Seminaroppgave 10. (a) Definisjon: En estimator θ. = θ, der n er et endelig antall. observasjoner. Forventningsretthet for β: Xi X ) Z i.

Transkript

1 Seminaroppgave 0 a Definisjon: En estimator θ n er forventningsrett hvis E θn observasjoner. Forventningsretthet for β: θ, der n er et endelig antall β Xi X Y i Xi X Xi X α 0 + βx i + n Xi X Xi X β + Xi X, der jeg i siste likhet har brukt at Xi X X i X. Da blir Xi X E β E β + Xi X β + Xi X 0 samt at Xi X X i Xi X E Xi X β, der de to siste likhetene hhv. E 0, i. Estimatoren β er forventingsskjev når α 0 0: følger av antagelsene om at X i er ikke-stokastisk og at β Y X Y i nx α 0 + βx i + α 0 nx X + β + nx α0 E β E X + β + ε i α 0 nx X + β + E α 0 nx X + β. Forventningsretthet for β: β Zi Z Y i Xi X Zi Z α 0 + βx i + Xi X Zi Z α 0 + βx i + Xi X Zi Z β + Xi X, der jeg i siste likhet har brukt at Zi Z 0, samt at Zi Z X i

2 Zi Z X i X. Da får vi β E E β + Zi Z Xi X β + Zi Z E Xi X β. b Variansen til β: β E β E β E n n Xi X Xi X n Xi X E Xi X n ε i + n Xi X Xj X ε j n Xi X Xi X n E ε i + σ Xi X, n Xi X X j X E ε j der siste likhet følger av antagelsene E ε i σ samt at E ε j 0, i j. Variansen til β er β E β E β E n n X E n ε i + n ε i nx n E ε j n n X E ε i + nσ n X σ nx. n n ε j Variansen til β er β E β E β E Zi Z Xi X Xi X E n Zi Z n ε i + n Zi Z Zj Z ε j

3 n Xi X Zi Z Xi X σ. Zi Z n E ε i + n Zi Z Z j Z E ε j c Definisjon: En estimator θ n er konsistent hvis lim n Pr θ n θ < δ, for en vilkårlig liten δ > 0, dvs estimatoren vil konvergere i sannsynlighet mot den sanne verdien når antall observasjoner n går mot uendelig. plim n θn θ eller ˆθ n p θ. Med en forenklet notasjon kan vi skrive En asypmtotisk forventningsrett estimator er alltid konsistent hvis iansen går mot null når antall observasjoner går mot uendelig. Det vil si at lim n E θn θ og lim n θn 0 er en tilstrekkelig betingelse for konsistens. Konsistens for β : Estimatoren β er forventningsrett. Da er den også asymptotisk forventingsrett. Videre σ ser vi av lim n 0 siden lim n X i X n Xi X, så β må være konsistent. Inkonsistens for β : Vi vet at E β α 0 + β, samt at lim X n σ 0. Estimatoren β er derfor en nx konsistent estimator for α 0 + β, og kan derfor ikke være en konsisitent estimator for β. X Konsistens for β : β Vi vet at E β, så det holder å vise at iansen går mot null når null når antall observasjoner går mot uendelig. Her er kan det være en fordel å skrive om iansen litt: β Zi Z Xi X σ r xz ˆβ σ Xi X, r xz Zi Z Xi X Xi X Xi X σ der r xz er korrelasjonskoeffisienten mellom x og z. Når n øker, øker nevneren mens telleren er konstant og iansen går derfor mot null. 3

4 d Definisjon: Med BLUE menes beste lineære forventningsrette estimator. I følge Gauss Markovteoremet er MKM-estimatoren BLUE under forutsetningene i oppgaveteksten. Estimatorene β, β, β er alle lineære estimatorer, men bare β og β er forventningsrette når α 0 0. Fra likningen som gir iansen til β ser vi at denne er minst når korrelasjonskoeffisienten r xz. Da må vi imidlertid ha z a+bx, som ved innsetting gir en estimator identisk med OLS estimatoren β. a Det er mange eksempler fra økonomisk teori som kan gi at en forklaringsiabel x er korrelert med restleddet u, for eksempel at en iabel som er korrelert med både x og y er utelatt fra regresjonen, at x og y bestemmes simultant i et system av likninger, eller at forklaringsiabelen x måles med en feilkomponent. Eksempel; x måles med stokastisk feilkomponent: La Y i α + βxi + u i Eu i 0 alle i E u i u j σ for ij, 0 ellers. E u i Xi 0 alle i Sett at iabelen X i er ukjent, men at vi kan observere iabelen X i X i + e i, der E e i 0 alle i E e i e j σ e for ij, 0 ellers E e i X i 0 alle i. 4

5 Ved innsetting: Y i α + βx i + u i α + β X i e i + u i α + βx i βe i + u i Hvis vi estimerer modellen Y i α+βx i +v i, der v i βe i +u i, vil forkaringsiabelen være korrelert med restleddet. Finner at cov X i, v i cov X i + e i, βe i + u i βσ e, som bare er lik null hvis σ e 0, dvs. når det ikke er målefeil i iabelen X i. b Er β en inkonsistent estimator for β? For å svre på dette spørsmålet renger vi Slutskys setning, som sier at for enhver kontinuerlig funksjon h θ gjelder plim h θ h plim θ. Har funnet at: Da blir plim β β + plim plim β β + Xi X Xi X n n Xi X Xi X covx, ε β + x β Estimatoren β konvergerer i sannsynlighet mot β + covx,ε x konsistent estimator for β når cov x, ε 0. og kan derfor ikke være en c Estimatoren er en β konsistent estimator for β : Har funnet at: β β + Zi Z Xi X plimβ β + plim n n Zi Z plim n n Xi X β + covz, ε x β. 5

6 3 a Nødvendige og tilstrekkelige forutsetninger for at OLS gir forventningsrette estimatorer for α 0, β og γ er gitt ved E v i E v i X i E v i 0 Hvis OLS estimatorene skal være BLUE må vi i tillegg anta at E u i u j σ for ij, og 0 ellers, men dette er ikke nødvendig hvis vi bare er opptatt av forventningsretthet for punktestimatene α 0, β og γ. b Hvis vi estimerer Y i α + βx i + u i når den sanne modellen er gitt ved Y i α + βx i + γ + v i, der E v i E v i X i E v i 0, og dessuten cov X i, 0 blir OLS-estimatet for β generelt inkonsistent: γ 0. Får u i γ + v i, slik at covx i, u i covx i, γ + v i γ cov X i, 0 for 4 a s RSS T 9 R RSS T SS b Tolkning av regresjonskoeffisientene: w α + βu Koeffisienten β gir lønnsvekstens forventede endring i prosentpoeng når ledigheten øker prosentpoeng: w U β 6

7 c Jeg vil ikke slutte meg til utsagnet om at vi ut i fra denne regresjonsanalysen på ett statistisk grunnlag kan avvise en hypotese om at ledigheten ikke betyr noe for reallønnsveksten. For å foreta statistisk inferens i denne modellen følgende forutsetninger gjelde for restleddet heretter u t : Eu i 0, i E u i u j σ for ij, 0 ellers. E u i Xi 0, i u i er normalfordelt i Under disse forutsetningene forkastes hypotesen om null effekt av ledighet på lønnsvekst ved konvensjonelle valg av signifikansnivå. Dette fremgår av signifikanssansynligheten oppgitt i regresjonsutskriften. Denne testen forutsetter imidlertid restleddene er ukorrelerte. Durbin Watson observatoren oppgitt i regresjonsutskriften indikerer at dette ikke er tilfelle. Durbin Watson testen kan brukes til å teste hypotesen om null autokorrelasjon i denne modellen hvis vi antar at restleddet alternativt følger en førsteordens autoregresiv prosess og at ledighetsprosenten er ikke-stokastisk. Jeg finner at kritiske verdier for DW er d L.363 og d U.496. Testobservatoren på.7 er i forkastelsessonen og nullhypotesen om fravær av. ordens positiv autokorrelasjon kan forkastes. t og F tester med utgangspunkt i regresjonsutsrift har derfor ikke gyldighet og hypotesen kan ikke avvises på et statistisk grunnlag. 5 a w α + β ln U w U β/u Forventet marginaleffekt av ledighet på lønnsvekst er invers proposrsjonal med nivået på ledigheten. Forventet endring i lønnsvekst ved en relativ endring i ledighetsnivået er 7

8 konstant lik β : w U U β b Vi vil finne ut når w/ U Vi løser /U u De to regresjonene gir samme helning ved en arbeidsledighet på 3.7%. c Ja, feilspesifisert funksjonsform fører ofte til autokorrelerte restledd når forklaringsiabelen er korrelert over tid, noe vi kan anta for ledighetsraten. Kan ikke forkaste at restleddene er ukorrelerte mot alternativet føste ordens autokorrelasjon for regresjon. Dette gir isolert sett støtte til spesifikasjon fremfor spesifikasjonen i regresjon. 6 a Av regresjonsutskrift 3 går det frem at iabelen U ikke er signifikant ved en t-test når lnu er inkludert i modellen, noe som gir støtte for at funksjonsformen i spesifikajson er mest korrekt. Vi kan ikke forkaste nullhypotesen om ukorrelerte restledd mot alternativet førsteordens autokorrelasjon, noe som gir støtte for at vi kan benytte t og F testene. b Ja, Kan teste om henholdsvis U og lnu kan eklsuderes fra modellen ved F tester. Kritisk verdi for F-fordelingen for 5% nivå, med frihetsgrad i telleren og 9 i nevneren er.69. Test for eksklusjon av lnu fra reg. 3: F / Forkaster modell mot modell 3. 8

9 Test for eksklusjon av U fra reg. 3 F / Kan ikke forkaste modell mot modell 3. 9