UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST110 Statistiske metoder og dataanalyse Eksamensdag: Mandag 30. mai Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tabeller over normal-, F- og χ 2 - fordelingene. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og formelsamling for ST100 og ST110. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. Anta at Y 1, Y 2,..., Y n er uavhengige og normalfordelte med forventning µ og varians σ 2. (a) Anta at σ 2 er kjent. Vis at n ˆµ = Y = 1 n i=1 Y i er sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) for µ. Hvorfor kan vi også betegne ˆµ som en momentestimator? (b) Anta at både µ og σ 2 er ukjente. Finn simultan SME for (µ, σ 2 ). Er denne estimatoren også en momentestimator? Er SME forventningsrett i dette tilfellet? (c) Foreslå en testobservator for hypotesetestingsproblemet H 0 : µ = µ 0 mot H 1 : µ µ 0 med signifikansnivå α når σ 2 er ukjent. (Fortsettes side 2.)

2 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 2 Argumenter for testobservatorens fordeling når µ = µ 0. Testen kan gjennomføres både ved hjelp av forkastningsgrenser og p- verdi (signifikanssannsynlighet). Angi for begge måter hvordan og diskutér kort sammenhengen. (d) Angi et 95% konfidensintervall for µ. Forklar hva det betyr at dette er et konfidensintervall. Utled at intervallet du oppga faktisk er et 95% konfidensintervall. Diskutér kort sammenhengen mellom konfidensintervall og hypotesetesting. Oppgave 2. Vi skal i denne oppgaven se på Q-Q plot for den dobbelteksponensielle fordelingen. Den har tetthet gitt ved f(x) = 1 2 e x, < x <. Som tettheten til en standard normalfordelt tilfeldig variabel er tettheten symmetrisk rundt null. Tettheten avtar imidlertid saktere mot null for x ±. (a) Finn den kumulative fordelingsfunksjonen F, og vis at den inverse funksjonen F 1 er gitt ved { F 1 log(2z) 0 < z < 1 2 (z) = 1 log(2(1 z)) z < 1 2 (b) La U være en uniformt fordelt variabel på intervallet [0, 1], d.v.s. fordelingen til U har tetthet { 1 0 u 1 g(u) = 0 ellers. Vis at den tilfeldige variabelen F 1 (U) er dobbelteksponensient fordelt. (c) Anta at U 1,..., U n er uavhengige uniformt fordelte på [0, 1] og la U (1) U (n) være ordningsobservatoren. La V k = U (k) være k te element i ordningsobservatoren. Da har V k tetthet, k = 1,..., n { n! (k 1)!(n k)! h(v) = vk 1 (1 v) n k 0 v 1 0 ellers. [Dette trenger du ikke å vise.] Finn E(V k ) og Var(V k ). [Hint: Vis først at 1 0 vk 1 (1 v) n k dv = (k 1)!(n k)! n!.] (Fortsettes side 3.)

3 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 3 (d) La X 1,..., X n være uavhengige dobbelteksponensielt fordelte observasjoner og la X (1) X (n) være ordningsobservatoren. Begrunn at et spredningsplott (F 1 ( k ), X n+1 (k)), k = 1,..., n tilnærmet vil være en rett linje gjennom origo. Hva er stigningsforholdet? (e) La Φ være den kumulative fordelingsfunksjon til en normalfordelt variabel med forventning 0 og varians 1. Forklar hvordan et plott av (Φ 1 ( k ), X n+1 (k)), k = 1,..., n ser ut. (f) Anta nå at X 1,..., X n er uavhengige identisk fordelt med tetthet k(x) = 1 exp( x µ /σ) 2σ der µ og σ er ukjente parametre. La X (1) X (n) være ordningsobservatoren. Hvordan vil nå et plot ( ) k (F 1, X (k) ), k = 1,..., n n + 1 se ut? Oppgave 3. Frank and Althoen (Statistics concepts and applications, 1994) skriver om et forsøk på å undersøke effekten av ulike signaler på reaksjonstider hos menn og kvinner. Det er totalt 15 menn og 15 kvinner med i undersøkelsen og disse blir tilfeldig fordelt i 3 grupper med 5 menn og 5 kvinner i hver. Signalet for den første gruppen er en hørlig tone (Tone), signalet for den andre gruppen er et kort lyssignal (Light) og signalet for den tredje gruppen er et mild elektrisk puls fra et metall-bånd rundt håndlettet (Pulse). Alle personene er instruert til å presse [ENTER] knappen på en PC så snart signalet er oppfanget, og tiden mellom signalet og responsen blir automatisk lagret. Hver person får 12 forsøk og summen av responstidene (i sekunder) er gitt i tabellen nedenfor. (Fortsettes side 4.) Tone Light Pulse Men Women

4 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 4 (a) Tabellen nedenfor viser et (delvis) resultat for variansanalyse på disse data. Source df SS MS F Kjonn * Signaltype * * Interaksjon * * * Error * * Total Sett opp den modell som ligger bak denne analysen. Hvilke antagelser bygger denne modellen på? Fyll ut de manglende tallene (markert med *). (b) Forklar hvordan du kan teste om Interaksjon er en signifikant faktor. Når du utfører denne testen med signifikansnivå α = 0.05, hva blir konklusjonen? Test også på de andre faktorene i modellen og kommentér resulatene. Oppgave 4. Torsdag 28. april 2005 har Asker og Bærum Budstikka en artikkel (med overskrift Åtte av ti over takst) om priser av salg av boliger i forhold til boligtakst. I artikkelen er det også en tabell over 35 boliger med takst (Takst), antall kvadratmeter (kvm) og hvilke priser boligene er solgt for (Pris). (Denne tabellen er gjengitt bakerst i oppgavesettet for kompletthetsskyld men vil ikke være nødvendig å bruke for å løse denne oppgaven.) Vi vil i denne oppgaven se på disse dataene og prøve å se på sammenhengen mellom pris, takst og antall kvadratmeter. Dataene er vist i kryssplott nedenfor. (Fortsettes side 5.)

5 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 5 Nedenfor er resultatet av en lineær regresjonsanalyse med Pris (i kr) som responsvariabel og antall kvm. og Takst (også i kr) som forklaringsvariable: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) kvm Takst Residual standard error: on 32 degrees of freedom Multiple R-Squared: (a) Sett opp regresjonsmodellen som denne analysen bygger på og de vanlige antagelser som ligger til grunn for analyse basert på denne modellen. Forklar hva de ulike delene av utskriften står for. (b) Per og er interessert i en annonsert bolig på 105 kvm med Takst på kr. Basert på modellen ovenfor, beregn en prediksjon for Pris. Utled et generelt uttrykk for variansen til prediksjonsfeilen som funksjon av varianser og kovarianser for estimatene til regresjonskoeffisientene. For de ovenfor angitte verdier av kvm og Takst blir variansen til prediksjonsfeilen lik (dette behøver du ikke å regne ut). Bruk dette til å lage et prediksjonsintervall for Pris. (c) Resultatene ovenfor viser at kvm ikke er en signifikant variabel i modellen (og selve estimatet på koeffisienten blir faktisk negativ!). Samtidig ville en forvente en klar positiv sammenheng mellom pris og størrelse på boliger. Hvordan kan man forklare dette resultatet? (Fortsettes side 6.)

6 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 6 Oppgave 5. Dataene nedenfor angir antall forekomster av lever-svulst i rotter etter eksponering av ulike mengder DDT (Tomatis, et al.,1972): Dose Antall dyr Svulst (100ppm) testet forekomster Vi vil anta forekomster av svulst er uavhengige mellom dyrene. Anta sannsynligheten for svulst følger en såkalt Armitage-Doll model, som sier at Pr(forekomst av svulst x) = 1 e (β 0+β 1 x+β 2 x 2 ) (a) Sett opp likelihood funksjonen for β og vis at β j l(β) = C c=1 x j c[y c e (β 0+β 1 x c+β 2 x 2 c ) 1 e (β 0+β 1 x c+β 2 x 2 c) (n c y c )], j = 0, 1, 2 Regn ut forventningen til β j l(β) og kommentér hvordan det stemmer med den generelle teorien. (b) Numerisk optimering av likelihooden ga ˆβ =(0.0459, , ) J 1 (ˆβ) = der x er dose av DDT (i 100ppm). Vi er interessert i å estimere parametervektoren β = (β 0, β 1, β 2 ). Vi vil i det videre la n c være antall testede dyr på dose nivå x c og y c tilhørende antall dyr med forekomster av svulst. Videre vil vi la C være antall dosenivåer. Bruk dette til å konstruere et 95% konfidensintervall for β 1. Spesifisér hvilke antagelser/resultater du baserer deg på ved konstruksjon av konfidensintervallet. (Fortsettes side 7.)

7 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 7 (c) En parametrisk bootstrapping ble utført på problemet, som ga følgende resultater: Gj.snitt Std.avvik kv kv. β β β Her er Gj.snitt gjennomsnitt, Std.avvik er empirisk standard avvik, kv. er 2.5% kvantilen og er 97.5% kvantilene til bootstrap samplene av de tilhørende β-estimatene. Figuren nedenfor viser også histogrammer av de simulerte β j -ene. Bruk dette til å konstruere et standard bootstrap intervall (basic bootstrap interval) på 95% nivå for β 1. Kommentér eventuelle forskjeller med det intervallet du fikk i (b). Oppgave mai 2001 stemte høyesterett i USA ned statlige lover som lovliggjorde marijuana for medisinsk bruk. Den amerikanske Gallup organisasjonen utførte senere en undersøkelse av tilfeldig valgte amerikanere (18 år eller eldre) der de ble spurt om de støttet den begrensede bruk av marijuana når foreskrevet av leger for å lindre smerter og lidelser. (Kilde: Sullivan, Statistics - Informed Decisions using data, 2004.) Resulatet av undersøkelsen, oppdelt etter aldersgrupper, er følgende: (Fortsettes side 8.) Alder år Mening år år eller eldre For Imot

8 Eksamen i ST110, Mandag 30. mai Side 8 En ønsker å teste om det er sammenheng mellom alder og mening. Sett opp en passende null-hypotese for å teste dette. Du får oppgitt at den tilhørende testobservator er χ 2 = i dette tilfellet (dette behøver du ikke å regne ut). Bruk dette til å utføre testen. Angi også øvre og nedre grenser for p-verdien til testen. Tabell over boligdata for oppgave 2 kvm Pris Takst kvm Pris Takst SLUTT