Løsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik"

Transkript

1 Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer. Dessverre er disse ofte bare åpe for betalede medlemmer. Videre vil dette løsigsforslaget legge seg på e litt ae kurs e adre løsigsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regeoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om øsket ka raskt se om e har reget riktig eller ei. Har e reget feil, ka e selv rege på ytt ute å få fremgagsmåte spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavee i tur og orde gjere litt øyere e hva som kreves uder eksame. Vi vil også skrive små kommetarer om valige feil elever gjør til e del oppgaver, og også hva som bør eves til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alterative måter å løse oppgavee på. Og et fåtall gager vil vi streife utefor pesum og vise alterative metoder. Dette er et aerledes løsigsforslag, me vi håper de som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før e eksame er å opparbeide seg e god forståelse, og e bred faglig kompetase. Dokumetet her er met å hjelpe leser et lite steg i de retige.

2 Ihold Karaktergreser og Vurderigsskjema Fasitsvar til regeoppgaver IV V Del Oppgave a b c d e Oppgave 2 3 a b c Oppgave 3 4 a b c Del 2 Oppgave 4 6 a b c d Oppgave 5 8 a b c d Oppgave 6 0 a b c II

3 Oppgave 7 a b c d Oppgave 8 3 a b c d e III

4 Karaktergreser og Vurderigsskjema Gjeldede poegfordelig Del Del 2 Sum Oppgave a a2 a3 b c d e e2 2a 2b 2c 3a 3b 3c Poeg Oppgave 4a 4b 4c 4d 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c Poeg a 7b 7c 7d 8a 8b 8c 8d 8e Total atall poeg 60 Karakterfordelige, basert på 2686 besvarelser: Karakter Proset 4.% 6.2% 22.2% 23.6% 8.2% 5.6% Gjeomsittet besvarelsee er 3.3. Karaktergreser Karakter I Poeg I proset Nebuchadezzar s syspukter om årets eksame Arbeidsmegde er oe stor, spesielt hvis eleve ikke bruker digitalt verktøy. Vaskelighetsgrade er ikke for stor, med mage stadardoppgaver. Forhådssesur Det har kommet i kommetarer fra 49 sesorer. Ut fra kommetaree ka det se ut som arbeidsmegde har vært rimelig. Mage meer det er litt mye på del 2, me del har tilsvarede lite arbeidsmegde. Vaskegrade har vært rimelig. IV

5 Kortsvar til regeoppgaver Oppgave a I 6 cos(2x II 2x si x + x 2 cos x III k (x = 5π 2 si ( π 2 x 2 b 2 (2x e2x + C c d y(x = Ce2x hvor C = 9/2 = 9 + /2 e Oppgave 2 a a b = 8 b a b = 2[ 4, 3, 9] ( c a b a = 4 Oppgave 3 a f (x = (x + e x f (x = (x + 2e x b Bupukt (, /e Toppukt ( 2, 2/e 2 c Oppgave 4 a f( = 8.72 så ca 8:40 b likevektslije=9. Amplitude=4. Periode=360. Gjeomsitt = c t = 80 arccos(/4/π, så rudt 5/6 mars og t = π 80 arccos(/4/π, så rudt 4/5 oktober. d t = 80 da varer lyset 23 timer. Så 30 jui/ juli. Oppgave 5 a b c Toppukt (2, 3/4 d α = arcta(3/ Oppgave 6 a k = 2/25 2 b C = /25 y(3 = 645/6 0.2m/s c log ( 5/ m Oppgave 7 a S 5 = 3/5 b c S 5 = 6/0 = 3/5. d lim S = 2 Oppgave 8 a β : 4x 4y + 2z 4 b d = 2 c l(5 + 2t, 2t, 4 + t d D = (, 3, 2 E(7/3, 5/3, 8/3 e ( y ( y ( z = 2 V

6 Del Ute hjelpemider Oppgave (5 poeg a Deriver fuksjoee f(x = 3 si(2x Her bruker vi kjereregele hvor h(x = 3 si ( g(x og h(x = 2x slik at 2 f(x = x 2 si x f (x = h ( g(x g (x = 3 cos(2x 2 = 6 cos(2x Her bruker vi produktregele hvor vi lar u = x 2 og v = si x slik at 3 k(x = 5 cos ( π 2 x f(x = x 2 si x f (x = u v + uv = 2x si x + x 2 cos x Bruker igje kjereregele her med h(x = cos ( g(x så ( k (x = 5 si(g(x g (x = 5π π 2 si 2 x 2 b Bestem itegralet x e 2x dx Ekleste her er ok å bruke delvis itegrasjo med isatt vår vi dermed at ( x 2 e2x u = x v = e 2x u = v = 2 e2x uv = u v u v dx = x 2 e2x 2 e2x dx x e 2x dx = x 2 e2x 4 e2x + C = 4 (2x e2x + C

7 c Vis at 7 3 2x x 2 dx = 2 l 3 4 Flere måter å løse dette problemet på, det ekleste er ok eksempelvis å legge merke til at 7 2x 7 ( x 2 3 x 2 4 dx = 4 [ 3 x 2 4 dx = l ( x 2 4 ] 7 3 = l(8 5 l 5 = ( l l 5 l 5 = 3 l 2 E helt tilsvarede metode er å bruke u = x 2 + du = 2x dx slik at 7 3 2x dx x 2 4 = 45 5 du u = l 45 l 5... Hvor gresee ble byttet side u = x 2 så u = = 5 og u 2 = = 45. Her ka også delbrøkoppspaltig bli beyttet. Vi ser for eksempel at La å f(x = Altså har vi 2x x x x 2 4 = A x 2 2x (x 2(x + 2 = A x 2 + B da har vi at x + 2 B x + 2 lim (x 2 f(x = A A = x 2 lim (x + 2 f(x = B B = x 2 7 x 2 4 dx = 3 x 2 + [ ] 7 x + 2 dx = l(x 2 + l(x = l 5 + l 8 (l + l 5 = 2 l 3 Og til sist ka det eves at delbrøkoppspaltig stregt talt ikke er ødvedig da vi ka se at 2x (x (x 2 = = (x 2(x + 2 (x 2(x + 2 x x 2 d Løs differesiallikige y 2y = 3 år y(0 = 8 De ekleste måte her blir ok itegrerede faktor. Me differesiallikige er og seperabel. y 2y = 3 y = 3 + 2y dy ( dt = 2 y dy y + 3/2 = 2 dt ( l y + 3 = 2t + C 2 y = e 2t+C 2 3 y = De 2t 3 2 Her ble det brukt at e kostat gaget med et tall bare blir e y kostat og at e 3t+C = e C e 3t = De 3t. E helt tilsvarede måte er å bruke de itegrerede faktore. Hvor m = e 2dt = e 2t 2

8 Gager vi hele likige med de itegrerede faktore får vi y e 2t 2ye 2t = 3e 2t ( y e 2t = 3e 2t ye 2t = 3 2 e 2t + C ye 2t e 2t = e [ 2t 3 ] 2 e 2t + C Tilslutt har vi at y(0 = 8, slik at y = Ce 2t = Ce C = 9 2 = e Gitt rekke + e x + e 2x +, x > 0 Forklar at rekke er geometrisk, og at de kovergerer. For at rekke skal være geometrisk må forholdstallet mellom to påfølgede ledd være likt. Vi ser her at r = e x = e 2x e x = e x Slik at rekke er geometrisk. For at rekke skal kovergere må vi ha e x Me dette ser vi fit stemmer da x 0, e 0 = og at e x er sykede slik at e x alltid er positiv og midre eller lik. 2 Vis at summe er gitt ved S(x = ex e x Summe av e uedelig geometrisk rekke er gitt som S = r = ex e x e x = ex e x E helt tilsvarede måte er å skrive om e x til S = e x slik at ex = e x ex e x = e x ex e x Oppgave 2 (5 poeg Vi har gitt vektoree a = [3, 2, 2] og b = [6, 4, 2] Reg ut a a b Det å gage samme to vektorer eller prikkproduktet, er det samme som å legge samme vektor kompoetee parvis. Dette gir oss at a b = [3, 2, 2] [3, 2, ]2 = ( = 4 3

9 b a b Det å ta kryssproduktet mellom to vektorer er hakket mer komplisert. I mer avaserte kurs, blir dette tatt opp øyere, og e lærer kraftigere å eklere metoder for å rege ut dette på. Her blir to ulike metoder vist. Først skriver vi kryssproduktet på matriseform a b = i j k = i = i ( 2 4 j (3 6 + k (6 + 6 = [ 6, 3, 2] = 3[2,, 6] j k Det vi egetlig gjør her er at vi reger ut determiate til e matrise. Overgage ovefor ka virke litt rar, me om e øsker å lese mor om det heter det Ko-faktor ekspasjo. E alterativ måtte er Saurrus regel. Dog er ikke dette e metode som abefales å bruke mye tid på i j k i j = 2i + 6j + 6k ( 6k 4i 3j = 6i 3j + 2k = [ 6, 3, 2] = 3[2,, 6] c ( a b a Mye det samme som første oppgave. Vi bruker bare defiisjoe av prikkproduktet slik at a b = [3, 2, 2] [6, 4, 2] = [ 3, 6, 0] Slik at dette gir oss at ( a b a = 3[, 2, 0] [3, 2, ]2 = 6( = 42 Oppgave 3 (5 poeg Vi har gitt fuksjoe f(x = x e x a Bestem f (x og f (x Hallo dette er defiitivt badekar eple trekkspill Relativt rett frem via produktregele. Setter u = x og v = e x slik at f (x = (x e x + x(e x = e x + xe x = ( + xe x ( Bruker igje produktregele, dee gage med u = + x og v = e x, da får vi f (x = ( + x e x + (e x = e x + ( + xe x = (2 + xe x (2 Selv om forfatter beyttet mye tid på fi tegig. Dee regele fugerer bare for 2x2 og 3x3 matriser, i tillegg er de tregere e Ko-faktorekspasjo. 4

10 b Bestem koordiatee til bupukt og vedepukt på grafe. Evetuelle bupukt fies i edepuktee av itervallet og hvor f (x = 0. Side vi ikke har oe itervall, treger vi bare bry oss om hvor f (x = 0, fra (likig ser vi at dette skjer år x =, side e x aldri er ull. Så x = er ete et bupukt eller toppukt. Videre ser vi fra (likig 2 at f (x = 0 år x = 2. Vi lager e fortegslije for å forsikre oss om at vi faktisk har fuet et bupukt og et vedepukt. Altså er bupuktet til f (x = (2 + xe x 0 f (x = ( + xe x 0 x f har koordiater (, e og vedepuktet til f har koordiater ( 2, 2e 2. Her må det vises at det faktisk er et bupukt, og at det faktisk er et vedepukt. Det er ikke øvedigvis slik at f (a = 0 betyr at a er et vedepukt. Et ekelt moteksempel er for eksempel t(x = x 6. Det blir påstått at de -te deriverte er gitt ved f ( (x = (x + e x c Bevis formele for de -te deriverte ved iduksjo. Mage sliter med å føre bevis, og det er aturlig. Det er oe som må modes, heldigvis er det å føre iduksjosbevis relativt mekaisk.. Vis at det stemmer for grutilfellet, 2. vis at det stemmer for e tilfeldig verdi (gjere kall dee k, vis at dersom det stemmer for k så stemmer det for k+. Sliter e litt med å føre slike bevis, fies gode forklariger på ett. Vi vet allerede at det stemmer for =, dette viste vi i a. Altså at f (x = ( + xe x Ata videre at det stemmer for = k, altså at f k (x = (k + xe x. Vi øsker å vise at dersom det stemmer for = k, så stemmer det for k +, vi øsker å vise at f k+ = (k + + xe x Me vi vet fra før at ( f k (x = f k+ (x, for å utføre derivasjoe velger vi u = k + og v = e x så f k+ (x = ( f k (x = (x + k e x + (x + k(e x = ke x + (x + ke x = (k + + xe x som var det vi øsket å vise. 5

11 Del 2 Med hjelpemider Oppgave 4 (7 poeg E automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på år det begyer å mørke. E modell for dette tidspuktet er gitt ved ( π f(t = 9 4 cos 80 t der f(t er tidspuktet målt i timer etter midatt og t er atall dager reget fra yttår. I dee modelle forutsettes det at alle måeder har 30 dager. a Når begyer det å mørke 25.mars, ifølge modelle? Dette er e litt stygg oppgave, da fuksjoe starter på x = og eder på x = 36. De 25.mars er utifra modele ( π86 f( = 9 4 cos Altså begyer det å mørke ca 8 : 45 de 25 mars. Her er det viktig å gjøre om til miutter og sekuder, og å huske på at 25 mars er de 86 dage i året. b Teg grafe til f. Bestem likevekstlije, amplitude og periode til f. Hva er gjeomsittlig tidspukt i løpet av året for år lyset slås på? Figure er som valig teget med pgfplots. E fi figur ka også forholdsvis ekelt lages i Geogebra eller likede. 23 y f(x = 9 4 cos (πt/80 y = x 6

12 c Bestem år på året lyset slås på klokke 8.00 Utifra tegig ser vi at dette skjer to gager. Ca år x = 70 og år x = 280, me for å få full pott må oppgave løses via regig. Vi ser uasett at vi har to løsiger slik at tegig var til hjelp uasett. For ekehetesskyld lar vi a = π/ cos (at = 8 at = 2π + arccos cos (at = ( 4 4 at = 2π arccos ( 4 Eeste løsigee som tilfrestiller t [, 36] er t = ( a arccos t = 4 a 2π ( a arccos 4 π t = 80 arccos ( π 80 arccos ( Gjør vi dette om til dager og måeder får vi at lyset slås på kl 8:00 rudt 5/6 mars og 4/5 Oktober. Her holder det dessverre ikke bare med årstid, måed må og med. Side modelle ikke er helt virkelighetstro, blir dato midre viktig. d Bestem år på året dagslyset varer legst ifølge modelle. Her er det flere veier til Rom. Utifra figur ser det ut som dagslyset varer legst år ca år x = 80 da varer dagslyset ca 23 timer. Vi har at ( π f(t = 9 4 cos 80 t De maksimale verdie cos(a ka ha er, og de miste verdie cos(a ka ha er. Slik at f(t = 9 4( = 23 er de maksimale verdie f ka ha. Når er cos(a =? Jo dersom a = π Dermed treger vi bare å løse π 80 t = π t = 80 Slik at de dage på året dagslyset varer legst er utifra modelle.juli, da varer dagslyset 23 timer. Del alterative måte går som følger. Vi øsker å fie maks, da ka vi løse f (t = 0. f π ( π (t = 4 80 ( cos 80 t = 0 ( π 0 = si 80 t π = π 80 t t = 80 Her ser vi at for at t [, 360], må =. At dette er et toppukt ser vi utifra figur. = 0 og = 360 gir bupukt. 7

13 Oppgave 5 (8 poeg a Bruk formlee for si(u v og cos(u v til å vise at ta(u v = Her skriver vi først opp sumformlee for sius og cosius si(u v = si u cos v cos u si v cos(u v = cos u cos v si u si v si u cos v cos u si v ta(u v = cos u cos v si u si v Herfra velger vi å dele teller og ever på cos v cos v slik at ta(u v = Som var det vi øsket å vise. si u cos v cos u si v cos u cos v si u si v \ cos u cos v cos u cos v ta(u v = ta u ta v\ + ta u ta v ta u ta v ta(u v = + ta u ta v ta u ta v + ta u ta v D 3.0 m.0 m C α B x m Figur : Illustrasjo til Oppgave 5 A Et bilde har høyde CD = 3.0m. Bildet heger på e vegg slik at uderside av bildet er.0m over øyeivå hos persoe i A (se figur. Avstade fra vegge til persoe er AB = x. På skisse er DAC = α, DAB = u og CAB = v. Vi setter f(x = ta(α = ta(u v b Bruk a til å vise at Vi vet at ta = motsatt slik at hosliggede Så med isatte verdier fås f(x = ta u = 3 + x 3x x og ta v = x ta u ta v f(x = ta(u v = + ta u ta v 3 4x 2 = x + 4 x x2 x 2 = x x2 x = 3x x x 2 + 4x2 x x 2 8

14 Som var det vi øsket å vise. Vi øsker å bestemme avstade x slik at sysvikele α blir størst mulig. c Bestem største verdi for f(x og tilhørede verdi for x. Her må vi fie ut år f (x = 0, fordi stigigstallet i ett topp og bupukt er ull. Her ka vi eksempelvis bruke kvotietregele (brøkregele. f (x = ( u v = u v uv v 2 ( 3x x 2 = (3x (x x(x (x = 3(x x 2x (x = 3 x2 4 (x Herfra ser vi at f (x = 0 år x = ±2, og teller er alltid positiv. Vi lager så e ekel fortegslije for å bestemme hva som er toppukt og bupukt f (x 0 0 x 2 0 x (x x Figur 2: Fortegslije for f (x i Oppgave 5c. Herfra ser vi at 2 er et bupukt, og 2 er et toppukt. De maksimale verdie f ka ha er dermed. f(2 = 3/4. Her ka det også ever at vi ka sløyfe egative verdier side x bør være positiv. Det ka bli problematisk å se på bilde fra iside av vegge. d Bestem de største sysvikele α Sysvikele er gitt som f(x = ta α α = arcta ( f(x. Fra figur eller likede så er arcta x e økede fuksjo, og er dermed størst år x er størst. Følgelig blir de maksimale sysvikele α = arcta (maxf(x = arcta

15 Oppgave 6 (6 poeg E rask fritidsbåt kjører med farte 25m/s da motore plutselig staser. Båte bremses ed i vaet, og x sekuder etter motorstase er farte y m/s, og akselerasjoe er y m/s 2. I dee situasjoe gjelder differesiallikige y = k y 2, k < 0 a Med det samme motore staser, er akselerasjoe 2 m/s 2. Bestem kostate k. Vis at de geerelle løsige av differesiallikige er der C er e kostat. y = 0.02x + C, Merk, her blir vi først bedt om å bestemme k, forså å løse differesiallikige. Vi skal altså bestemme k før vi løser differesiallikige. Med det samme motore staser er akselerasjoe 2 dermed er y (0 = 2, samtidig står det i begyelse at båte kjører med farte 25 m/s. Så y(0 = 25, via isetig får vi da y (0 = k y(0 2 2 = k 25 2 k = Det går også a å løse likige forst også fie k, me dette blir oe mer komplisert. Differesiallikige er ikke av første orde (vi har y kvadrert, me heldigvis er de separabel.for ekelhetes skyld beholder vi lar vi k. Slik at y = k y 2 dy dt y 2 = k y 2 dy = k dt y = kt + D y = kt + C y = 0.02t + C Legg merke til at forteget på kostate ikke spiller oe rolle b Bestem kostate C og farte til båte 3s etter motorstase. Herfra er det ikke spesielt vaskelig å bestemme C vi ka for eksempel ta utgagspukt i at farte til båte like etter motorstoppe var 25m/s (y(0 = 25. Da har vi y(t = 0.02t + C 25 = 0.02 t + C C = 25 Vi treger også å bestemme farte til båte tre sekuder etter motorstoppe så. y(3 = ( 36 3t + C = = = Strekige båte forflytter seg, er S(x meter etter motorstase. Da gjelder s = y 0

16 c Bestem hvor lagt båte forflytter seg i løpet av de tre første sekudee etter motorstase. Her må vi selvsagt itegrere.for ekelhetesskyld beholder vi k og C Dette gir oss y(t = kt + C S = 3 0 y(t dt = 3 Herfra lar vi u = kt + C så du = k dt S = k = = [ l = l 0 kt + C dt 3 kt + C k dt = k 0 ( t + ] 3 25 [ ] l (6 4 l(5 + 2 l (5 ( u du = k [l(u]3 0 = 625 [ ( 6 l = l Hvor de siste algebraiske gymastikkøvelsee selvsagt er frivillige. ( ] 5 2 [ l (6 l(5 2 ] Oppgave 7 (6 poeg E figur består av søyler med kvadratiske ruter med side. De første søyle ieholder è rute, de adre to rute og så videre. Søyle ummer ieholder ruter. Figure edefor er teget for = 5 A C B a Bestem arealet av figure ovefor. Er ikke spesielt vaskelig å berege arealet av figure ovefor. E måte er å se at hver rute har høyde /5 og bredde /5 slik at det totale arealet av figure blir A = = 5 25 = 3 5 b Forklar at det samlede arealet av søyler er S = ( ( Vis at summe ka skrives S = + 2 ( ( 2.

17 C C A B A B = 3 = 5 Figur 3: Figur som viser magekate med ulike atall søyler. Her som sagt flere måter å se dette på. Vi har et vist atall kvadrat og hvert kvadrat har areal (/ 2. I øverste rad vi vil ha slike, i este rad vil vi ha 2 slike osv, da vil det totale arealet være gitt som S = ( ( ( 2 Vi ser at hvert ledd ieholder e felles faktor som ka trekkes ut. Dette gir ( 2 S = ( Summe av de aturlige tallee er gitt som Som var det vi øsket å vise = ( + 2 S = ( 2 2 ( + = + 2 c Bruk rekke til å bestemme S 5. Kommeter svaret. Her er det re isetig. Dette gir S 5 = = 6 0 = 3 5 som var det samme som vi fikk år vi telte ruter. Dette gir idikasjoer på at formele vår er rett. d Vis at lim S = 2 Bruk også at geometrisk resoemet til å begrue at svaret er riktig. Vi øsker å se hva arealet av figure blir år vi deler de i i veldig mage søyler. E figur er vist uder hvor vi bruker 50 søyler Utifra figuree virker det som arealet av figure ærmer seg e likebet trekat med sider og. Altså burde arealet bli S = gh/2 = /2. Vi ka og teke på det som at vi gjør hypoteuse midre og midre hakkete. Med matematikk ka det eksempelvis føres som følger lim S + = lim 2 = lim = 2 side /2 går mot ull år vokser. Som e morsom kuriositet så ka det eves at uasett hvor stor blir, vil legde av hypoteuse alltid være 2, selv om arealet går mot /2 vil ikke 2 legde av hypoteuse gå mot 2. 2 Det er dette som er de feilaktig atakelse i mage morsomme bevis. Eksempelvis files.wordpress.com/200//9e7c48aa-823-4d5f-aa c72d508.jpg (3 2

18 Oppgave 8 (9 poeg I et koordiatsystem er det gitt et pukt P (5,, 4 og et pla α : 2x 2y + z + 2 = 0 Puktee A(0, 0, 4, B(2, 0, 0 og C(,, 4 ligger i et aet pla β. a Bestem likige til β, og forklar at α β. E måte å bestemme likige til beta er å fie to vektorer som ikke er parallelle, også fie e vektor som står ormalt på disse. Videre så har vi = a b = AB = [2, 0, 4] Så plaet β ka skrives som i j k AC = [,, 0] = i = i (0 + 4 j ( k (2 0 = [4, 4, 2] = 2[2, 2, ] j k 2 0 β : a(x x + b(y y + c(z z = 0 2(x 0 2(y 0 + (z 4 = 0 2x 2y + z 4 = 0 Side ormalvektoree til plaee er parallelle, er og plaee parallelle. b Reg ut avstade mellom plaee α og β. Side plaee er parallelle blir avstade mellom plaee e smal sak å fie. E måte er bare å sette e av variablee lik ull. Slik at i xy-plaet så er plaee våre 2x 2y 4 = 0 og 2x 2y 2 = 0, herfra ser vi raskt at avstade mellom plaee er 2. Vi ka og ta α β = 2, og herfra får vi og at avstade er 2. De tredje måte er å rege ut de korteste avstade fra et vilkårlig pukt i α til plaet β. Vi ka her bruke pukt-til-pla formele så d = ax + by + cz + d = = 6 = 2 a2 + b 2 + c Plaee α og β er begge tagetpla til e kule. Setrum S i kula og de to tagerigspuktee D og E ligger på e rett lije l gjeom puktet P. Se (figur 4a og (figur 4b. P α β l P α D E D S β E (a Kule og pla i rommet (b Tverrsitt av kule og pla 3

19 c Sett opp e parameterfremstillig for l Lija må stå vikelrett på begge plaee, for at disse skal tagere kule. Altså må lija som går gjeom P være parallell med ormalvektore til plaee. Så lija ka skrives som x = 5 + 2t l(t = y = 2t z = 4 + t d Bestem koordiatee til D og E. Vi øsker å fie skjærigspuktet mellom plaee og lija l. Fra l har vi allerede uttrykk for x, y og z og vi ka ute videre sette disse i i plalikigee. Isatt i pla α får vi 0 = 2x 2y + z = 2(5 + 2t 2( 2t + (4 + t = 8 + 9t t = 2 Og tilsvarede får vi for plaet β 0 = 2x 2y + z 4 0 = α 6 0 = 2 + 9t t = 4 3 Isatt får vi heholdsvis x = D = l(2 = y = 3 z = 2 som øsket. og ( E = l 3 = 4 x = 7/3 y = 5/3 z = 8/3 e Bestem likige til kula. Likige til kula vil ha setrum midt mellom D og E. Altså får vi at M = 2 (D + E = 2 ( + 7 3, , = (5 3, 7 3, 7 3 Alterativt ka vi bruke parameterfremstillige vår og få ( ( 3 x = 5/3 M = l 2 = y = 7/3 2 4 z = 7/3 videre så vil kula ha radius side avstade mellom D og E (diametere til sirkele er 2 som vist i a. Likige for e sirkel med radius r, og setrum i x 0, y 0, z 0 er gitt som (x x (y y (z z 0 2 = r 2 Slik at med isatte verdier ( x ( + y ( + z 7 2 = 2 3 som var det vi øsket å fie. = 4

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Eksamen 04.06.2012. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 04.06.2012. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 04.06.01 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast

Detaljer

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 26.05.2010. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del : Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar: Del 1 skal leverast

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Matematikk R2. Odd Heir Gunnar Erstad Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL

Matematikk R2. Odd Heir Gunnar Erstad Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL Matematikk R Odd Heir Guar Erstad Håvard Moe Per Are Skrede BOKMÅL Matematikk R dekker målee i læreplae av 006 for Matematikk R i studiespesialiserede utdaigsprogram H Aschehoug & Co (W Nygaard) 008 utgave

Detaljer

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015

LØSNING: Eksamen 17. des. 2015 LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400

E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400 UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall

Detaljer

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2

Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2 Formelsamlig R Formelsamlig i matematikk - R (Uder arbeid...) Ulve.09.0 Vær sill å rapportere evetuelle feil! Her vil jeg prøve å få samlet alle formler jeg meer dere ka ha ytte av både på eksame og i

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

M O N T E R I N G S V E I L E D N I N G

M O N T E R I N G S V E I L E D N I N G AvetaSolar solfager M O N T E R I N G S V E I L E D N I N G for Stebråtlia Versjo: 191113 1 Ihold 1. Kompoeter i leverase, AvetaSolar solfager... 3 2. Tegiger, mål og betegelser på kompoeter... 4 3. Forberedelse...

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser Impex Produkter AS Verkseier Furuluds vei 15 0668 OSLO Tel. 22 32 77 20 Fax 22 32 77 25 ifo@impex.o www.impex.o Leica Lio Presis selvhorisoterede pukt- og lijelaser Still opp, slå på, klar! Med Leica Lio

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual NO 65.044.30-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual NO 65.044.30-1 INNHOLD Tekisk data Side 2 Systemiformasjo, brukere Side 3-4 Legge til og slette brukere Side 5-7 Edrig av sikkerhetsivå Side 8 Programmere: Nødkode

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi Forelesig Elkrafttekikk, 7.08.004 Oppdatert 3.08.004 Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer.

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010

Prøveeksamen 2. Elektronikk 24. mars 2010 Prøveeksame 2 Elektroikk 24. mars 21 OPPGAVE 1 E 8 bit D/A-omformer har et utspeigsområde fra til 8 V V 1LSB, der V 1LSB er de aaloge speige som svarer til det mist sigifikate bit (LSB). a) Hvor stor er

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Deprtmet of Mthemticl Scieces, NTNU, Norwy Octoer 14, 2014 Forelesig 01.10.2014, 5.1, 5.2 Summer Arel uder grfe til e fuksjo som greseverdi til e summe Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Formelsamling i matematikk og statistikk

Formelsamling i matematikk og statistikk Høgskole i Berge Formelsamlig i matematikk og statistikk for Igeiørutdaige FOA, FOA, FOA3, FOA7, FVA4 5.utgave Fuksjoer. Elemetære fuksjoer: a) l y = y = e a = b = log a b = lb l a b) l(ab) = l A + l B,

Detaljer

Refleksjon og brytning av bølger

Refleksjon og brytning av bølger Refleksjo og brytig a bølger Når i å skal studere oe bølgefeomeer, bruker i oerflatebølger på a som eksempel. Derfor begyer i med å gjøre oss kjet med abølger. Fotografiee edefor iser to eksempler på bølgeformer

Detaljer

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX Luex terrassemarkiser. Moterig- og bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX SMRTBOX 4 5 6 7 8 Markises hovedkompoeter og mål Kombikosoll og plasserig rmklokker og justerig Parallelljusterig Motordrift og programmerig

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen 28.11.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 28.11.2011 REA3022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Vedlegg: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k

Oblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 26. oktober 2009 = A = P1 1 A 1 P 1 A 1 A 2 = P 1. A k+1. A k P k Oblig 2 - MAT20 Fredri Meyer 26 otober 2009 Matrisee A i er defiert sli der P er e rotasjosmatrise som defierer i oppgave 2: A A 2 A + = A = P A P = P A P Oppgave Matrisee A i+ og A i er similære det fies

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

DRIVHJUL. - benyttes ved lave turtall n. - gir lav periferikraft F i forhold til effekten P. - gir stor periferikraft F

DRIVHJUL. - benyttes ved lave turtall n. - gir lav periferikraft F i forhold til effekten P. - gir stor periferikraft F Trasmisjoer (lectures otes) Trasmisjoer DRIVHJUL Reimdrift Rullekjeder Tahjul - beyttes ved store turtall - gir lav periferikraft F i forhold til effekte P - beyttes ved lave turtall - gir stor periferikraft

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Reglement for fagskolestudier

Reglement for fagskolestudier Reglemet for fagskolestudier Ved Høyskole Kristiaia R Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 3 Kapittel 1 Geerelle bestemmelser 4 Kapittel 2 - Studiereglemet 6 Kapittel 3 - Opptaksreglemet 8 Kapittel

Detaljer

Partielle differensiallikninger.

Partielle differensiallikninger. Partielle differesiallikiger. à. Iledig. Differesiallikiger kytter samme størrelse og edriger i størrelse. Matematisk kommer dette til uttrykk ved at likige i tillegg til de ukjete fuksjoe også ieholder

Detaljer

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause)

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause) SVÆRT RUBATO - MYE VISUELLE TEGN: Dee låta har svært lite tydelig tempo Derfor må vi fokusere på å gjøre mye visuelle teg til hveradre I tillegg til visuelle teg (mest av alt felles asatser på lage toer

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som

konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som Syrer og r Det fies flere defiisjoer på hva r og r er. Vi skal bruke defiisjoe til Brøsted: E Brøsted er e proto door. E Brøsted er e proto akseptor. 1s 1 Et proto er et hydrogeatom som har mistet sitt

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag 7. april EKSAMEN Ny og utatt øigforlag Emekode: ITD Dato: 6. jauar Hjelpemidler: Eme: Matematikk adre delekame Ekametid: 9.. Faglærer: - To A-ark med valgfritt ihold på begge ider. - Formelhefte. Chritia

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer