Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Transkript

1 Pla for fagdag 3 R Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte yttige selv om følge ikke er aritmetisk, så la oss geeralisere litt: Vi ser på a : 0,2,6,12,20,30,42,... og lager oss e tabell for å få oversikt: Differaser av differaser: D 2 a Differaser: D a Følge: a : Sum: A 1 i 1 a i : Dette var iteressat! Differasee er e lieær fuksjo (første grad) Differasee av differasee er e kostat fuksjo (0te grad) Hypotese: Grade syker med e pr. differase, altså må a være e adregradsfuksjo av! (Vi ser også at summefølge A har a som differasefølge og derfor må være e tredjegradsfuksjo av.) Vi må altså bestemme a,b og c i a a 2 b c Nok med tre pukter på fuksjosgrafe: 1,0, 2,2, 3, 6 På TI83/84 gjør vi: {1,2,3} STO L1 Liste med uavhegig variabel {0,2,6} STO L2 Liste med avhegig variabel a STAT, CALC, 5:QuadReg L1,L2 gir da følgede resultat: Ulve av 5 fagdag_3.tex

2 Altså har vi a 2 1 Et artig poeg med summer og differaser: Mer formelt har vi: D a a 1 a (Defiisjo av differasefølge.) som medfører: D A A 1 A a Da har vi at rekke: a 1 a 2 a 3... a A 2 A 1 A 3 A 2... A 1 A A 1 A 1 da alle ledd utatt A 1 og A 1 forekommer to gager med motsatt forteg og derfor kaselleres! Sagt på e ae måte: i 1 a i 1 1 A i som mier sterkt om: b f x dx b a F x a D A a mier også om: F x f x Bruk av sammehege a a 1 i 1 d i : Ved å studere for eksempel tabelle a : d : ser vi at a a 1 d 1 a 1 d 2 d 1... a 1 d 1 d 2... d 1 a 1 1 i 1 d i Hvis d i er aritmetisk eller geometrisk, ka vi rege ut 1 i 1 d i og fier dermed a! Her er differasee e aritmetisk følge! Da har vi d og S i 1 d i d 2 1 d og dermed også: S 1 1 i 1 d i 1 d 2 1 d Som gir oss: a a 1 1 i 1 d i Geometriske figurer: Figurer er også et godt hjelpemiddel. Vi ser på eksempel 1 side 110, som sier at: Summe av ulike tall er 2 : Vi har også: Ulve av 5 fagdag_3.tex

3 Summe av like tall er 2 : fordi vi ka tege følgede figurer: Arbeidsoppgaver: Istruks: Arbeid 3 og 3 i grupper. Litt om lærigsmålee med oppgavee som kommer: Eksplisitte og rekursive uttryk for a i følger og rekker. Tekikker for å fie eksplisitte uttrykk for a i følger og rekker som ikke er geometriske eller aritmetiske: Gjettig, oppdage sammeheger mellom a og Geometriske resoemeter (Trekattall, tetraedertall, rektageltall, femkattall,...) Se på differasefølger, summefølger og sammehege: a a 1 1 i 1 d i Regresjo på lommereger Iduksjosbevis Oppgave I - Pascals trekat Se på 205 side 205 i læreboke! e) Hvor fier vi differasee mellom leddee i e diagoal? f) I rad og diagoal/koloe r er tallet de biomiske koeffisiete r 5 eksempelvis ! Forklar med figur hvorfor 1 1 r r 1 Oppgave II - Figurtall Fi både rekursive og eksplisitte uttrykk for te ledd i oppgavee som kommer! Trekattallee Se oppgave 211 side 333 og figur side 80. a) Hvorfor kaller vi dem trekattall? Vis med figur! b) Fier du trekattallee i Pascals trekat? c) Skriv trekattallee som summer av positive heltall, og bruk dette til å bevise formele T 1 2. Rektageltallee d) Gjør oppgave 212 side 333 og se på figur side 80. Tetraedertallee e) Gjør oppgave 213 side 333! Obs: Det magler oe kuler i de siste figure, "gruflate" skal ha 6 kuler! Femkattallee f) Gjør oppgave 215 side 333! r, Ulve av 5 fagdag_3.tex

4 "Båt-tallee" g) Gjør oppgave 230 Oppgave III Fi på die ege figur-tall med "Båt-tallee" som ispirasjo! Eksempelvis "Bil-tallee", "Hus-tallee", "Scooter-tallee",... Aalyser og fi både rekursive og eksplisitte uttrykk for te ledd i de tall-følge dere lager. Oppgave IV - Kabeltviig Når ma tvier kabler får ma følgede sammeheg mellom atall kordeler og tykkelse: a) Hvorda går det videre? Fier du oe system? b) Klarer du å fie et uttryk for te ledd a f? Tips: Ka du dele opp figuree i geometriske figurer du klarer å fie atall kordeler i? c) Bruk iduksjosbevis til å vise at formele du fat i b) er riktig. d) Bruk lommereger og regresjo til å vise at formele du fat i b) er riktig. Oppgave V - Spill Vi skal aalysere følgede spill matematisk: Reglee er ekle: Hvite brikker ka bare flyttes mot høyre, svarte bare mot vestre. Hvis det er et ledig felt på de adre side av e brikke ka brikkee hoppe over e ae brikke. De hvite og de svarte brikkee skal bytte plass. a) Hvor mage trekk treger ma? b) Fyll ut følgede tabell: Atall brikker på hver side: Nødvedig atall flytt: a c) Fi systemet i tallfølge som oppstår. Ulve av 5 fagdag_3.tex

5 d) Prøv å fie et uttrykk for a f e) Hvor mage trekk treger ma år det er 100 svarte og 100 hvite brikker? f) Bruk iduksjosbevis og regresjo på lommereger til å bekrefte resultatet i d). Ulve av 5 fagdag_3.tex