UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-turviteskpelige fkultet Eksme i: STK1110 Sttistiske metoder og dtlyse Løsigsforslg Eksmesdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksme: Oppgvesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler: Oppgve 1 Tell over ormlfordelige Formelsmlig for STK1100/STK1110. Godkjet klkultor. Kotroller t oppgvesettet er komplett før du egyer å esvre spørsmålee. Side E[X] = p fås E[ˆp] = E(X) Videre hs V(ˆp) = V(X) 2 = p(1 p) = p = p, dvs. ˆp er forvetigsrett for p = p(1 p). Likelihoode er ssylighete (eller tetthete) til oservsjoee, her X, istt oservsjoee og sett på som e fuksjo v de (de) ukjete prmetree. Side P(X = x) = ( x) p x (1 p) x år X Bi(, p) lir L(p) = ( X) p X (1 p) X. Å mksimere L(p) er ekvivlet med å mksimere log-likelihood l(p) = l(l(p)) = l( ( X) ) + X l(p) + ( X) l(1 p). Vi hr l (p) = X/p ( X)/(1 p) og dee stt lik ull gir e ligig med løsig ˆp = X/. Fr geerell likelihoodteori hs t ˆp er tilærmet ormlfordelt med forvetig p og vris gitt ved 1/I (p) = 1/E[l (p)]. Side l (p) = X/p 2 + ( X)/(1 p) 2 som hr forvetig E[l (p)] = p/p 2 + (1 p)/(1 p) 2 = (1/p + 1/(1 p)) = /(p(1 p)) fås (tilærmet) vris for ˆp lik p(1 p)/ som er det smme som le utledet i pukt. c Det er gru til å tvile på ullhypotese H 0 : p = p 0 hvis det er stor forskjell mellom ˆp og p 0. Vi må t hesy til usikkerhete i ˆp og derfor er det rimelig å forkste hvis Z(p 0 ) = ˆp p 0 /(p 0 (1 p 0 )) er stor. Side 1.96 er 97.5% persetile i stdrdormlfordelige vil d, uder ullhypotese, P( Z(p 0 ) > 1.96 H 0 ) = 0.05 = α som er teste fststte ivå. Dette etyr (Fortsettes på side 2.)

2 Eksme i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 2 t vi hr e test med ivå 0.05 for de ktuelle situsjoe ved å forkste ˆp p hvis Z(p 0 ) = 0 > p0 (1 p 0 ) Med = 50 og X = 15 lir ˆp = 0.3 og dermed lir testoservtore Z(0.5) = < 1.96, så H 0 : p = 0.5 forkstes på 5% ivå. Testes (tilærmede) P-verdi lir 2P(Z < 2.83) = = år Z er stdrd ormlfordelt. d E geerell smmeheg mellom hypotesetestig (med tosidig ltertiv) og kofidesitervll gir t megde {θ 0 : H 0 : θ = θ 0 ikke forkstes med ivå α} er et (1 α)100% kofidesitervll for θ. I det ktuelle tilfellet er dette {p 0 : Z(p 0 ) < 1.96}, så dette itervllet lir dermed et tilærmet 95% kofidesitervll for p. Med tllee X = 15 og = 50 i pukt c får vi følgede plott v Z(p) mot p: Z(p) med =50 og X=15 Z(p) p 95% kofidesitervllet k vleses som (0.19,0.44) (c.). Vi hr t Z(p 0 ) < 1.96 (ˆp p) 2 < p(1 p) p 2 2ˆpp+ˆp 2 < p/ p 2 / som er e 2. grdsuliket i p. e Løsige på 2.grdsulikete er oppgitt som ˆp / / ± 1.96 ˆp(1 ˆp) / / Hvis vi fjerer ledd v type / fier vi t itervllet k tilærmes med ˆp ± 1.96 ˆp(1 ˆp)/. (Fortsettes på side 3.)

3 Eksme i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 3 Med ˆp p tilærmet stdrdormlfordelt hr vi 0.95 P( 1.96 < ˆp p ˆp(1 ˆp) < 1.96). Me 1.96 < ˆp p < < ˆp p < 1.96 som igje er ekvivlet med ˆp 1.96 < p < ˆp , dvs. ˆp ± 1.96 ˆp(1 ˆp)/ er et tilærmet 95% kofidesitervll. Oppgve 2 Estimtee er ˆβ 0 = , ˆβ 1 = for β 0 og β 1 og s = for σ. Det første prmeterestimtet ˆβ 0 er et estimt for de forvetede reduksjoe år x i1 = 0 (me side lle målte temperturer er etrktelig høyere ør dee verdie fortolkes med forsiktighet). Videre er ˆβ 1 et estimt for hvor mye reduksjoe edres år x i1 edres med e ehet. Edelig er s et estimt for stdrd vviket σ for feilleddet ε i og for vritioe i rudt regresjoslij. Miste kvdrters estimtee ˆβ 0 og ˆβ 1 estemmes som de verdiee ( 0, 1 ) som miimerer kvdrtsumme i=1 (Y i 0 1 x 1i ) 2 t verdie for ˆβ 1 ereges som t 1 = ˆβ 1 /se( ˆβ 1 ) = / = der stdrdfeile ˆβ 1 er gitt som = se( ˆβ 1 ) (= s/ i=1 (x i1 x 1 ) 2.) P-verdie for Tempertur ereges som 2P(T > 14.87) der = t 1 og T er t-fordelt med 2 = 126 frihetsgrder. Side dette er e ekel lieær regresjosmodell hr vi t R 2 er lik kvdrtet v korrelsjoe mellom Y i og forklrigsvrile x i1, derfor lir korrelsjoe R 2 = = der miusteget følger side ˆβ 1 er egtiv. Grue til t ˆβ 1 hr smme verdi i de ekle lieære regresjoe i pukt ) og de multiple lieære regresjoe i dette puktet er t desiget er lsert, vi hr like mge oservsjoer v hver verdi v x i1 for hver verdi x i2. D vil x i1 ikke gi oe iformsjo om x i2 og de to forklrigsvrilee må være ukorrelerte. Når vi hr to ukorrelerte forklrigsvrile vil det å utelte e v dem ikke edre estimert regresjoskoeffisiet for de dre. Selv om det ikke vr edrig i ˆβ1 er det likevel edrig i estimtet s for σ og tilsvrede for σ 2 estimert som s 2 = 1 3 i=1 (Y i Ŷi) 2 der Ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i1 + ˆβ 2 x i2 er de predikerte verdie ved å ruke egge forklrigsvrile. Dette estimtet er midre e s 2 fr de ekle lieære regresjoe side egge forklrigsvrile er viktige prediktorer for Y i. Dette er også grue til t de ye R 2 = 1 de i de ekle lieære regresjoe. (Fortsettes på side 4.) i=1 (Y i Ŷi) 2 i=1 (Y i Ȳ )2 er større e

4 Eksme i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 4 Stdrdfeile se 1 for ˆβ 1 er proporsjol med s og derfor hr dette slget litt midre i dee situsjoe der forklrigsvrilee er ukorrelert. Dette igje førte til t t-verdie ˆβ 1 /se 1 hdde større vvik fr 0. Side forklrigsvrileee er ukorrelerte hr vi t de multiple R2-verdie k skrives som R 2 = r1 2+r2 2 der r j er korrelsjoe mellom Y i -ee og x ji -ee. Derfor fås r2 2 = R2 r1 2 = = Videre lir d korrelsjoe mellom Y i -ee og x 2i -ee lik (0.231) = 0.48 (hvor igje mius følger v t ˆβ 2 < 0.. c Det første plottet viser residulee e i = Y i Ŷi mot tilpssede verdier Ŷ i. De glttede lije gjeom puktee (Ŷi, e i ) viser klr kurvtur. Dette idikerer t trsformsjoer v forklrigsvrilee eller iklusjo v kvdrtledd x 2 i1 og x2 i2 og muliges også iterksjoersledd x i1x i2 k foredre tilpsige. Det dre plottet er et qqplot v de ordede (stdrdiserte) residulee e i mot persetiler i stdrdormlfordelige. Når disse puktee ikke ligger ær e rett lije hr vi e idiksjo på t feilleddee ikke er ormlfordelt. Dette igje k idikere t å ruke t-fordelige for å eregee P- vlues ikke er optimlt (Likelvel, e ærmere kikk på plottet viser t hlee i feilleddees fordelig er lettere e hlee i ormlfordelige og fr dette perspektivet er ikke vviket veldig lvorlig). Det tredje plottet viser e i mot Ŷi og er kostruert for udersøke heteroskedstisitet, dvs. om vrise til ε i vheger v E[Y i ]. Selv om kurve ikke er helt rett hr de verdier mellom 0.7 og 1.2 hvilket ikke er etrktet å være så veldig mye så vviket fr kostt vris er eppe lvorlig. Dette etyr t de dele v modelle som må foredres er de lieære strukture ved å ikludere kvdrtledd eller trsformere forklrigsvrile. Oppgve 3 Side SSE/σ 2 = ( k 1)s 2 /σ 2 χ 2 k 1 lir E[s 2 ] = σ 2 /( k 1)E[( k 1)s 2 /σ 2 ] = (σ 2 /( k 1))( k 1) = σ 2, så s 2 er forvetigsrett. Dessute lir V (s 2 ) = (σ 4 /( k 1) 2 )V(( k 1)s 2 /σ 2 ) = (σ 4 /( k 1) 2 )2( k 1) = 2σ 4 /( k 1) som går mot 0 år k går mot uedelig. Ved Tsjeysjeff s ulikhet får vi dermed t for lle ɛ > 0 så vil P( s 2 σ 2 > ɛ) < V(s2 ) ɛ 2 = 2σ 4 ( k 1)ɛ 2 0 år k går mot uedelig. Dette etyr t s 2 kovergerer (i ssylighet) mot σ 2, dvs. er kosistet for σ 2. (Fortsettes på side 5.)

5 Eksme i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 5 Når β 1 = β 2 = = β k = 0 lir E[Y ] = β 0 = µ, dvs. lle forvetiger lir like. Dermed er SST/( 1) = i=1 (Y i Ȳ )2 /( 1) e forvetigsrett estimtor for σ 2. Side også ( 1)SST/σ 2 χ 2 1 uder forutsetige vil V(SST/( 1)) = 2σ 4 /( 1) og også gå mot 0 år k og dermed går mot uedelig. Ved å eytte Tsjeysjeff igje lir også SST/( 1) kosistet for σ 2. Vi får R 2 = 1 SSE SST = 1 k 1 1 SSE/( k 1) SST/( 1) 1 (1 ρ) = ρ side SSE/( k 1) SST/( 1) σ2 σ 2 år og k/ ρ. = 1 ved å ruke hitet og ( k 1)/( 1) 1 ρ Tilsvrede for justert R 2 defiert som R 2 dj = 1 SSE/( k 1) får vi t SST/( 1) teller og ever egge går mot σ 2 år og k går mot uedelig. Dermed går røke mot 1 og R 2 dj mot ull. SLUTT