MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

Transkript

1 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( + ) + =! ( + ) ( + ) = 4 = 4 ( + )+ + ( + ), side + = + + = +. Dette går mot 4e > fra deisjoe av e x, og dermed divergerer rekke...7f Omformer uttrykket: ( + ) + = ( ) ( + ) ( + ) = + +. ( Side vi vet at +) = e fra utregigee i forrige oppgave, så vil vi bruke gresesammelikig med /( + ). ( ) ( ) ( + ) = = e >, så rekke divergerer...8a Her ser vi at rekke går omtret som / og bruker derfor gresesammelikigsteste med / / + / 5 3 = / 3 = 4/5 >, hvor vi har delt på 3 i alle ledd. Side grese er større e ka vi kokludere med at rekke divergerer...8e Ved å se på Taylorpolyomet til l( + x) om, så ser vi at l( + x) vil gå omtret som x for små x, og dermed ka vi ata at l( + ) vil gå som / for store. Bruker gresesammelikigstest med / : l( + ) / = +/ 3 / 3 ved L'Hopital i første likhet, så rekke kovergerer. = + / = <,.3. c) Vi vet at er e voksede fuksjo som går mot uedelig. Da vil / være e sykede fuksjo som går mot ull. Dermed kovergerer rekke ved teste for altererede rekker. 6. februar 4 Side av 5

2 Løsigsforslag Øvig 6 e) Ser at cos(/) =, så leddee i rekke vil ikke gå mot ull, og dermed divergerer rekke ved divergesteste. h) Begyer med å se at = divergerer, og at ( ) = kovergerer ved det vi gjorde i oppgave c. Side leddee i rekke i oppgave er summe av leddee i disse to rekkee, så divergerer rekke ved Korollar c Vi har at (/ ) = ( ) ( /). = = Ved deisjoe av e x, så er ( /) = e. Dermed går heller ikke leddee i rekke mot, og rekke divergerer ved divergesteste..3.3b Bruker feilestimatet for altererede rekker: s s a + = + <.5. Dette skjer år > 5, så vi tar med 6 ledd, og får I hele dee oppgave skal vi ata at x <. a) Vi skal vise at Vi bruker setig.. (side 65), og får x + x x 3 + = + x = x + x x 3 + ( x) = ( x) = + x = b) Vi skal forklare hvorfor + x ( x) k x + for x. Rekke ( x) k er altererede, og de oppfyller kriteriee i teste for altererede rekker. Da sier teste for altererede rekker at avstade mellom summe av hele rekke og summe av de første leddee er midre e eller lik absoluttverdie av ledd ummer +, altså ( x) k ( x) k ( x) + Me vi vet fra (a) at ( x) k = x +, og side x, har vi ( x) + = x februar 4 Side av 5

3 Løsigsforslag Øvig 6 Dermed får vi x + ( x) k x +. c) Vi skal vise at l( + x) + for x. Vi deerer e fuksjosfølge (f ) ved og lar fuksjoe f være deert ved f (x) = ( x) k+ k + ( x) k, f(x) = + x x+ + Da vet vi fra (a) at fuksjosfølge (f ) kovergerer puktvis mot f. Vi vil å vise at fuksjosfølge kovergerer uiformt på ethvert itervall [, b] der < b <. For e gitt og e x [, b] har vi ved å bruke resultatet fra (b) at f(x) f (x) = + x ( x) k x + b +. Dette ka vi bruke til å e e øvre grese for avstade mellom f og f på itervallet [, b]: d [,b] (f, f ) = sup{ f(x) f (x) x [, b] } b +. Dermed får vi som betyr at d [,b](f, f ) b+ =, d [,b](f, f ) =. Dette vil si at fuksjosfølge (f ) kovergerer uiformt mot fuksjoe f på itervallet [, b]. La oss å gå løs på selve oppgave. Vi får gitt e x som ligger i itervallet [, ), og skal vise at l( + x) + ( x) k+ k + x+ + Vi ka velge e b som ligger mellom x og. Da ligger x i itervallet [, b], og ved det vi viste over, har vi at fuksjosfølge (f ) kovergerer uiformt mot f på dette itervallet. Dermed ka vi bruke setig.4. (side 66) og få f (t) dt = f(t) dt. () Vi reger ut uttrykkee på vestre og høyre side av dee likige. For vestreside får vi [ ] x f (t) dt = ( t) k dt = ( ) k tk+ k + = ( ) k xk+ k + = ( ) x+ + = ( x) + = + = 6. februar 4 Side 3 av 5

4 Løsigsforslag Øvig 6 og for høyreside får vi f(t) dt = Ved å sette i i likig () får vi da = [ ] x + t dt = l( + t) = l( + x). ( x) + + = l( + x). () Rekke på vestre side i dee likige er e altererede rekke der leddees absoluttverdier avtar og går mot. Ved teste for altererede rekker (.3., side 644) får vi dermed at ( x) k+ ( x) k+ k + k + ( x) + + Når vi setter i summe av rekke fra likig () og rydder litt, får vi l( + x) + ( x) k+ k + x+ +, som var det vi skulle vise. d) Vi skal e e tilærmet verdi til l 3 med øyaktighet bedre e.. Side l 3 ( = l + ), ka vi bruke resultatet fra (c) med x = /. For å få e god ok tilærmig, vil vi velge slik at (/) + <.. + Vi ser at det er tilstrekkelig å velge = 3. Da får vi l 3 3 ( /) k+ k + = / /4 + /8 3 / c) Vi skal avgjøre om rekke = ( ) arcsi er absolutt koverget, betiget koverget eller diverget. Dee rekke er e altererede rekke der leddees absoluttverdier avtar og går mot, så de er koverget ved teste for altererede rekker (.3., side 644). Vi ka imidlertid vise at de ikke er absolutt koverget. Vi bruker gresesammeligigsteste (..8, side 636), og sammeliger rekke med de kjete divergete rekke arcsi = = (se setig..4, side 633). Vi reger ut greseverdie i gresesammeligigsteste ved å bruke l'hôpitals regel: arcsi / / = = = >. / 6. februar 4 Side 4 av 5

5 Løsigsforslag Øvig 6 Dermed sier gresesammeligigsteste at rekke arcsi = også er diverget. Dette betyr at rekke i oppgave er betiget koverget. g) Vi skal avgjøre om rekke ( ) ()! = er absolutt koverget, betiget koverget eller diverget. Her bruker vi forholdsteste. a + /a blir ( + ) + ( + )! ()! = ( + ) ( + ) ()! ( + )( + )()! = ( + ) ( + ) ( + )( + ). (+) Ma har at (+)(+) = /4. Grese til de adre faktore es ved å se på l til uttrykket: ( ) ( ) + + l = l ved L'Hopitals regel. Dermed har vi at og dermed divergerer rekke. = l ( ) + = / ( ) + ( + ) ( + )( + ) = e 4 >, + ( / ) / = + =,.4. d) Vi skal e ut om rekke ( )! ()! = er absolutt koverget, betiget koverget eller diverget. Vi bruker forholdsteste (.4.5, side 648). Vi har ( ) + (+)! ((+))! ( )! ()! = ( + )!/( + )!!/()! ( + )! ()! =! ( + )! = ( + ) ( + )( + ) = + = <. Dermed sier forholdsteste at rekke er absolutt koverget. 6. februar 4 Side 5 av 5