Matematikk R2. Odd Heir Gunnar Erstad Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL

Transkript

1 Matematikk R Odd Heir Guar Erstad Håvard Moe Per Are Skrede BOKMÅL

2 Matematikk R dekker målee i læreplae av 006 for Matematikk R i studiespesialiserede utdaigsprogram H Aschehoug & Co (W Nygaard) 008 utgave / opplag 008 Det må ikke kopieres fra dee boka i strid med ådsverklove eller i strid med avtaler om kopierig igått med Kopior, iteresseorga for rettighetshavere til ådsverk Kopierig i strid med lov eller avtale ka føre til erstatigsasvar og idragig, og ka straffes med bøter eller fegsel Redaktører: Dag-Erik Møller, Kut Barder og Ola Vestre Grafisk formgivig og omslag: Moa Dahl og Marit Heggehouge Bearbeidig av omslagsfoto: Grafisk Form / Kathika Kvalstad Eckhoff Ombrekig: Type-it AS Bilderedaktør: Toe Sviige Tekiske illustrasjoer: Frames Tekst og Bilde AS Gruskrift: Sabo 0,8/3 Papir: 00 g Multiart matt 0,9 Trykk og ibidig: AIT Trykk Otta AS ISBN wwwaschehougo Bildeliste s 6ø Narider Nau/AFP Photo/Scapix, s 6m Sciece Photo Library/GV-Press/Nordic Photos, s 6 Sciece Photo Library/GV-Press/Nordic Photos, s 7ø SPL/GV-Press/Nordic Photos, s 7m Olivier Maire/Keystoe/ AP Photo/Scapix, s 7 Giacomo Balla/BONO 008/ The Bridgema Art Library, s 8 Narider Nau/ AFP Photo/Scapix, s 9 Christia Calmeyer, s Alberto Paredes/GV-Press/Nordic Photos, s 8 Sylvai Gradadam/GV-Press/Nordic Photos, s 6 ColorBlid Images/Corbis/Scapix, s 3 Kim Karpeles/GV-Press/ Nordic Photos, s 36 SuperStock/GV-Press/Nordic Photos, s 4 ABP/GV-Press/Nordic Photos, s 6 Terje Bediksby/Scapix, s 63 Richard Cummis/GV-Press/Nordic Photos, s 69 Marc Joseph/GV-Press/Nordic Photos, s 74 Sciece Photo Library/ GV-Press/Nordic Photos, s 8 George Barbiër/GV-Press/Nordic Photos, s 84 DLILLC/Corbis/Scapix, s 9 Sore Breitig/GV-Press/Nordic Photos, s 99 Dag G Nordsvee/Samfoto, s 03 Raymod Forbes/GV-Press/Nordic Photos, s 06 Liae Cary/GV-Press/Nordic Photos, s Comstock Images/GV-Press/Nordic Photos, s 6 Sciece Photo Library/GV-Press/Nordic Photos, s 0 Marti M Rotker/Photo Researchers/GV-Press/Nordic Photos, s 5 Marti Ruger/GV-Press/Nordic Photos, s 30 SuperStock/GV-Press/Nordic Photos, s 37 Kordcom/GV-Press/Nordic Photos, s 44 Georg Gerster/ GV-Press/Nordic Photos, s 56 Sciece Photo Library/GV-Press/Nordic Photos, s 6 SPL/GV-Press/Nordic Photos, s 67 Kordcom/GV-Press/Nordic Photos, s 7 Marti Dohr/Sciece/GV-Press/ Nordic Photos, s 8 Photo Researches/GV-Press/Nordic Photos, s 87 Nordic Photos, s 00 Ole Graf/Zefa/Corbis/Scapix, s 05 Ja Lipka/Mira/Samfoto, s 08 Olivier Maire/Keystoe/AP Photo/Scapix, s 6 Ato J Geisser/ GV-Press/Nordic Photos, s Toy Karumba/AFP Photo/Scapix,s 3 Are Ove Bergo/Dagsavise/Samfoto, s 38 Markus Botzek/Corbis/Scapix, s 43 Sciece Photo Library/GV-Press/Nordic Photos, s 54 Nasjoalbiblioteket i Oslo/Bildesamlige, s 6 Giacomo Balla/BONO 008/The Bridgema Art Library, s 64 Getty Images, s 7 Ed Kashi/Corbis/Scapix, s 75 Mike Kemp/Getty Images, s 87 Lester Lefkowitz/Corbis/Scapix, s 89 Art Wolfe/Getty Images, s 90 The Bridgema Art Library, s 93 AFP Photo/Scapix, s 96 Pedro Armestre/Greepeace/AFP Photo/Scapix, s 303 Mike Powell/Corbis/Scapix, s 309 Turbo/Zefa/Corbis/Scapix, s 38 Felbert + Eickeberg/GV-Press/Nordic Photos, s 35 GV-Press/Nordic Photos, s 338 Breda Rega/ Corbis/Scapix, s 340 Stefao Oppo/GV-Press/Nordic Photos, s 353 Joe Raedle/AFP/Scapix, s 359 Be Margot/AP Photo/Scapix, s 366 Jose Luis Pelaez/Getty Images, s 37 Ja Baig/EPA/Scapix, s 38 Diodia/ GV-Press/Nordic Photos, s 388 George Steimetz/Corbis/Scapix, s 400 Buzz Pictures Ltd/ GV-Press/Nordic Photos, s 404 Mitsuaki Iwago/GV-Press/Nordic Photos, s 406 SPL/GV-Press/Nordic Photos

3 Guide til Matematikk R Aktivitet i starte av hvert kapittel: Lærigsmål i marge ved starte av hvert uderkapittel: AKTIVITET: Å måle vikler ute gradskive I 55 skal du lære å rege ut volumer av omdreiigsfigurer Sikt mot et pukt fra kate av e pult lags et vertikalt A4-ark med e «siktepie», se figure Teg sikteretige på arket Drei siktepie ed til pulte og teg bue som ede av pie følger Da får du e vikel med bue Mål legde av pie og av bue Udersøk om du ka lage et mål for vikele ute å bruke gradskive É mulighet er å berege forholdet mellom buelegde og legde av pie (radie til sirkelbue) 55 VOLUMBEREGNINGER I uderkapittel 5 brukte vi bestemt itegral til å rege ut arealer uder kurver Nå skal vi se at itegralregig også ka brukes til å rege ut volumer Teori: Eksempler: Eksempel l Skjærig mellom pla Hvis to pla ikke er parallelle, skjærer de hveradre lags e rett lije For å bestemme e vektorlikig eller e parameterframstillig for skjærigslija l mellom to pla Π og Σ, treger vi to pukter på lija l, eller ett pukt og e retigsvektor Absolutt vikelmål for e vikel v Vi plasserer toppuktet til e vikel v i setrum av e sirkel med radius 5,0 cm Buelegde b er 6,0 cm Absolutt vikelmål for v er da b 60, cm v = = =, r 5,0 cm b = 6,0 cm v r = 5,0 cm Ilærigsoppgaver, med hevisiger til oppgavesamlige bak i boka: Stifier: side 33 Oppgave 7 Bruk digitalt verktøy til å fie e eksplisitt formel for det -te leddet i tallfølge a, 5, 0, 6, 3, b 3, 7, 55, 9, 5, Oppgavesamlig bak i boka, med tre forslag til stier: 6 Itegralkurver og iitialbetigelser Sti Sti Sti 3 6, 64, 66, 67, 68 63, 64, 66, 68, 69, 60 63, 64, 65, 68, 69, 6, 6 6 Løs likige y = x Skisser oe typiske itegralkurver Kommeter kurveskare Nettstedet:

4 Forord Matematikk R Læreverket Matematikk R er skrevet for læreplae Matematikk R (matematikk for realfag) på studiespesialiserede utdaigsprogram Utdrag fra læreplae fier du på side 45 Læreverket består av Læreboka, alt-i-ett, med teori, eksempler, ilærigsoppgaver og oppgavesamlig Nettstedet, på Lokuso, med bla iteraktive oppgaver og aimasjoer Læreboka Hvert kapittel iledes med e kort aktivitet som ka gi deg e idé om hva kapitlet ieholder Aktivitetee eger seg godt for samtale I hvert uderkapittel fier du teori, eksempler og ilærigsoppgaver Ilærigsoppgavee er plassert løpede i tekste, slik at du hele tide ka kotrollere om du har forstått lærestoffet Du bør rege alle ilærigsoppgavee Du ka så gå til oppgavesamlige bak i boka for videre arbeid og utdypig I slutte av hvert kapittel fier du e kapitteltest og et sammedrag Her ka du kotrollere om du har forstått helhete i kapitlet Sammedragee ieholder bla orsk-egelske ordlister med ti setrale begreper fra kapitlet Du fier løsiger til ilærigsoppgavee og kapitteltestee på ettstedet Uderveis har vi plassert bilder som ka utdype tekste og kytte stoffet til samfu og kultur Vi oppfordrer til aktiv bruk av bildee * Oppgavesamlige bak i læreboka I oppgavesamlige fier du varierte oppgaver av mage forskjellige typer og vaskelighetsgrader Du fier bladede oppgaver i slutte av hvert kapittel Dessute teste «5 rette eller gale» og eksamesoppgaver Eksamesoppgavee er merket med X Oppgavee iefor et uderkapittel er ordet etter vaskelighetsgrad De letteste er ikke markert De oe vaskeligere er markert med trekater: eller De bladede oppgavee har ikke markeriger for vaskelighetsgrad Noe oppgaver fra oppgavesamlige har løsiger på ettstedet Disse oppgavee er merket med stjere *

5 Til hjelp i arbeidet har vi laget Stifiere, e tabell med tre forskjellige forslag til «stier» E sti er et utvalg av oppgaver satt i e passede rekkefølge Sti er lettest Sti 3 er vaskeligst Nettstedet Nettstedet har samme kapittelidelig som læreboka Til hvert kapittel har vi laget iteraktive oppgaver av mage typer Her får du vite med e gag om du har svart riktig, og ofte ka du velge å se hit og løsigsforslag Vi har også laget aimasjoer, regeark, lekesamlig, lekeoppgaver og opplærigskurs i bruk av digitale verktøy Nettstedet vil være i stadig utviklig Digitale verktøy Der det har vært aktuelt å forklare bruke av lommeregere, har vi forklart itastige for Casio CFX-9850/fx-9860-seriee og Texas TI-83/TI-84-seriee I oe oppgaver blir du bedt om å bruke digitalt verktøy Disse oppgavee ka valigvis løses både på lommereger og ved å bruke adre digitale verktøy Det vil i e del tilfeller være aktuelt å bruke regeark i arbeidet med matematikk Derfor har vi tatt med eksempler på slik bruk Forklarigee er tilpasset Microsoft Excel og regearket i OpeOffice Du ka bruke registeret for å fie hvor i boka bruk av digitale verktøy er forklart Se stikkordee digitalt verktøy, GeoGebra, Lokus, lommereger, regeark, symbolbehadlede verktøy og TI-spire Takk Vi takker kosuletee Jostei Walle, Petter Calli, Åse Alvær Pederse, Filip Hase og Terrece Baie for gode forslag og ispill E spesiell takk til redaktøree Dag-Erik Møller, Kut Barder og Ola Vestre og tekisk redaktør Fred W Alvad Lykke til I årees løp har vi fått mage yttige tilbakemeldiger fra elever og lærere Øsker du å gi kommetarer, ka du bruke adresse matematikkr@aschehougo Vi øsker deg lykke til med bruke av læreverket! Hilse Odd Heir, Guar Erstad, Håvard Moe og Per Are Skrede

6 Ihold Vektorer Vektorer i rommet 9 Parameterframstilliger 0 3 Vektorprodukt 6 4 Pla 37 5 Mer om pla og lijer 43 6 Avstad mellom pukter, lijer og pla 5 7 Romfigurer 6 Kapitteltest Sammedrag 7 Algebra Tallfølger 75 Rekker 83 3 Aritmetiske rekker 87 4 Geometriske rekker 9 5 Uedelige geometriske rekker 03 6 Iduksjosbevis 09 Kapitteltest Sammedrag 4 3 Trigoometri 3 Trigoometriske fuksjoer 7 3 Trigoometriske grulikiger 4 33 Trigoometriske likiger 9 34 Sumformlee Absolutt vikelmål Fuksjoe Asi( cx+ j) + d Fuksjoe asi cx+ bcos cx 54 Kapitteltest Sammedrag 60

7 4 Fuksjoer 4 De deriverte av trigoometriske fuksjoer 63 4 Drøftig av setrale fuksjoer Lieær modellerig Ikke-lieær modellerig Regresjo med regeark Modellerig i praksis 00 Kapitteltest Sammedrag 06 5 Itegraler 5 Det bestemte itegralet 09 5 Det ubestemte itegralet 7 53 Bestemt itegral ved atideriverig 5 54 Itegrasjosmetoder Volumberegiger 5 Kapitteltest Sammedrag 60 6 Differesiallikiger 6 E y type likiger 63 6 Itegralkurver og iitialbetigelser Separable differesiallikiger Itegrerede faktor Praktisk bruk av differesiallikiger 8 66 Differesiallikiger av adre orde Flere tekikker 307 Kapitteltest Sammedrag 30 Oppgavesamlig 3 Utdrag fra læreplae i Matematikk R 45 Fasit Ilærigsoppgaver og kapitteltester 47 Fasit Oppgavesamlig 430 Register 454

8 Vektorer Bildet er fra Amritsar i Pujabprovise i ordvest-idia og viser bar som deltar i hidufeste Dussehra Dussehra feires over hele Idia i oktober og er e markerig av det godes seier over det ode AKTIVITET: Hvor lag vei har krypee? Figure viser klasserommet til e R-gruppe I det ee hjøret A befier det seg to edderkopper og e marihøe For å få bedre oversikt år udervisige starter, forflytter de seg til hjøret B De ee edderkoppe har et sev av agorafobi (redsel for åpe plasser) som ikke må forveksles med arakofobi (edderkoppskrekk) Derfor ferdes de bare lags kater De adre tar korteste veie, til «fots» eller «på viger» A,0 m C D 6,0 m B 4,0 m Hva er de korteste veie for edderkoppe med agorafobi, edderkoppe ute agorafobi og marihøa? E tredje geometriiteressert edderkopp starter fra C og skal til D Hva er de korteste veie for hee? C og D er midtpukter på hver si sidekat (Tek litt på dee)

9 Vektorer 9 VEKTORER I ROMMET I skal du lære å rege med vektorer i et tredimesjoalt koordiatsystem y x Koordiater i rommet I R lærte du om geometri og vektorer i plaet I plaet ka vi plassere hvert pukt ved hjelp av to koordiater, é x- ogé y-koordiat I dette kapitlet skal vi opp fra plaet og ut i rommet Da treger vi et koordiatsystem med tre akser, e x-akse, e y-akse og e z-akse I de fleste situasjoer er det praktisk å la z-akse stå vikelrett på både x- og y-akse For koordiatsystemet på figure har vi to muligheter for orieterige til z-akse De ka ha retig «ut av papiret» eller «i i papiret» I et høyrehåds koordiatsystem kommer z-akse ut av papiret år x- og y-akse har retigee som på figure Ved å rotere litt på koordiatsystemet, me beholde de ibyrdes orieterige til aksee, ka vi få fram e viss tredimesjoal effekt z z y y x x For å forsikre oss om at koordiataksee daer et høyrehåds koordiatsystem, ka vi bruke høyrehådsregele La e strak pekefiger på høyre håd peke lags x-akse Bøy de adre figree slik at de peker lags y-akse Da skal tommele peke lags z-akse Med tre koordiatakser vil det til hvert pukt i rommet svare tre koordiater Og til hvert ordet talltrippel ( x, y, z) svarer det ett bestemt pukt z z P = (x, y, z ) x y y x

10 0 Vektorer Eksempel Koordiater i rommet Et pukt P har koordiatee ( 3, 4, ) z z P = (3, 4, ) 4 x 3 O y 4 O y 3 x P = (3, 4, ) For å komme fra origo O til P må vi gå tre eheter i x-retige, fire eheter i egativ y-retig og to eheter i z-retige x- og z-akse defierer et pla, som vi kaller xz-plaet xz-plaet er altså det plaet som ieholder både x-akse og z-akse Alle pukter i rommet med for eksempel y-koordiat 3 ligger tre eheter fra xz-plaet i positiv y-retig, det vil si i de retige y-akse peker z z z y y y x x x xz-plaet xy-plaet yz-plaet Tilsvarede ligger alle pukter med z-koordiat 5, fem eheter fra xy-plaet Hva ka du si om et pukt som ligger fire eheter fra yz-plaet? Oppgave Teg et høyrehåds tredimesjoalt koordiatsystem og teg i puktee a P = ( 4, 3, 0) b Q = (, 5, ) c P = (, 5, ) Oppgave a Hva er avstade fra puktet P = (, 3, ) til xy-plaet, xz-plaet og til yz-plaet? b Hva er avstade fra Q = (, 0, 4) til xy-plaet, xz-plaet og til yz-plaet? c Et pukt R ligger fire eheter fra xy-plaet, to eheter fra xz-plaet og fem eheter fra yz-plaet Skriv ed alle mulige koordiater for R

11 Vektorer Avstader i rommet I plaet fier vi avstade mellom to pukter ved å bruke pytagorassetige y Q = (x, y ) P = (x, y ) x x y y x PQ = ( x x ) + ( y y ) I rommet får vi e tilsvarede formel ved å bruke pytagorassetige to gager Vi skal fie avstade mellom puktee P = ( x, y, z) og Q= ( x, y, z) VilarR være puktet med samme x- og y-koordiat som Q, og samme z-koordiat som P Puktet S har samme y- ogz-koordiat som P, og samme x-koordiat som Q Q = (x, y, z ) z P = (x, y, z ) RQ = z z S SR = y y R PS = x x y x P Q S R P R PQ er hypoteuse i de rettviklede trekate PRQ Det gir PQ = PR + RQ PR er hypoteuse i de rettviklede trekate PSR Det gir PR = PS + SR Setter vi i i, får vi PQ = PS + SR + RQ = ( x x ) + ( y y ) + ( z z )

12 Vektorer Det gir avstadsformele: Avstade mellom to pukter i rommet Gitt puktee Q= ( x, y, z) og P = ( x, y, z) Da er avstade mellom puktee QP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Setter vi Q = ( 0, 0, 0) og P = ( x, y, z) i avstadsformele, får vi: Avstade fra origo til et pukt i rommet Avstade fra origo O til Px (, y, z) er OP = x + y + z Avstade mellom to pukter i rommet Eksempel Avstade mellom to pukter Vi skal bestemme avstade mellom puktee P = (, 3, 4) og Q = ( 5,, ) Vi bruker avstadsformele og får ( ) + PQ = ( 5 ) + ( 3) ( 4) = ( 5) = 59 = 7, 68 Oppgave 3 Reg ut avstade fra origo til puktet P år a P = ( 4,, 4) b P = (, 5, )

13 Vektorer 3 Oppgave 4 Bestem avstade mellom puktee P og Q år a P = (, 3, ) og Q = ( 6, 4, 5) b P = ( 4,, ) og Q = (, 4, ) c P = (, 5, ) og Q = (, 4, 5) Vektorer i rommet Vi ka ta med oss alt vi lærte om vektorer i plaet, til romgeometrie For eksempel ka vi addere to vektorer i rommet ved parallellogrammetode eller trekatmetode x z O a A b y B v u + v u u + v De to vektoree u og v bestemmer et pla Π, og vektorsumme u og v ligger i plaet Π To pukter A og B har posisjosvektoree a og b Da er AB = AO + OB = OA + OB = a + b = b a u v Eksempel 3 Vektoruttrykk i e pyramide A, B, C og D daer e trekatet pyramide E slik pyramide med fire sideflater kaller vi et tetraeder (fireplasfigur, tetra = fire, hedra = flate) D Q Vi lar P være midtpuktet på AB, ogq være midtpuktet på CD Vi setter u = AB, v = AC og w = AD Vi skal fie BC, CD og PQ uttrykt ved u, v og w BC = BA + AC = u + v = v u CD = CA + AD = v + w = w v PQ = PB + BC + CQ Vektoree PB og CQ uttrykt ved u, v og w blir PB = u og CQ = CD = w v Det gir PQ= u+ v u+ ( w v) = u u+ v v + w = u+ v w + A w v u P B C

14 4 Vektorer I eksempel 3 ka vi velge adre «veier» fra P til Q Går vi fra P til A først, ka vi utytte midtpuktsformele fra R for vektore fra A til Q Midtpuktet på lijestykket mellom to pukter Vi lar M være midtpuktet på lijestykket mellom puktee P og Q Da er OM = ( OP + OQ ) posisjosvektore for M 3 I eksempel 3 er Q midtpuktet på CD Daer AQ = ( AC + AD) = ( v + w) Oppgave 5 La R være midtpuktet på AD og S være midtpuktet på BC i pyramide i eksempel 3 a Fi RS uttrykt ved u, v og w b Fi AR + RS uttrykt ved u, v og w c Fi AP + PQ uttrykt ved u, v og w Hva ka du slutte av dette svaret og svaret i oppgave b? x z e z e x e y y Vektorkoordiater i rommet I et todimesjoalt koordiatsystem med e x og som ehetsvektorer ka alle vektorer uttrykkes ved e x og ey I et tredimesjoalt koordiatsystem treger vi også e ehetsvektor lags z-akse De skriver vi som Alle vektorer i et romkoordiatsystem ka uttrykkes ved de tre ehetsvektoree For eksempel er v = 3ex ey + ez e vektor som framkommer ved å gå tre eheter i x-retige, to eheter i egativ y-retig og é ehet i z-retige e z ey Et pukt P = ( x, y, z) har posisjosvektore OP = x e + y e + z e, der O er origo x y z z OP P xe x O ze z y x ye y

15 Vektorer 5 Eksempel 4 Vektor mellom to gitte pukter Når P = (, 3, ) og Q = ( 5,, ), får vi disse posisjosvektoree til P og Q: z OP = e + 3e + e x y z OQ = 5e + e e x y z P = (, 3, ) Vektore PQ blir PQ = PO + OQ = OP + OQ = OQ OP = 5e x + ey ez ( ex + 3ey + ez) = 5e + e e + e 3e e = 7e e 4e x y z x y z x y z x O Q = (5,, ) y Med vektorkoordiater skriver vi vektore PQ i eksempel 4 som [ 7,, 4] Dette betyr at vi må gå sju eheter i x-retige, to eheter i egativ y-retig og fire eheter i egativ z-retig for å komme fra P til Q Geerelt skriver vi [ x, y, z] for vektore x e + y e + z e Oppgave 6 Bruk 3 på forrige side til å fie posisjosvektore til midtpuktet M på lijestykket mellom P = ( x, y, z) og Q= ( x, y, z ) Hva er koordiatee til M? Regeregler med vektorkoordiater x y z For vektorer i et tredimesjoalt koordiatsystem har vi følgede regeregler: Vektoraddisjo og multiplikasjo med skalar [ x, y, z] + [ x, y, z] = [ x + x, y + y, z + z] [ x, y, z] [ x, y, z] = [ x x, y y, z z] k [ x, y, z ] = [ kx, ky, kz ] Eksempel 5 Vektordifferase og multiplikasjo med skalar Vi skal rege ut u 5v år u = [ 3, 5, ] og v = [ 0,, ] u 5v = [ 3, 5, ] 5 [ 0,, ] = [ 6, 0, ] [ 0, 5, 0] = [ 6 0, 0 ( 5), 0] = [ 6, 5, 8]

16 6 Vektorer Oppgave 7 u = [ 4,, ] og v = [, 0, 3] Reg ut a u+ v b 3 v u Vektore mellom to pukter Gitt puktee P = ( x, y, z) og Q= ( x, y, z) PQ = [ x x, y y, z z ] Bevis: PQ = PO + OQ = OQ OP = [ x, y, z] [ x, y, z ] = [ x,, x y y z z] Legde av e vektor Ved å bruke avstadsformele fra side får vi legde av PQ PQ = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Setter vi Q= ( x, y, z) og P = O=( 0, 0, 0) i 4, får vi OQ = x + y + z 4 Det gir: Legde av e vektor Vektore v = [ x, y, z] har legde v = x + y + z Eksempel 6 Legde av e vektor Vektore v = [ 4, 3, ] har legde v = 4 + ( 3) + = 9 = 5,39 E vektor som har legde, kaller vi e ehetsvektor u Geerelt er e ehetsvektor i retige til u u For v = [ 4, 3, ] i eksempel 6 får vi v v = [ 4, 3, ] 4 3 =,, = [ 074,, 056,, 037, ] [, 074, 056,, 037, ] er altså e ehetsvektor i retige til v = [ 4, 3, ]

17 Vektorer 7 Oppgave 8 Fi PQ og PQ år a P = (,, 0) og Q = ( 6,, 3) b P = ( 4,, ) og Q = (,, 3) c P = ( 5,, 3) og Q = (,, 4) Oppgave 9 a Reg ut legde av v = [, 3, 4] b Reg ut legde av v = [, 5, ] c Bestem mulige verdier for t slik at [ 5, 3, t] = 0 Parallelle vektorer To vektorer u og v er parallelle hvis og bare hvis det eksisterer et tall k slik at u = k v uv u= kv ( v 0) Eksempel 7 Parallelle vektorer Vi skal bestemme s og t slik at u = [ 5, s, ] og v = [, 3, t] blir parallelle Da må vi fie e k slik at u = k v [ 5, s, ] = k [, 3, t] [ 5, s, ] = [ k, 3k, kt] Fra x-kompoetee ka vi fie k: 5= k 5 5 k = = Fra y-kompoetee får vi s = 3 k = = = = 5, 4 z-kompoetee gir 5 = kt = t t = = 4, 5 Vektoree u = [ 5,, 5, ] og v = [, 3,, 4] er parallelle Oppgave 0 Bestem s og t slik at u og v blir parallelle a u = [ 4, 3, s] og v = [, t, 6] b u = [,, 0] og v = [ 5, s, t] c u = [ s, s, ] og v = [ t, t, 6]

18 8 Vektorer z u v y Skalarprodukt I R defierte vi skalarproduktet av to vektorer u og v : u v = u v cosα Dee defiisjoe gjelder også i rommet α er vikele mellom vektoree u og v Det vil si de miste vikele vi må dreie é av vektoree for at de skal få samme retig som de adre vektore Det betyr at vikele α ligger i itervallet [ 0, 80 ] x For skalarproduktet gjelder disse regereglee: u v = v u u ( v + w ) = u v + u w u ( kv ) = ku v Av defiisjoe på skalarprodukt og regereglee ovefor ka vi utlede e formel for skalarprodukt på koordiatform Hvis vikele α mellom to vektorer er 90, er cosα = 0 Da er også skalarproduktet lik ull Derfor er ex ey = ey ez = ez ex =0 I tillegg er e e = e e = e e = x x y y z z Ved å bruke regereglee ovefor får vi ( xe + ye + ze) ( xe + ye + ze) x y z x y z = xe x xe x + xe x ye y + xe x ze z + ye y xe x + ye y y e + ye y ze z + ze z xe x + ze z ye y + ze z ze z = xe xe + ye ye + ze ze x x y y z z y = x x + y y + z z

19 Vektorer 9 Skalarprodukt på koordiatform [ x, y, z ] [ x, y, z ] = x x + y y + z z Eksempel 8 Skalarprodukt Vi skal rege ut skalarproduktee u vog u wår u = [ 4, 3, ], v = [, 3, 5] og w = [, 6, 0] u v = [ 4, 3, ] [, 3, 5] = ( ) 5= = 8 u w = [ 4, 3, ] [, 6, 0] = 4 ( ) ( ) 0= = 0 Side u w =0, står u og w vikelrett på hveradre u og v står ikke vikelrett på hveradre Da u ver større e ull, er vikele mellom u og v mellom 0 og 90 I R kalte vi to vektorer som står vikelrett på hveradre for ortogoale vektorer Ortogoale vektorer u v = 0 u v x x + y y + z z = 0 [ x, y, z ] [ x, y, z ] Vi sier at 0 er vikelrett på ehver vektor Derfor gjelder ekvivalese ovefor også hvis é av (eller begge) vektoree er 0 Oppgave Reg ut skalarproduktet u vog avgjør om vektoree står vikelrett på hveradre a u = [,, 4] og v = [ 0, 4, ] b u = [ 5,, ] og v = [ 3, 6, ] Å fie vikele mellom to vektorer I tillegg til å sjekke om to vektorer er ortogoale, bruker vi skalarproduktet til å fie vikele mellom to vektorer Fra defiisjoe u v = u v cosα får vi at cosα = u v u v

20 0 Vektorer Eksempel 9 Vikele mellom to vektorer Vi skal fie vikele α mellom u = [,, ] og v = [, 3, 4] [,, ] [,, ] cosα = u v 3 4 ( ) + ( ) = = = = u v + ( ) + ( ) = cos α = 78, Metode i eksempel 9 skal vi seiere også bruke til å fie vikele mellom to lijer, og vikele mellom to pla Stifier: side 33 Oppgave Fi vikele mellom a [,, ] og [ 4,, 3] b [ 7, 4, 5] og ehetsvektore lags y-akse c e + e og e e x z y z PARAMETERFRAMSTILLINGER I skal du lære å lage vektorlikiger og parameterframstilliger for lijer og pla Pla og lijer i rommet Når vi arbeider med vektorer, lijer og pla, bruker vi e del setiger og defiisjoer som vi ikke alltid teker over Her er oe eksempler: E rett lije er etydig bestemt av to pukter som ligger på lija E flate er et pla dersom alle rette lijer som har mist to pukter felles med flate, ligger i flate Et pla er etydig bestemt av tre pukter år puktee ikke ligger på samme rette lije To rette lijer som ligger i samme pla ute å ha fellespukter, kalles parallelle E rett lije som ikke har oe fellespukt med et gitt pla, er parallell med plaet To pla er parallelle hvis de faller samme eller ikke har oe felles pukter Skjærige mellom to ikke-parallelle pla er e rett lije som kalles skjærigslija mellom plaee Med vikele mellom to rette lijer som skjærer hveradre, meer vi de miste vikele som lijee daer E vikel mellom to rette lijer er altså e vikel i itervallet [ 0, 90 ] To rette lijer som ikke ligger i samme pla, kalles vidskeive Med vikele mellom to vidskeive lijer l og m meer vi vikele mellom to skjærede lijer som er parvis parallelle med l og m E ormal til et pla er e lije som står vikelrett på alle lijer i plaet E lije som står vikelrett på to ikke-parallelle lijer i et pla, står vikelrett på alle rette lijer i plaet

21 Vektorer Parameterframstillig for lijer i rommet E rett lije er bestemt av to z pukter eller ett pukt og e v Q retig Retige til e lije gir vi ved e vektor som er parallell l med lija, e retigsvektor O Vi skal lage e parameterframstillig for e rett lije i rommet x Framgagsmåte er lik de vi brukte for lijer i plaet i R Vi lar Q= ( x være et pukt på e rett lije l med 0, y0, z0) v = [ a, b, c] som retigsvektor P = ( x, y, z) er et vilkårlig pukt på lija Uasett hvor på lpligger, så er QP og v parallelle Posisjosvektore til P ka derfor skrives OP = OQ + QP = OQ + t v y P Med koordiater får vi vektorlikige [ x, y, z] = [ x, y, z ] + t [ a, b, c] som er ekvivalet med parameterframstillige x = x0 + at y = y0 + bt z = z + ct 0 E rett lije som går gjeom puktet Q= ( x0, y0, z0) og har v = [ a, b, c] som retigsvektor, er gitt ved vektorlikige OP = OQ + t v og parameterframstillige x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct Eksempel Parameterframstillig for lijer E rett lije går gjeom puktet ( 4, 0, ) og har retigsvektore v = [,, 3] [ x, y, z] = [ 4, 0, ] + t [,, 3] er da e vektorlikig for lija x = 4 t y = t z = + 3t er e parameterframstillig for lija

22 Vektorer Lija gitt ved parameterframstillige x = 4s y = s z = 5 6s går gjeom puktet ( 0,, 5) og har u = [ 4,, 6] som retigsvektor Sammeliker vi retigsvektoree u og v til de to lijee, ser vi at u = [ 4,, 6] = [,, 3] = v De to lijee er altså parallelle Setter vi t = i de første parameterframstillige og s = 0 i de adre, ser vi at begge lijee går gjeom ( 0,, 5) De to parameterframstilligee represeterer derfor de samme lija Oppgave 3 Fi e parameterframstillig for e rett lije som går gjeom Q og har retigsvektor v a Q = (,, 3) og v = [ 0,, 4] b Q = ( 5, 0, 4) og v = [, 4, ] Oppgave 4 E rett lije går gjeom puktee A og B Bestem e parameterframstillig for lija år a A = (,, ) og B = ( 4,, 3) b A = ( 5, 3, ) og B = (,, 3) x z y Vidskeive lijer NB! Skjærig mellom rette lijer i rommet To rette lijer i plaet er ete parallelle (evetuelt sammefallede) eller så skjærer de hveradre i ett pukt Gjelder dette også i rommet? I rommet ka to lijer være parallelle ved side av hveradre, eller falle samme skjære hveradre i ett pukt være vidskeive Det betyr at de verke er parallelle eller skjærer hveradre To lijer er parallelle hvis de har retigsvektorer som er parallelle Hvis retigsvektoree ikke er parallelle, ka lijee ha et felles pukt Da må det fies parameterverdier som gjør at x-, y- og z-koordiatee på de to lijee er like Når vi har to lijer, må vi bruke to forskjellige parametre, for eksempel s og t

23 Vektorer 3 Eksempel Skjærig mellom to lijer Vi skal fie evetuelle skjærigspukter mellom to lijer l og m gitt ved x = t l: y = + t m: z = t x = + s y = 3+ s z = 7 s De to retigsvektoree [,, ] og [,, ] er ikke parallelle Da er heller ikke lijee parallelle For å bestemme hvilke verdier t og s må ha i et evetuelt skjærigspukt, treger vi bare to likiger Vi velger uttrykkee for y og z: + t = 3+ s t = 7 s Ved å addere vestresidee for seg og høyresidee for seg står vi igje med + 3t = 4 Da blir t =, og vi setter dee verdie i i for å bestemme s = 7 s gir s = 3 Vi har å fuet at år t = og s = 3, har l og m samme z-koordiater og samme y-koordiater y = + = 3 og z = Me hvis lijee skal skjære hveradre, må også x-koordiatee være like for t = og s = 3 Vi reger ut x-koordiate for hver av lijee år t = og s = 3 x = t = = og x = + s = + 3= Lijee l og m har altså puktet (, 3, ) felles De skjærer hveradre i dette puktet I eksemplet ovefor reget vi ut parameterverdiee (s og t) slik at to av koordiatee stemte overes for de to lijee Dette gir ige garati for at også de tredje koordiate blir lik for de to lijee Dette må vi kotrollere, og da er det to muligheter: Vi får samme verdi for de to tredjekoordiatee Da skjærer lijee hveradre Vi får ulike verdier for de to tredjekoordiatee Da skjærer ikke lijee hveradre Lijee er da vidskeive (forutsatt at de ikke er parallelle) Oppgave 5 Udersøk om lijee er parallelle Hvis lijee ikke er parallelle, udersøk om de skjærer hveradre, og fi evetuelt skjærigspuktet a x = + t y = t z = t og x = 4 y = 5+ s z = s b x = 3+ t y = 3t z = t og x = 4 3s y = + 9s z = 6s c x = 3+ t y = + 5t z = t og x = + s y = + 3s z = 4+ 6s

24 4 Vektorer Vikele mellom to lijer i rommet I rommet defierer vi vikele mellom to lijer som de miste vikele vi må dreie é av lijee om et pukt på lija, for at de skal bli parallelle Det betyr at de største vikele vi ka ha mellom to lijer, er 90 u θ v Når vi kjeer retigsvektoree for to lijer vi skal bestemme vikele mellom, reger vi først ut vikele mellom disse vektoree Hvis dee vikele er større e 90, slik som vikele q på figure ovefor, er α = 80 θ de vikele vi er ute etter Eksempel 3 Vikele mellom to lijer Vi har gitt to lijer, l: x = t y = t z = + t og m: x = 3 6t y = 5+ t z = 3t Vi skal fie vikele mellom lijee l har retigsvektore u = [,, ], og m har retigsvektore v = [ 6,, 3] Først fier vi vikele q mellom retigsvektoree [,, ] [,, ] cosq = u v 6 3 ( 6) + ( ) + 3 = = = 3 = 3 u v + ( ) + ( 6) q = cos = 8 Vikele mellom retigsvektoree er 80 8 = 5 8 Da er vikele mellom l og m Oppgave 6 Reg ut vikele mellom lijee l og m a l har retigsvektore [ 4, 0, 3] og m har retigsvektore [ 4, 5, 0] b l: x = t y = 3+ 4t z = + 3t og m: x = + t y = 5 t z = t c l: [ x, y, z] = [,, 0] + t [,, ] og m: [ x, y, z] = [ 4, 5, 0] + s [ 0,, ]

25 Vektorer 5 Parameterframstillig for et pla Et pla ieholder et pukt Q= ( x0, y0, z0) Vektoree u = [ a, b, c] og v = [ a, b, c] er begge parallelle med plaet, me ikke parallelle med hveradre Vi lar P = ( x, y, z) være et vilkårlig pukt i plaet z OQ Q su u v tv P O y tv P x Da fis det tall s og t slik at QP = s u + t v Posisjosvektore til P ka vi derfor skrive som OP = OQ + s u + t v v Q u su Dee likige er e vektorlikig for plaet Med koordiater blir vektorlikige [ x, y, z] = [ x, y, z ] + s [ a, b, c ] + t [ a, b, c ] Parameterframstillig for pla Et pla som går gjeom puktet Q= ( x0, y0, z0) med vektoree u og v, er gitt ved vektorlikige OP = OQ + s u + t v og er parallelt og parameterframstillige x = x + s a + t a y = y + s b + t b x = z + s c + t c Eksempel 4 Parameterframstillig for et pla Et pla går gjeom puktee A = (,, ), B = ( 4,, 6) og C = (,, ) Vi skal fie e parameterframstillig for plaet Vi treger ett pukt og to vektorer som er parallelle med plaet Vi velger puktet A, og vektoree AB og AC AB = [ 4, ( ), 6 ] = [ 3,, 4] AC = [, ( ), ] = [, 3, 0]

26 6 Vektorer 3 Vi ser at AB og AC ikke er parallelle Det betyr at puktee A, B og C ikke ligger på e rett lije Da bestemmer de et pla Et pukt P = ( x, y, z) som ligger i plaet, har posisjosvektore OP = OA + s AB + t AC, der s og t er to parametre [ x, y, z] = [,, ] + s [ 3,, 4] + t [, 3, 0] Dette gir parameterframstillige x = + 3s+ t y = + s+ 3t z = + 4s Stifier: side 35 Oppgave 7 Bestem e parameterframstillig for et pla som a går gjeom (, 0, ) og er parallelt med vektoree [, 3, 0] og [,, ] b går gjeom (, 4, ), (, 8, 7 ) og ( 6, 3, 5) c ieholder lijee [ x, y, z] = [,, 0] + s [ 4,, 0] og [ x, y, z] = [,, 0] + t [ 3,, 4] I 3 skal du lære å rege ut vektorprodukt og bruke det til å berege areal og volum 3 VEKTORPRODUKT I R defierte vi vektoraddisjo, multiplikasjo av vektor med e skalar og skalarprodukt for vektorer i plaet Som vi har sett, ka vi geeralisere alle disse vektoroperasjoee til rommet I rommet defierer vi i tillegg e vektoroperasjo som vi kaller vektorprodukt Vektorproduktet av to vektorer u og v er e vektor Dee vektore står vikelrett på både u og v Det gjør at vektorproduktet får mage yttige avedelser Vektorproduktet ka ha mage yttige avedelser

27 Vektorer 3 7 Vektorproduktet av u og v skriver vi u v Vektorproduktet av [ x, y, z ] og [ x, y, z] skriver vi [ x, y, z ] [ x, y, z ] Vi bruker altså et kryss mellom vektoree år vi skriver et vektorprodukt Et aet av på vektorproduktet er kryssprodukt u v u v Defiisjo på vektorprodukt u v = u v si α, der α er vikele mellom u og u v står vikelrett på både u og v u, v og u v, i dee rekkefølge, daer et høyrehådssystem v Eksempel Vektorprodukt Vi vil fie vektorproduktet w = u v år u = 4 og v = 3e + e z y e x x y O v 3 P Q u x w O Både u og v er parallelle med xy-plaet w må derfor være parallell med z-akse v Q u Fra trekate OQP med kateter 3 og ser vi at taα = Det gir α = 30 og siα = 3 Med vektorlegdee u = 4 og v = ( 3) + = får vi at w = u v siα = 4 = 4 Vektoree u, v og w skal dae et høyrehådssystem, og derfor må vi ha at w = 4 P y x e z Eksemplet ovefor viser ikke hvorda vi valigvis reger ut et vektorprodukt Med vektorkoordiater ka vi skrive vektorproduktet på følgede form: Vektorprodukt på koordiatform [ x, y, z] [ x, y, z] = [ y z z y, z x x z, x y y x ] Dette viser vi på side 3

28 8 Vektorer 3 Som et hjelpemiddel år vi skal bruke dee oe kroglete formele, ka vi sette opp følgede skjema: + Her multipliserer vi faktorer på skrå edover mot høyre og setter pluss fora: e y z + e z x + e x y x y z Tilsvarede multipliserer vi faktorer edover på skrå mot vestre, me da setter vi miusteg fora: e z y x e x z y e z y x Alle disse leddee skal adderes Eksempel Vektorprodukt Vi skal rege ut [, 4, 6] [, 3, 5] Vi setter opp skjemaet med ehetsvektoree øverst Deretter e lije med koordiatee til de første vektore, og til slutt e lije med koordiatee til de adre vektore Vi får ex ( ) + ey ( 6 5) + ez ( 3 4 ) = ex ( 0 8) + ey ( 6 0) + ez ( 6 4) = e 4e + e x y z Altså har vi at [, 4, 6] [, 3, 5] = [, 4, ] I eksemplet ovefor fikk vi at [, 4, 6] [, 3, 5] = [, 4, ] Vi setter u = [, 4, 6], v = [, 3, 5] og w = [, 4, ] Vi skal kotrollere om w virkelig står vikelrett på u og v, slik defiisjoe på side 7 krever Det ka vi gjøre ved å rege ut skalarproduktee u wog v w: u w = [, 4, 6] [, 4, ] = + 4 ( 4) + 6 = 4 6+ = 0 w v w = [, 3, 5] [, 4, ] = + 3 ( 4) + 5 = + 0= 0 står altså vikelrett på både u og v

29 Vektorer 3 9 Oppgave 8 Reg ut vektorproduktee a [,, 0] [, 4, ] b [ 0,, ] [ 3,, ] c [,, 4] [ 3, 5, 6] d [ 3,, ] [, 4, ] e [ 3,, 3] [, 4, ] f [ 6, 3, ] [ 5,, ] Oppgave 9 Reg ut vektorproduktee a ex ex b ex ey c d e e e e e f z x y x e e y z e e z y Eksempel 3 Vektorprodukt og magetisk kraft I fysikkfaget ka vi bruke vektorprodukt til å skrive sammehege mellom de magetiske krafte F på e partikkel med ladig q, år partikkele beveger seg med farte v i et magetfelt med styrke B B F = qv B v Formele viser både hvor stor krafte er, og hvilke retig de har Figure viser krafte på e partikkel med positiv ladig q Hvor stor er de magetiske krafte på e ladd partikkel som beveger seg i samme retig som magetfeltet har? F Eksempel 4 Vektorprodukt med digitalt verktøy Mage digitale verktøy ka rege ut vektorprodukter Med kommadoe crossp ([,, 4],[ 3, 5, ] ) gir for eksempel TI-spire vektore [, 4, 7] Og crossp ([ a,, 4],[ 3, 5, ] ) gir [, a, 5a 3] Hvis ditt digitale verktøy ikke har oe tilsvarede kommado, ka du lage et ekelt program for utregig av vektorprodukt (Se ettstedet på Lokus) Egeskaper ved vektorproduktet Både for valig multiplikasjo med tall og for skalarprodukt er rekkefølge av «faktoree» likegyldig a b= b a u v = v u På gru av høyrehådsregele gjelder dette ikke for vektorproduktet For eksempel er e e = e mes e e = e x y z y x z

30 30 Vektorer 3 Regeregler for vektorprodukt u v = v u ( ku) v = u ( kv) = k( u v) u ( v + w ) = u v + u w v v = 0 Fra defiisjoe på side 7 får vi at u v =0 hvis vikele mellom vektoree er α = 0 eller α = 80 Det gir følgede resultat: Parallelle vektorer For u 0 og v 0 gjelder u v u v =0 I stedet for oppstillige på side 8 ka du bruke regereglee øverst på side år du skal rege ut et vektorprodukt Vær da oppmerksom på at u v v u! Stiller vi opp de ortogoale ehetsvektoree i rekkefølge ex, ey, ez, ex, ey, ez, vil hver sekves av tre vektorer utgjøre et høyrehådssystem Kryssproduktet av to abovektorer, lest fra vestre, blir derfor de este vektore For eksempel er e z ex = ey Da vet vi også at e x ez = ey Me kryssproduktet av parallelle vektorer er ullvektor: e e = e e = e e =0 x x y y z z Eksempel 5 Regeregler for vektorprodukt Vi skal rege ut [,, 3] [ 4, 0, ] ved å bruke regereglee øverst på side Da skriver vi ( ex + ey 3ez) i stedet for [,, 3], og ( 4e x + ez) i stedet for [ 4, 0, ] Merk deg at e 4e = 8e e = 8 0= 0, og at 0+ 3 ( e ) = 0 3e = 3e x x x x Husk at ved multiplikasjo av to pareteser skal hvert ledd i de ee paretese multipliseres med hvert ledd i de adre Vi får ( ex + ey 3ez) ( 4ex + ez) = 8ex ex + ex ez + 4ey ex + ey e e e e e z z x 3 z z = 8 0+ ( ey) + 4 ( ez) + ex ey 3 0 = ey 4ez + ex ey = e 4e 4e x y z Da har vi altså at [,, 3] [ 4, 0, ] = [, 4, 4] x x x

31 Vektorer 3 3 Ved å bruke framgagsmåte i eksempel 5 på u = [ x, y, z] og v = [ x, y, z] får vi u v = ( xe x + ye y + ze z) ( xe x + ye y + ze z) = xe x xe x + xe x ye y + xe x ze z + ye y xe x + ye y ye y + ye y ze + ze xe + ze ye + ze ze = xye x ey + xze x ez + yxey ex + yzey ez + zxez ex + zyez ey = xye z + xz ( ey) + yx ( ez) + yze x + zxe y + zy ( e ) x = ( yz zy) e + ( zx xz) e + ( xy yx) e z z x y y z z x y z = [ yz zy, zx xz, xy yx] Dermed har vi vist hvorda vi kommer fram til formele for utregig av vektorproduktet på side 7 Bevis for regeregele u ( v + w) = u v + u w fier du på ettstedet på Lokus Oppgave 0 Bruk metode i eksempel 5 og reg ut a e ( e 3e + 4e ) b [ 3,, 0] [, 0, 5] y x y z v h u Vektorprodukt og areal Vi lar u og v teget ut fra samme hjøre være sider i et parallellogram Vi sier at parallellogrammet er utspet av u og v Arealet av parallellogrammet er G= u h Høyde i trekate er h= v siα Det gir G= u v siα Dette viser at G= u v v h u Trekate utspet av u og v har et areal som er halvparte så stort G= u v

32 3 Vektorer 3 Areal av trekat og parallellogram Arealet av parallellogrammet utspet av vektoree u og v er G= u v Arealet av trekate utspet av vektoree u og v er G= u v Eksempel 6 Areal av trekat Hjøree i e trekat har koordiatee A = (, 5, 0), B = ( 7,, 3) og C = ( 4, 8, ) Vi skal rege ut arealet av trekate Vi fier først to vektorer som utspeer trekate, for eksempel AB og AC AB = [ 7, 5, 3 0] = [ 5, 4, 3] AC = [ 4, 8 5, 0] = [, 3, ] Så reger vi ut AB AC [ 5, 4, 3] [, 3, ] = [ 4 3 3, 3 5, 5 3 ( 4) ] = [ 3,, 3] G= AB AC = ( 3) = 699 = 3, Arealet av trekate er 3,

33 Vektorer 3 33 Oppgave Reg ut u v år a u =, v = 5 og vikele mellom u og v er 30 b u = 6, v = og vikele mellom u og v er 35 Oppgave a Reg ut arealet av parallellogrammet utspet av vektoree u = [, 0, ] og v = [,, 3] b Reg ut arealet av trekate utspet av u = [ 0,, ] og v = [ 3,, 0] c Reg ut arealet av trekat ABC år A = (, 0, 0), B = ( 3,, 4) og C = (,, 5) Volumprodukt Ved hjelp av vektor- og skalarprodukt ka vi rege ut volumet av ulike romfigurer Vi starter med parallellepipedet Det er e romfigur som er begreset av seks parvis parallelle pla Sideflatee er parvis kogruete parallellogrammer Hvis sideflatee er rektagler, har vi et rettviklet parallellepiped, og hvis sideflatee er kvadrater, er parallellepipedet e kube (e terig) Når tre vektorer ikke ligger i samme pla, defierer de et parallellepiped u v h θ w v u Parallellepipedet på figure er defiert av u, v og w Hver sideflate i romfigure er et parallellogram Da ka vi bestemme arealet av sideflatee ved hjelp av vektorprodukt Volumet av et parallellepiped er de valgte gruflate multiplisert med de tilhørede høyde Vi lar parallellogrammet utspet av u og v være gruflate G De har arealet u v Vektore u v står vikelrett på gruflate Høyde h i parallellepipedet er da lik legde av kompoete til w lags u v h= w cosθ For volumet V får vi V = G h= u v w cosθ

34 34 Vektorer 3 Av defiisjoe på skalarprodukt har vi ( u v) w = u v w cosθ Uttrykket for V ka derfor skrives V = ( u v) w Vi ka altså fie volumet av et parallellepiped ved først å rege ut vektorproduktet av to vektorer, og så ta skalarproduktet av svaret og de tredje vektore Hvis vikele mellom vektoree i skalarproduktet ( u v og w ) er større e 90, blir ( u v ) w egativ Da er volumet lik absoluttverdie av ( u v ) w Da det ikke spiller oe rolle hvilke sideflate vi velger som gruflate, spiller det ikke oe rolle hvilke to vektorer vi bruker i vektorproduktet Volum av parallellepiped Volumet av et parallellepiped utspet av vektoree u, v og w er V = ( u v) w = u ( v w) = v ( u w) Paretesee i uttrykkee ovefor er egetlig ikke ødvedige, for u ( v w) har ikke meig Her er paretese e skalar, me kryssproduktet er defiert for to vektorer Derfor vet vi at u v w må bety ( u v ) w Me for å være tydelig skriver vi pareteser rudt vektorproduktet likevel «Produktet» ( u v ) w, som ivolverer tre vektorer, kaller vi volumprodukt eller trippelprodukt Eksempel 7 Volum av parallellepiped Et parallellepiped er utspet av vektoree u = [ 5,, 3], v = [ 3, 0, ] og w = [ 0,, 3] Vi skal bruke volumproduktet til å fie volumet av parallellepipedet Vi velger å rege ut u ( v w) Først fier vi vektorproduktet: v w = [ 3, 0, ] [ 0,, 3] = [ 0 3, 0 3 3, 3 0 0] = [, 9, 6] Av dette får vi at u ( v w) = [ 5,, 3] [, 9, 6] = 5 ( ) + ( 9) = = Her er volumproduktet egativt, og vi tar absoluttverdie for å fie volumet u ( v w) = = Volumet av parallellepipedet er altså

35 Vektorer 3 35 Oppgave 3 Bruk volumprodukt til å rege ut volumet av parallellepipedet utspet av u, v og w a u = [ 0, 0, 4], v = [ 3, 0, 0] og w = [ 0,, 0] b u = [,, 4], v = [,, ] og w = [ 4,, 3] c u = [ 3,, ], v = [ 5, 0, 8] og w = [ 6, 4, 7] Oppgave 4 Hva ka du si om u, v og w dersom u ( v w) = 0? Hvis vi deler et parallellepiped i to like deler, får vi trekatede prismer v w u Hvert av prismee på figure har volumet V = u v w ( ) E pyramide utspet av tre vektorer, ka ha trekatet eller firkatet gruflate w w v u v u Volumet V av e pyramide med gruflate G og høyde h er gitt ved V G = h 3 Hvis vi velger trekate utspet av u og v som gruflate for pyramide til vestre, er G= u v Volumet blir da V = G h= ( u v) w = ( u v) w 3 3 6

36 36 Vektorer 3 Louvre i Paris Eksempel 8 Volum av et tetraeder Et tetraeder har hjører i A = (,, ), B = ( 4,, 6), C = (,, ) og D = ( 3, 0, ) Vi velger å ta utgagspukt i hjøret A og fier de tre vektoree ut fra dette hjøret AB = [ 4, ( ), 6 ] = [ 3,, 4] AC = [, ( ), ] = [, 3, 0] AD = [ 3, 0 ( ), ] = [,, 4] Vektorrekkefølge i volumproduktet er likegyldig, og vi setter V = AB AC AD 6 ( ) AB AC = [ 3,, 4] [, 3, 0] = [ 0 4 3, 4 3 0, 3 3 ] = [, 4, 7] ( AB AC) AD = [, 4, 7] [,, 4] = ( 4 ) = = 48 V = = = Volumet av tetraedret er altså 8 I et tetraeder er det likegyldig hvilke sideflate vi velger som gruflate Vi ka derfor velge fritt hvilke vektorer vi skal rege kryssprodukt av For pyramide med firkatet gruflate er G= u v, og volumet er dermed V = u v w 3 ( )

37 Vektorer NB! I volumformele for de firkatede pyramide må vi rege vektorproduktet av de to vektoree som utspeer gruflate Hva blir volumproduktet ( ) u v w hvis u, v og w ligger i samme pla? Hva ka du si om puktee A, B, C og D hvis ( AB AC) AD =0? Pukter i samme pla Puktee A, B, C og D ligger i samme pla ( AB AC) AD =0 Oppgave 5 Reg ut volumet av a trekatprismet der u = [ 0, 0, 4] og v = [ 3, 0, 0] utspeer gruflate og w = [ 0,, 0] er e sidekat u b e firkatet pyramide, der = [ 0, 3, 4] og v = [,, ] utspeer gruflate, og w = [, 5, 3] er e sidekat c et tetraeder med O = ( 0, 0, 0), P = ( 3,, ), Q = ( 6,, ) og R = ( 5, 0, 0) som hjører Stifier: side 37 Oppgave 6 Udersøk om puktee ligger i samme pla a O = ( 0, 0, 0), P = (,, ), Q = ( 4,, 3) og R = (, 4, 0) b A = (, 0, ), B = ( 4,, 0), C = ( 4,, 3) og D = ( 6, 5, 4) I 4 skal du lære å fie likige for et pla og fie vikele mellom to pla 4 PLAN I plaet er x+ y = likige for e rett lije som går gjeom puktee ( 0, ) og (, 0 ) I rommet vil puktee (, 0, 0) og ( 0,, 0 ) passe i likige Me puktee (, 0, z ) og ( 0,, z) vil også passe i likige for alle z-verdier! Det betyr at i rommet er x+ y = likige for et pla som er parallelt med z-akse, og som ieholder lija gjeom (, 0, 0) og ( 0,, 0) z y x

38 38 Vektorer 4 Q Likige for et pla Et pla er bestemt av tre pukter som ikke ligger på e rett lije Med tre slike pukter ka vi bestemme to vektorer i plaet, som vi gjorde i uderkapittel Me vi ka også bestemme e vektor som står vikelrett på plaet E slik vektor kaller vi e ormalvektor til plaet Normalvektore til et pla står vikelrett på alle lijer som ligger i plaet Et pla er bestemt av ett pukt i plaet og é ormalvektor Det spiller ige rolle hvor lag e ormalvektor er De skal bare vise hvilke orieterig plaet har Eksempel Pla bestemt av ett pukt og e ormalvektor xy-plaet går gjeom origo, og ehver vektor som er parallell med z-akse, står vikelrett på dette plaet Plaet er derfor etydig bestemt av puktet ( 0, 0, 0 ) og vektore [ 0, 0, ] Et pla som er parallelt med xy-plaet og skjærer z-akse i ( 0, 0, 4), er bestemt av dette puktet og vektore [ 0, 0, ] z z (0, 0, ) (0, 0, 4) (0, 0, ) (x, y, 4) (0, 0, 0) y y x (x, y, 0) x Alle pukter i xy-plaet har z-koordiat lik ull Dette plaet har derfor likige z = 0 x- ogy-koordiatee ka være alle reelle tall Tilsvarede har det siste plaet i eksemplet ovefor likige z = 4 Vi ka også skrive 0x+ 0y+ z = 4 Koeffisietee 0, 0 og fora x, y og z fier vi igje i ormalvektore til plaet, som er [ 0, 0, ] Nå skal vi se hvorda vi geerelt fier likige for et pla år vi kjeer ett pukt og é ormalvektor til plaet Et pla går gjeom Q= ( x0, y0, z0) og har = [ a, b, c] som ormalvektor Se figure på este side Vi lar P = ( x, y, z) være et pukt i plaet

39 Vektorer 4 39 z O y P OQ Q x Uasett hvor P ligger i plaet, så er QP vikelrett på Det gir QP =0 Vi skriver QP ved hjelp av posisjosvektoree for Q og P: QP = QO + OP = OQ + OP = OP OQ ( OP OQ) =0 Dee likige ka vi også skrive OP = OQ, som er vektorforme av likige for plaet Setter vi i vektorkoordiater i, får vi ([ x, y, z] [ x, y, z ]) [ a, b, c] = [ x x, y y, z z ] [ a, b, c] = ax ( x) + by ( y) + cz ( z) = Likige for et pla ax ( x0) + by ( y0) + cz ( z0) = 0 er likig for et pla som går gjeom Q= ( x, y, z ) og har ormalvektor = [ a, b, c] Normalvektore til et pla er ikke etydig Vi ka også bruke [ a, b, c], eller e hvilke som helst ae vektor (forskjellig fra 0 ) som er parallell med [ a, b, c] Når vi multipliserer ut paretesee i, får vi e likig på forme ax + by + cz + d =0, der d = ax 0 by0 cz0 Likige for et pla er valigvis gitt på dee forme Eksempel Likig for et pla Vi skal fie likige for et pla som går gjeom puktet (, 0, 3 ) og har [ 3,, ] som ormalvektor Vi setter i i likige ax ( x by y cz z 0) + ( 0) + ( 0) = 0 a = 3, b =, c =, x =, y = 0 og z 0 = 3: 0 0 3( x ) ( y 0) + ( z 3) = 0 3x 3 y+ z 3= 0 3x y+ z 6 = 0

40 40 Vektorer 4 Oppgave 7 Bestem likige for et pla som går gjeom P og har ormalvektore a P = ( 3,, ) og = [, 5, ] b P = ( 0, 4, ) og = [, 5, 4] c P = ( 3,, 5) og = [ 3, 0, ] Tre pukter, som ikke alle ligger på e rett lije, bestemmer et pla Når vi skal fie likige for plaet, fier vi først to vektorer mellom par av pukter Deretter ka vi fie e ormalvektor til plaet ved hjelp av kryssprodukt Dersom A, B og C er pukter i et pla, er AB AC e ormalvektor for plaet Og da ka vi bruke metode med ett pukt og e ormalvektor Eksempel 3 Likig for et pla gitt ved tre pukter Et pla er gitt ved de tre puktee A = (, 4, ), B = ( 4,, ) og C = ( 6, 4, 0) Vi skal fie likige for plaet AB og AC er parallelle med plaet, og AB AC er da e ormalvektor for plaet AB = [ 4, 4, ] = [, 3, ] AC = [ 6, 4 4, 0 ] = [ 4, 0, ] AB AC = [, 3, ] [ 4, 0, ] = [ 3 ( ) 0, 4 ( ), 0 ( 3) 4] = [ 3, 6, ] = 3 [,, 4] Side vektore [,, 4 ] er parallell med [ 3, 6, ], ka vi bruke de som ormalvektor: = [,, 4] Vi velger ( x, y, z ) (,, ) og setter i i = 4 ( x ) + ( y 4) + 4( z ) = 0 x + y 8+ 4z 4= 0 x+ y+ 4z 4= 0 Likige for plaet gjeom A, B og C er altså x+ y+ 4z 4= 0 Oppgave 8 Fi likige for et pla som a går gjeom A = ( 0, 0, 0), B = (,, ) og C = ( 3, 3, ) b går gjeom A = (, 5, ), B = ( 4, 4, 0) og C = ( 0,, ) c skjærer x-akse for x = 3, y-akse for y = og z-akse for z = 4 For å fie hvorda et pla ligger i koordiatsystemet, ka det være lurt å rege ut hvor plaet skjærer koordiataksee Vi viser dette i eksempel 4

41 Vektorer 4 4 Eksempel 4 Skjærig med aksee Vi øsker å skissere hvorda plaet 4x+ y+ 3z = 0 ligger i et koordiatsystem Vi fier skjærigspuktet med x-akse ved å sette y = 0 og z = 0 Det gir x = 3 Plaet skjærer y-akse for y = 6 og z-akse for z = 4 Vis dette! x 3 z 4 6 y Eksempel 5 Pla parallelt med e akse Plaet med likige 3x+ y = 0 har ormalvektore = [ 3,, 0] Dee vektore har ige kompoet i z-retige Normalvektore står vikelrett på z-akse, [ 3,, 0] [ 0, 0, ] Det viser at plaet er parallelt med z-akse Plaet skjærer x-akse for x = 4 og y-akse for y = 6, me setter vi x = 0 og y = 0, fier vi ige z-verdi som passer i likige Plaet faller ikke samme med z-akse Oppgave 9 Bestem evetuelle akser som plaet er parallelt med år plaet er gitt ved a x z+ 3= 0 b y+ z =0 c y 3= 0 Parallelle pla og ikke-parallelle pla Hvis to pla ikke er parallelle, så skjærer de hveradre lags e rett lije Ved å sammelike ormalvektoree til to pla ka vi avgjøre om plaee er parallelle Vi ka også bestemme vikele mellom plaee ved hjelp av ormalvektoree 3 Eksempel 6 Parallelle pla? Likigee til to pla Π og Σ er 4x y+ 6z = 8 og x+ 3y 4z = 6 Av likigee ser vi at [ 4,, 6] er e ormalvektor for Π, og at [, 3, 4] er e ormalvektor for Σ [ 4,, 6] = 4 [, 3, 4] De to ormalvektoree er altså parallelle Da er Π og Σ parallelle pla

42 4 Vektorer 4 Oppgave 30 Hvilke pla er parallelle? I: x+ y z+ 3= 0 II: 6x+ 8y+ 4z 3 = 0 III: 4x+ y+ z 3= 0 IV: x y+ z = 0 Vikel mellom pla Vi lar α være vikele mellom ormalvektoree til to pla Π og Σ Hvis 0 α 90, er α vikele mellom Π og Σ Se figure til vestre Hvis 90 < α 80, er 80 α vikele mellom Π og Σ Se figure til høyre Ved bruk av skalarproduktet fier vi først vikele α mellom ormalvektoree til plaee 80 NB! Vikele mellom to vektorer ligger i itervallet [ 0, 80 ] Vikele mellom to pla ligger i itervallet [ 0, 90 ]

43 Vektorer Eksempel 7 Vikel mellom to pla Vi skal fie vikele mellom to pla Π : x y+ z = 5 og Σ : 4y 3z = Π og Σ har ormalvektoree Π = [,, ] og Σ = [ 0, 4, 3] Vikele θ mellom ormalvektoree er gitt ved Π Σ [,, ] [ 0, 4, 3] 0 4 ( 3) 4 cosθ = = = + = Π Σ + ( ) ( 3) θ = cos ( ) = 59 5 Vikele mellom plaee er da 80 θ = = Stifier: side 39 Oppgave 3 Fi vikele mellom plaee a 4x y+ 3z = 0 og x 4y+ z = 5 b x 3z = og 4y+ 3z = 5 MER OM PLAN OG LINJER I 5 skal du lære å fie skjærig mellom to pla og fie skjærig og vikel mellom pla og lijer Skjærig mellom pla og lije Hvorda må e lije gå for at de skal skjære et pla? Hvor mage fellespukter ka e lije og et pla ha? l l l NB! Figure viser hvorda e lije ka ligge i forhold til et pla Hvorda ka vi avgjøre om e lije er parallell med et pla? Alle lijer i et pla står vikelrett på ormalvektore til plaet Hvis e lije er parallell med et pla, står de vikelrett på ormalvektore til plaet Når et pla og e lije er parallelle, er det tilstrekkelig å udersøke om mist ett pukt på lija også ligger i plaet, for å fastslå om lija ligger i plaet eller utefor plaet