Gruvedrift. Institutt for matematiske fag, NTNU. Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Transkript

1 Gruvedrift Notat for TMA/TMA Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU I forbindelse med planlegging av gruvedrift i et område er det mange hensyn som må tas når en skal vurdere om prosjektet er lønnsomt. Blant annet er informasjon om den romlige fordelingen til malmen i berget nødvendig for eektivt å kunne utvinne mineralene. Vi vil her se nærmere på målinger av innholdet av et bestemt oksid i malmprøver hentet fra borehull. Målingene av oksidinnhold kan gjøres på to forskjellige måter: ˆ Røntgenuorescensanalyse på et laboratorium (XRF); gir stor nøyaktighet, men er relativt kostbart og tidkrevende. ˆ Måling på stedet med et bærbart røntgenapparat (XMET); ikke like nøyaktig, men billigere og raskere. En nærliggende problemstilling er hvor stor unøyaktighet som introduseres i dataene når man bruker XMET i stedet for XRF. Dataene i malmdata.txt består av observasjoner av oksidinnhold målt med XMET, hvorav observasjoner også er målt med XRF. De syv kolonnene er, fra venstre: Observasjon nr., posisjon (øst), posisjon (nord), dybde, oksidinnhold (XRF), oksidinnhold (XMET) og mineraliseringsklasse (se nedenfor). Figur viser hvor i gruva målingene er hentet fra. De første fem observasjonene er listet i tabell. Tabell De første fem observasjonene i datasettet. Alle tilhører klasse, og det foreligger ikke XRF-målinger for noen av dem (i.txt-la er dette markert ved at XRFmålingen er satt til ). Obs. nr. Øst Nord Dybde XRF XMET Notatet er skrevet av Jacob Skauvold i samarbeid med Jo Eidsvik, og er basert på forskningsrapporten The value of information in mineral exploration av Jo Eidsvik og Steinar L. Ellefmo. Dersom du nner feil eller har forslag til forbedringer, ta kontakt med Jo Eidsvik, joeid@math.ntnu.no

2 Kun XMET XMET og XRF Dybde st Figur Posisjonene i gruva hvor målingene er tatt. Den horisontale aksen er østlig lengde, mens den vertikale aksen er dybde. De este punktene ligger langs rette linjer som tilsvarer borehull. Observasjonene hvor det bare er gjort XMET-målinger er markert med sorte prikker, mens de hvor det nnes både XMET og XRF-målinger er markert med blå sirkler. Figuren er laget med scriptet i plotpositions.m. Koordinatene er tredimensjonale. Scriptet bør derfor kjøres, og plottet roteres, for bedre å gjengi informasjonen. Støy Vi ønsker å anslå hvor nøyaktige XMET-målingene er i forhold til XRF-målingene. Betrakt de observasjonene hvor oksidinnholdet er målt på begge måter. La y,..., y være XRF-målingene, og la y,..., y være XMET-målingene. Vi antar at y i, i =,..., er helt nøyaktige målinger dvs. den målte verdien er den riktige verdien. Vi antar videre at XMET-målingene er gjenstand for normalfordelt støy, y i = y i + ε i, ε i N(, τ ), i =,...,, og vi vil derfor se nærmere på fordelingen til ɛ i = y i y i, i =,...,. Figur viser hvordan observasjonene av ɛ ligger spredt om null. Figuren viser også et histogram og et Q-Q plott som kan brukes til å vurdere om antakelsen om normalfordeling holder. Som estimat for forventningsverdien µ ɛ til ɛ får vi ɛ = ɛ i =.. i= Siden forventningsverdien per antakelse er null, er det to naturlige valg av estimator for variansen (se kap.. og. i W.M.M.Y.): s = i= (ɛ i ɛ) =. og ˆτ = ɛ i =.9. I dette tilfellet spiller det liten rolle hvilken estimator vi velger. Vi noterer oss at ɛ er liten sammenliknet med det estimerte standardavviket. i=

3 Figur Øverst: Fordelingen av ɛ i om null (stiplet linje) for i =,...,, Venstre: Histogram for ɛ, Høyre: Q-Q plott av ɛ for vurdering av normalitet. Figuren er laget med noise.m Hypotesetest: Er µ ɛ forskjellig fra null? Antar at ɛ er normalfordelt med forventningsverdi µ ɛ og varians σ, stiller opp hypotesene H : µ ɛ = og H : µ ɛ, og bruker at under nullhypotesen er observatoren T = ɛ s / t-fordelt med frihetsgrader (se kap.. i W.M.M.Y.). Velger signikansnivå α =., og nner de kritiske verdiene t.9, = t., =.9. Finner så den observerte verdien T =.9. Vi konkluderer at µ ɛ ikke er signikant forskjellig fra null på signikansnivå α =.. Merk at for denne utvalgsstørrelsen er t-testen mer eller mindre identisk med en tilsvarende test med normalfordeling. Klassisering av malmprøver Utfra kvalitative geologiske betraktninger kan malmprøvene deles inn i tre klasser; klasse, klasse og klasse, med økende grad av mineralisering. Typisk kommer de høyeste målingene av oksidinnhold fra klasse -prøver. Box plot av oksidinnhold med én boks for hver klasse er vist i gur både for XMET-data og for XRF-data.

4 vis sammenlikning av observert oksidinnhold XMET, observasjoner XRF, observasjoner Oksidinnhold (XMET) Oksidinnhold (XRF) Figur Venstre: XMET-målinger av oksidinnhold fordelt på klasse (9 observasjoner), klasse (9 observasjoner) og klasse ( observasjoner). Høyre: XRF-målinger av oksidinnhold fordelt på klasse ( observasjoner), klasse ( observasjoner) og klasse ( observasjoner). har de høyeste målingene, og størst forventningsverdi, men også større spredning enn klasse og. Figuren er laget med classboxplot.m. Estimering av forventingsverdi La µ, µ og µ være forventet oksidinnhold for en malmprøve av henholdsvis klasse, og. Vi regner ut estimat og kondensintervall for µ i, i =,,. Som estimator for µ i bruker vi ȳ i = n i y ij n i hvor vi summerer over alle klasse i-observasjonene, n + n + n = n, og n er eller avhengig av om vi ser på XMET- eller XRF-data. For å nne kondensintervaller antar vi at variabelen T = ȳi µ i s i /n i j= med s i = n i n i j= (y ij ȳ i ) er t-fordelt med n i frihetsgrader (W.M.M.Y. kap. 9.). Ved å bruke meanci.m nner vi estimatene og 9%-kondensintervallene i tabell. Lineær regresjon på klasse Det ser ut til å være en signikant sammenheng mellom mineraliseringsklasse og oksidinnhold. For å undersøke denne sammenhengen nærmere utfører vi enkel lineær regresjon av

5 Tabell Estimat og 9% kondensintervall for µ, µ og µ, beregnet med meanci.m. Datagrunnlag Forventningsverdi Estimat 9% kondensintervall Antall frihetsgrader XMET µ.9 (.,.9) µ. (.9,.) µ.9 (.9,.) XRF µ. (.,.) µ. (.9,.) µ.9 (.,.) målt oksidinnhold, y, på mineraliseringsklasse x {,, } og en konstant. Vi skriver altså y = β + β x + ɛ, med ɛ N(, σ ). Vi utfører først regresjonen for alle observasjonene, og lar y være oksidinnhold målt med XMET. Deretter gjør vi det samme for de XRF-observasjonene, og lar y være oksidinnholdet målt med XRF. Resultatet er vist i gur. Siden x bare kan ha heltalls- β =., β =., R =.9 XMET data Regresjonslinje β =., β =., R =. XRF data Regresjonslinje Oksidinnhold (XMET) Oksidinnhold (XRF) Figur Regresjon av oksidinnhold på mineraliseringsklasse (,, ), og en konstant. Venstre: data og regresjonslinje for XMET-målinger. Høyre: Data og regresjonslinje for XRF-målinger. Figuren er laget med linregresjon.m. verdiene, og, har ikke regresjonslinja ŷ = β + β x noen tolkning for andre verdier av x. Et plott av linja er likevel tatt med for referanse. Kondensintervaller for regresjonskoesientene Vi regner ut 9%-kondensintervaller for β og β. Ifølge kap.. i W.M.M.Y. har både T β = ˆβ β s ns xx n i= x i og T β = ˆβ β s /S xx

6 t-fordelinger med n frihetsgrader. Her er s = n n (y i ŷ i ) i= den forventningsrette estimatoren for variansen, σ, til residualene og ˆβ i er estimatoren for β i, i =,. Videre er S xx = n i= (x i x), og i dette tilfellet er n enten lik eller avhengig av hvilke data vi ser på. Bruker scriptet coeffci.m for å regne ut kondensintervallene for begge parametrene med XMET-dataene og med XRF-dataene. Resultatene er oppsummert i tabell. Tabell Estimat og 9% kondensintervall for β og β, fra regresjonsmodell. Datagrunnlag Koesient Estimat 9% kondensintervall XMET β. (.9,.) β. (.,.9) XRF β. (.,.9) β. (.9,.) Regresjon med XRF-dataene gir brattere stigning og lavere skjæringspunkt med y-aksen enn regresjon med XMET-dataene. I tillegg er kondensintervallene for XRF-dataene bredere, hvilket er rimelig, siden det er langt færre XRF-observasjoner enn XMET-observasjoner. Forventet respons Vi antar som før at responsen y har forventningsverdi µ, µ og µ for henholdsvis klasse, klasse og klasse. Regresjonsmodellen gir estimat for disse, nemlig ŷ i, i =,,. med ugangspunkt i modellen kan vi konstruere kondensintervaller for disse estimatene også. Tar da utgangspunkt i den tilfeldige variabelen T = ŷ x µ x ( ) s n + (x x) S xx som er t-fordelt med n frihetsgrader, ifølge kap.. i W.M.M.Y. Bruker responseci.m til å regne ut 9%-kondensintervall. Resultatene er gitt i tabell. Tabell Estimat og 9% kondensintervall for µ, µ og µ, jf. tabell. Datagrunnlag Forventningsverdi Estimat 9% kondensintervall XMET µ = ŷ. (.,.9) µ = ŷ. (.9,.) µ = ŷ.9 (.,.) XRF µ = ŷ. (.9,.) µ = ŷ. (.,.9) µ = ŷ.9 (.9,.9) Kondensintervallene er illustrert, sammen med dataene, i gur. Siden det er en overvekt av klasse -observasjoner, får vi smalere kondensintervaller for klasse og enn for

7 klasse. Dette står i kontrast til gur, som viser at klasse har klart minst spredning i dataene. Uoverensstemmelsen kan forklares delvis med at antakelsene for enkel lineær regresjon ikke er oppfylt. Spesielt er det antakelsen om lik varians for alle residualene som ikke holder. 9 prosent konfidensgrenser, XMET data XMET data Forventet respons 9 prosent konfidensgrenser, XRF data XRF data Forventet respons Oksidinnhold (XMET) Oksidinnhold (XRF) Figur Forventet respons og kondensintervaller for klasse, og. Plottet illustrerer eekten av antall observasjoner på bredden av kondensintervallene: til venstre ses kondensintervallene for XMET-data ( observasjoner), og til høyre intervallene for XRF-data ( observasjoner). Kondensintervallene for XMET-målingene er små og syns derfor dårlig. Figuren er laget med responseci.m. Vi vil undersøke i hvilken grad residualene ɛ = y (β + β x) oppfyller antakelsene for enkel lineær regresjon: ˆ Residualene er uavhengige av hverandre. ˆ Residualene er normalfordelte med forventningsverdi og varians σ. ˆ Variansen σ er den samme for alle residualene. Vi plotter derfor i gur residualplott, histogram og Q-Q plott for ɛ. Residualene fra XRF-dataene ser ikke ut til å oppfylle antakelsene om normalfordelte residualer. Videre viser gur tydelig at antakelsen om lik varians for alle residualene ikke holder for noen av dataene.

8 Figur Venstre: residualplott(øverst), histogram (midten) og Q-Q plott (nederst) for residualene fra regresjon med XMET-data. Høyre: tilsvarende for residualer etter regresjon med XRF-data. Figuren er laget med linregresjon.m. Utvidet modell Siden antakelsen om at residualene har lik varians for alle verdier av x, dvs. for alle tre klassene, byr på problemer, kan vi prøve å unngå den ved i stedet å anta at variansen til residualene avhenger av klasse, men er den samme innenfor hver klasse. La ɛ ij være residual nr. j fra klasse i. Antar da at ɛ ij er normalfordelt med forventningsverdi null og varians σ i. ɛ ij N(, σ i ), j =,..., n i i =,,. Vi vil fortsatt bruke den lineære modellen y ij = β + β x ij + ɛ ij, j =,..., n i i =,,, men siden vi ikke lenger gjør de nødvendige antakelsene, kan vi ikke bruke minste kvadraters metode for å estimere β og β. I stedet kan vi bruke sannsynlighetsmaksimering for å estimere vektoren θ = (β, β, σ, σ, σ ), som inneholder de fem parametrene i modellen.

9 9 Betrakt den simultane fordelingsfunksjonen til residualene ɛ = (ɛ, ɛ,..., ɛ,n ), n f(ɛ θ) = n(ɛ j, σ) j= n k= n n(ɛ k, σ) n(ɛ l, σ). Her er ɛ ij = y ij (β + β x ij ), slik at f(ɛ θ) egentlig er en funksjon av β, β, σ i, x ij og y ij for j =,..., n i, i =,,. Bytter vi plass på argumentene og parametrene, får vi likelihood-funksjonen L(θ ɛ) = f(ɛ θ), dvs. L har samme form som simultanfordelingen, men nå er det θ som er den uavhengige variabelen, og ɛ som er parameter. La nå l = ln L, slik at vi får n ( ) l(θ ɛ) = n ln(πσ) + n ln(πσ) + n ln σ ɛj n ( ) ɛk n ( ) ɛl Sannsynlighetsmaksimeringsestimatet for θ er den verdien som maksimerer L(θ ɛ) med de gitte dataene x og y. Dette er, siden l = ln L, den samme verdien av θ som minimerer l(θ ɛ), altså arg max L(θ ɛ) = arg min l(θ ɛ). θ θ Denne verdien kan nnes numerisk ved f.eks. å bruke funksjonen fminunc fra Matlab Optimization Toolbox, slik det er gjort i likelihood.m. Når scriptet kjøres med XMET-dataene fås estimatene i tabell. I gur b er forventet respons og estimerte standardavvik illustrert med errorbars. Sammenliknet med gur a, som viser tilsvarende for den opprinnelige modellen, er forholdet mellom usikkerhetene for klasse, og her mer i tråd med tendensen en ser i gur. j= σ l= k= σ l= σ Tabell Sannsynlighetsmaksimeringsestimater (SME) for parametrene i den utvidete modellen, beregnet numerisk med likelihood.m. Sammenliknet med verdiene for XMET-dataene i tabell har β blitt større, mens β har blitt noe mindre. Parameter SME β. β.9 σ. σ. σ.9

10 XMET data Forventet respons β =., β =., s =. β =., β =.9, σ =., σ =., σ =.9 XMET data y = β + β x Oksidinnhold (XMET) Oksidinnhold, y , x (a) Enkel lineær regresjonsmodell, β og β estimert med minste kvadraters metode, s er den forventningsrette estimatoren for variansen til residualene. Figuren er laget med responseci.m. (b) Alternativ modell, β, β, σ, σ og σ estimert med sannsynlighetsmaksimering. Figuren er laget med likelihood.m. Figur Forventet respons og standardavvik beregnet utfra den enkle lineære regresjonsmodellen, og den alternative modellen med ulik varians.