UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i MAT00 Matematikk I Eksamesdag: Fredag 4 jui 00 Tid for eksame: Oppgavesettet er på sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Ige Ett tosidig A4-ark med valgfri tekst Godkjet kalkulator Kotroller at oppgavesettet er komplett før du begyer å besvare spørsmålee LØSNINGSFORSLAG På dee eksamee ka du oppå totalt 67 poeg Vektige av de ulike oppgavee står agitt ved hver deloppgave Poegee på dages eksame legges samme med de poegsumme du fikk på midtveiseksame, slik at samlet poegsum blir maksimalt 00 poeg Dee summe legges til gru for karaktere du får på kurset Oppgave a) 8 poeg Fi alle de atideriverte til fuksjoe f(x) 3xe x Løsig: Vi er ute etter f(x)dx 3xe x dx Vi substituerer Da får vi u x du xdx du xdx f(x)dx 3 xe x dx 3 eu du 3 eu + C, C R 3 ex + C, C R (Fortsettes på side )

2 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side b) 0 poeg E første ordes lieær differesiallikig er gitt ved y + xy xe x Fi de spesielle løsige til dee differesiallikige som tilfredsstiller y(0) Løsig: Vi fier itegrerede faktor: f(x) x, F (x) x, e F (x) e x Gager likige med itegrerede faktor og vi får: e x y + xe x y xe x e x (e x y) xe x + x (e x y) xe x Vi itegrerer med hesy på x og fier et uttrykk for y(x) Bruker 3 gager svaret fra a) (e x y) dx xe x dx (e x y) ex + C, C R y(x) ex + C e x, C R y(x) e x + Ce x, C R Vi bruker iitialbetigelse: y(0) e 0 + Ce 0 + C C Vi får løsige y(x) ( e x + e x) Oppgave E adre ordes differesiallikig er gitt ved y + 4y 0 a) 8 poeg Fi de geerelle løsige til dee differesiallikige (Fortsettes på side 3)

3 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side 3 Løsig: Fier karakteristisk likig som har røtter r i, r + 4 0, r i Dette gir oss, ved løsigsformele for komplekse røtter, y(x) e 0 (C cos(x) + D si(x)), y(x) C cos(x) + D si(x), C, D R C, D R b) 6 poeg Fi de spesielle løsige av differesiallikige som tilfredsstiller y(0) og y (0) 4 3 Løsig: Vi bruker første iitialbetigelse, Vi har da Deriverer vi, får vi y(0) C cos(0) + D si(0) C y(x) cos(x) + D si(x), D R Vi bruker adre iitialbetigelse, y (x) 4 si(x) + D cos(x) y (0) si(0) + D cos(0) 4 3 D D 3 Dette gir oss de spesielle løsige y(x) cos(x) 3 si(x) c) 4 poeg Svaret i b) er e harmoisk svigig Vis ved utregig at svigige ka skrives som Løsig: Vi bruker overgagsformele, Vi får y(x) 4 cos(x 5π 3 ) C cos(bx) + D si(bx) A cos(bx φ), φ 0, π) A + ( 3) 6 4 { cos φ 4 φ : } si φ y(x) 4 cos(x 5π 3 ) φ 5π 3 (Fortsettes på side 4)

4 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side 4 Oppgave 3 For e fuksjo z(t) har vi differesiallikige der k er e positiv reell kostat z kz, a) 8 poeg Løs differesiallikige og fi et uttrykk for z(t) Løsig: Dee differesiallikige ka reges som e separabel- eller ordes lieær difflikig Disse løsigsmetodee er ekvivalete Separabel: z 0 er e triviell løsig til difflikige Vi ka derfor ata z 0 og separere, z z k Itegrerer, Vi fier z, z z dt z dz ordes lieær: På stadard form har vi Itegrerede faktor, Vi får kdt kdt l z kt + C, C R e l z e kt+c, C R, z(t) De kt, D R z + kz 0 f(t) k, F (t) kt, e F (t) e kt (e kt z) 0 e kt z D, D R, z(t) De kt, D R b) 6 poeg La N være et positivt reelt tall Vis at dersom vi har z(0) N og z(5730) N vil løsige i a) være gitt ved z(t) Ne t l 5730 (Fortsettes på side 5)

5 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side 5 Løsig: Bruker betigelsee som er oppgitt i oppgave og fier D og k, z(0) N De 0 D N z(t) Ne kt Dermed får vi løsige z(5730) N Ne 5730k e 5730k ( ) l 5730k l e l 5730k k l 5730 z(t) Ne t l 5730 c) poeg Uttrykket i b) brukes for å berege alder på orgaisk materiale ved e metode kalt Karbo-4 Ma sammeliker iholdet av isotope Karbo-4 i ålevede orgaisk materiale og i det materialet ma øsker å berege aldere til På et arkeologisk utgravigssted i Hellas er det fuet e gammel tretavle med matematiske iskripsjoer Det tas e prøve av tretavle, og måliger viser at verdie av z er 4 5 N Dette betyr at ved et tidspukt t 0 er z(t 0 ) 4 5N De berømte matematikere Pythagoras levde i periode fkr Er det mulig at iskripsjoee ka være laget av ham? Begru svaret ditt ved bruk av modelle i b) Løsig: Bruker opplysigee i tekste, z(t 0 ) 4 5 N t Ne 0 l 5730 ) l ( 4 5 t 0 l 5730 t l ( 4 5 l ) 845 Treet som tretavle er laget av ble hugget for ca 845 år side, altså ca år 65 ekr Pythagoras levde ikke da, og det er derfor umulig at Pythagoras ka ha laget iskripsjoee (Fortsettes på side 6)

6 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side 6 Oppgave 4 kostat Vi atar også at P I hele dee oppgave lar vi P være e positiv reell a) 5 poeg Fi egeverdiee og egevektoree til matrise M, P M 0 P Løsig: Fier først egeverdiee, v v p 0 det(m λi ) λ P 0 P λ ( λ)(p λ) M har altså egeverdier λ og λ P q p q : : P 0 0 P Vi setter parameter for fri variabel, p s, s R Deretter fier vi fra første rad at q 0 Setter vi parametere s, får vi egevektor v 0 P P 0 0 P P Vi setter parameter for fri variabel, q s, s R Deretter fier vi fra første rad at p + q 0, det vil si p q s Setter vi parametere s, får vi egevektor v b) 7 poeg Vi har Gitt fi et uttrykk for + + x0 P 0 P y 0 3, (Fortsettes på side 7)

7 Eksame i MAT00, Fredag 4 jui 00 Side 7 Løsig: Vi skriver først iitialvektore som e lieærkombiasjo av egevektorer, a, b R, x0 3 a + b 0 y 0 Dette gir lieært likigssystem med a, b som variabler, som ka skrives som utvidet matrise, 3 0 4, 0 0 som gir a 4 og b x0 y Bruker vi å relasjoe gitt i oppgave, matriseregler og egeskaper for egeverdier og egevektorer, får vi M 3 ( ) M P 4 P c) 3 poeg Agi for hvilke verdier av P greseverdie lim eksisterer, og agi greseverdie i disse tilfellee Løsig: Vi har fra oppgave at P > 0 og P Observerer først at 4 P lim lim eksisterer dersom P < De eksisterer ikke dersom P > Greseverdie eksisterer for P < Atar P <, og får lim 4 P 4 0 SLUTT (Fortsettes på side 8)