Eksamen i : STA-1002 Statistikk og. Eksamensdato : 3. juni Sted : Administrasjonsbygget. Tillatte hjelpemidler : - Godkjent kalkulator

Transkript

1 Side 1 av 11 sider EKSAMENSOPPGAVE I STA-1002 Eksamen i : STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Eksamensdato : 3. juni Tid : Sted : Administrasjonsbygget. Tillatte hjelpemidler : - Godkjent kalkulator - Tabeller og formler i statistikk (Kvaløy & Tjelmeland) - To ark (fire sider) egne notat. Oppgavesettet er på 10 sider ekskl. forside Kontaktperson under eksamen : Georg Elvebakk Telefon: FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI Universitetet i Tromsø

2 OBS: Om ikke anna er spesifisert skal signifikansnivået i tester være 5%. Deloppgavene vil telle likt ved vurderinga. R-utskrifter til oppgavene står bak i oppgavesettet. Oppgave 1 I et pilspill blir piler kasta mot ei sirkelforma skive, der målet er å treffe nærmest mulig midten av skiva. Vi kaller avstanden fra piltreffpunktet til midten av skiva for R. Da kan R uttrykkes som R = X 2 + Y 2, der X og Y uttrykker henholdsvis horisontal og vertikal avstand fra treffpunktet til midten (Pytagoras). Vi antar at pilkastene er slik at X og Y er uavhengige og normalfordelte med forventning 0 og samme varians σ 2. a) Forklar kort utfra kjente resultater at W = X2 σ vil være kikvadratfordelt 2 med 2 frihetsgrader (χ 2 (2)). Vis deretter at R = W får følgende tetthetsfunksjon: f R (r) = r (Dette kalles ei Rayleigh-fordeling.) r 2 σ 2 e σ 2 + Y 2 2 σ 2, r > 0. En god pilkatser har en lav verdi for variansen σ 2. Kari er en ivrig pilkaster og vil gjerne finne ut hva hennes verdi er. Hun noterer derfor ned resultatet for avstanden fra midten for n = 15 kast (i cm). Disse antar hun er et tilfeldig utvalg fra Rayleighfordelinga. Kast, i Avstand, r Her kan du bruke at 15 i=1 r i = og 15 i=1 r2 i = b) Bruk sannsynlighetsmaksimeringsmetoden og vis at en estimator for σ 2 blir n i=1 r2 i 2 n Finn forventningsverdien til R 2 (hint: gammafunksjonen), og bruk den til å finne forventninga til sme-estimatoren. Sett inn dei oppgitte talla og finn et estimat. Sigrunn er også interessert i disse daatene, men hun foretrekker å gjøre en Bayesanalyse. For å forenkle analysen litt erstatter hun σ 2 med τ = 1 σ i tetthetsfunksjonen. 2 Hun antar deretter at apriorifordelinga for τ er ei gammafordeling: π(τ) = λα Γ(α) τ α 1 e λ τ, τ > 0 c) Finn ut hva slags fordelingstype aposteriorifordelinga til τ blir. Hva blir parametrene i fordelinga? Vi tenker oss nå at bakgrunnskunnskap gjør at Sigrunn velger α = 10 og λ = 200 i apriorofordelinga. Finn en bayesestimator for τ. Hva blir estimatet innsatt observasjoner? Forklar hvordan kan finne et intervall som med 95%-sannsynlighet vil inneholde σ 2. (Dette trenger du ikke å rekne dette ut numerisk.) 2

3 Oppgave 2 I denne oppgava skal vi se på data fra et eksperiment med peanøtt-avlinger. Du skal hjelpe en landbruksforskningsinstitusjon med å finne ut hvilken av 3 ulike peanøtttyper som gir størst avling. De har gjort et eksperiment med 12 ulike jevnstore åkerlapper som blir (tilfeldig) tildelt en av de tre peanøtt-typene. Resultatet for avlingsmengdene er gitt nedenfor. Vi kaller avlingsmengden på en åkerlapp for Y ij, det er 3 typer (i = 1, 2, 3) og 4 forsøk for hver type (j = 1, 2, 3, 4): Type 1 Type 2 Type Du kan bruke at y 1 = , y 2 = , y 3 = , y = i=1 (y 1i y 1 ) 2 = , 4 i=1 (y 2i y 2 ) 2 = 38.7, 4 i=1 (y 3i y 3 ) 2 = a) Sett opp en modell for dette forsøket. Forklar hva SS A, SS T og SS E måler, og finn disse. Sett opp og utfør en test for om forventa avling er ulik for de tre typene. Ved en tilfeldighet får du vite at forsøkene faktisk er gjort på to ulike geografiske områder. Fordi institusjonen ikke hadde nok areal fikk de en annen institusjon til å gjøre halvparten av forsøkene. Dersom vi innfører en områdevariabel kan vi framstille dataene slik: Type 1 Type 2 Type 3 Område Område Dette betyr altså at forsøk 1 og 2 med hver type var gjort på område 1, mens 3 og 4 var gjort på område 2. b) Hvordan vil den nye informasjonen påvirke valget ditt av modell. Forklar hvorvidt faktoren område bør anses for å være en fixed - eller random -faktor? Skriv opp en modell for dette forsøket. Hva blir uttrykket for residualkvadratsummen? Forklar dette. Utfør aktuelle tester for å undersøke avlingseffekten av de aktuelle faktorene som kan påvirke den. 3

4 Oppgave 3 Ved bruk av et antidepressiva, amitriptylin, forekommer det av og til (utilsikta) overdoser som fører til at pasientene må innlegges på sjukehus. Her skal vi se på data fra 17 tilfeldig valgte slike pasienter. Dataene vi har er mengden amitriptylin i blodet (respons), hvor stor dose pasienten hadde tatt og kjønn av pasienten. I tillegg er tre andre medisinske målinger gjort av pasientene, disse er PR, blodtrykk og QRS Vi vil i første omgang undersøke hvordan sammenhengen er mellom dosen og mengden i blodet, samt om kjønnsvariabelen påvirker denne sammenhengen. Utskrifter fra R står bak i oppgaven og kan fritt nyttes, men noen tall er erstatta av?. Y Z X 1 X 2 X 3 X Y Z X 1 X 2 X 3 X 4 Mengde amytriptylin i blodet. Kjønn, 0 = mann. dose antidepressiva inntatt. PR-måling (hjertemål). blodtrykk (diastolisk). QRS-måling (hjertemål). a) Sett opp en lineær modell for Y som funksjon av Z og X 1. Hva er tolkinga av parametrene i denne modellen. Skriv opp den tilpassa modellen. Finn SS T, SS R og SS E og forklar hva disse måler. Bruk disse til å finne R 2 og s 2. Bruk de også til å sette opp og utføre en test for om modellen som heilhet er signifikant. b) Ta utgangspunkt i modellen fra a) og bruk utskriftene til å skrive opp tilpassa enkle lineære modeller for henholdsvis kvinner og menn. Sett opp og utfør en test for om det er signifikant forskjell på kvinner og menn. Lag et 95%-prediksjonsintervall for forskjellen mellom en kvinne og en mann med samme dose. Vi er interessert i å vite om modellen kan bli bedre ved å inkludere fleire forklaringsvariabler. Vi har derfor tilpassa en full modell (se utskriftene) med alle forklaringsvariablene. 4

5 c) Gjør en test for om variablene X 2, X 3 og X 4 er simultant signifikante i modellen som også inneholder Z og X 1. Skriv opp og forklar uttrykket for den fulle modellen (med forutsetninger) på matriseform. Lag et 95%-konfidensintervall for stigningstallet til X 4. (Hint:(X T X) 1 er oppgitt.) Vi vil gjerne velge ut forklaringsvariabler som skal være med i en modell for Y. d) Hvilke egenskaper bør en legge vekt på i en god modell? Skriv opp uttrykkene for R 2 adj og Mallows C p, og forklar hvordan disse kan brukes i en modellvalgprosedyre. Hvilke konsekvenser kan det få om en velger en modell med sterk multikolinearitet? Etter en modellvalgprosedyre blei følgende modell valgt: Y i = β 0 + β 1 Z i + β 2 X 1i + β 3 X 2i + β 4 X 3i + ɛ i e) Skriv opp den tilpassa modellen. Hva blir predikert forventa verdi for menn med X 1 = 1000, x 2 = 200 og x 3 = 100? Forklar hva residualer og studentifiserte residualer er, og hvordan disse kan brukes til å sjekke ulike forutsetninger i modellen. Gjør dette for denne modellen ved hjelp av oppgitte residualplott. 5

6 Kvantiler fra gammafordeling med β = 1 (scale) og α = 1, 2,..., 50 (shape): > qgamma(0.025,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [7] [13] [19] [25] [31] [37] [43] [49] > qgamma(0.975,shape=seq(1,50),scale=1) [1] [8] [15] [22] [29] [36] [43] [50]

7 > summary(aov(avling~as.factor(type)+as.factor(omraade) +as.factor(type)*as.factor(omraade),peanoett)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) as.factor(type) * as.factor(omraade) as.factor(type):as.factor(omraade) Residuals

8 > summary(lm(y~z+x1,amitrip)) Call: lm(formula = Y ~ Z + X1, data = amytrip) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) Z ** X e-06 *** Residual standard error:? on 14 degrees of freedom Multiple R-squared:?, Adjusted R-squared:? F-statistic: on 2 and 14 DF, p-value: 1.986e-05 > anova(lm(y~z+x1,amitrip)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Z X e-06 *** Residuals

9 > summary(lm(y~z+x1+x2+x3+x4,amitrip)) Call: lm(formula = Y ~ Z + X1 + X2 + X3 + X4, data = amytrip) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e e * Z 7.630e e *** X e e *** X e e X e e X e+00??? Residual standard error: on 11 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 15.6 on 5 and 11 DF, p-value: > anova(lm(y~z+x1+x2+x3+x4,amitrip)) Analysis of Variance Table Response: Y Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Z * X e-06 *** X X X Residuals > X <- cbind(rep(1,17),amitrip$z,amitrip$x1,amitrip$x2,amitrip$x3,amitrip$x4) > solve(t(x)%*%x) Z X1 X2 X e e e e-02 Z e e e e-03 X e e e e-06 X e e e e-05 X e e e e-04 X e e e e-05 X e-02 Z e-04 X e-07 X e-06 X e-05 X e-04 9

10 > summary(lm(y~z+x1+x2+x3,amytrip)) Call: lm(formula = Y ~ Z + X1 + X2 + X3, data = amytrip) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e e * Z 7.465e e *** X e e *** X e e X e e Residual standard error: on 12 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 12 DF, p-value: 4.847e-05 Studentifiserte residual Tilpassa verdier 10

11 QQ plott studentifiserte residual Sample Quantiles Theoretical Quantiles 11