventing og varians av det totale gjennomsnittet Y. Bruk så fordelinga av Y til å finne eit 95%-konfidensintervall for µ. 4

17 Oppgåve 4 Vi bruker eit datasett over egenskaper ved 32 bilmodellar i Data er frå Motor Trend US Magazine og omfattar følgjande variablar for kvar biltype. y : Tid (sekund) for å køyre ei kvart engelsk mil (rundt 400m). x 1 : Antall hestekrefter. x 2 : Motorstorleik (i kubikktommar) x 3 : Vekt (i 1000 pund). z : Automatgir (indikatorvariabel, 1=automatgirt). Det er R-utskrifter av data og analyser o.l. lengre bak i oppgåvesettet. Vi er interessert i å finne kva forklaringsvariablar som kan forklare skilnader i tida det tar å tilbakeleggje ei kvart engelsk mil. Først vi vil lage ein modell med den forklaringsvariabelen vi har mest tru på: Hestekrefter. a) Set opp ein lineær regresjonsmodell for Y med x 1 som forklaringsvariabel. Kva er føresetnadene i modellen? Skriv opp den tilpassa modellen, og gi ei tolking av kva denne uttrykkjer. Finn SST, SSR og SSE og forklar kva desse måler. Bruk dei til å utføre ein test for om det er signifikant sammenheng mellom Y og x 1. Vi vil no innføre indikatorvariabelen for automatgir i modellen: Y i = β 0 +β 1 x 1i +β 2 z i +β 3 (x 1 z) i +ǫ i, i = 1,...,32 Merk at det òg er tatt med samspelsvariabel mellom hestekrefter og automatgir. b) Kva er tolkinga av parameteren β 3? Kva blir dei tilpassa modellene for bilar med og utan automatgir? Set opp hypotesar og utfør ein test for om det er forskjell mellom bilar med og utan automatgir. Vi vil no prøve å forbetre modellen ved å bruke dei andre to forklaringsvariablaneiein modell fory. Det blirderforutført ein stegvis regresjon med mulige forklaringsvariablar x 1, x 2, x 3, z og x 1 z. c) Forklar kort stega i denne iterative prosedyren. R bruker minste AIC for å samanlikne modellane, kunne dei alternativt har brukt for eksempel største R 2? Skriv opp den estimerte sluttmodellen frå prosedyren. Om du (i 1974) kjøper ein bilmodell med manuelt gir som har 150 hestekrefter, motor på 250(kubikktommar) og vekt på 3(1000 pund), innafor kva interval kan du med 95% sannsyn finne tida for kvartmila? 5

18 > Insekt # Insektgiftdatasettet. Antall Spray RotAntall 1 10 A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E E E F F F F F F F F F F F F

19 For responsvariabel Antall: > tapply(insekt$antall,insekt$spray,mean) # Gjennomsnitt per spraytype. A B C D E F > tapply(insekt$antall,insekt$spray,var) # Varians per spraytype. A B C D E F Antall A B C D E F Spray For responsvariabel Kvadratrot av antall: > tapply(insekt$rotantall,insekt$spray,mean) # Gjennomsnitt per spraytype. A B C D E F > tapply(insekt$rotantall,insekt$spray,var) # Varians per spraytype. A B C D E F RotAntall A B C D E F Spray > summary(aov(rotantall~spray,data=insekt)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Spray ??? Residuals ? 7

20 > bil # Bildatasettet. Y X1 X2 X3 Z

21 > mod.x1.tilp = lm(y~x1,bil) # Tilpassa modell med X1. > summary(mod.x1.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X ?? --- Residual standard error: on 30 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: > anova(mod.x1.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X ?? Residuals > mod.x1_z_x1z.tilp = lm(y~x1+z+x1:z,bil) # Tilpassa modell med X1, Z og X1*Z. > summary(mod.x1_z_x1z.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X e-06 *** Z ** X1:Z Residual standard error: on 28 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 28 DF, p-value: 2.271e-07 > anova(mod.x1_z_x1z.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-07 *** Z *** X1:Z Residuals

22 > step(lm(y~1,data=bil),scope=y~x1+z+x1:z+x2+x3,direction="both") # Stegvisprosedyre. Start: AIC=38.14 Y ~ 1 + X X <none> Z X Step: AIC=17.85 Y ~ X1 + Z X X <none> X Step: AIC=6.32 Y ~ X1 + Z + X1:Z <none> X X Z X Step: AIC=6.2 Y ~ X1 + Z + X1:Z + X <none> X1:Z X Step: AIC=5.19 Y ~ X1 + Z + X3 + X1:Z + X <none> X X1:Z Step: AIC=4 Y ~ X1 + Z + X3 + X2 + X1:Z - X1:Z <none> X X Step: AIC=3.49 Y ~ X1 + Z + X3 + X2 <none> X1:Z X

23 - X Z X Call: lm(formula = Y ~ X1 + Z + X3 + X2, data = bil) Coefficients: (Intercept) X1 Z X3 X

24 > mod.x1_x2_x3_z.tilp = lm(y~x1+x2+x3+z,bil) # Tilpassa modell med X1, X2, X3 og Z. > summary(mod.x1_x2_x3_z.tilp) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X *** X * X * Z * --- Residual standard error: on 27 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 27 DF, p-value: 1.679e-07 > anova(mod.x1_x2_x3_z.tilp) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X e-07 *** X * X *** Z * Residuals > X = model.matrix(mod.x1_x2_x3_z.tilp) > solve(t(x)%*%x) (Intercept) X1 X2 X3 Z (Intercept) e e X e e X e e X e e Z e e > x.0 = c(1,150,250,3,0) > t(x.0)%*%solve(t(x)%*%x)%*%x.0 [,1] [1,]