Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksame REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål

2 Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter timar. Del skal leverast i etter 5 timar. Valege skrivesaker, passar, lijal med cetimetermål og vikelmålar er tillate. Alle hjelpemiddel er tillate, bortsett frå Iterett og adre verktøy som ka brukast til kommuikasjo. Det er ige vedlegg. Der oppgåvetekste ikkje seier oko aa, ka du velje framgagsmåte sjølv. Dersom oppgåva krev ei bestemt løysigsmetode, vil du òg kue få oko utteljig ved å bruke ei alterativ metode. Karaktere blir fastsett etter ei samla vurderig. Det vil seie at sesor vurderer i kva grad du viser rekedugleik og matematisk forståig gjeomfører logiske resoemet ser samahegar i faget, er oppfisam og ka bruke fagkuskap i ye situasjoar ka bruke formålstelege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgagsmåtar og grugir svar skriv oversiktleg og er øyaktig med utrekigar, emigar, tabellar og grafiske framstilligar Eksame REA304 Matematikk R Side av 4

3 Del 1 Oppgåve 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x x ( ) cos(3 ) b) Bestem itegrala 1) x 5 x e d x 6x ) dx x 1 c) Løys differesiallikiga y y 3 år y 0 d) 1) Bruk formlae cos( u v) cosu cosv siu siv cos( u v) cosu cosv siu siv til å vise 1 cosu cosv cos( u v) cos( u v) ) Bruk 1) til å fie eit uttrykk for cos x. Bestem itegralet cos x dx Eksame REA304 Matematikk R Side 3 av 4

4 e) I dee oppgåva får du bruk for de geerelle samahege b a F ' xdx F b F a Tabelle edafor viser okre fuksjosverdiar for fuksjoae f, g og h. x f( x ) g( x ) h( x) Det blir i tillegg opplyst at f( x) g' x og h( x) g'' x. Bruk tabelle og tilleggsopplysigae til å fie itegrala 1) ) f ( x)dx h( x)dx Eksame REA304 Matematikk R Side 4 av 4

5 Oppgåve Vi har gitt pukta A(3, 0, ), B(0,, 0) og C (1, 1, 4). a) Bestem AB AC. b) Fi ei likig for plaet som går gjeom pukta A, B og C. Ei rett lije l går gjeom puktet P (5, 4, 4) og står vikelrett på plaet. c) Vis at ei parameterframstillig for l er x 5 t y 4 t z 4 t Fi skjerigspuktet mellom l og xz plaet. Vi lèt Q vere eit vilkårleg pukt på lija l. d) Bestem volumet av pyramide ABCQ uttrykt ved t. e) Bestem koordiatae til Q slik at volumet av pyramide ABCQ blir 4. Eksame REA304 Matematikk R Side 5 av 4

6 Del I del vil vi følgje same tema i oppgåvee 3, 4, 5 og 6 alterativ I. I okre tilfelle ka resultat i éi oppgåve komme til ytte i adre oppgåver. Vi presiserer likevel at oppgåvee ka løysast uavhegig av kvaradre. Oppgåve 3 Du skal studere løysiga til differesiallikiga 6 y y y a) Bruk løysiga til de karakteristiske likiga til å vise at de geerelle løysiga til differesiallikiga er 0,x y e C si x D cos x, der C og D er kostatar. 3 y 0. 4 Forklar at løysiga av differesiallikiga då ka skrivast b) Du får oppgitt at y 05 og y x x 0, x 5e (si cos ) (Du ka få bruk for at 3 si = 4 og 3 cos = ) 4 Eksame REA304 Matematikk R Side 6 av 4

7 Oppgåve 4 Fuksjoe f er gitt ved 0,x f( x) 5e (si x cos x), x 0, 15 a) Teik grafe til f. b) Bestem ved rekig ullpukta til f. c) Vis ved rekig at 0,x f x e cos x 3 si x d) Teik forteikslija til f ' x. Bruk de til å vise at fuksjosverdiae til toppukta er 6,164, 1,754 og 0,499. e) Skriv f( x) på forma 0, x f( x) A e si( x ), der A og er kostatar. Fuksjoae p og q er gitt ved du fa i pukt e) over. p( x) Ae 0, x og q( x) Ae 0, x, der A er kostate f) Forklar at q( x) f( x) p( x). Teik grafae til p og q i same koordiatsystem som grafe til f. Eksame REA304 Matematikk R Side 7 av 4

8 Oppgåve 5 Vi vil studere fleire eigeskapar ved fuksjoe f x x x 0,x ( ) 5e (si cos ) år defiisjosmegda er 0,. a) Forklar at det -te ullpuktet til f ka skrivast på forma x,356 ( 1), der 1 b) Kva slags talfølgje daar ullpukta? Kor mage ullpukt får vi dersom x 0, 30? c) Dei tre første fuksjosverdiae til toppukta på grafe til f er gitt i oppgåve 4 d). Alle desse daar òg ei talfølgje. Vis at dee talfølgja er geometrisk, og fi det femte leddet i talfølgja. Vi summerer y -koordiatae til alle toppukta til høgre for origo. d) Vil de rekkja vi får, kovergere år x? Fi evetuelt summe av de uedelege rekkja. Eksame REA304 Matematikk R Side 8 av 4

9 Oppgåve 6 Du skal svare på ate alterativ I eller alterativ II. Dei to alterativa tel like mykje ved vurderiga. (Dersom svaret ditt ieheld delar av begge alterativa, vil berre det du har skrive på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I Eit lodd med masse m er festa i ei fjør som er festa i vegge. Når loddet er i ro, er det i likevektsstillig. Sjå figur 1. Figur 1 Vi trekkjer loddet ut frå likevektsstilliga, gir det eit puff bort frå likevektsstilliga, og set dermed i gag ei svigerørsle fram og tilbake. Sjå figur og figur 3. Avstade frå likevektsstilliga til loddet ved tidspuktet t er y( t ). Sjå figur. Figur Tida t er målt i sekud, og y( t) desimeter. er målt i I horisotal retig verkar to krefter på loddet: Figur 3 * Ei kraft frå fjøra som er proporsjoal med y( t) * Ei friksjoskraft frå uderlaget som er proporsjoal med farte v( t) y ' t Akselerasjoe til klosse er at vt Vi set y t y, v t v og at a. Newtos. lov vil då gi dee likiga bv k y m a der b, k og m er positive kostatar. Eksame REA304 Matematikk R Side 9 av 4

10 a) Vis at dee likiga ka omformast til b k y y y 0 m m Vi set b 1,0 Ns/m, k,6 N/m og m,5 kg. b) Vis at du får differesiallikiga 6 y y y Bestem eit uttrykk for ( ) y t år du får opplyst at y 0 5 og 3 y 0. 4 c) Forklar at det går like lag tid mellom kvar gog loddet passerer likevektsstilliga. d) Vis at det maksimale utslaget y på same side av likevektsstilliga mikar med 71,5% frå eitt utslag til det este. Eksame REA304 Matematikk R Side 10 av 4

11 Alterativ II Summe av dei første ledda i ei rekkje er gitt ved S k k1 a) Forklar at S 1. Fi S 8. Summe av dei første ledda i ei aa rekkje er gitt ved s k k1 3 3 b) Bruk digitalt verktøy til å udersøkje kor mage ledd rekkja må ha for at summe av rekkja skal vere større e Det er blitt påstått at ( 1) c) Bevis formele over ved iduksjo. (Spørsmål c) tel som to delspørsmål.) d) Forklar at Eksame REA304 Matematikk R Side 11 av 4

12 Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres i etter timer. Del skal leveres i etter 5 timer. Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Alle hjelpemidler er tillatt, bortsett fra Iterett og adre verktøy som ka brukes til kommuikasjo. Det er ige vedlegg. Der oppgavetekste ikke sier oe aet, ka du velge framgagsmåte selv. Hvis oppgave krever e bestemt løsigsmetode, vil du også kue få oe uttellig for e alterativ metode. Karaktere blir fastsatt etter e samlet vurderig. Det betyr at sesor vurderer i hvilke grad du viser regeferdigheter og matematisk forståelse gjeomfører logiske resoemeter ser sammeheger i faget, er oppfisom og ka bruke fagkuskap i ye situasjoer ka bruke hesiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgagsmåter og begruer svar skriver oversiktlig og er øyaktig med utregiger, beeviger, tabeller og grafiske framstilliger Eksame REA304 Matematikk R Side 1 av 4

13 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x x ( ) cos(3 ) b) Bestem itegralee 1) x 5 x e d x 6x ) dx x 1 c) Løs differesiallikige y y 3 år y 0 d) 1) Bruk formlee cos( u v) cosu cosv siu siv cos( u v) cosu cosv siu siv til å vise 1 cosu cosv cos( u v) cos( u v) ) Bruk 1) til å fie et uttrykk for cos x. Bestem itegralet cos x dx Eksame REA304 Matematikk R Side 13 av 4

14 e) I dee oppgave får du bruk for de geerelle sammehege b a F ' xdx F b F a Tabelle edefor viser oe fuksjosverdier for fuksjoee f, g og h. x f( x ) g( x ) h( x) Det opplyses i tillegg at f( x) g' x og h( x) g'' x. Bruk tabelle og tilleggsopplysigee til å fie itegralee 1) ) f ( x)dx h( x)dx Eksame REA304 Matematikk R Side 14 av 4

15 Oppgave Vi har gitt puktee A(3, 0, ), B(0,, 0) og C (1, 1, 4). a) Bestem AB AC. b) Fi e likig for plaet som går gjeom puktee A, B og C. E rett lije l går gjeom puktet P (5, 4, 4) og står vikelrett på plaet. c) Vis at e parameterframstillig for l er x 5 t y 4 t z 4 t Fi skjærigspuktet mellom l og xz plaet. Vi lar Q være et vilkårlig pukt på lije l. d) Bestem volumet av pyramide ABCQ uttrykt ved t. e) Bestem koordiatee til Q slik at volumet av pyramide ABCQ blir 4. Eksame REA304 Matematikk R Side 15 av 4

16 Del I del vil vi følge samme tema i oppgavee 3, 4, 5 og 6 alterativ I. I oe tilfeller ka resultater i é oppgave komme til ytte i adre oppgaver. Det presiseres likevel at oppgavee ka løses uavhegig av hveradre. Oppgave 3 Du skal studere løsige til differesiallikige 6 y y y a) Bruk løsige til de karakteristiske likige til å vise at de geerelle løsige til differesiallikige er 0,x y e C si x D cos x, der C og D er kostater. 3 y 0. 4 Forklar at løsige av differesiallikige da ka skrives b) Du får oppgitt at y 05 og y x x 0, x 5e (si cos ) (Du ka få bruk for at 3 si = 4 og 3 cos = ) 4 Eksame REA304 Matematikk R Side 16 av 4

17 Oppgave 4 Fuksjoe f er gitt ved 0,x f( x) 5e (si x cos x), x 0, 15 a) Teg grafe til f. b) Bestem ved regig ullpuktee til f. c) Vis ved regig at 0,x f x e cos x 3 si x d) Teg fortegslije til f ' x. Bruk dee til å vise at fuksjosverdiee til toppuktee er 6,164, 1,754 og 0,499. e) Skriv f( x) på forme 0, x f( x) A e si( x ), der A og er kostater. Fuksjoee p og q er gitt ved du fat i pukt e) over. p( x) Ae 0, x og q( x) Ae 0, x, der A er kostate f) Forklar at q( x) f( x) p( x). Teg grafee til p og q i samme koordiatsystem som grafe til f. Eksame REA304 Matematikk R Side 17 av 4

18 Oppgave 5 Vi vil studere flere egeskaper ved fuksjoe f x x x 0,x ( ) 5e (si cos ) år defiisjosmegde er 0,. a) Forklar at det -te ullpuktet til f ka skrives på forme x,356 ( 1), der 1 b) Hva slags tallfølge daer ullpuktee? Hvor mage ullpukter får vi hvis x 0, 30? c) De tre første fuksjosverdiee til toppuktee på grafe til f er gitt i oppgave 4 d). Alle disse daer også e tallfølge. Vis at dee tallfølge er geometrisk, og fi det femte leddet i tallfølge. Vi summerer y -koordiatee til alle toppuktee til høyre for origo. d) Vil de rekke vi får, kovergere år x? Fi evetuelt summe av de uedelige rekke. Eksame REA304 Matematikk R Side 18 av 4

19 Oppgave 6 Du skal svare på ete alterativ I eller alterativ II. De to alterativee teller like mye ved vurderige. (Dersom besvarelse di ieholder deler av begge alterativee, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I Et lodd med masse m er festet i e fjær som er festet i vegge. Når loddet er i ro, er det i likevektsstillig. Se figur 1. Figur 1 Vi trekker loddet ut fra likevektsstillige, gir det et puff bort fra likevektsstillige, og setter dermed i gag e svigebevegelse fram og tilbake. Se figur og figur 3. Avstade fra likevektsstillige til loddet ved tidspuktet t er y( t ). Se figur. Figur Tida t er målt i sekuder, og y( t) i desimeter. er målt I horisotal retig virker to krefter på loddet: Figur 3 * E kraft fra fjæra som er proporsjoal med y( t) * E friksjoskraft fra uderlaget som er proporsjoal med farte v( t) y ' t Akselerasjoe til klosse er at vt Vi setter y t y, v t v og at a. Newtos. lov vil da gi følgede likig bv k y m a der b, k og m er positive kostater. Eksame REA304 Matematikk R Side 19 av 4

20 a) Vis at dee likige ka omformes til b k y y y 0 m m Vi setter b 1,0 Ns/m, k,6 N/m og m,5 kg. b) Vis at du får differesiallikige 6 y y y Bestem et uttrykk for ( ) y t år du får oppgitt at y 0 5 og 3 y 0. 4 c) Forklar at det går like lag tid mellom hver gag loddet passerer likevektsstillige. d) Vis at det maksimale utslaget y på samme side av likevektsstillige miker med 71,5% fra ett utslag til det este. Eksame REA304 Matematikk R Side 0 av 4

21 Alterativ II Summe av de første leddee i e rekke er gitt ved S k k1 a) Forklar at S 1. Fi S 8. Summe av de første leddee i e ae rekke er gitt ved s k k1 3 3 b) Bruk digitalt verktøy til å udersøke hvor mage ledd rekke må ha for at summe av rekke skal være større e Det er blitt påstått at ( 1) c) Bevis formele over ved iduksjo. (Spørsmål c) teller som to delspørsmål.) d) Forklar at Eksame REA304 Matematikk R Side 1 av 4

22 (Blak side) Eksame REA304 Matematikk R Side av 4

23 (Blak side) Eksame REA304 Matematikk R Side 3 av 4

24 Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grølad 0135 OSLO Telefo