Ukeoppgaver, uke 42, i Matematikk 10, Bestemt integrasjon. 1
|
|
- Eivind Mathisen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Høgskole i Gjøvik Avdelig for igeiørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 2 I løpet av uke blir løsigsforslag lagt ut på emeside Bestemt itegrasjo. Oppgave Reg ut følgede bestemte itegraler: a) 2 3x 2 +2x +dx b) 3 x 3 dx c) x dx d) π/2 si(t) dt e) dx f) +x2 /3 /6 9x 2 dx Oppgave 2 Fi arealee av områdee i plaet med følgede avgresiger: a) x akse, kurve gitt ved likige y =cos(x), melom x =ogx = π/2. b) x akse, kurve gitt ved y =si(x), mellom x =ogx =2π. Obs.: Arealet er ikke. Teg figur. c ) Kurvee gitt ved y = x 2 +2x ogy = 3x 2. d ) Kurvee gitt ved y = x 2 og y = x. Oppgave 3 a ) Reg ut itegralet b ) x 3 dx. Hvorda kue du ut fra et geometrisk resoemet forutsett dette resultatet. (Hit: Hva slags symmetri har grafe til f(x) =x 3.) Reg ut itegralee x dx og x dx. Hvorda kue du ut fra et geometrisk resoemet lett ha fuet det siste itegralet år du hadde reget ut det første?(hit: Hva slags symmetri har grafe til f(x) =x.)
2 2 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Oppgave I dee oppgave skal dere fie tilærmigsverdi for +x dx 2 ved hjelp av Riemasummer. Det er aturlig å bruke kalkulator på dee oppgave, me hvis kalkulatore har ferdig fuksjo for årege ut dette itegralet som tilærmet desimaltall skal dee ikke brukes. a) La f(x) = +x.fif (x), og vis at f er avtagede på itervallet x. 2 b ) Del itervallet x opp i 5 like deler. Hva er x verdiee der f(x) harsittmiimumpå hvert ekelt itervall? Hva er x verdiee der f(x) harsittmaksimumpå hvert ekelt itervall? Hva er x verdiee i midtpuktet hvert ekelt itervall? Hva er bredde på hvert ekelt itervall? c) Reg ut udersumme 5 s 5 = f(x i )Δx i, i= der f(x i ) er miimumsverdie i hver av de 5 itervallee, mes Δx i er bredde på itervallee. Reg også utoversumme 5 S 5 = f(x i )Δx i, i= der f(x i ) er maksimumsverdie i hver av de 5 itervallee, mes Δx i er bredde på itervallee. Hva ka du (med sikkerhet) si om verdie på f(x) dx ut fra det du har reget ut så lagt? d) Reg så ut Riemasumme R 5 = f(x i )Δx i, e ) i= der du skal velge x i som midtpuktet i hvert av delitervallee. Dette er e tilærmigsverdi (oftest bedre e s 5 og S 5 )for f(x) dx. (Dee deloppgave ka droppes.) Hvis du behersker litt programmerig, f.eks. på kalkulatore eller i passede dataprogram (f.eks. Excel eller Maple) er det fort gjort å rege ut R 5. Gjør dette for å fie e bedre tilærmigsverdi for f(x) dx. Kommetar: I oppgave e reget du ut at dx = π. Detsomergjorthererdermed +x2 å rege ut e tilærmigsverdi for π. Meddesimalererπ Når π skal reges ut, i tidligere tider for håd, me å som ege dataprogrammer, brukes tekikker som er variater (forbedriger) av dette eksemplet.
3 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 3 Oppgave 5 Fi - ute bruk av elektroiske hjelpemidler - e tilærmigsverdi for summe i= Hit: Riemasum ( ) ( ) ( ) ( ) i /2 3 9 π si π = π si 2 π + π si 2 π + + π si 2 π Oppgave 6 - Gjeomsitt Dee oppgave viser det første eksemplet på hvorda vi resoerer via Riemasum for åetablereeformel med itegral. I avedelser har slike modelleriger stor praktisk ytte. Gjeomsittsverdie y for tall y,y 2,...,y er vel kjet fra før? De er y = y + y y = y + y y = Herskalvisepågjeomsittsverdie (middelverdie) av e fuksjo y = f(x) overetitervall. For eksempel ka du teke på temperature i et målepukt som varierer som fuksjo av tide, og vi er iteressert i gjeomsittstemperature et døg. De ka for eksempel se ut som i figure til høyre: E mulighet er åmåle temperature med jeve mellomro, f.eks kl., 3, 5,...,23, som idikert på figure 2 og bruke gjeomsittet av disse måleverdiee som tilærmet tall for gjeomsittstemperature dette y døget. Vi skal å imidlertid teke oss kotiuerlige måliger, og at vi får tak på dee fuksjoe. Vi ka teke oss dette som at vi måler med stadig tettere mellomrom, og får dermed et øyaktigere og øyaktigere aslag av gjeomsittstemperature i dette døget Gjeomsittstemperature målt på dee måte er dermed x y = f(x i ) i= der x i er måletidspuktee. Dette liker på e Riemasum, me er ikke helt riktig form da itervallbredde (tidsrommet mellom måligee), Δx i,ikkeer. De er derimot Δx i = b a,derb a er bredde på itervallet (i dette eksemplet 2 timer). Vi skriver derfor om summe litt for åfåi dette: y = i= f(x i ) b a b a = i= f(x i ) b a b a = b a l i= y i f(x i )Δx i der vi i siste omformig har satt de felles faktore /(b a) utefor summe, og erstattet b a med Δx i.nå er summe e Riemasum. Ved åla,sompåemåte blir åmåle uedelig mage gager, får vi på de ee side det som det er aturlig å defiere som gjeomsittsverdie av fuksjoe (temperature), og på de adre side per defiisjo blir det et itegral. i=
4 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. a ) b ) Fullfør resoemetet, det vil si sett opp y, gjeomsittet av fuksjoe y, som e formel med et itegral. Reg ut gjeomsittstemperature et døg da temperature hadde fuksjo gitt ved ( π ) f(t) = 3cos 2 t.5 (som er de fuksjoe som er i figure). 5..9, Has Petter Horæs
5 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 5 Fasit, Bestemt itegrasjo. Oppgave a) b) c) d) 3 [ x 3 + x 2 + x ] 2 =( ) ( )= x 3 dx = [ ] 3 [ ] 3 2 x 2 = 2x 2 = 8 =8/8 = /9 2 [ ] x /2 dx = 2x /2 =2 2 =2 [ cos(t)] π/2 = cos(π/2) ( cos()) = += e) +x 2 dx =[arcta(x)] = (arcta() arcta()) Side ta(π/) = er arcta() = π/. Side ta() = er arcta() =, så ( π ) +x 2 dx = = π f) Viharat u 2 du =arcsi(u). Ved å erstatte u med 3x og bruke formele f(ax)dx = a F (ax) som ble etablert på forrige oppgavesett, fier vi følgede elemetære fuksjo: /3 /6 F (x) = 3 arcsi(3x) [ ] /3 dx = 9x 2 3 arcsi(3x) = /6 3 arcsi () ( ) 3 arcsi 2 Side si(π/2) = er arcsi() = π/2. Side si(π/6) = /2 erarcsi(/2) = π/6, så Oppgave 2 a) π/2 /3 /6 dx = 9x 2 3 π 2 3 π 6 = 3π π 8 cos(x) dx =[si(x)] π/2 =si(π/2) si() = = b) For x π er y, mes y forπ x 2π. Arealet er itegralet av absoluttverdie: A =[ si(x) ] x 2π =[si(x)] x π +[ si(x)]π x 2π =[ cos(x)] π [ cos(x)]2π π = π 9 =( cos(π) + cos() + cos(2π) cos(π)) =( ( ) + + ( )) =
6 6 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. c) x koordiate til skjærigspuktee fie ved likige x 2 +2x = 3x 2 x 2 + 2x 2= 2x 2 + x =. Dee har røtter ± 2 2 ( ) = ± 3,detvilsiforx = ogx =/2. Dette 2 2 blir itegrasjosgreesee, og i dette området er 3x 2 størst: A = /2 ( 3x 2 ) (x 2 +2x ) dx = [ ] /2 3 x3 x 2 +2x /2 x 2 2x +2)dx = = = 9 d ) Skjærig: x 2 = x, som kvadrert git x = x x x = x(x 3 ) =, med reelle røtter x =ogx =, som også passer i de opprielige likige. For x er x x 2,så Oppgave 3 a) b) A = ( 2 3 3/2 3 3 x 3 dx = [ 2 x /2 x 2 dx = 3 x3/2 3 x3 ) ( 2 3 3/2 ) 3 3 ] = x = = 3 [ ] x = ( ) = = Grafe til f(x) er symmetrisk om origo, side f( x) =( x) 3 = x 3 = f(x). Det betyr at de dele som ligger til vestre for y akse har samme fasog, og dermed areal, me motsatt forteg av de dele som ligger til høyre for y akse. Disse uller derfor ut hveradre. [ ] x dx = 5 x5 = = 5 = 5 [ ] x dx = 5 x5 = ( )5 = 5 5 = 2 5 Grafe til f(x) er symmetrisk om y akse, side f( x) =( x) = x = f(x). Det betyr at de dele som ligger til vestre for y er lik de som ligger til høyre for y akse, bortsett fra at de er speilvete. Dermed har de samme areal, og arealet over hele området er det dobbelte av arealet over halvparte. Oppgave a ) Kjereregele, med ytre fuksjo f(u) = /u = u.daerf (u) = u 2 = /u 2. Kjere er u(x) =+x 2, med derivert u (x) =2x: f (x) = u 2 2x = 8x ( + x 2 ) 2 Nevere er alltid positiv, og tellere 8x forx slik at f (x) forx, og da sepsielt for <x<. Da f (x) er fuksjoe avtagede.
7 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. 7 b ) c) Side fuksjoe er avtagede er miimumsverdie i høyre edepukt av delitervallee. Det vil si x =.2, x 2 =., x 3 =.6, x =.8 ogx 5 =. Av samme gru er maksimumsverdiee i vestre edepukt: x =,x 2 =.2, x 3 =., x =.6 ogx 5 =.8. Midtpuktee er x =., x 2 =.3, x 3 =.5, x =.7 ogx 5 =.9. Itervallbreddee Δx i =.2 for alle i. s 5 = = S 5 = = Vi veit dermed sikkert at 2.93 < dx < 3.3 +x2 d) R 5 = = Som du ser er dette e mye bedre tilærmig til π e s 5 og S 5. e) R 5 =3.63, som er korrekt tilærmig til π med desimaler. Oppgave 5 Ved å dele i itervallet fra til π i like store deler, blir midtpuktet av disse puktee på forme i /2 π,medi {, 2, 3,...,}. Vi ka derfor dae e Riemasum for π si(x) dx ved åvelgeδx i = π og x i ee som over. Riemasumme er da tilærmet lik itegralet, og vi har π ( ) i /2 si(x) dx si π π i= Vi har at π si(x) dx =[ cos(x)]π =2.Vedå multiplisere hvert ledd i summe, og dermed hele summe, med er Riemasumme de summe det spørres etter. Multipliserer derfor begge sider med og får π si(x) dx i= ( ) i /2 π si π i= ( ) i /2 π si π 2 Kommetar: Utregig av summe i Maple gir svaret
8 8 Ukeoppgaver, uke 2, i Matematikk, Bestemt itegrasjo. Oppgave 6 a) Når vi har Riemasumme er det bare å bytte ut summeteget med itegrasjo over itervallet, x i med x og Δx i med dx så har vi itegrajosformele: b a i= f(x i )Δx i b a b a f(x) dx def = y b) y = 2 2 ( π ) 3cos 2 t.5 dt = 2 [ t 3 π/2 si ( π 2 t.5 )] 2 der vi har brukt formele cos(at + b) dt = a si(at + b) på det siste leddet. Setter i gresee og får y = (( 2 36 ( π )) ( 2 π si ( π ))) 2 π si.5 2 = 2 ( 2 36 ) (si(2π.5) si(.5)) π Det ser kaskje ut som du treger kalulator, me merk at argumetee til de to siusleddee er like bortsett fra at første leddet er 2π, altså e periode, mer e i det adre. Dermed er de to siusee like, og ulles ut, så y = 2 = 2 Kommetarer: Fuksjoe i eksemplet sviger øyaktig like mye over grader på dagtid som de sviger uder på attetid dette døget, så derfor er gjeomsittstemperature øyaktig grader. Has Petter Horæs
TMA4120 Matte 4k Høst 2012
TMA41 Matte 4k Høst 1 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag til oppgaver fra Kreyzig utgave 1: 11.1.18 Fuksjoe er lik for < x
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig..4 f ) Skriver om, og får Reger ut ved L'Hopitals regel at cos/) cos/)) = /. cos/)
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011
Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om
DetaljerMA1102 Grunnkurs i Analyse II Vår 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA2 Grukurs i Aalyse II Vår 27 Løsigsforslag Øvig 7 2.5: For hvilke x kovergerer rekke? b) (2x) c) (l x) e) 2 si x 2 b) Dette er
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012
Løsigsforslag til prøveeksame i MAT, våre Oppgave : Vi har A = 3 III+I I+II 3 ( )II 3 3 Legg merke til at A er de utvidede matrise til ligigssystemet. Vi ser at søyle 3 og 4 i de reduserte trappeforme
Detaljer2. Bestem nullpunktene til g.
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).
DetaljerVi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
DetaljerEksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
DetaljerOM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
Detaljerx n = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + = 1 1 x
Potesrekker Forelest: 29. Sept, 2004 Vi lærte fra de geometriske rekkee at x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x + = 1 1 x så lege x < 1. For uttrykket til høyre er ikke oe aet e sum-formele for geometriske
DetaljerEksamen R2, Va ren 2013
Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u
DetaljerMA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag
MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres
DetaljerTotalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%
TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede
Detaljers = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
DetaljerDer oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
DetaljerAvdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng, fjernundervisning
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL mai 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg, fjerudervisig Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig)
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerLøsning eksamen R2 våren 2010
Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C
DetaljerR2 eksamen våren 2018
R eksame våre 08 DEL Ute hjelpemidler Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f ( x) = cos ( x ) b) g ( x) = x si x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) ( 4x + 3 ) b) 4x l x dx x dx c) 0 x dx x + 4 Oppgave
DetaljerBokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =
OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) x x. Deriver funksjonene. a) f( x) 2 sin 3x. Bestem integralene
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeg) Deriver fuksjoee a) f( x) si 3x b) c) si x g ( x) x h( x) x cos x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) 3 ( 3 ) d x x x b) xe x dx c) x x 1 dx Oppgave 3 (4 poeg)
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.
Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka
DetaljerPlan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerUtvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008
Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))
DetaljerLøsning R2-eksamen høsten 2016
Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( )
DetaljerEksamen R2, Våren 2010
Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1)
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.
DetaljerTerminprøve R2 Høsten 2014
Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate
DetaljerTerminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
DetaljerEksamen R2, Våren 2013
Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig
DetaljerEksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
Detaljer«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6
«Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2010
Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6
DetaljerForventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
DetaljerR2 eksamen høsten 2017
R eksame høste 017 DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeg) Deriver fuksjoee a) f x si3 b) g x si x x h x x cos x c) x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee 3 a) x 3x dx b) xe x dx c) x x 1 dx Oppgave 3 (4
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i MAT00 Matematikk I Eksamesdag: Fredag 4 jui 00 Tid for eksame: 0900 00 Oppgavesettet er på sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerUkeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerLøsningsskisse 3MX,
Løsigsskisse MX, 65 Etter første gjeomregig.6.5, tar forbehold om slurvefeil... Oppgave a) ) f x ta u,u x f x 6 cos u cos x ) g x x si x x cosx x six x cosx b) ) x cosxdx x si x sixdx x si x cosx C ) x
DetaljerHøgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:
DetaljerSignifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til
Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede
DetaljerEksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast
DetaljerAVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider
DetaljerKapittel 10 fra læreboka Grafer
Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet
DetaljerOppgavesettet har 11 punkter, 1ab, 2abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Istitutt for matematiske fag SIF53 Matematikk 4N eksame 453 Løsigsforslag Oppgavesettet har pukter, ab, abc, 3, 4, 5ab og 6ab, som teller likt ved bedømmelse a Vi har h(t = t e (t τ f(τ dτ = e t f(t
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 10. august 2010 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksame FY045/TFY450 10. august 010 - løsigsforslag 1 Oppgave 1 Løsigsforslag Eksame 10. august 010 FY045/TFY450 Kvatemekaikk I a. Bølgefuksjoe ψ for første eksiterte tilstad er (i likhet med ψ 4, ψ 6 osv)
DetaljerFINNE n-te RØTTER AV KOMPLEKSE TALL
FINNE -TE RØTTER AV KOMPLEKSE TALL SHIRIN FALLAHI OG ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Vi utdyper det som står helt i slutte av Appediks I i læreboke etter Example 7. Ata at vi vil fie alle -te røttee til et gitt
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerTMA4125 Matematikk 4N
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA425 Matematikk 4N Løsigsforslag - Øvig 9 Fra Kreyszig, avsitt.5 3 Vi skal fie temperature u(x, t) i e stav (L = π, c = ) som er
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerTMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt
DetaljerNumeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016
Numeriske metoder: Euler og Ruge-Kutta Matematikk 3 H 06 Iledig Differesiallikiger spiller e setral rolle i modellerigsproblemer i igeiør viteskap, matematikk, fsikk, aeroautikk, astroomi, damikk, elastisitet,
Detaljer8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
DetaljerForelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling
STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet
DetaljerLsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 4 I seksjon 4.1 gir de innledende oppgavene deg trening i a lse diere
Lsigsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 4 I seksjo 4. gir de iledede ogavee deg treig i a lse dieresligiger, og jeg reger med at det ikke er behov for a utdye lrebokas eksemler og fasit her. Me like
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerFagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
DetaljerDifferensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
DetaljerAvsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
DetaljerLøsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
DetaljerLØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).
LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
DetaljerKap : Derivasjon 1.
Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042
DetaljerAnvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerEksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Mat-1060 Beregningsorientert programmering og statistikk
Fakultet for aturviteskap og tekologi EKSAMENSOPPGAVE Eksame i: (Kode og av) Dato: 05.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdv 9 Mat-1060 Beregigsorietert programmerig og statistikk Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerUke 12 IN3030 v2019. Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO
Uke 12 IN3030 v2019 Eric Jul PSE-gruppa Ifi, UiO Oblig 5 Kovekse Ihylliga Itroduksjo De kovekse ihylliga til pukter Oblig 5 Hva er det, defiisjo Hvorda ser de ut Hva brukes de til? Hvorda fier vi de? 24
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkomme til oversiktsforelesiger i Matematikk 1 med Jørge Edal Følger, rekker, og potesrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesig 2 (kap. 9.3 9.4) Dages økkelbegrep: Sammeligigsteste Gresesammeligigsteste Forholdsteste
DetaljerSkrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret.
Eksame 11. mai 2015 Eksamestid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulerig Skrive og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekig som tregst for å grugje svaret. Oppgåve 1......................................................................................
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
DetaljerEksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast
DetaljerMa Analyse II Øving 5
Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)
DetaljerKommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerUbestemt integrasjon.
Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04
Detaljer«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6
«Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:
DetaljerI løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.
Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi Program for elektro- og datateknikk 7004 TRONDHEIM
ØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avelig for tekologi Program for elektro- og atatekikk 7004 TRONDEIM TALM 003 Matematikk Athoy Croft, Robert Daviso, Marti argreaves, James Flit: Egieerig mathematics, 4.utgave
DetaljerFX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.
ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige
Detaljer