«Uncertainty of the Uncertainty» Del 4 av 6

Transkript

1 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 4 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Iledig Dette er del fire i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». I dag skal jeg vise deg utledige av formele: σ m s, og hvorledes ma bestemmer stadard usikkerhet for e måleserie, og rapporterer riktig. [] Utledig av formel og talleksempel Vi har et måleoppsett, som er vel defiert. Noe parametere holdes kostate, mes adre, som oe omgivelsesparametere (lufttrykk, omgivelsestemperatur og kvalitete på speigsforsyige), er ukotrollerte og varierer aturlig. Dette oppfattes som «målestøy». Vi har e måleserie med to observasjoer: Observasjo r. Avlest måleverdi (Volt) [x ] 9, [x 2 ] 9,859 Måleseries middelverdi [x ] 9,79895 Det at måleverdiee varierer skyldes «støy» i måleoppsettet som vi tillater. Statistikere plasser de observerte måleverdiee [x ] og [x 2 ] på tallstige. Det samme gjør ha (eller hee) med måleseries kalkulerte gjeomsittsverdi [x ]. Alle disse tre verdiee er kjete. Statistikere atar videre at variasjoee i måligee skyldes «støy», og at verdiee x og x 2 er ormalfordelt (Gauss-kurve) om x. x x x 2 Side

2 E hemmelighet som este blir avslørt Du og jeg har e hemmelighet! Vi vet at gjeomsittsverdie for hele populasjoe [ ], ved å ta «Godzilla» av ekeltobservasjoer, ka bevises å være lik =9,8025, me det vet ikke statistikere! Hold på hemmelighete. x x x 2 Statistikere settes på prøve Vi setter statistikere på e kuskapsprøve og ber ha fortelle oss verdie på populasjoes stadardavvik [ ]. Imidlertid, statistikere har ige kjeskap om hvor de sae verdie [ ] ligger, som represeterer måleseries sae gjeomsittsverdi (som du og jeg vet er 9,8025). e e 2 x x 2 For å rapportere måleoppsettets stadardavvik [ ], treger statistikere i utgagspuktet å vite verde på de sae gjeomsittsverdie [ ] for måleoppsettet. Da kue ha ha bereget måleavvikee: e = [x - ] e 2 = [x 2 - ] [2] [3] Me, da de sae gjeomsittverdie [ ] er ukjet for ham, ka statistikere heller ikke vite oe sikkert om verdiee på [e ] og [e 2 ]. Residualee er løsige E vei uteom dette er å jobbe med residual. Disse ka ha tallsette. r r 2 x x x 2 Nå ka statistikere tallfeste residualee: r = [x - x ] r 2 = [x 2 - x ] [4] [5] Side 2

3 Geerelt har ha: r i = x i - x [6] Variase er lik summe av kvadratet av residualee dividert med atall observasjoer [] i måleserie: Måleseries varias = [s 2 ] Summe av (kvadratet av residualee) = Atall observasjoer i måleoppsettet = [x i x ] 2 [7] [8] E er systematisk feil («measuremet bias») Statistikere defierer størrelse [E]. Dette er forskjelle mellom måleseries kalkulerte gjeomsittsverdi [x ] og de for ham ukjete, sae gjeomsittsverdie i måleserie [ ]. E = x - [9] x For et sett med måleobservasjoer har statistikere: E E = (x ) - = ( [x i] ) = ( [x i ] )= [e i] [0] [E] er lik gjeomsittsverdie av avvikee ( [e i] ). Ha ka å skrive følgede viktige setig for e geerell måleobservasjo: r i E e i x x i r i = (x i - x ) = (e i E) [] [2] I og med at statistikere tilfeldigvis har plassert [ ] til høyre for [x ], blir [E] i has eksempel egativ. Derfor blir det likevel riktig å si at r i = e i E [3] Side 3

4 Derfor: Måleseries varias = [s 2 ] Kommetarer [4] = (x i x ) 2 Erstatter s 2 med (x i x ) 2 [5] = (e i E) 2 = (e i E)(e i E) Erstatter (x i x ) med (e i E) [6] Løser opp paretese () 2 [7] = (e i) 2 2E[ (e 2 Kalkulerer paretese ()() [8] i)] + E = (e i) 2 2E[E] + E 2 Erstatter [ (e i)]] med [E] [9] = (e i) 2 2E 2 + E 2 Trekker samme 2E[E] til 2E2 [20] = (e i) 2 E 2 Subtraherer 2E2 + E 2 [2] Måleseries varias = [s 2 ] = (e i) 2 E 2 gjelder for étt målesett á [] observasjoer. Som før, statistikere ka foreta ye, mage måleoppsett med [] observasjoer. Ha ka da kalkulere gjeomsittlig varias for målesettee. Statistikere får da følgede resultat: s 2 = σ 2 (σ m ) 2 [22], hvor s 2 σ 2 er gjeomsittlig varias til målesettee er variase til populasjoe (σ m ) 2 er variase til måleoppsettets gjeomsittsverdi Setralgreseteoremet Fra e tidligere artikkelserie tok jeg for meg setralgreseteoremet. Der kokluderte statistikere med at: σ 2 = (σ m ) 2 (σ m ) 2 = σ2 (σ m ) 2 = σ2 Kommetar Populasjoes varias = multiplisert med utvalgsvariase [23] Dividerer med på hver side av ligige [24] Trekker kvadratrote på hver side av likige [25] Side 4

5 σ m = σ σ = σ m Rydder. [26] Alterativ måte å skrive ligige [23] på [27] Uttrykket (σ m = σ ) er setralgreseteoremet. Stadard usikkerhet for måleoppsettees gjeomsittsverdi [σ m ] er lik populasjoes stadardavvik [σ] dividert med atall observasjoer [] i hver måleserie. Stadard usikkerhet for måleoppsett Statistikere ka skrive: s 2 = [σ 2 ] (σ m ) 2 s 2 = [ (σ m ) 2 ] (σ m ) 2 Formel hetet fra [22]. Gjeomsittlig varias (s ) 2 er lik differase mellom populasjosvariase og utvalgsvariase. [28] Erstatter [σ 2 ] med uttrykket fra setralgreseteoremet σ m [29] s 2 = (σ m ) 2 ( ) Setter (σ m ) 2 utefor fellesparetese [30] (σ m ) 2 = (σ m ) 2 = s 2 ( ) s2 ( ) Dividerer høyre og vestre side med ( ), og rydder [3] Trekker kvadratrote på vestre og høyde side [32] σ m s Da er formele [] utledet som lovet! [33], hvor s σ m er kalkulert stadard usikkerhet for é spesifikk måleserie er atall observasjoer i dee måleserie er stadard usikkerhet for e gjeomsittlig måleserie Side 5

6 Oppsummerig For å kalkulere måleoppsettets stadard usikkerhet, bruk: σ m s, hvor [34] s er atall observasjoer i måleserie er kalkulert stadard usikkerhet for é spesifikk måleserie Altså, år vi vi skal rapportere de mest represetative verdie fra måleoppsett (gjeomsittverdie), bruker vi bereget stadard usikkerhetsverdi for å karakterisere hvorledes de idividuelle måleobservasjoer i måleoppsettet varierer (gruet «støy»). x (σ m ) For eksempel slik: 9,82(0,05) volt. Neste del om «Ucertaity of the Ucertaity» I este del i dee artikkelserie skal jeg vise utledige av formele for uttrykket «Ucertaity of the Ucertaity»: 2υ [35] På gjesy! Med velig hilse Traior Elsikkerhet AS Rue Øverlad Seiorigeiør Tøsberg jui 206 Side 6