Løsning eksamen S2 våren 2010

Transkript

1 Løsig eksame S våre 010 Oppgave 1 a) 1) f( ) l 1 f ( ) l l l l ( l 1) ) g ( ) 3e g( ) 3e 3e 6e b) Rekke er geometrisk med Rekke kovergerer. Summe er a1 1 1 s 1 k k og oppfller dermed kravet 1 < k < 1. c) 1) Summe av saslighetee for de mulige utfallee må være 1. Det gir ) 0, 0,1 A 0,3 1 A 0,6 1 A 0, 4 PX ( 1) PX ( 3) PX ( 0) 0,0,10,3 EX ( ) 1,0 3 PX ( 3) 0 PX ( 0) 1 PX ( 1) BPX ( B) 1,0 30,00,110,4 B 0,31,0 0,600,40,3B 1,0 0, 0,3B 1,0 0,3B 1, 10 3B 1 B 4

2 3) Var( X) ( 3) P( X 3) 0 P( X 0) 1 P( X 1) 4 P( X 4) 1,0 3 0, 1,0 0 0,1 1,0 1 0, 4 1,0 4 0,3 4 0, 1 0,1 0 0,4 3 0,3 3, 0,1 0, 7 6,0 d) f 3 ( ) ) Divisjo med ( + 1) går opp hvis f(1) = 0. 3 f ( 1) 3( 1) 6 ( 1) 3 ( 1) Divisjoe går opp : ) Dermed er f( ) ( 1)(3 3 6). f( ) 0 ( 1)(3 3 6) eller eller 0 1eller ( ) 1 9 1eller 13 1eller 1 eller eller 1

3 e) f ( ) a b c f ( ) ab f ( ) a 1) f () 8 gir Dermed er a 8 a 4 f () 0 gir Da er f ( ) ab 4b 8 b 8b 0 b 16 f ( ) 4 16 c f () 4 gir c 16 3 c 4 16 c 4 c 1 Da er f ( ) ) Nullpukter: : eller 3 4 ( 4) 4 1 3

4 Fuksjoe ka ha topp- eller bupukt år f ( ) Vi lager fortegslije for de deriverte. Fortegslija viser at vi har et bupukt for =. Adrekoordiate f() 4. Fuksjoe har et bupukt i (, 4). f) 1) Fra figure ser vi at atallet rør i første rad ovefra er a1 4 og at atallet øker med 1 for hver rad. Røree daer dermed ei aritmetisk følge med differase d = 1. Ledd r. blir a a1 ( 1) d 4 ( 1) ) Atall rør i de øverste radee blir s a a ) Atall rader år vi skal ha 5 rør, er gitt ved eller ( 450) Tallet ka ikke være egativt. Det må være 18 rader.

5 Oppgave a) Like etter at Sige har satt i det 8. beløpet, er beløpet i kroer 7 B(8) , , ,04 Dette er e geometrisk rekke med a og kvotiet k = 1,04. Summe er 8 8 k 1 1,04 1 B(8) a kr 76 46,79 kr k 1 1,041 b) Sige har kr etter år. B( ) kr 1, kr kr 1, , kr 1, kr 1, , , , ,04 0, ,04 1,5333 lg1,04 lg1,5333 lg1,04 lg1,5333 lg1,5333 lg1, 04 10,9 Sige har kr etter 11 år. c) Sige sparer a kr per år og vil ha kr om åtte år. Hvis hu sparer a kr per år, er beløpet etter 8 år k 1 1,04 1 1,04 1 B(8) a a a a9,146 k 1 1,041 0,04 Hvis beløpet skal ha blitt kr, må a 9, kr kr a ,13 kr 9,146

6 Oppgave 3 Løst digitalt på lommereger. a) P(X 31) = 0,5 + P( X 31) = 0,5 + ormalcdf(30, 31, 30, 0,5) = 0,6554 b) P(X > 8) = P(8 < X ) + 0,5 = ormalcdf(8, 30, 30, 0,5) + 0,5 = 0,7881 Løst ved hjelp av ormalfordeligstabelle ,4 0,6554,5 a) P(X 31) = ,8 10, 119 0, 7881,5 b) P(X > 8) = 1 P(X 8) = 1 Oppgave 4 a) La X være atall kasser som ieholder bær som er ødelagt. Saslighete for at akkurat 5 kasser ieholder ødelagte bær, er 50 PX ( 5) 0,1 0, = biompdf(50, 0.1, 5) = 0,185 b) PX ( 5) 1 PX ( 5) 1 PX ( 4) = 1 biomcdf(50, 0.1, 4) = 0,569 c) Nullhpotese er det samme som påstade fra leveradøre, emlig at 10 % iholder ødelagte bær. Dermed er H : p 0,10 0 Grossiste lurer på om adele er større. Det svarer til de alterative hpotese H : p 0,10 1 d) Når 15 kasser iholder ødelagte bær, er P-verdie PX ( 15) 1 P( 15) 1 PX ( 14) = 1 biomcdf(90, 0.10, 14) = 0,0333 Ettersom P-verdie er 0,0333, er de midre e sigifikasivået på 0,05. Resultatet er dermed for usaslig. Det gir grulag for å si at kvalitete har blitt dårligere.

7 Oppgave 5 a) f f ( ) 0000 ( ) f (0) f (1) f () f (3) b) Vi ser at det første tallet er 000. Når vi har ett tall, legger vi til 0 for å få det este.. Dermed har vi e aritmetisk tallfølge med a 1 = 000 og d = 0. c) Ledd r. er a a1 ( 1) d 000 ( 1) Summe av de første leddee er s s ( a a ) d) S f (0) gir omtret edgage det første året, f (1) gir omtret det adre året, osv. Summe bør gi omtret samlet edgag i hele hudreårsperiode. Når de er over , er det på gru av de deriverte ikke gir øaktig edgag i løpet av et år. Dette fører til at samlet edgag blir i stedet for Oppgave 6 Alterativ I a) Itekte ved prise p er I( p) p atall solgte eheter pe( p) p 0,5 p80 0,5 p 80 p Kostade er ( ) 8 ( 0,5 80) 100 ( 0,5 80) K p p p 8 0, 5p 80 p p p 40 p800 p 640 p p

8 b) Overskuddet er O( p) I( p) K( p) 0,5p 80p p 40p800 0,5 p 80 p p 40 p 800,5 p 10 p 800 O( p) 5p10 Vi lager fortegslije for O. Overskuddet er størst år prise er 4 kr. c) Når prise er 4 kr, er etterspørsele E(4) 0, Det blir produsert 68 eheter. d) Teger grafe til fuksjoe gitt ved g ( ) 00 0,0 e Grafisk avlesig viser: Etterspørsele er 70 eheter i uke 15.

9 Ved regig: g ( ) 70 0,0 00 e 70 0,0 e 1, 35 0,0 l e l1,35 0, 0l e l1,35 l1,35 0,0 15 e) Samlet produksjo i dette halvåret fier vi ved å rege ut et itegralet med digitale hjelpemidler. På e lommereger ka det se ut som på figure til vestre edefor. Det blir produsert 6958 eheter. Legg merke til at vi har latt itegralet gå fram til 7. Det er for å få med uke 6. Hvis vi itegrerer fra 1 til 6, får vi bare med produksjoe fram til begelse av uke 6, ikke produksjoe i uke 6. Vi får da dette svaret: Det blir produsert 6889 eheter.

10 Oppgave 6 Alterativ II a) Vi teger grafe til K. kr K b) eheter/dag 8000 K( ) e 0,15 0,15 e 0,15 e 0, e K( ) 0 0,15 0,15 e e 0, e , e 0, e 0,15 0,15 170e 170e 0,15 0,15 0, e e K (0) 08 0, e 170e Når vi produserer 0 eheter per dag og øker produksjoe med 1 ehet, vil kostade øke med ca. 08 kr. c) Vi løser oppgave digitalt og bruker e lommereger. Vi går fram slik: Gresekostade er størst år vi produserer 8 eheter per dag. Gresekostade er da 300 kr per ehet.

11 d) Vi teger grafe til fuksjoe gitt ved I( ) 0 samme med grafe til K. kr I K eheter/dag Ut fra grafe ser det ut til at overskuddet er størst år vi produserer et sted mellom 15 og 0 eheter per dag, for da er avstade mellom de to grafee størst. For å fie de øaktige verdie, teger vi greseitekte I ( ) 0 0 samme med gresekostade. Vi ser at greseitekte er lik greseitekte år = 18,55. Dermed er overskuddet størst år vi produserer 19 eheter per dag. Det adre skjærigspuktet gir mist overskudd. Det ser vi fra grafe. For i det området ligger grafe til K over grafe til I, og kostade er større e itekte. e) Vi teger grafe til h ( ) a for a = 10 samme med grafe til K. kr K h eheter/dag Grafe til h ligger uder grafe til K, og produksjoe går dermed med uderskudd uasett produksjosmegde.

12 Vi prøver oss fram med adre verdier for a. Med a = 145 får vi dee grafe: kr K h eheter/dag Det ka se ut som om itektee og utgiftee er omtret like store år produksjoe er ca. 15 eheter per dag. På figure til vestre edefor har vi forstørret grafe i området år a= 145. Det blir ikke oe overskudd, for grafe til K ligger fortsatt over grafe til H. kr 000 kr h 1800 K K h eheter/dag eheter/dag Til høre ovefor har vi forstørret grafe år a = 146. Nå ser vi at grafe til h ligger over grafe til K, og vi får overskudd. a = 146 er de miste verdie for a som gir overskudd.