UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK2120 Skisse til løsning/fasit. Eksamensdag: Torsdag 5. juni Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Tabell over normal-, t-, χ 2 - og F-fordeling. Godkjent kalkulator og formelsamling for STK1100/STK1110 og STK2120 Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Oppgave 1. a) Studentene skal tegne et enkelt interaksjonsplott med dose på x-aksen og gjennomsnittlig respons på y-aksen, en kurve for hver av jern-typene. Ser at gjennomsnittlig (log) prosent lagret jern avtar for økende dose for begge jern-typer. Forskjellen på Fe 2+ og Fe 3+ sees ved at Fe 2+ ligger over Fe 3+, dvs. at det kan virke som om Fe 2+ lagres bedre enn Fe 3+. Interaksjon i denne sammenheng betyr at forskjellen på hvor stor andel av jernet som lagres for de to jern-typene avhenger av dose. Et interaksjonsplott kan gi indikasjoner på om det er interaksjon mellom type jern og konsentrasjon ved å se om linjene er rimelig parallelle eller ikke. Det kan se ut som om linjene er parallelle, dvs. at det ikke er interaksjon, men det er også rimelig å svare at plottet antyder at forskjellen mellom de to jern-typene øker med dosen. b) Modellen som ligger til grunn for ANOVA-analysen er en standard toveis variansanalysemodell med I = 2, J = 3 og K = 18. Modellen skal skrives opp (gitt i formelsamling). Full tabell blir Df Sum Sq Mean Sq F value Iron_type Doseage Iron_type:Dosage Residuals Vi har funnet M SA/M SE = 2.074/0.346 = 5.99, SSB/(J-1)= /2 = 7.794, (I 1)(J 1) = 1 2 = 2. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksamen i STK2120, Torsdag 5. juni Side 2 c) Under H 0 er testobservator H 0 : γ ij = 0 i, j Ha : minst en γ ij 0 F = SSAB/(I 1)(J 1) SSE/IJ(K 1) F-fordelt med 2 og 102 frihetsgrader. Forkaster når F k, dvs. P (forkast H 0 H 0 blir P (F k H 0 og leder til k = F 0.05,2,102 = 3.09 for nivå α = 0.05 (tilnærmer 102 frihetsgrader med konservative 100). Testen blir derfor Forkast H 0 på nivå α = 0.05 når observert testobervator er større eller lik Observert testobservator er her lik 1.17, og vi har ingen grunn til å forkaste hypotesen om at det ikke er interaksjon mellom jern-type og dose. d) Under H 0 er testobservator H 0 : α 1 = α 2 = 0 Ha : minst en α i 0 F = SSA/(I 1) SSE/IJ(K 1) F-fordelt med 1 og 102 frihetsgrader. Forkaster når F er stor, dvs. P (F k H 0 gir k = F 0.05,1,102 = 3.94 for nivå α = 0.05 (tilnærmer 102 frihetsgrader med 100). Testen blir derfor Forkast H 0 på nivå α = 0.05 når observert testobervator er større eller lik Observert testobservator er her lik 5.99, og vi forkaster hypotesen om at type jern ikke gir effekt. Det er forskjell på Fe 2+ og Fe 3+ når det gjelder grad av lagring i kroppen. e) Forventet forskjell mellom (log) prosent lagret jern for Fe 2+ og Fe 3+ er altså α 1 α 2. Estimator for denne differansen er X 1.. X 2.., som er N(α 1 α 2, 2σ 2 /JK). Vi må videre estimere σ 2 med MSE. Vet at MSE IJ(K 1)/σ 2 χ 2 IJ(K 1). Ved å bruke vanlig uavhengighetsantakelse og T = N(0, 1)/ χ 2 ν/ν t ν, finner vi at X 1.. X 2.. (α 1 α 2 ) 2MSE/JK t IJ(K 1). (Fortsettes på side 3.)

3 Eksamen i STK2120, Torsdag 5. juni Side 3 Et 95% konfidensintervall for α 1 α 2 blir derfor som innsatt er x 1.. x 2.. ± t 0.025,IJ(K 1) 2 MSE/JK ± t 0.025, /54 Bruker 60 frihetsgrader i tabell i stedet for 102, da blir et tilnærmet 95% konfidensintervall for α 1 α 2 intervallet (0.051, 0.503) (med 102 frihetsgrader (0.052, 0.501)). Oppgave 2. a) Med n uavhengige obs fra N(θ, 1) får vi L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = (2π) n/2 exp 1 n 2 (x i θ) 2. Finner log-likelihood, deriverer og setter lik 0: l(x 1, x 2,..., x n ; θ) = n 2 log(2π) 1 2 (x i θ) 2, l θ = (x i θ) = 0, som gir ˆθ = X i /n. Innsatt n = 100 får vi selvfølgelig 100 ˆθ = X i /100 = X 100. Likelihood-ratio for H 0 : θ = 0 finner vi som og Dermed blir LR n = L(ˆΩ 0 ) L(ˆΩ) = (2π) n/2 exp 1 n 2 x2 i (2π) n/2 exp 1 2 n (x i x) 2 LR 100 = exp X log LR 100 = 100 X = exp n 2 x2 (Fortsettes på side 4.)

4 Eksamen i STK2120, Torsdag 5. juni Side 4 b) 2 log LR n = n X 2 skal i teorien være χ 2 1 når n vokser. Her har vi at X N(0, 1/n), slik at n X N(0, 1). Vi vil derfor ha at n X 2 er kvadratet av en standard normalfordeling, og dermed χ 2 1. Det betyr at det asymptotiske resultatet er eksakt i denne situasjonen, uansett n. Vi tester H 0 : θ = 0 mot H a : θ 0. Forkaster H 0 når LR < k, dvs. når 2 log LR > k, som igjen betyr når n X 2 > k. Med signifikansnivå α finner vi at vi skal forkaste når den observerte verdien av X 2 > 1 n χ2 α,1. Det kan videre vises at dette er identisk med den vanlige tosidige z-testen. Oppgave 3. a) L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = θ n n xθ 1 i og log L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = n log θ+(θ 1) n log x i. og Dermed ser vi at θ log L = n/θ + log x i 2 θ 2 log L = n/θ2. E( 2 θ 2 log L) = n/θ2. Maximum likelihood estimator for θ blir fra den deriverte ovenfor ˆθ = n/ n log X i. Asymptotisk fordeling for ˆθ blir i følge ML-teorien N(θ, θ 2 /n) når n vokser. b) Et tilnærmet 99% konfidensintervall for θ er gitt ved ˆθ ± ˆθ2 /n, der vi har brukt z persentilen. Dette tilsvarer intervallet (3.31,5.60). Oppgave 4. a) Modell Y = Xβ + ɛ, der ɛ N(0, σ 2 I), eller evt. Y N(Xβ, σ 2 I). Her er Y = (Y 1,..., Y 168 ) T 168-dimensjonal responsvektor, β = (β 0,..., β 3 ) T 4-dimensjonal parametervektor, X = {x ij } er en dimensjonal designmatrise, støyleddene ɛ en 168-dimensjonal vektor, og I er en dimensjonal identitetsmatrise. Alle de estimerte koeffisientene er positive. Dersom service og dekor holdes fast, vil en økning i matkvaliteten tilsvarende ett poeng tilsvare en økning i pris (på 1.56). Dersom matkvalitet og dekor holdes fast, men servicen øker, vil vi se en liten økning i prisen, men den er ikke signifikant. Med samme matkvalitet og service, men ett poeng bedre dekor, vil prisen øke (med 1.85). (Fortsettes på side 5.)

5 Eksamen i STK2120, Torsdag 5. juni Side 5 b) E(ˆβ) = (X T X) 1 X T E(Y) = (X T X) 1 X T Xβ = β. Y i -ene er uavhengige og normalfordelte, ˆβj -ene er lineærkombinasjoner av slike og blir derfor også normalfordelte. Cov(ˆβ) = Cov((X T X) 1 X T Y) = (X T X) 1 X T Cov(Y)X(X T X) 1 = (X T X) 1 X T σ 2 IX(X T X) 1 = σ 2 (X T X) 1 X T X(X T X) 1 = σ 2 (X T X) 1. c) H 0 : β 1 = 0 Ha : β 1 > 0 Under H 0 er testobservator T = ˆβ 1 /S ˆβ1 t 164. Observert verdi av t-observator finner vi som 4.17 fra R-utskrift. P-verdi blir da P (T > 4.17) der T t 164. Denne kan vi finne ved å halvere P-verdien i utskriften, som er for en tosidig alternativhypotese. P-verdi blir 2.47e-05, vi får forkastning på alle rimelige nivåer og kan konkludere med at β 1 > 0, dvs. at kvaliteten på maten har en signifikant positiv effekt på prisen. d) Multippel kvadrert korrelasjon R 2 er andelen av totalvariasjonen i Y som forklares av modellen. Tall mellom 0 og 1. Denne øker når antall kovariater p øker. Radj 2 justerer for dette. Dersom man sammenligner modeller med ulik størrelse (dvs. ulikt antall kovariater), er det viktig å bruke Radj 2 i stedet for R2. e) I siste linje i R-utskriften ser man resultatet av en model utility test, som tester hypotesen H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 mot Ha : minst en β i 0 Vi bruker en F-test med 3 og 164 frihetsgrader, og får en meget liten P-verdi. Det betyr at vi forkaster hypotesen om at det ikke er noen nyttig sammenheng mellom responsen og forklaringsvariablene.