2 Algebra R2 Løsninger
|
|
|
- Anita Helland
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Algebr R Løsiger. Tllfølger.... Tllrekker Uedelige geometriske rekker Iduksjosbevis Eksmesoppgver... 6 Øvigsoppgver og løsiger Stei Aese og Olv Kristese/NDLA Eksmesoppgvee er hetet fr
2 . Tllfølger.. Fi de fem første leddee i tllfølge gitt ved Fi de fem første tllee i tllfølge gitt ved Gitt tllfølge 8,,, 9 7 ) Fi e rekursiv formel for tllfølge. b) Fi e eksplisitt formel for tllfølge. c) Fi ledd ummer 0 i tllfølge
3 .. Gitt figuree edefor. Figur Figur Figur ) Fi e tllfølge som gir tll kvdrter i figuree. Skriv ed de fem første leddee i tllfølge. Atll kvdrter er gitt ved tllfølge 9,, 5, 8,,... b) Fi e rekursiv formel for tllfølge du ft i oppgve ). Vi ser t tll kvdrter øker med tre for hver figur. E rekursiv formel for dee tllfølge vil dermed kue skrives som 9 c) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i tllfølge. For å fie e eksplisitt formel for ledd ummer k det være lurt å fie e formel som gir oss tll kvdrter i figuree ovefor. Vi ser t det kommer e y koloe som ieholder tre kvdrter for hver ye figur. Vi k fie tll kvdrter i Figur ved multiplisere tll koloer med. Videre k vi fie tll kvdrter i Figur ved å multiplisere tll koloer med osv. E eksplisitt formel for figur ummer k vi d skrive som
4 ..5 For hver v tllfølgee edefor skl du fie ),, 5, de este leddee. e rekursiv formel hvis mulig. e eksplisitt formel hvis mulig.,, 5, 7, 9,, Rekursiv formel Eksplisitt formel b), 9, 7,, 9, 7, 8,, 79, Rekursiv formel Eksplisitt formel c),, 8, 6,,, 8, 6,, 6, 8, Rekursiv formel Eksplisitt formel d),,, 8,,,,, Rekursiv formel Eksplisitt formel e),, 6, 0,,, 6, 0, 5,, 8, Rekursiv formel Eksplisitt formel
5 ..6 For hver v tllfølgee edefor skl du fie de este leddee. e eksplisitt formel hvis mulig. e rekursiv formel ved å rege ut. ),,, 6,,,,,, Eksplisitt formel Rekursiv formel 5
6 b),,,, 9 6,,,,,,, Eksplisitt formel Rekursiv formel c),,, ,,,,,, Eksplisitt formel Rekursiv formel 6
7 d),,,,,,,, 5, 6, 7, Eksplisitt formel Rekursiv formel 7
8 ..7 Figure edefor viser de tre første rektgeltllee. Det første rektgeltllet, R. Det este rektgeltllet, R 6. Det tredje rektgeltllet, R. ) Hv blir det fjerde rektgeltllet, R? Det øker med e rd og e koloe for hvert tll. Det este rektgeltllet hr dermed rder og 5 koloer. Tllet blir d R 5 0 b) Fi e eksplisitt formel for rektgeltll ummer R,. Vi ser t R hr e rd og to koloer. R hr to rder og tre koloer. Vi k d skrive tll rder som og tll koloer som. For å fie e eksplisitt formel for rektgeltll ummer, multipliserer vi tll rder med tll koloer. R c) Fi e rekursiv formel for rektgeltll ummer R,. Vi ser t tll prikker øker med det dobbelte v ummeret på rektgeltllet. E rekursiv formel blir dermed R R R 8
9 ..8 Figure edefor viser de fire første trekttllee. Atll prikker i disse figuree kller vi for trekttllee. Trekttll ummer kller vi T. Vi hr d t T, T, T 6, ) Fi de to este trekttllee, T5 og T 6. Det blir lgt til e rd for hver ye trekt. I trekt ummer 5 blir det derfor 5 prikker mer e i trekt ummer ltså 5 prikker. I trekt seks blir de ye rde på 6 prikker og tll prikker i trekt 6 blir derfor. T 5 T 5 6 b) Fi e rekursiv formel for T. Vi ser t tll prikker øker med det smme som ummeret på trekte. E rekursiv formel blir dermed T T T c) Fi e eksplisitt formel for T. Vi ser t økige i tll prikker øker med for hver trekt. Det er likevel ikke så lett å fie e formel her. Vi velger å legge til prikker i figuree ovefor slik t vi får rektgler. Atll prikker i rektgel T fier vi ved T. Vi ser t trekttllee er hlvprte v rektglee. E eksplisitt formel for trekttllee er dermed gitt ved T d) FiT 50. T
10 ..9 Avgjør om tllfølge er ritmetisk, geometrisk eller ige v delee. ),, 5, Differse mellom to ledd som følger etter hverdre i er. Dette er dermed e ritmetisk tllfølge. b), 9, 7, Forholdet mellom et ledd og leddet for er. Dette er dermed e geometrisk tllfølge. c) 99, 90, 8, Differse mellom to ledd som følger etter hverdre i er 9. Dette er dermed e ritmetisk tllfølge. d),, 8, 6, Forholdet mellom et ledd og leddet for er. Dette er dermed e geometrisk tllfølge. e) f),,, Differse mellom boleddee er ikke kostt. Tllfølge er ikke ritmetisk. Forholdet mellom boleddee er ikke kostt, geometrisk.,,, 8 Forholdet mellom et ledd og leddet for er og. Tllfølge er heller ikke. Dette er dermed e geometrisk tllfølge. g),, 6, 0, Differse mellom boleddee er ikke kostt. Tllfølge er ikke ritmetisk. Forholdet mellom boleddee er ikke kostt, geometrisk. og 6. Tllfølge er heller ikke 0
11 ..0 Gitt tllfølge 5, 9,, ) Forklr hvilke type tllfølge dette er. Differse mellom to ledd som følger etter hverdre i er. Dette er dermed e ritmetisk tllfølge. b) Fi de rekursive formele for tllfølge. De rekursive formele for e ritmetisk tllfølge er gitt ved d. Rekursiv formel for dee tllfølge blir dermed 5 c) Fi de eksplisitte formele for tllfølge. d. De eksplisitte formele for e ritmetisk tllfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tllfølge blir dermed 5 5 d) Fi 0 og 0. Hvilke ummer i tllfølge er disse to leddee er ledd ummer 0 i tllfølge og 0 er ledd ummer 0 i tllfølge.
12 .. E tllfølge er gitt ved ) Forklr hvilke type tllfølge dette er. Dette er dermed e ritmetisk tllfølge med differse. b) Fi de eksplisitte formele for tllfølge. d. De eksplisitte formele for e ritmetisk tllfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tllfølge blir dermed c) Skriv ed de 5 første leddee i tllfølge De fem første leddee tllfølge blir,, 5, 8,. d) Fi differse mellom ledd ummer 0 og ledd ummer 0 i tllfølge. Vi vet t differse mellom hvert ledd i tllfølge er. Differse mellom ledd ummer 0 og ledd ummer 0 blir dermed Dette k vi sjekke ved t t
13 .. I e ritmetisk tllfølge er det femte leddet og det tolvte leddet 5. ) Fi differse, d, mellom hvert ledd i tllfølge. Differse mellom det tolvte leddet og det femte leddet er 5. Differse, d, mellom hvert ledd blir dermed d 5 7 b) Fi. For å fie Vi hr tr vi utggspukt i formele 5 d 5 5 d d. c) Fi e eksplisitt formel for tllfølge. d. De eksplisitte formele for e ritmetisk tllfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tllfølge blir dermed 9.. I e kommue øker ibyggertllet med 500 hvert år. Det bor i dg 5 50 persoer i kommue. ) Fi e formel som viser tll ibyggere,, om år. Utviklige i tll ibyggere i kommue k beskrives med e ritmetisk tllfølge d der d 500 og E formel for dee tllfølge blir dermed b) Hvor mge ibyggere er det i kommue om 0 år? Atll ibyggere om 0 år c) Når psserer tll ibyggere i kommue ? ,5 Det tr 8,5 år før ibyggertllet i kommue psserer
14 .. E hummerfisker tr t tll hummer h får hver uke i løpet v de åtte ukee hummerfisket pågår, vil vt med tre for hver uke. De første uk h fisket, fikk h 0 hummer. ) Fi e formel som viser tll hummer h vil få i uke, hvis det går som h tr. d der d og 0 E formel for dee tllfølge blir dermed 0 0 b) Hvor mge hummer k fiskere rege med å få til smme de første ukee? H k rege med å få 0 hummer de fire første ukee...5 Gitt tllfølge, 6,, ) Forklr hvilke type tllfølge dette er. Forholdet mellom et ledd og leddet for er. Dette er dermed e geometrisk tllfølge. b) Fi de rekursive formele for tllfølge. De rekursive formele for e geometrisk tllfølge er gitt ved k. Rekursiv formel for dee tllfølge blir dermed c) Fi de eksplisitte formele for tllfølge. De eksplisitte formele for e geometrisk tllfølge er gitt ved k. Eksplisitt formel for dee tllfølge blir dermed. d) Fi ledd ummer 0 i tllfølge
15 ..6 I e geometrisk tllfølge er 8 og ) Fi kvotiete, k, i tllfølge. Det er ledd mellom og 8. Dermed er k k k k eller k b) Fi. Bruker formele for geometrisk tllfølge k. Dermed er eller 8 8 eller eller 5
16 ..7 E fiskebestd i et forureset v vtr med 5 % per år. Fiskebestde i vet er bereget til å være fisk i dg. ) Skriv opp fiskebestde de fire første åree. L det første året være fiskebestde i dg. År : fisk År : , fisk År : År : ,95 5 fisk ,95 87 fisk b) Forklr t fiskebestde,, om år k beskrives med formele ,95. Dette blir e geometrisk tllfølge der og kvotiete, k, er k 0,95. De eksplisitte formel for geometrisk rekke gir dermed k ,95 c) Fi fiskebestde i vet om 0 år , ,95 5 Om 0 år er c. 50 fisk i vet. d) Hvor lg tid går det før fiskebestde i vet er hlvert? Fiskebestde om tll år er gitt ved Vi k d sette Løser likige digitlt , ,95 Det tr c,5 år før fiskebestde i vet er hlvert. 6
17 . Tllrekker.. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele. ) Fi de 5 første leddee i rekke b) Fi summe v de 5 første leddee. 769 S c) Bruk et digitlt verktøy til å fie summe år. 6 Ved digitlt verktøy fier vi t summe blir år 6 7
18 .. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele. ) Fi de 5 første leddee i rekke. 5 5 b) Fi S 50 og S 00. Bruker digitlt verktøy og fier S50,99 S00 5,87 c) Bruk et digitlt verktøy og fi summe år. Summe går mot uedelig. Rekk er ltså diverget. 8
19 .. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele. ) Fi S 5. Bruker digitlt verktøy og fier 5 5 S,6 5 5 b) Fi S 50. Bruker digitlt verktøy og fier S 50 50,65 50 c) Bruk et digitlt verktøy og fi Bruker digitlt verktøy og fier. 6 9
20 .. Vi hr tllrekke 75 ) Forklr hvorfor dette er e ritmetisk tllrekke. Det er e kostt differse, d, mellom hvert ledd i rekke. b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke. d og vi får Ledd ummer i e ritmetisk rekke er gitt ved d c) Fi e formel for summe v de første leddee i rekk. Summe for tll ledd i e ritmetisk rekke er gitt ved S S og vi får d) Fi slik t summe S blir ,5 6 Atll ledd må være et positivt (og helt) tll. Rekke må bestå v 6 ledd for å få summe 78. 0
21 ..5 Gitt e ritmetisk rekke der det første leddet og differse d. ) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke. d b) Fi summe v de 00 første leddee i rekke. Bruker digitlt verktøy og fier S c) Fi et utrykk for summe v de første leddee i rekke. S d) Fi summe v de 00 første leddee i rekke. S
22 ..6 Gitt e ritmetisk rekke der 5 og 6 5. ) Fi differse d i rekke. Det er fem ledd mellom det første og det sjette leddet i rekke. Differse d blir b) Fi e formel for summe v de første leddee i rekke. Vi fier først d S..7 Eksme MZ, 005 E stbel med rør ligger delvis skjult bk e murvegg. På tegige ser vi toppe v stbele. I de øverste rde er det fire rør. ) Skriv opp e rekke som gir tllet rør i de tre øverste rdee. Hv slgs rekke er dette? 5 6 Dette er e ritmetisk rekke med differse d. b) Bruk formler og teori om rekker til å svre på ) Hvor mge rør ligger i de 0. rde reget ovefr? Vi fier e formel for det leddet i rekke som vi ft i ). d Atll rør i de tiede rde er 0 0
23 ) Hvor mge rør er det til smme i de 0 øverste rdee? Vi fier e formel for summe v de første leddee i rekke. S 7 Atll rør til smme i de 0 øverste rdee blir S Det er 70 rør i stbele. c) Hvor mge rder består stbele v? 7 70 Løser digitlt Det ku det positive svret som er reelt. Det er 0 rder i stbele...8 Eksme MZ, 006 Summe v lle oddetllee uder 00 er gitt ved 5 99 ) Forklr t dette er e ritmetisk rekke. Differse, d er kostt. b) Fi ved regig hvor mge oddetll det er i rekk. d Det er 00 oddetll i rekk.
24 c) Bruk summeformele for e ritmetisk rekke, og bestem summe v rekk. S 99 S d) Skriv brøke så ekelt som mulig: Vi fier først hvor mge prtll det er i evere d Det er 00 prtll i evere. Vi fier summe v prtllee fr og med til og med 00 S 00 S
25 ..9 Gitt rekke 8 ) Forklr hvorfor dette er e geometrisk rekke 8 Kvotiete k er kostt, k. b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke E formel for ledd ummer i e geometrisk rekke er gitt ved k c) Fi er formel for summe v de første leddee i rekke Summe v de første leddee i e geometrisk rekke er gitt ved k S k..0 Gitt e geometrisk rekke med kvotiet k og. ) Fi et uttrykk for ledd ummer i rekke. k b) Bruk et digitlt verktøy og formele du ft i ) for å fie summe v de 00 første leddee i rekke. 00 5,
26 c) Fi et utrykk for summe v de første leddee i rekke k S k d) Bruk formele du ft i c) og fi summe v de 00 første leddee i rekke. S , Gitt rekke 6 8 ) Forklr t dette er e geometrisk rekke. 8 Kvotiete k er kostt, k. 6 8 b) Fi e formel for S. k s 6 6 k c) Fi summe v de 0 første leddee i rekke s 0 0 6
27 Gitt rekke 9 ) Forklr t dette er e geometrisk rekke Kvotiete k er kostt k 6 b) Fi e formel for S. S c) Fi summe v de 0 første leddee i rekke. S , 7 7
28 .. Du oppretter e sprekoto og setter i kroer på kotoe. jur 0. Du vil fortsette med å sette i kroer på dee kotoe. jur hvert år frmover. Rete du får på kotoe er fst med 6 % per år. Fi ut hvor mye det står på kotoe. desember 0, ltså rett før du skl sette i 5. beløpet. Vi får e geometrisk rekke med 5000,06 og k,06.,06 S 5000,06 85,06 Det står 85 kroer på kotoe rett før du skl sette i det 5. beløpet. 8
29 .. I e geometrisk rekke er 5 8 og 8 6. ) Bestem kvotiete og det første leddet i rekk. Det er 8 5 = plsser fr 5 til 8. Dermed er Videre er 8 5k k k k k k 8 k 5 5 k b) Bestem år vi vet t S 5,5. S k k 5,5 5,5 5,5 0 l0 l 0 l l 0l l 0 9
30 ..5 Eksme MZ for privtister, Høste 006 Vi hr gitt rekk Bruk formler fr rekketeorie til å ) bestemme det 5. leddet i rekk. Dette er e geometrisk rekke med kvotiet k og. Formele for det - te leddet i e geometrisk rekke er gitt ved k Dermed er b) bestemme summe v de 5 første leddee i rekk. k Sumformele, S, for e geometrisk rekke er gitt ved S k. Summe v de første 5 leddee er dermed S ,5 0
31 ..6 E medisikur går over 8 dger. De første dge får psiete 50 mg v medisie. Deretter reduseres megde med 5 % per dg. ) Hvor mge milligrm får psiete de 8. dge? 5 Vi får her e geometrisk rekke der kvotiete k 0,95 og Vi fier det 8. leddet i rekk 0, ,95,9 De 8. dge får psiete,9 mg v medisie. b) Hvor mge milligrm får psiete til smme i løpet v kure? Vi fier summe v de åtte første leddee i de geometriske rekk S 8 k k 8 8 0,95 S ,95 Psiete får 7 mg v medisie i løpet v de 8 dgee.
32 ..7 Eksme MZ, 005 I forbidelse med omstilliger på jobbe blir Ev tilbudt økoomisk godtgjørig for å slutte. Hu k velge mellom to tilbud: ) Et eggsbeløp på kr utbetlt. jur 006. ) E årlig utbetlig på kr de. jur hvert år, første gg i 006 og siste gg i 05. Ev vil sette lle pegee i bke med e gg hu får dem, og bruke godtgjørige som supplemet til pesjoe år hu går v som pesjoist. jur 06. Ev øsker å smmelige tilbudee. ) Hvor mye peger hr hu i bke de. jur 06 år retestse er,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i )? , Hu hr 0 07 kr i bke de. jur 06 dersom hu velger dette ltertivet. b) Hvor mye peger hr hu i bke de. jur 06 år retestse er,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i )? Hvilket v tilbudee er best? Skisse ovefor viser t vi får e geometrisk rekke der ,05 og k,05. I lt får hu utbetlt 0 utbetliger, hver v dem på kroer i periode fr. jur 006 til. jur 05. Summe v disse 0 utbetligee blir 0,05 S ,05 8 7,05 Hu hr c. 8 7 kroer i bke de. jur 06 dersom hu velger dette ltertivet. Tilbud er best.
33 c) Ved hvilke retests er de to tilbudee like gode? 0 0 k k k k Vi bruker digitlt verktøy og løser dee likige. Løsige k 0 gir ikke meig i dee prktiske smmehege. k,0, k 00 Ved e retests på, % vil tilbudee være like gode.
34 Ev velger tilbudet med et eggsbeløp og setter pegee i bke. Hu vil bruke hele det oppsprte beløpet til å supplere pesjoe. Hu øsker å t ut ti like store årlige beløp de. jur hvert år, første gg i 06. d) Hvor store årlige beløp k hu t ut hvis retestse hele tide er,5 %? Skjemet viser hvord beløpee hu tr ut fordeler seg. Vi reger ut hv lle beløpee vil tilsvre i det året hu tr ut det siste beløpet. Vi får e geometrisk rekke. Beløpet hu hr. jur 06 føres frm til de dge hu tr ut sitt siste beløp, dvs. 9 år frmover. Vi k d smmelike dette beløpet med rekke som kommer frm i skjemet. 0 07,05 0 9,05 x,05 Vi bruker et digitlt verktøy og fier. Hu k t ut et fst beløp på 857 kr hvert år frmover i 0 år.
35 ..8 Eksme MX for privtister, Våre 007 E lite kule heger i e sor med legde 0,0 m. Vi trekker kul ut til pukt A med strm sor. Vi slipper kul. De sviger d ut til pukt B. 0,0 m A 0 Figur B C Figur B Vikele kul sviger fr A til B, er 0. Se figur. Deretter sviger kul tilbke til C. Vikele fr B til C,, er % midre for hvert utslg. Se figur. Kul fortsetter å svige slik t vikele er % midre for hvert utslg. Vi ser på rekk:... ) Forklr t dette er e geometrisk rekke. Bestem år. For hvert utslg vtr vikele med %. Det vil si t vikele på dre utslg blir 0 0,98, på tredje utslg 0 0,98 osv. Vi hr dermed e geometrisk rekke med 0 og kvotiet k 0,0 0,98. Ledd ummer er gitt ved k. Vi k d skrive likige00,98. Løser digitlt og fier Når er er 9 b) Hv er de miste verdie k h for t summe v vikelutslgee skl bli større e 60 Summe er gitt ved S k k. Vi k d sette k k 60 Vi fier t de miste verdie k h for t summe v vikelutslgee skl bli større e 60 er 0. 5
36 ..9 Eksme MX for privtister, Våre 005 Når e pedelkule trekkes ut fr si likevektsstillig og slippes, vil kul fortsette å svige, me de strekige kul tilbkelegger, blir midre for hver svigig. For e bestemt pedel tr vi t de strekige kul tilbkelegger i løpet v e svigig, er % midre e i de foregåede svigige. De første hele svigige er 0 cm. L være de strekige, målt i cm, som kul tilbkelegger på de - te svigige, der,,,... ) Forklr t 0 0,99. For hver svigig vtr tilbkelgt strekig med %. Det vil si t strekige kul tilbkelegger på si dre svigig blir 0 0,99, på si tredje svigig 0 0,99 osv. Vi hr dermed e geometrisk rekke med 0 og kvotiet k 0,0 0,99. Ledd er d gitt ved formele Det gir k. 0 0,99 der 0 og k 0,99. b) For hvilke verdier v er utslget midre e 5 cm? Vi fier år 5 00,99 5 Løser digitlt og fier Fr svigig ummer 70 og utover er utslget midre e 5 cm. 6
37 c) Hvor mge hele svigiger må kul mist gjøre før de hr tilbkelgt i lt 0 meter? k Formele for summe v e geometrisk rekke er gitt ved S k. Vi bruker digitlt verktøy og fier Kul må gjøre 0 hele svigiger før de hr tilbkelgt 0 meter. d) Udersøk om de tilbkelgte strekige til kul k bli 0 meter. Vi bruker digitlt verktøy og fier Fier t de tilbkelgte strekige til kul ldri k bli 0 meter. Det vil si t de fller til ro før tilbkelgt strekig er 0 meter. 7
38 . Uedelige geometriske rekker.. Gitt de uedelige rekke 9 ) Forklr hvorfor dee rekke kovergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiet k. Rekke kovergerer side k,. b) Fi summe v rekke. S 6 k.. Gitt de uedelige rekke ) Forklr hvorfor dee rekke kovergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiete k. Rekke kovergerer side k,. b) Fi summe v rekke. S k 8
39 .. Gitt de uedelige rekke 9 Forklr hvorfor dee rekke divergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiete Rekke divergerer side k,. k.. Nils Herik bestemmer seg for å ivitere oe veer med hjem. H bestiller e pizz som h vil servere gjestee. Førstem som kommer forsyer seg med hlve pizze, estem tr hlvprte v det som er igje og slik fortsetter det i det uedelige. ) Sett opp e rekke som viser hvor stor del v pizze gjestee spiser. Hv slgs rekke er dette? Førstem tr pizz, estem tr hlvdele v de hlve som er igje etter førstem, ltså pizz osv. Dette gir rekke 8 Dette er e uedelig geometrisk rekke med kvotiet k. b) Fi summe v de uedelige rekke. S Pizze blir spist opp dersom det bre kommer mge ok k 9
40 ..5 Vi hr gitt e uedelig geometrisk rekke der 5,8 og 8,8675. Udersøk om de uedelige rekk kovergerer, og fi evetuelt summe v rekk. Vi fier først kvotiete k. Det er 8 = plsser fr til 8. Vi får d k 8 k, k k k 8 k Rekk kovergerer. Vi fier så,8675 5, ,656 k 0,9 eller k0,9 k eller k k eller k 5,8 5,8 eller 0,9 0,9 8 eller 8 Rekk blir 8 8 0,9 8 0,9 eller 8 8 0,9 8 0,9 8 80,980,9 Summe blir 8 8 S 80 0,9 0, eller 8 8 S 0,9,9 0
41 ..6 Eksme MX, Høste 006 Vi hr gitt e geometrisk rekke der,6 og 7,0688. Udersøk om de uedelige rekk kovergerer, og fi evetuelt summe v rekk. Vi fier først kvotiete k. Det er 7 = plsser fr til 7. Vi får d k k k k 7 7 k 0.656,0688,6 0,656 k 0,9 eller k0,9 Vi fier så k k eller k eller k,6,6 eller 0,9 0,9 eller Rekk blir 0,9 0,9 eller 0,9 0,9 0,90,9 Summe blir d S 0 0,9 0, eller S 0,9,9
42 ..7 Mrth hr kjøpt seg båt og vil lge seg e båtplss ede ved elv. Hu vil slå ed e solid påle som hu k fortøye båte i. D hu slår første slg går påle 0,0 cm ed i elvebue. For hvert slg deretter reduseres legde påle går ed i elvebue med 0 %. ) Hvor lgt ed er påle kommet etter 0 slg? Smlet legde påle kommer ed i elvebue er summe v det påle går ed på første slg, på dre slg osv. På første slg går påle 0 cm ed dvs. 0. På det dre slget blir det 0 0,90 osv. Smlet legde påle går ed i bue der ltså e koverget geometrisk rekke med 0 og med kvotiet k 0,90. Vi bruker formele for summe v de første leddee i e geometrisk rekke og fier S 0 0 0,9 0 87,8 0,9 Etter 0 slg på påle er påle kommet 87,8 cm ed i elvebue. b) Vurder om det er foruftig å fortsette å slå på påle. Vil dee komme mye leger ed i elvebue? Vi k jo sjekke hvor mye leger påle kommer ed i elvebue på este slg, dvs. det. slget. 00,9, Det este slget vil sede påle, cm videre ed i elvebue. Kskje ikke verd slitet? Vi k jo også sjekke hvor lgt påle k komme ed i elvebue dersom Mrth slår på påle i det uedelige. 0 S 00 Påle vil ldri kommer leger e 00 cm ed i elvebue usett 0,9
43 ..8 De greske filosofe Zeo (c f.kr.) gjorde et tkeeksperimet der h rrgerte et kppløp mellom dtides rskeste m, Akilles, og e skilpdde. Zeo reget med t Akilles løp 0 gger så fort som skilpdde. (E utrolig sprek skilpdde!) Tek deg t skilpdde strter med et forsprg på 00 meter. Når Akilles hr kommet dit skilpdde strtet, hr skilpdde fortstt et forsprg på 0 meter. Når Akilles hr ttt igje dette forsprget, hr skilpdde kommet seg ytterligere m v gårde, osv. Etter dette resoemetet vil Akilles ldri kue t igje skilpdde! ) Still opp e geometrisk rekke som beskriver dette problemet og bereg hvor lgt Akilles hr løpt år h tr igje skilpdde. Vi setter opp e rekke som viser vstdee Akilles løper og fier summe v rekke. Rekke blir , med kvotiet 0 k 0, 00 0 Formele for sum v e uedelig geometrisk rekke gir S, 0, 0,9 Akilles løper, meter før h tr igje skilpdde. b) Det vil jo lltid være slik t år Akilles kommer dit hvor skilpdde vr, så hr skilpdde kommet et stykke videre. Prøv å gi e forklrig på hvorfor Akilles likevel kommer seg forbi skilpdde (for det gjør h ).
44 ..9 E tblett ieholder e viss megde v et virkestoff. Kroppe skiller ut 0 % v virkestoffet hvert døg. Per skl t e tblett hver dg fremover. Megde v virkestoff i kroppe må ikke overstige 00 mg. Hvor mge milligrm v virkestoffet k e tblett ieholde? Smlet megde virkestoff i kroppe er summe v det Per tok i dg, det h tok i går osv. Av virkestoffet h tok i går er bre 0,80 igje i kroppe side 0 % skilles ut per døg. Av virkestoffet h tok for to dger side er bre 0,80 igje i kroppe, osv. Smlet megde virkestoff i kroppe der ltså e koverget geometrisk rekke med kvotiet k 0,80. Vi bruker formele for summe v e uedelig geometrisk rekke og fier hvor mye e tblett k ieholde v virkestoffet S k 00 0,8 00 0, 0 E tblett må ikke ieholde mer e 0 mg v virkestoffet.
45 ..0 Figure viser de tre første v uedelig mge likesidete trekter. De største trekte kller vi T, de este trekte for T osv. Trekt T blir det v trekte T ved t vi velger midtpuktee på sidee i trekte T som hjører i trekte T. Arelet til trekte T kller vi L de største trekte T h sidekt lik. A og omkretse v trekte T kller vi ) Fi omkretse v de tre første trektee og vis t summe v disse omkretsee der de geometriske rekke 6 Omkretse v trekt T er Hjøree i trekt T er midtpuktee på sidektee til trekt T. Sidektee i T er dermed hlvprte så lge som sidektee i trekt T. Omkretse v trekt T er dermed 6 Av smme gru som ovefor vil omkretse v trekt T være Rekke er geometrisk med kvotiet k lik 6 6 O. b) Forklr hvorfor rekk kovergerer. Rekke 6 hr kvotiete 6 k dvs. k, og rekke kovergerer. 6 c) Bestem summe v omkretsee år tll trekter går mot uedelig. Rekke 6 hr kvotiete Summe er gitt ved S k S 0,5 0,5 k dvs. k, og rekke kovergerer. 5
46 d) Vis t høyde i trektt er. I e likesidet trekt vil høyde hlvere motståede side. Bruke Pythgors` læresetig og fier h h h e) Fi relee v de tre første trektee og vis t summe v disse relee der de geometriske rekke Arelet A v trekt T blir A Høyde i trekt T blir h h h Arelet A v trekt T blir A Høyde i trekt T er gitt ved Arelet A v trekt T blir A Ku iteressert i de positive løsige h h h h Ku iteressert i de positive løsige. Rekke er geometrisk med kvotiet k lik f) Vis t A A A... blir e koverget geometrisk rekke, og fi summe v dee rekke. Rekke hr kvotiete Summe blir 6 S k dvs. k, og rekke kovergerer. 6
47 .. Eksme MX, Høste 00 Figure viser et kvdrt med sidekt. I dette kvdrtet er det iskrevet et ytt kvdrt slik t hjøree i det ye kvdrtet ligger midt på hver v de fire sidee i det første kvdrtet. I det dre kvdrtet er det iskrevet et tredje kvdrt etter smme prisipp, og deretter et fjerde osv. Se figure. ) Fi relee v de fire første kvdrtee og vis t summe v disse relee der de geometriske rekke 8 Arel A v første kvdrt blir A Sidekt s i dre kvdrt blir s Arel A v dre kvdrt blir A Sidekt s i tredje kvdrt blir Arel A v tredje kvdrt blir A s 6 Sidekt s i fjerde kvdrt blir s 6 Arel A v fjerde kvdrt blir A 6 8 Summe v relee der rekke 8 Kvotiete 8 k. Rekke er dermed geometrisk. 7
48 b) Fi relet v kvdrt r. 0 og summe v de 0 første kvdrtee. Arelet v kvdrt ummer er gitt ved k , k Summe v de første leddee i e geometrisk rekke er gitt ved S k. S S ,998 5 c) Forklr hvorfor rekk kovergerer. Bestem summe v relee år tll kvdrter går mot uedelig. E geometrisk rekke koverger år k,. Kvotiete k er i dee oppgve og rekke kovergerer. Formele for summe v e uedelig geometrisk rekke gir S k 8
49 d) Hvor mge kvdrter må rekke mist bestå v for t summe v relee skl være større e 99,9 % v svret i c)? 99,9 % v blir 0.999,998 Summe v relee må ltså være større e,998. I oppgve b) ft vi t ved 0 kvdrter oppådde vi dee summe. Vi fier det smme svret ved å løse ulikhete k.998 k S.998,998 Vi bruker et digitlt verktøy og løser likige,998 0 Rekke må mist bestå v 0 kvdrter... Gitt de uedelige geometriske rekke x x x ) Fi i hvilket område dee rekke kovergerer (kovergesområdet til rekke). Rekke hr kvotiete k x. E uedelig geometrisk rekke kovergerer år k,. Dee rekke kovergerer dermed år x,. b) Fi summe S x v rekke. Summe v e uedelig geometrisk rekke er gitt ved formele S k og vi får t Sx x. 9
50 c) Teg grfe til S. Fuksjoe S x er ku defiert i kovergesområdet, ltså for x,. Vi teger derfor grfe til S i dette området. d) Fi ved regig summe år x 0,5 og år x 0,9. S0,5 0,5 0,5 S0,9 0 0,9 0, e) Hvord stemmer summee du ft i oppgve d) med grfe til S? Vi fier de smme verdiee grfisk. Se koorditsystemet til høyre. 50
51 .. Gitt de uedelige geometriske rekke x x x ) Fi i hvilket område dee rekke kovergerer (kovergesområdet til rekke). Rekke hr kvotiete k x. E uedelig geometrisk rekke kovergerer år x,. Vi må løse dee dobbeltulikhete for å fie for hvilke verdier v x rekke kovergerer. Dobbeltulikhete k løses som to ekle ulikheter x x x x Dee rekke kovergerer år x,. b) Fi summe S x v rekke. Summe v e uedelig geometrisk rekke er gitt ved formele S k og vi får Sx x x c) Teg grfe til S S x er ku defiert i kovergesområdet, ltså for x,. Vi teger derfor grfe til S i dette området. d) Fi grfisk summe år x 0,5 Summe er lik for x 0,5. (Se koorditsystemet til høyre.) 5
52 .. Gitt de uedelige geometriske rekke six six six x 0,60 ) Fi kovergesområdet til rekke. Rekke hr kvotiete k six. E uedelig geometrisk rekke kovergerer år k,. Dee rekke kovergerer dermed år six,. Fr trigoometrie vet vi t six for x 70 og t six for x 90 i første omløp. For lle dre verdier i første omløp er six,. Kovergesområdet er dermed lle verdier vbortsett fr x 90 og x 70. b) Fi summe S x v rekke. Summe v e uedelig geometrisk rekke er gitt ved formele S og vi får k Sx si x c) Teg grfe til S. Legg merke til hvord du k skrive i dee fuksjoe i GeoGebr 5
53 ..5 Gitt de uedelige geometriske rekke 8 6 x 0 x x x ) Fi kovergesområdet til rekke. Rekke hr kvotiete k. x E uedelig geometrisk rekke kovergerer år k, Det betyr t rekke kovergerer år,. x Løser dobbeltulikhete for å fie for hvilke verdier v x rekke kovergerer. Dobbeltulikhete k løses som to ekle ulikheter x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x De første ulikhete gir t x,0. eller x,. De dre ulikhete gir t x, eller x 0, Det betyr t rekke kovergerer år x, eller x,. 5
54 b) Fi summe S x v rekke. Rekke hr summe x k x x S x c) Teg grfe til S. 5
55 . Iduksjosbevis.. Bruk iduksjo og vis t summe, S, v de første oddetllee er S Vi skl vise t Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Når, hr vi ku ett ledd på vestre side. Vestre side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t St 5 t t Vi må vise t formele gjelder for t. Vi må ltså vise t S t 5 t t Bevis Dette er e ritmetisk rekke med d. Det må bety t S S t t t t t t t t t t t t 5 Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. 55
56 .. Gitt rekke. ) Fi e formel for summe v de første leddee i rekke. Dette er e geometrisk rekke med og k. k S k b) Bruk iduksjo og vis t formele du ft i ) er riktig. Vi skl vise t Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Når hr vi ku et ledd på vestre side. Vestre side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t S t t t Vi må vise t formele gjelder for t. Vi må ltså vise t S t t t 56
57 Bevis Dette er e geometrisk rekke med k. Det må bety t S S S t t t t t t t t t t t t t t t t t Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. 57
58 .. Gitt rekke. ) Fi e formel for summe v de første leddee i rekk. Dette er e ritmetisk rekke med og d. S b) Bruk iduksjo og vis t formele du ft i ) er riktig. Vi skl vise t Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Når, hr vi ku ett ledd på vestre side. Vestre side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t S t t t t Vi må vise t formele gjelder for t. Vi må ltså vise t t t t t t t St... t 58
59 Bevis Dette er e ritmetisk rekke med d. Det må bety t S S t t t t S t t t t t t t t t t t t t Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v... Bruk iduksjo og vis t de deriverte v et polyom Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. x x. Bevis Vestre side x x Vi k tege de rette lij y x i et koorditsystem. x er stigigstllet til dee lij. Vi ser v de grfiske frmstillige t x. Vestre side x x 0 Høyre side x x Formele er gjelder for. 59
60 Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t t t x tx Vi må vise t formele gjelder for t. Vi må ltså vise t t t t x x t x t Bevis Vi bruker produktregele for derivsjo og fier uv uv u v x x x x x tx t t t t x t x t tx t t x Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. t t 60
61 ..5 Gitt rekke 68. Vis ved iduksjo t summe v de første leddee i rekke k skrives som Vi skl vise t 68 S. Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Når hr vi ku et ledd på vestre side. Vestre side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Det betyr t S 68t t t t Vi skl vise t formele gjelder for t. Vi skl ltså vise t St 68 t t t t t t t t Bevis Dette er e ritmetisk rekke med d. Det må bety t S t S t t 6 8 t t t tt t t Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. 6
62 .5 Eksmesoppgver.5. Eksempelsett R, Høste 008 E rekke er gitt ved t og der N ) Skriv opp de 5 første leddee i rekke b) Bruk iduksjo til å bevise t det geerelle leddet er Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele ovefor gjelder for. Bevis Vestre side Høyre side Formele gjelder for.. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t t t t Vi må vise t formele er gjelder for t. Vi må ltså vise t tt t t t 6
63 Bevis Fr oppgvetekste hr vi t Vi hr d t t t t t t t t t t t 5t t t Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet er formele gjelder for lle verdier v..5. Eksme R, Våre 009 Bestem summe v de uedelige rekk Dette viser t rekke er geometrisk, med kvotiet k. Side k, er rekke koverget. Summe er 6 S k 6
64 .5. Eksme R, Våre 009 Trekttll k illustreres som tll golfbller som der e trektfigur. Figure edefor viser de tre første trekttllee,,. S er summe v de første trekttllee. ) Skriv opp de fem første trekttllee,,, og 5 og de fem første summee S, S, S, S og S 5. De fem første trekttllee er De fem første summee er S S S 6 0 S S b) Forklr t. Bruk dette til å vise t. Figuree viser t ummeret på trekttllet er det smme som tll golfbller i de ederste rde. Dette er også det tll golfbller som legges til år vi går fr et trekttll til det este. Vi får 5 5 Møsteret viser t.... Trekttll ummer,, er ltså summe v de ritmetiske rekke b b... b med b, b og d. b b Formele for summe v e ritmetisk rekke gir t 6
65 c) Bruk regresjo på de fem første summee S, S, S, S og S 5 til å fie et tredjegrdsuttrykk for S Vis t tredjegrdsuttrykket er e tilærmig v S Vi legger puktee 6, S,, S,, S,, S,, S,,,,, 0,, 0, 5, i i GeoGebr, og bruker polyomregresjo v tredje grd. Vi får uttrykket. 6 Uttrykket S k skrives som S Regresjo gir ltså tilærmig til uttrykket S. Resulttet ovefor gjelder i prisippet bre for de fem første summee S, S, S, S og S 5. Vi øsker å udersøke om formele gjelder for lle - verdier. D må vi gjeomføre et mtemtisk bevis. d) Bruk iduksjo til å bevise t formele S er riktig. 6 Vi skl vise t summe v de første trekttllee er Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Vestre side Høyre side 6 Formele gjelder for
66 Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t t t t t t St Vi skl vise t formele d også gjelder for t. Vi skl ltså vise t S t Bevis S S t t t t t t t t tt 6 t t t t tt 6 6 ( t ) t t t 6 t t tt t ttt tt t t t t t 6 t 6 6 Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. 66
67 .5. Eksme R, Høste 009 I e rekke er x, x og x 8. Bestem x slik t rekke blir geometrisk. Rekke er geometrisk dersom. x x 8 x x x x x x x 8 x x x x x x 8 x 8 x Rekke blir dermed, og 6, dvs. t k. 67
68 .5.5 Eksme R, Høste 00 Summe v de første leddee i e geerell geometrisk rekke er S k k Bevis dee formele ved iduksjo. De første leddee i e geerell geometrisk rekke er gitt ved k k k Vi skl ltså vise t k k k k k Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder for. Bevis Vestre side Høyre side k k Formele gjelder for. 68
69 Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t S k k k t Vi skl vise t formele gjelder for t Vi skl ltså vise t Bevis S S t t t t t k t k S k k k k k k t t t t t t k t t t t t t k k k t t t t k k k k k k k k k k k k k k k k k k k t k k t k t k t t k Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. 69
70 .5.6 Eksme R, Våre 00 Summe v de første leddee i e rekke er gitt ved S k... k ) Forklr t S. Fi S 8. Dette er e ritmetisk rekke med og d. S S S8 6 Summe v de første leddee i e e rekke er gitt ved S k k b) Bruk digitl verktøy til å udersøke hvor mge ledd rekke må h for t summe v rekke skl være større e Løser digitlt Vi k se bort fr de egtive løsige. Vi må h med mist 6 ledd dersom summe v rekke skl være større e
71 Det blir påstått t... c) Bevis formele ovefor ved iduksjo. (Spørsmål c) teller som to delspørsmål.) Tri, Iduksjosgrulget Vi skl vise t formele gjelder år. Bevis Vestre side Høyre side Formele gjelder for. Tri, Iduksjostriet Vi tr t formele gjelder for t. Vi hr d t t t t S... t Vi skl vise t formele gjelder for t. Vi skl ltså vise t tt t t St... t 7
72 Bevis S S t t t... t t t t t ttt t t t t t t t t t t t t t t t t t Vi hr dermed vist t formele gjelder for t. I følge iduksjosprisippet gjelder formele d for lle verdier v. d) Forklr t Fr ) hr vi t... Vi får d t... I c) hr vi vist t Vi hr d t 7
2 Algebra R2 Oppgaver
2 Algebra R2 Oppgaver 2 Tallfølger 2 22 Tallrekker 8 23 Uedelige geometriske rekker 5 24 Iduksjosbevis 20 25 Eksamesoppgaver 2 Øvigsoppgaver Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra
S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
1 Algebra oppgaver S2
1 Algebra oppgaver S Ihold 11 Tallfølger 1 Tallrekker 9 13 Uedelige geometriske rekker 17 14 Faktoriserig Polyomdivisjo 3 15 Likiger 6 Tredjegradslikiger 6 Likiger med rasjoale uttrykk 7 Likigssett 8 Øvigsoppgaver
Sinus S2 > Følger og rekker. 01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd :31:27
8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:7 Følger og rekker MÅL for opplærige er t eleve skl kue fie møstre i tllfølger og bruke dem til å summere edelige ritmetiske og geometriske
Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
1 Algebra løsninger S2
S, Algebra Algebra løsiger S Ihold. Tallfølger.... Tallrekker... 5. Uedelige geometriske rekker... 8.4 Faktoriserig... 49 Polyomdivisjo... 5.5 Likiger... 65 Tredjegradslikiger... 65 Likiger med rasjoale
Terminprøve R2 Høsten 2014
Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
Algebra S2, Prøve 2 løsning
Algebra S, Prøve løsig Del Tid: 90 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave I rekkee edefor får du oppgitt a og e rekursiv formel for a. Du skal. skrive opp de fire første leddee og avgjøre om rekka er aritmetisk,
Algebra R2, Prøve 1 løsning
Algebra R, Prøve løsig Del Tid: 70 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave E rekke er gi ved a og a Du skal ) udersøke hva slags rekke de er Vi fier de førse leddee: a a a a, 6, 3 0, 4 4 3 4 De ser u som
( ) 3 3 P a a a a. ( 3) ( 3) 3 ( 3) ( 3) b Px ( ) er delelig med x 3 dersom P( 3) 0. P( 3) 3a 3 0
Løsiger til oppgvee i ok S kpittel 7 Eksmestreig Løsiger til oppgvee i ok Ute hjelpemidler Oppgve E P ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) 7 9 7 7 P ( ) er delelig med dersom P( ) 0. P( ) 0 c Vi utfører polyomdivisjoe
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
12 MER OM POTENSER POTENSER
Kpittel MER OM OTENSER OTENSER 3 rekker for å helgrdere de første kmpe. 3 3 9 rekker for å helgrdere de to første kmpee. 3 3 3 7 rekker for å helgrdere de tre første kmpee. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 53 44
2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66
Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Særtrykk. Matematikk 1T
Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Særtrykk Mtemtikk T Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Mtemtikk T Ihold Alger A Tllregig 7 B Tllmegder C Potesregig 0 D Store og små tll
Matematikk for IT. Prøve 2 løsningsforslag. Torsdag 27. oktober 2016 S S F S F F S F S F S S F S F S F F F F S S F F
Mtemtikk for IT Prøve løsigsforslg Torsdg 7 oktober 06 7 oktober 06 Oppgve ) Fi ved hjelp v shetstbeller om de to følgede smmestte utsg er logisk ekvivlete: i) p q ii) q p q) Utsg i): q p q S S F F S F
2 Algebra. Innhold. Algebra R2
Algebra Ihold. Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3 Geometriske rekker... 6 Praktiske problemer
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo,
Eksamen R2, Va ren 2013
Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u
Kommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)
Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3
PARENTESER Matematikerne har funnet på at i regneuttrykk kan vi bruke parenteser for å markere hvilken regneoperasjon som skal gjøres først.
Smmedrg kpittel SAMMENDRAG Dette er et smmedrg v det du hr rbeidet med om lgebr i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du treger mer treig utover oppgvee i Nummer 10, fier du ekstr oppgver på elevettstedet.
Fagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
Eksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
Eksamen R2, Våren 2013
Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig
f '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0
Fsit obligtorisk oppgve Oppgve (9 poeg) Deriver følgede fuksjoer med hes på lle rgumeter ) f ( ) 7 f '( ) 8 6 svr: b) Svr: g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) c) h( ) f ( )( ) Svr: h( ) f '( )( ) f ( ) d) Svr:
Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-turviteskpelige fkultet Eksme i: STK1110 Sttistiske metoder og dtlyse Løsigsforslg Eksmesdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksme: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.
Eksamen R2, Våren 2010
Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1)
Logaritmen til et tall er det vi må opphøye 10 i for å få tallet. Logaritmen til et tall a kan vi indirekte definere slik:
Logritme til et tll er det vi må opphøye 10 i for å få tllet. 10 2 = 100 Logritme til 100 er 2. log 100 = 2 10 3 = 1000 Logritme til 1000 er 3. log 1000 = 3 Logritme til et tll k vi idirekte defiere slik:
Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?
Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,
Eksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
Løsning eksamen S2 våren 2010
Løsig eksame S våre 010 Oppgave 1 a) 1) f( ) l 1 f ( ) l l l l ( l 1) ) g ( ) 3e g( ) 3e 3e 6e b) Rekke er geometrisk med Rekke kovergerer. Summe er a1 1 1 s 1 k 1 1 1 1 1 k og oppfller dermed kravet 1
Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg Oppgve Løsigsforslg Eksme 7. ugust 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk. Grutilstde ψ (x hr ige ullpukter. Første eksiterte tilstd ψ (x hr ett ullpukt. Når potesilet
8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA3028 S2, Våre 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (24 poeg) a) Deriver fuksjoee 1) 3 f x x 2x 3 2) 2 2
... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon
Deprtmet of Mthemticl Scieces, NTNU, Norwy Octoer 14, 2014 Forelesig 01.10.2014, 5.1, 5.2 Summer Arel uder grfe til e fuksjo som greseverdi til e summe Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e
Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f xx lx ) gx 3 e x b) Gitt
Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + = 1 1 x
Potesrekker Forelest: 29. Sept, 2004 Vi lærte fra de geometriske rekkee at x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x + = 1 1 x så lege x < 1. For uttrykket til høyre er ikke oe aet e sum-formele for geometriske
Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.
Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.
Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast
Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver
Chpter - Dscrete Mthemtcs d Its pplctos Løsgsforslg på utvlgte oppgver vstt Oppgve Gtt 7 ) E mtrse med rder og koloer er e mtrse Geerelt hr v t e m mtrse er e mtrse med m rder og koloer Uttrykket m klles
1 Algebra. Innhold. Algebra S2
Algebra S Algebra Ihold Kompetasemål Algebra, S.... Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3
Eksamen S2, Høsten 2013
Eksame S, Høste 013 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee 1 x a) fx b) gx 5x 1 5 c) hx x e x 3 Oppgave (5 poeg)
Løsning eksamen R2 våren 2010
Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C
Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2006
TMA4 Mtemtikk Høst 26 Norges tekisk turviteskpelige uiversitet Istitutt for mtemtiske fg Løsigsforslg, vsluttede eksme 5.2.26 De første greseverdie er e uestemt form v type "/", og L Hopitls regel gir
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig
... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
R2 eksamen våren 2018
R eksame våre 08 DEL Ute hjelpemidler Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f ( x) = cos ( x ) b) g ( x) = x si x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) ( 4x + 3 ) b) 4x l x dx x dx c) 0 x dx x + 4 Oppgave
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
Læringsmål og pensum. Funksjoner hittil (1) Oversikt. Læringsmål Anonyme og rekursive funksjoner Funksjoner som inn-argumenter Subfunksjoner
1 Lærigsmål og pesum TDT4105 Iformsjostekologi grukurs: Uke 44 Aoyme fuksjoer, fuksjosfuksjoer og rekursjo Lærigsmål Aoyme og rekursive fuksjoer Fuksjoer som i-rgumeter Subfuksjoer Pesum Mtlb, Chpter 10
Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut
Høgskole i Agder Avdelig for relfg EKSAMEN Emekode: MA 410 Emev: Reell lyse Oppgver med forslg til løsiger Dto: 4. mi 000 Vrighet: 09.00-14.00 Atll sider iklusivt forside: Tilltte hjelpemidler: Alle Nyorsktekste
Løsning på kontrolloppgaver 1 Rekker
Løning på kontrolloppgver Rekker Oppgve ) ) Når følgen er ritmetik, er: = + d 8 = + d 8 = d d = 6 = 8 = + d = + 8 = 0 ) Når følgen er geometrik, er: = k 8 = k k = 8 = 9 k = eller k = Siden tllfølgen betår
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Målform: Eksmesdto: 5. jui 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): Studiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg, Elektro, Mski, Kjemi,
Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5
Brøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =
OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:
Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
Mer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
Eksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014
Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15
s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 5. jui 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: tudiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk,
R2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
Uke 12 IN3030 v2019. Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO
Uke 12 IN3030 v2019 Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO Oblig 5 Kovekse Ihylliga Itroduksjo De kovekse ihylliga til pukter Oblig 5 Hva er det, defiisjo Hvorda ser de ut Hva brukes de til? Hvorda fier vi de? 24
Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:
Løsning R2-eksamen høsten 2016
Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( )
Løsningsforslag til øving 4
Høgsole i Gjøi d. for te., ø. og ledelse temti 5 Løsigsforslg til øig OPPGE det ( 8 Determite esisterer ie! K drtise mtriser e determit. i i detc ( i( i ( i( i ( i i i i 5i 5i i i er! Regereglee er de
Kapittel 10 fra læreboka Grafer
Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Eksmesdto: 3. mrs 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): tudiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg,
2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
FASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
ECON 2200 våren 2012: Oppgave på plenumsøvelse den 21. mars
EON våre Jo Vislie ECON våre : Oppgve på pleumsøvelse de. mrs Oppgve E edrift produserer e vre i megde x med produtfusjoe x A, der er ru v reidsrft og er relpitl. Bedrifte opptrer som prisfst vtumstilpsser