2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Transkript

1 T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter gir e lieær regresjo uttrykket y 0, , 6. Korrelasjoskoeffisiete blir r 0,994. c Stigigstallet beteger de årlige edrige i sitthøyde til orske rekrutter. d Setter vi i 50, får vi y 0, ,6 175,5. Med 150 blir høyde y 0, ,6 187,. De første verdie er mest pålitelig, ettersom de ligger iefor dataområdet. De adre er gaske lagt utefor, og e gjeomsittshøyde på este 190 cm er ok ikke så veldig sasylig. 306 a Høyde på hver stolpe agir totalt atall driftseheter et gitt år. Dermed ka vi lese verdiee direkte og få følgede tabell: Atall år etter Atall eheter (tuse) Lager vi e lieær regresjo på grulag av dee tabelle, får vi uttrykket y, , der y er atall tuse eheter og er atall år etter Korrelasjoskoeffisiete blir r 0,999. b Selv om det totale atallet gårder avtar, ser vi at atallet store gårder øker. Det totale jordbruksarealet burde være tilærmet kostat. c Vi setter i 51 i uttrykket og får y, ,8, altså ca gårder. d For å fie ut år modelle sier det ikke er flere gårder igje, setter vi y 0 og løser 153 for : 55,8, det vil si i løpet av 04., a Ved e lieær regresjo av de to datasettee får vi følgede modell: y 0,944 1, 41 b Korrelasjoskoeffisiete blir r 0,975. c Hvis dommere var helt eige, ville datasettee være idetiske, dvs. at modelle ville være y. Korrelasjoskoeffisiete ville være r 1. Aschehoug Udervisig Side 1 av 7

2 319 a Vi setter i 1 i modelle fra oppgavetekste: 0,4 h( ) 0,8 1 0,8. 0,4 b Med 6 får vi h( ) 0,8 6 1,64. For vekste det sjette året treger vi å vite plates høyde ved igage til det året, altså 0,4 setter vi også i for 5: y 0,8 5 1,5. Plates vekst det sjette året blir altså 1,64 1,5 0,1. c Plott av fuksjoe h( ) 0,8 0,04 : 33 a Lies saldo ka beskrives med e ekspoetialfuksjo. b Vi ka bruke puktee (0,1500) og (4,171,8) i e ekspoetiell regresjo. Da får vi fuksjosuttrykket 15001, 035. c Vekstfaktore er 1,035, så Lies retesats er 3,5 %. Aschehoug Udervisig Side av 7

3 34 a Vi ka igje bruke to pukter til regresjoe, dee gage puktee (0, 3,00) og (1,, 35). Regresjoe gir uttrykket y 3, 000,980. b Vi løser likige 3, 000,980 0,80 grafisk og får 65, 4. Medisie fortsetter altså å virke ca. é time og fem miutter etter ijeksjoe. 330 a På grulag av tabelle lager vi e ekspoetiell regresjo. De gir uttrykket y,31,37. Korrelasjoskoeffisiete er r 0,998. b Vi setter y,3 og får likige,3,3 1,37, som vi forekler til 1,37. Vi løser likige grafisk og får, 0. Dobligstide er, år ifølge modelle. 333 a Vi bruker lieær regresjo på tallee i tabelle, med pris p som uavhegig variabel og etterspørsel E som avhegig variabel. Uttrykket blir E 0,91 p 836. b Itekte er gitt ved atall solgte eheter gager prise per ehet. Hvis vi atar at bedrifte produserer ok eheter til å dekke etterspørsele, ka vi si at itekte er gitt ved pris gager etterspørsel. Da får vi følgede modell: I 1, 096E 917 E, der I er itekte i kroer og E er etterspørsele i atall vareeheter. Aschehoug Udervisig Side 3 av 7

4 334 a Vi bruker kvadratisk regresjo på tallee i tabelle. Adregradsuttrykket blir y 0,860 97, b Vi atar, som oppgave sier, at bedrifte selger alle eheter de produserer. Dermed er atall solgte eheter lik atall produserte eheter. De får prise p 50 kr for hver vare. Videre har vi at overskuddet er lik forskjelle mellom itekter og kostader, eller O I K. Itektee er gitt ved pris per ehet gager atall eheter solgt, altså I p 50. Kostadee er gitt ved adregradsuttrykket i oppgave a. Setter vi dette samme, får vi O I K 50 0,860 97, , c Kurve for overskuddet har maksimum ved 89, altså bør de produsere 89 eheter for å oppå størst mulig overskudd. 335 a Vi bruker lieær regresjo på tallee i tabelle, med pris p som uavhegig variabel og etterspørsel E som avhegig variabel. Uttrykket blir E 0,093 p 136. b Itekte er gitt ved atall solgte eheter gager prise per ehet. Hvis vi atar at bedrifte produserer ok eheter til å dekke etterspørsele, ka vi si at itekte er gitt ved pris gager etterspørsel. Da får vi følgede modell: I 10,8E 146 E, der I er itekte i kroer og E er etterspørsele i atall vareeheter. c Med e kvadratisk regresjo får vi uttrykket som fuksjo av produksjosmegde. K 3, 49 75, for kostadee d Overskuddet er gitt ved O I K 10, , 49 75, , e Fuksjoe for overskuddet har maksimum ved 48. Bedrifte bør altså produsere 48 eheter for å oppå størst mulig overskudd. Vi setter i E 48 i uttrykket E 0,093p 136 fra oppgave a og løser likige: 48 0, 093 p 136 0, 093p 88 p 946, 4 Salgsprise bør være 94 kr ifølge modelle. Aschehoug Udervisig Side 4 av 7

5 338 a Det ser ut til at e potesregresjo gir det beste resultatet. Vi forsøker det, og får 0,377 uttrykket y 1,60. b For får vi 0,377 y 1, a Hvis er et oddetall, ka det skrives 1, der er et aturlig tall. ( 1) Vi ser at ikke ieholder som faktor. Altså er et oddetall. b Hvis er et rasjoalt tall, betyr det at ka skrives som e brøk, a b der a og b er hele tall. Da er a a c b b d der c a og d b. Side kvadratet av et helt tall er et helt tall, er både c og d hele tall. Altså ka skrives som e brøk med hele tall i teller og ever, som betyr at er et rasjoalt tall. 355 a Vi skal bevise: 1 er ikke delbar med 3 er delbar med 3 De kotrapositive implikasjoe til dee påstade er er ikke delbar med 3 1 er delbar med 3 Hvis ikke er delbar med 3, ka vi skrive ete 3 k 1 eller 3 k der k er et helt tall. Vi ser på de to tilfellee hver for seg. og 3 k 1 k k k k k k k 1 (3 1) (3 ) 3 k k k k k k k k 1 (3 ) (3 4 1) I begge tilfellee ieholder 1 tallet 3 som faktor, og er altså delbar med 3. Vi har dermed bevist de kotrapositive implikasjoe. b Vi starter med å ata at t er et rasjoalt tall, dvs. der t og er aturlige tall ute felles faktorer. Da er Aschehoug Udervisig Side 5 av 7

6 t t t Vi ser at t er delelig med, som betyr at t må ha tallet som faktor. Da ka vi skrive t k, der k er et aturlig tall. Dette gir ( k) 4k k Av de siste likige ser vi at er delelig med, som betyr at også må ha tallet som faktor. Me dette betyr altså at både t og har som faktor. Dette er e selvmotsigelse, side vi har atatt at t og er ute felles faktorer. Dermed er påstade vi begyte med, emlig at er et rasjoalt tall, usa. Følgelig har vi bevist at er et irrasjoalt tall. 358 a Vi lager e lieær regresjo på grulag av dataee. Vi får y 39,93 45,55, og korrelasjoskoeffisiete blir r 0,990. Her er atall år etter 1950 og y atall tuse persobiler. b Vekste i de fem første radee ser ut til å være ekspoetiell, altså prøver vi med e ekspoetiell regresjo. Det gir y 65,8 1,13, med e korrelasjoskoeffisiet r 0,997. Aschehoug Udervisig Side 6 av 7

7 50 c Setter vi i for = 50, altså verdie for år 000, får vi y 65,8 1, Det vil si este 30 millioer persobiler! Dette er grue til at ekspoetiell vekst i bilatallet ikke er mulig over lag tid de år absurde verdier, og vekste stopper aldri. 36 a Hvis vi skriver om dataee i vestre koloe til atall år (altså 0, 1,, ), ka vi lage e modell av tidsforløpet til biles verdi. E ekspoetiell modell vil være best eget, side de syker jevt og mot ull. Vi prøver e ekspoetiell regresjo med atall år som avhegig variabel (y) og biles verdi som uavhegig variabel (), agitt i tuse kroer. Resultatet blir y 310 0,880, og vi får e korrelasjosskoeffisiet r 0, b Vi setter i for = 10 og får y(10) 310 0,880 86, 7, altså er bile verdt kr etter ti år. c Når bile er y, er de verdt y (0). Etter ett år har verdie suket til y(1). Forskjelle i verdi er altså y(0) y(1), og vi er iteressert i dee forskjelle oppgitt i proset av y(0). 1 a b y(1) % (0,880 1) 1 % Dermed må vi fie % a b y(0). Dette blir Biles verdi syker med 1 % hvert år. (Vi kue egetlig lest dette direkte av grutallet til.) 367 a Vi lager e ekspoetiell regresjo (på forme y a b ) med tid og fart som heholdsvis uavhegig og avhegig variabel. Vi får y 4,6 0,507. Korrelasjoskoeffisiete blir r 0,967, så det ser ut til å være rimelig god overesstemmelse mellom data og modell. b Fartsverdiee i tabelle er målt i forhold til et ullivå på 0 m s. Hvis vi skriver dem om slik at ullivået ligger på 1 m s, burde e y regresjo gi et bedre resultat. Omskrivige gjør vi ved å trekke 1 m s fra alle fartsverdiee, slik at de blir 4,00, 3,0, 1,90, 1,06, 1,01 E y regresjo gir å y 7,51 0,0797. Korrelasjoskoeffisiete blir r 0,98, altså har vi bedre overesstemmelse e i deloppgave a. Aschehoug Udervisig Side 7 av 7