1 Algebra løsninger S2
|
|
|
- Brynjulf Møller
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 S, Algebra Algebra løsiger S Ihold. Tallfølger.... Tallrekker Uedelige geometriske rekker Faktoriserig Polyomdivisjo Likiger Tredjegradslikiger Likiger med rasjoale uttrykk... 7 Likigssett Øvigsoppgaver og løsiger Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra
2 S, Algebra. Tallfølger.. Fi møstree og fyll ut de este 5 leddee i følgede tallfølger a),, 5,,, 5,7, 9,,, 5 b), 9, 7,, 9, 7,8, 4, 79, 87, 6 56, c), 4, 8, 6,, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, 5, d),,, 4 8,,,,,,,, e),, 6, 0,,, 6, 0, 5,, 8, 6, 45,.. Fi møstree og fyll ut de este 5 leddee i følgede tallfølger a),,, 4 6,,,,,,,, b) c),,,, 4 9 6,,,,,,,,, ,,, ,,,,,,,,
3 S, Algebra d),,,,,,,, 5, 6, 7,,,.. Fi de fem første tallee i tallfølge gitt ved a, a a a a5 5 6 a 4..4 Fi de fem første tallee i tallfølge gitt ved a, a a a a a..5 Gitt tallfølge 4 8,,, 9 7 a) Fi e rekursiv formel for tallfølge. a a a
4 S, Algebra b) Fi e eksplisitt formel for tallfølge. a c) Fi ledd ummer 0 i tallfølge a Gitt figuree edefor. a) Fi e tallfølge som gir atall kvadrater i figuree. Skriv ed de fem første leddee i tallfølge. Atall kvadrater er gitt ved tallfølge 9,, 5, 8,,... b) Fi e rekursiv formel for tallfølge du fat i oppgave a). Vi ser at atall kvadrater øker med tre for hver figur. E rekursiv formel for dee tallfølge vil dermed kue skrives som a 9 a a Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i tallfølge. For å fie e eksplisitt formel for ledd ummer ka det være lurt å fie e formel som gir oss atall kvadrater i figuree ovefor. Vi ser at det kommer e y koloe som ieholder tre kvadrater for hver ye figur. Vi ka fie atall kvadrater i Figur ved multiplisere atall koloer med. Videre ka vi fie atall kvadrater i Figur ved å multiplisere atall koloer med 4 4 osv. E eksplisitt formel for figur ummer ka vi da skrive som a 4
5 S, Algebra..7 Eksame MZ. Høste 006 Vi ser på møstre av mørke og lyse kvadrater. De tre første møstree er vist ovefor. a) Hvor mage kvadrater er det i møster r. 5? Hvor mage av disse kvadratee er lyse? Atall kvadrater øker med for hvert møster. I det første møsteret er det koloer med kvadrater i hver. I det 5. møsteret er det dermed 7 kvadrater. Atall lyse kvadrater øker med for hvert møster. I det 5. møsteret er det da 5 lyse kvadrater. b) Hvor mage lyse og mørke kvadrater er det i møster r. 00? Atall kvadrater i møster ummer 00 blir 0 06 I møster ummer 00 er 00 lyse kvadrater og 06 mørke kvadrater. c) Forklar at det i møster er 6 mørke kvadrater. I de første og i de siste koloe er det til samme 6 mørke kvadrater. I alle de adre koloee er det mørke ruter. Vi ka dermed fie atall mørke kvadrater i møster ved formele 6. d) Fi e formel for det totale atallet kvadrater i de første møstree. Atall lyse kvadrater i møster er. Legger samme atall lyse kvadrater og atall mørke kvadrater og fier 6 6 5
6 S, Algebra..8 Figure edefor viser de tre første rektageltallee. Det første rektageltallet, R. Det este rektageltallet, R 6. Det tredje rektageltallet, R. a) Hva blir det fjerde rektageltallet, R 4? Det øker med e rad og e koloe for hvert tall. Det este rektageltallet har dermed 4 rader og 5 koloer. Tallet blir da R b) Fi e eksplisitt formel for rektageltall ummer, R. Vi ser at R har e rad og to koloer. R har to rader og tre koloer. Vi ka da skrive atall rader som og atall koloer som. For å fie e eksplisitt formel for rektageltall ummer, multipliserer vi atall rader med atall koloer. R c) Fi e rekursiv formel for rektageltall ummer, R. Vi ser at atall prikker øker med det dobbelte av ummeret på rektageltallet. E rekursiv formel blir dermed R R R 6
7 S, Algebra..9 Figure edefor viser de fire første trekattallee. Atall prikker i disse figuree kaller vi for trekattallee. Trekattall ummer kaller vi T. Vi har da at T, T, T 6, a) Fi de to este trekattallee, T5 og T 6. Det blir lagt til e rad for hver ye trekat. I trekat ummer 5 blir det derfor 5 prikker mer e i trekat ummer 4 altså 5 prikker. I trekat seks blir de ye rade på 6 prikker og atall prikker i trekat 6 blir derfor. T 5 T 5 6 b) Fi e rekursiv formel for T. Vi ser at atall prikker øker med det samme som ummeret på trekate. E rekursiv formel blir dermed T T T c) Fi e eksplisitt formel for T. Vi ser at «økige i atall prikker øker med for hver trekat». Det er likevel ikke så lett å fie e formel her. Vi velger å legge til prikker i figuree ovefor slik at vi får rektagler. Atall prikker i rektagel T fier vi ved T. Vi ser at trekattallee er halvparte av rektaglee. E eksplisitt formel for trekattallee er dermed gitt ved T d) FiT 50. T
8 S, Algebra..0 Avgjør om tallfølge er aritmetisk, geometrisk eller ige av delee. a),, 5, Differase mellom to ledd som følger etter hveradre i er. Dette er dermed e aritmetisk tallfølge. b), 9, 7, Forholdet mellom et ledd og leddet fora er. Dette er dermed e geometrisk tallfølge. c) 99, 90, 8, Differase mellom to ledd som følger etter hveradre i er 9. Dette er dermed e aritmetisk tallfølge. d), 4, 8, 6, Forholdet mellom et ledd og leddet fora er. Dette er dermed e geometrisk tallfølge. e) f),,, 4 Differase avtar mer og mer mellom aboledd, forhold mellom aboledd er ikke kostat. Dette er verke e aritmetisk eller geometrisk tallfølge.,,, 4 8 Forholdet mellom et ledd og leddet fora er Dette er dermed e geometrisk tallfølge.. g),, 6, 0, Differase øker mer og mer mellom aboledd, forhold mellom aboledd er ikke kostat. Dette er verke e aritmetisk eller geometrisk tallfølge. 8
9 S, Algebra.. Gitt tallfølge 5, 9,, a) Forklar hvilke type tallfølge dette er. Differase mellom to ledd som følger etter hveradre i er 4. Dette er dermed e aritmetisk tallfølge. b) Fi de rekursive formele for tallfølge. De rekursive formele for e aritmetisk tallfølge er gitt ved a a d. Rekursiv formel for dee tallfølge blir dermed a 5 a a 4 c) Fi de eksplisitte formele for tallfølge. a a d. De eksplisitte formele for e aritmetisk tallfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tallfølge blir dermed a 5 4 a a 4 d) Fi a 0 og a 0. Hvilke ummer i tallfølge er disse to leddee. a a a 0 er ledd ummer 0 i tallfølge og a 0 er ledd ummer 0 i tallfølge. 9
10 S, Algebra.. E tallfølge er gitt ved a a a a) Forklar hvilke type tallfølge dette er. Dette er dermed e aritmetisk tallfølge med differase. b) Fi de eksplisitte formele for tallfølge. a a d. De eksplisitte formele for e aritmetisk tallfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tallfølge blir dermed a 4 c) Skriv ed de 5 første leddee i tallfølge. a a 5 a a 8 5 De fem første leddee tallfølge blir,, 5, 8,. d) Fi differase mellom ledd ummer 0 og ledd ummer 0 i tallfølge. Vi vet at differase mellom aboledd i tallfølge er. Differase mellom ledd ummer 0 og ledd ummer 0 blir dermed Dette ka vi sjekke ved at ta a a
11 S, Algebra.. I e aritmetisk tallfølge er det femte leddet 4 og det tolvte leddet 45. a) Fi differase, d, mellom aboledd i tallfølge. Differase mellom det tolvte leddet og det femte leddet er 454. Differase, d, mellom aboledd blir dermed b) Fi a. For å fie Vi har d 5 7 a tar vi utgagspukt i formele a a 5 d 5 5 a a 4d a 4 4 a a a d. c) Fi e eksplisitt formel for tallfølge. a a d. De eksplisitte formele for e aritmetisk tallfølge er gitt ved Eksplisitt formel for dee tallfølge blir dermed a 9..4 I e kommue øker ibyggertallet med 500 hvert år. Det bor i dag 5 50 persoer i kommue. a) Fi e formel som viser atall ibyggere, a, om år. Utviklige i atall ibyggere i kommue ka beskrives med e aritmetisk tallfølge a a d der d 500 og a E formel for dee tallfølge blir dermed a b) Hvor mage ibyggere er det i kommue om 0 år? Atall ibyggere om 0 år a c) Når passerer atall ibyggere i kommue ? ,5 Det tar 8,5 år før ibyggertallet i kommue passerer
12 S, Algebra..5 E hummerfisker atar at atall hummer ha får hver uke i løpet av de åtte ukee hummerfisket pågår, vil avta med tre for hver uke. De første uka ha fisket, fikk ha 0 hummer. a) Fi e formel som viser atall hummer ha vil få i uke, hvis det går som ha atar. a a d der d og a 0 E formel for dee tallfølge blir dermed a 0 0 b) Hvor mage hummer ka fiskere rege med å få til samme de første 4 ukee? a a a a Ha ka rege med å få 0 hummer de fire første ukee...6 Gitt tallfølge, 6,, a) Forklar hvilke type tallfølge dette er. Forholdet mellom et ledd og leddet fora er. Dette er dermed e geometrisk tallfølge. b) Fi de rekursive formele for tallfølge. De rekursive formele for e geometrisk tallfølge er gitt ved a a k. Rekursiv formel for dee tallfølge blir dermed a a a a c) Fi de eksplisitte formele for tallfølge. De eksplisitte formele for e geometrisk tallfølge er gitt ved a a k. Eksplisitt formel for dee tallfølge blir dermed a. d) Fi det ledd ummer 0 i tallfølge. a a a
13 S, Algebra..7 I e geometrisk tallfølge er a4 8 og a a) Fi kvotiete, k, i tallfølge. Det er 4 ledd mellom a 4 og a 8. Dermed er a a k k k k b) Fi a. Bruker formele for geometrisk tallfølge Dermed er a 4 8 a a a 4 a a k.
14 S, Algebra..8 E fiskebestad i et forureset va avtar med 5 % per år. Fiskebestade i vaet er bereget til å være fisk i dag. a) Skriv opp fiskebestade de fire første åree. La det første året være fiskebestade i dag. År : fisk År : , fisk År : År 4: , fisk , fisk b) Forklar at fiskebestade, a, om år ka beskrives med formele Dette blir e geometrisk tallfølge der a og kvotiete, k, er k 0,95. De eksplisitte formel for geometrisk rekke gir dermed a ,95. a a k ,95 c) Fi fiskebestade i vaet om 0 år. 0 9 a , ,95 5 Om 0 år er ca. 50 fisk i vaet. d) Hvor lag tid går det før fiskebestade i vaet er halvert? Fiskebestade om atall år er gitt ved a ,95 Vi ka da sette , Løser likige med digitalt verktøy Det tar ca 4,5 år før fiskebestade i vaet er halvert. 4
15 S, Algebra. Tallrekker.. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a a) Fi de 5 første leddee i rekke a a a a a 4 6 b) Fi summe av de 5 første leddee. 769 S c) Bruk et digitalt verktøy fi summe år. 6 Ved digitalt verktøy fier vi at summe blir år 6 5
16 S, Algebra.. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a. a) Fi de 5 første leddee i rekke. a a4 4 a a5 5 a b) Fi S 50 og S 00. Bruker digitalt verktøy og fier S50 4,499 S00 5,87 c) Bruk et digitalt verktøy og fi summe år. Summe går mot uedelig. 6
17 S, Algebra.. Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a a) Fi S 5. Bruker digitalt verktøy og fier 5 5 S a, b) Fi S 50. Bruker digitalt verktøy og fier S a,65 50 c) Bruk et digitalt verktøy og fi Bruker digitalt verktøy og fier a a. 6 7
18 S, Algebra..4 Vi har tallrekke 75 a) Forklar hvorfor dette er e aritmetisk tallrekke. Det er e kostat differase, d 4, mellom aboledd i rekke. b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke. a a d og vi får Ledd ummer i e aritmetisk rekke er gitt ved a a d a 4 a 4 c) Fi e formel for summe av de første leddee i rekka. Summe for atall ledd i e aritmetisk rekke er gitt ved S a a 4 4 S a a og vi får d) Fi slik at summe S blir , Atall ledd må være et positivt tall. Rekke må bestå av 6 ledd for å få summe 78. 8
19 S, Algebra..5 Gitt e aritmetisk rekke der det første leddet a) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke. a a d 4 4 a og differase d 4. b) Fi summe av de 00 første leddee i rekke. Bruker digitalt verktøy og fier S c) Fi et utrykk for summe av de første leddee i rekke. S a a d) Fi summe av de 00 første leddee i rekke. S
20 S, Algebra..6 Gitt e aritmetisk rekke der a 5 og a6 5. a) Fi differase d i rekke. Det er fem ledd mellom det første og det sjette leddet i rekke. Differase d blir b) Fi e formel for summe av de første leddee i rekke. Fier først a a a d 5 a a S 4..7 Eksame MZ. Høste 005 E stabel med rør ligger delvis skjult bak e murvegg. På tegige ser vi toppe av stabele. I de øverste rade er det fire rør. a) Skriv opp e rekke som gir atallet rør i de tre øverste radee. Hva slags rekke er dette? Dette er e aritmetisk rekke med differase d. b) Bruk formler og teori om rekker til å svare på ) Hvor mage rør ligger i de 0. rade reget ovefra? Vi fier e formel for det leddet i rekke som vi fat i a). a a d 4 Atall rør i de tiede rade er a0 0 0
21 S, Algebra ) Hvor mage rør er det til samme i de 0 øverste radee? Vi fier e formel for summe av de første leddee i rekke. a a S 4 7 Atall rør til samme i de 0 øverste radee blir S Det er 70 rør i stabele. c) Hvor mage rader består stabele av? 7 70 Vi velger å løser likige med bruk av digitalt verktøy Det ku det positive svaret som er reelt. Det er 0 rader i stabele.
22 S, Algebra..8 Eksame for privatister MZ. Våre 006 Summe av alle oddetallee uder 00 er gitt ved 5 99 a) Forklar at dette er e aritmetisk rekke. Differase, d er kostat. b) Fi ved regig hvor mage oddetall det er i rekka. a a d Det er 00 oddetall i rekka. c) Bruk summeformele for e aritmetisk rekke, og bestem summe av rekka. a a S 99 S d) Skriv brøke så ekelt som mulig: Vi fier først hvor mage partall det er i evere a a d Det er 00 partall i evere. Vi fier summe av partallee fra og med til og med 00 a a S 00 S
23 S, Algebra..9 Gitt rekke 4 8 a) Forklar hvorfor dette er e geometrisk rekke 4 8 Kvotiete k er kostat, k. 4 b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke E formel for ledd ummer i e geometrisk rekke er gitt ved a a k c) Fi er formel for summe av de første leddee i rekke Summe av de første leddee i e geometrisk rekke er gitt ved S k a k..0 Gitt e geometrisk rekke med kvotiet k 4 og a. a) Fi et uttrykk for ledd ummer i rekke. a a k 4 4 b) Bruk et digitalt verktøy og formele du fat i a) for å fie summe av de 00 første leddee i rekke ,6 0 59
24 S, Algebra c) Fi et utrykk for summe av de første leddee i rekke S k a k d) Bruk formele du fat i c) og fi summe av de 00 første leddee i rekke. S , Gitt rekke 6 84 a) Forklar at dette er e geometrisk rekke. 8 4 Kvotiete k er kostat, k. 6 8 b) Fi e formel for S. k s a 6 6 k c) Fi summe av de 0 første leddee i rekke s 0 0 4
25 S, Algebra Gitt rekke 4 9 a) Forklar at dette er e geometrisk rekke Kvotiete k er kostat: k b) Fi e formel for S S c) Fi summe av de 0 første leddee i rekke S , 7 5
26 S, Algebra.. Du oppretter e sparekoto og setter i kroer på kotoe. jauar 0. Du vil fortsette med å sette i kroer på dee kotoe. jauar hvert år framover. Rete du får på kotoe er fast med 6 % per år. Fi ut hvor mye det står på kotoe. desember 04, altså rett før du skal sette i 5. beløpet. Vi får e geometrisk rekke med a 5000,06 og k,06. S 4 4, ,06 85,06 Det står 85 kroer på kotoe rett før du skal sette i det 5. beløpet. 6
27 S, Algebra..4 Eksame MZ. Høste 005 Håvard setter i kroer på e BSU-koto i begyelse av hvert år. Reta er,5 %, og vi forutsetter at de er uedra i spareperiode. Hvor mye har ha på kotoe i slutte av det 0. året? Skjemaet ovefor illustrerer bakiskuddee til Håvard. Vi får e geometrisk rekke med a 5 000,05 og k,05 Summe av de 0 første iskuddee blir S Det står 7 5 kr på kotoe i slutte av det 0. året. 0 0, ,05 7 5,05..5 I e geometrisk rekke er a5 8 og a8 64. a) Bestem kvotiete og det første leddet i rekka Det er 8 5 = plasser fra a5 til a 8. Dermed er: Videre er b) Bestem år vi vet at S 89,5 k S a k 89,5 89,5 89,5 l684 l 4 a8 64 a8 a5 k dvs. k 8 som gir k 8 a 8 5 a5 8 8 a5 a k dvs. a 4 4 k 6 5 Grafisk løsig 7
28 S, Algebra..6 Eksame MZ. Høste 006 Vi har gitt rekka 4 Bruk formler fra rekketeorie til å a) bestemme det 5. leddet i rekka. 4 Dette er e geometrisk rekke med kvotiet k og a. Formele for det - te leddet i e geometrisk rekke er gitt ved a a k Dermed er a b) bestemme summe av de 5 første leddee i rekka. k Sumformele, S, for e geometrisk rekke er gitt ved S a k. Summe av de første 5 leddee er dermed S ,5..7 E medisikur går over 8 dager. De første dage får pasiete 50 mg av medisie. Deretter reduseres megde med 5 % per dag. a) Hvor mage milligram får pasiete de 8. dage? 5 Vi får her e geometrisk rekke der kvotiete k 0,95 og 00 a 50. Vi fier det 8. leddet i rekka a a 8 8 a 0, ,95 4,9 De 8. dage får pasiete 4,9 mg av medisie. 8
29 S, Algebra b) Hvor mage milligram får pasiete til samme i løpet av kure? Vi fier summe av de åtte første leddee i de geometriske rekka S 8 k a k 8 8 0,95 S ,95 Pasiete får 7 mg av medisie i løpet av de 8 dagee...8 Eksame for privatister MZ. Våre 007 I dee oppgave skal vi arbeide med kvadrattall og oddetall. Et kvadrattall er et aturlig tall opphøyd i adre potes. Et oddetall er et aturlig tall som ikke er delelig med to. Vi skal udersøke påstade: Kvadrattall ummer er summe av de første oddetallee. a) Det fjerde kvadrattallet er 4 6. Vis at 6 ka skrives som summe av de første fire oddetallee Summe av de første oddetallee er: 5 a b) Hva slags rekke er dette? Vis at a. Differase, d, er lik mellom aboledd. Vi har da e aritmetisk rekke med d. a a d. Det -te leddet i e aritmetisk rekke er gitt ved formele Dermed er a c) Fi e formel for summe til dee rekka. Kommeter svaret. a a Sumformele, S, for e aritmetisk rekke er gitt ved S Dermed er S Påstade i oppgave a) gjelder geerelt. 9
30 S, Algebra..9 Eksame S. Våre 009 Ae vil spare for å kjøpe bil. Hu setter i kroer på e bakkoto i begyelse av hvert år. Rete er 6 % per år i hele spareperiode. a) Fi ut hvor mye som står på kotoe rett etter at det fjerde beløpet er satt i. Sett opp et uttrykk for hvor mye som står på Aes koto rett etter at det -te beløpet er satt i. Dette blir e geometrisk rekke med kvotiet, k,06 og a k Bruker sumformele, S a, for e geometrisk rekke og fier k 4,06 S ,06 Det står kroer på kotoe rett etter at det fjerde beløpet er satt i. Uttrykk for samlet beløp på Aes koto rett etter at det -te beløpet er satt i blir S, ,06 Bile hu vil kjøpe, koster kroer. b) Hvor lege må Ae spare før det er kroer på kotoe? Bruker sumformele for e geometrisk rekke og løser digitalt., ,06,8 Ae må spare i år før det er ok peger på kotoe til bile. Ae øsker å kue kjøpe bile like etter at det 0. beløpet er satt i. c) Hvor stort beløp må hu da sette i på kotoe i begyelse av hvert år? I dee oppgave tilsvarer a beløpet hu setter på kotoe hvert år. Bruker sumformele for geometrisk rekke og fier beløpet ved å løse likige digitalt. a 0, ,06 a 5 06 Ae må sette i rett over kroer dersom hu skal ha ok peger til å kjøpe bile rett etter at det 0. beløpet er satt i. 0
31 S, Algebra..0 Eksame MZ. Våre 005 I forbidelse med omstilliger på jobbe blir Eva tilbudt økoomisk godtgjørig for å slutte. Hu ka velge mellom to tilbud: ) Et egagsbeløp på kr utbetalt. jauar 006. ) E årlig utbetalig på kr de. jauar hvert år, første gag i 006 og siste gag i 05. Eva vil sette alle pegee i bake med e gag hu får dem, og bruke godtgjørige som supplemet til pesjoe år hu går av som pesjoist. jauar 06. Eva øsker å sammelige tilbudee. a) Hvor mye peger har hu i bake de. jauar 06 år retesatse er,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i )? , Hu har kr i bake de. jauar 06 dersom hu velger dette alterativet. b) Hvor mye peger har hu i bake de. jauar 06 år retesatse er,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i )? Hvilket av tilbudee er best? Skisse ovefor viser at vi får e geometrisk rekke der a ,05 og k,05. I alt får hu utbetalt 0 utbetaliger, hver av dem på kroer i periode fra. jauar 006 til. jauar 05. Summe av disse 0 utbetaligee blir S 0 0, , ,05 Hu har ca kroer i bake de. jauar 06 dersom hu velger dette alterativet. Tilbud er best.
32 S, Algebra c) Ved hvilke retesats er de to tilbudee like gode? Vi bruker digitalt verktøy og løser dee likige. Løsige k 0 gir ikke meig i dee praktiske sammehege. k,0, k 00 Ved e retesats på, % vil tilbudee være like gode. Grafisk løsig: Eva velger tilbudet med et egagsbeløp og setter pegee i bake. Hu vil bruke hele det oppsparte beløpet til å supplere pesjoe. Hu øsker å ta ut ti like store årlige beløp de. jauar hvert år, første gag i 06
33 S, Algebra d) Hvor store årlige beløp ka hu ta ut hvis retesatse hele tide er,5 %? Skjemaet viser hvorda beløpee hu tar ut fordeler seg. Vi reger ut hva alle beløpee vil tilsvare i det året hu tar ut det siste beløpet. Vi får e geometrisk rekke. Beløpet hu har. jauar 06 føres fram til de dage hu tar ut sitt siste beløp, dvs. 9 år framover. Vi ka da sammelike dette beløpet med rekke som kommer fram i skjemaet. 0 9, ,05 x,05 Vi bruker et digitalt verktøy og fier: Hu ka ta ut et fast beløp på kr hvert år framover i 0 år.
34 S, Algebra.. Eksempeloppgave S E bedrift har lagt opp e lagsiktig pla for å rekruttere kvalifisert arbeidskraft i framtida. Bedrifte lover e stipedordig uder skolegag og studier. De ferdigutdaete studetee må forplikte seg til å arbeide i bedrifte i 5 år. E elev/studet ka velge mellom å få stipedet utbetalt kr hvert år i 0 år. Første utbetalig om år. utbetalt kr kotat i dag. Deretter kr hvert år i 5 år, første utbetalig om år. utbetalt kr hvert år i 0 år. Første utbetalig om 5 år. a) Hvilke stipedordig er mest løsom for eleve/studete år rete er 5 % per år? Bruk det du ka om rekker i begruelse di. For å sammelike de tre ulike stipedordigee velger vi å fie åverdie av tilbudee. Kulepukt Stipedordige i kulepukt ka ses på som e geometrisk rekke med a.,05 Kvotiete, k, blir k. Atall utbetaliger er 0. Dette ka illustreres slik:,05 k Formele for summe, S, av e geometrisk rekke er S a k ,05 Dette gir S 70 64,05,05 Nåverdie av dee stipedordige blir kroer. 0 4
35 S, Algebra Kulepukt. Bruker samme metode som ovefor. Nåverdie av utbetaligee på kroer ka illustreres slik. Nåverdie av dee stipedordige blir dermed , ,05,05 Nåverdie av dee stipedordige blir kroer. 5
36 S, Algebra Kulepukt. Bruker samme metode som ovefor. Nåverdie av utbetaligee på kroer ka illustreres slik. Nåverdie av dee stipedordige blir dermed , ,05,05 Nåverdie av dee stipedordige blir 8 6 kroer. Stipedordige i kulepukt er mest løsom for studete etter de betigelser som er gitt. b) Ville koklusjoe blitt aerledes hvis rete hadde vært 8 % per år? Gjør de samme beregigee som i a) med e retesats på 8 %. Kulepukt : Dette gir S ,08 084,08,08 0 Kulepukt : Dette gir S , ,08,08 5 Kulepukt : Dette gir S , ,08,08 0 Ved e retesats på 8 % vil alterativet i kulepukt slå best ut. 6
37 S, Algebra.. Eksame MX for privatister. Våre 007 E lite kule heger i e sor med legde 0,40 m. Vi trekker kula ut til pukt A med stram sor. Vi slipper kula. De sviger da ut til pukt B. 0,40 m A 40 Figur B C Figur B Vikele kula sviger fra A til B, er 40. Se figur. Deretter sviger kula tilbake til C. Vikele fra B til C,, er % midre for hvert utslag. Se figur. Kula fortsetter å svige slik at vikele er % midre for hvert utslag. Vi ser på rekka:... a) Forklar at dette er e geometrisk rekke. Bestem år 4. For hvert utslag avtar vikele med %. Det vil si at vikele på adre utslag blir 40 0,98, på tredje utslag 40 0,98 osv. Vi har dermed e geometrisk rekke med a 40 og kvotiet k 0,0 0,98. Ledd ummer er gitt ved a a k. Vi ka da skrive likige400,98 4. Løser digitalt og fier Når er 4 er 9 b) Hva er de miste verdie ka ha for at summe av vikelutslagee skal bli større e 60 Summe er gitt ved S a k k. Vi ka da sette a k k 60 Vi fier at de miste verdie ka ha for at summe av vikelutslagee skal bli større e 60 er 0. 7
38 S, Algebra. Uedelige geometriske rekker.. Gitt de uedelige rekke a) Forklar hvorfor dee rekke kovergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiet Rekke kovergerer side k,. k. 4 b) Fi summe av rekke. a 4 4 S 6 k Gitt de uedelige rekke a) Forklar hvorfor dee rekke kovergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiete k. Rekke kovergerer side k,. b) Fi summe av rekke. a 4 S k 8
39 S, Algebra.. Gitt de uedelige rekke 9 4 Forklar hvorfor dee rekke divergerer. Det er e geometrisk rekke med kvotiete Rekke divergerer side k,. k..4 Nils Herik bestemmer seg for å ivitere oe veer med hjem. Ha bestiller e pizza som ha vil servere gjestee. Førstema som kommer forsyer seg med halve pizzae, estema tar halvparte av det som er igje og slik fortsetter det «i det uedelige». a) Sett opp e rekke som viser hvor stor del av pizzae gjestee spiser. Hva slags rekke er dette? Førstema tar pizza, estema tar halvdele av de halve som er igje etter førstema, altså 4 pizza osv. Dette gir rekke 4 8 Dette er e uedelig geometrisk rekke med kvotiet k. b) Fi summe av de uedelige rekke. a S Pizzae blir spist opp dersom det bare kommer mage ok k 9
40 S, Algebra..5 Vi har gitt e geometrisk rekke der a4 5,8 og a8,8675. Udersøk om de uedelige rekka kovergerer, og fi evetuelt summe av rekka. Vi fier først kvotiete k. Det er 8 4 = 4 plasser fra a4 til a 8. Vi får da a a k k, k k k k Rekka kovergerer. a a 4 4,8675 5, k 0,9 0,656 Vi fier så a a a k a 4 4 a k 4 5,8 a 0,9 a 8 Rekka blir 880,980,9 Summe blir 8 8 S 80 0,9 0, 40
41 S, Algebra..6 Eksame MX, Høste 006 Vi har gitt e geometrisk rekke der a,6 og a7,0688. Udersøk om de uedelige rekka kovergerer, og fi evetuelt summe av rekka. Vi fier først kvotiete k. Det er 7 = 4 plasser fra a til a 7. Vi får da a a k k k k k a a 4 4,0688, k 0,9 0,656 Vi fier så a a a k a a k,6 a 0,9 a Rekka blir 0,90,9 Summe blir da S 0 0,9 0, 4
42 S, Algebra..7 Martha har kjøpt seg båt og vil lage seg e båtplass ede ved elva. Hu vil slå ed e solid påle som hu ka fortøye båte i. Når hu slår første slag går påle 0,0 cm ed i elvebue. For hvert slag deretter reduseres legde påle går ed i elvebue med 0 %. a) Hvor lagt ed er påle kommet etter 0 slag? Samlet legde påle kommer ed i elvebue er summe av det påle går ed på første slag, på adre slag osv. På første slag går påle 0 cm ed dvs. a 0. På det adre slaget blir det 0 0,90 osv. Samlet legde påle går ed i bue daer altså e koverget geometrisk rekke med a 0 og med kvotiet k 0,90. Vi bruker formele for summe av de første leddee i e geometrisk rekke og fier S 0 0 0,9 0 87,8 0,9 Etter 0 slag på påle er påle kommet 87,8 cm ed i elvebue. b) Vurder om det er foruftig å fortsette å slå på påle. Vil dee komme mye leger ed i elvebue? Vi ka jo sjekke hvor mye leger påle kommer ed i elvebue på este slag, dvs. det. slaget. a 00,9, Det este slaget vil sede påle, cm videre ed i elvebue. Kaskje ikke verd slitet? Vi ka jo også sjekke hvor lagt påle ka komme ed i elvebue dersom Martha slår på påle «i det uedelige». 0 S 00 0,9 Påle vil aldri komme leger e 00 cm ed i elvebue uasett 4
43 S, Algebra..8 De greske filosofe Zeo (ca f.kr.) gjorde et takeeksperimet der ha arragerte et kappløp mellom datides raskeste ma, Akilles, og e skilpadde. Zeo reget med at Akilles løp 0 gager så fort som skilpadde. (E utrolig sprek skilpadde!) Tek deg at skilpadde starter med et forsprag på 00 meter. Når Akilles har kommet dit skilpadde startet, har skilpadde fortsatt et forsprag på 0 meter. Når Akilles har tatt igje dette forspraget, har skilpadde kommet seg ytterligere m av gårde, osv. Etter dette resoemetet vil Akilles aldri kue ta igje skilpadde! a) Still opp e geometrisk rekke som beskriver dette problemet og bereg hvor lagt Akilles har løpt år ha tar igje skilpadde. Vi setter opp e rekke som viser avstadee Akilles løper og fier summe av rekke. Rekke blir , med kvotiet 0 k 0, 00 0 Formele for sum av e uedelig geometrisk rekke gir S, 0, 0,9 Akilles løper, meter før ha tar igje skilpadde. b) Det vil jo alltid være slik at år Akilles kommer dit hvor skilpadde var, så har skilpadde kommet et stykke videre. Prøv å gi e forklarig på hvorfor Akilles likevel kommer seg forbi skilpadde (for det gjør ha). 4
44 S, Algebra..9 E tablett ieholder e viss megde av et virkestoff. Kroppe skiller ut 0 % av virkestoffet hvert døg. Per skal ta e tablett hver dag fremover. Megde av virkestoff i kroppe må ikke overstige 00 mg. Hvor mage milligram av virkestoffet ka e tablett ieholde? Samlet megde virkestoff i kroppe er summe av det Per tok i dag, det ha tok i går osv. Av virkestoffet a ha tok i går er bare a 0,80 igje i kroppe side 0 % skilles ut per døg. Av virkestoffet ha tok for to dager side er bare a 0,80 igje i kroppe, osv. Samlet megde virkestoff i kroppe daer altså e koverget geometrisk rekke med kvotiet k 0,80. Vi bruker formele for summe av e uedelig geometrisk rekke og fier hvor mye e tablett ka ieholde av virkestoffet a S k a 00 0,8 a 00 0, a 0 E tablett må ikke ieholde mer e 0 mg av virkestoffet. 44
45 S, Algebra..0 Figure viser de tre første av uedelig mage likesidete trekater. De største trekate kaller vi T, de este trekate for T osv. Trekat T blir daet av trekate T ved at vi velger midtpuktee på sidee i trekate T som hjører i trekate T. Arealet til trekate T kaller vi La de største trekate T ha sidekat lik 4. A og omkretse av trekate T kaller vi a) Fi omkretse av de tre første trekate og vis at summe av disse omkretsee daer de geometriske rekke 6 Omkretse av trekat T er 4 Hjøree i trekat T er midtpuktee på sidekatee til trekat T. Sidekatee i T er dermed halvparte så lage som sidekatee i trekat T. Omkretse av trekat T er dermed 4 6 Av samme gru som ovefor vil omkretse av trekat T være Rekke er geometrisk med kvotiet k lik 6 6 O. b) Forklar hvorfor rekka kovergerer. Rekke 6 har kvotiete 6 k dvs. k, og rekke kovergerer. 6 c) Bestem summe av omkretsee år atall trekater går mot uedelig. Rekke 6 a Summe er gitt ved S k S 4 0,5 0,5 har kvotiete k dvs. k, og rekke kovergerer. 45
46 S, Algebra d) Vis at høyde i trekatt er. I e likesidet trekat vil høyde halvere motståede side. Bruke Pythagoras læresetig og fier h 4 h h e) Fi arealee av de tre første trekatee og vis at summe av disse arealee daer de geometriske rekke 4 4 Arealet A av trekat T blir A Høyde i trekat T blir 4 4 h h h Arealet A av trekat T blir A Høyde i trekat T er gitt ved Ku iteressert i de positive løsige 4 h h 4 h h Arealet A av trekat T blir A 4 Ku iteressert i de positive løsige. Rekke er geometrisk med kvotiet k lik f) Vis at A A A... blir e koverget geometrisk rekke, og fi summe av dee rekke. Rekke 4 4 har kvotiete Summe blir S 4 4 k dvs. k, og rekke kovergerer. 4 46
47 S, Algebra.. Eksame S, Høste 009 Det -te leddet i e rekke er gitt ved a a) Skriv de fire første leddee i rekke. Vis at rekke er geometrisk, og fi kvotiete k. a 0 a 9 9 a a Sjekker om forholdee mellom et ledd og leddet før er kostat. a a a a a a Rekke er geometrisk med kvotiet, k 47
48 S, Algebra b) Bestem ved regig hvor mage ledd du mist må ta med i rekke for at S 0,999. k Sumformele, S, for geometriske rekker er gitt ved S a. k Bruker digitalt verktøy og løser k a 0,999 Der a og k k Det må mist tas med 8 ledd for at summe skal bli større e 0,999 c) Avgjør om rekke kovergerer. Fi evetuelt summe. Rekke kovergerer dersom k. I dee oppgave er Det betyr at rekke kovergerer. k. E pasiet som er kroisk syk, tar hver dag e tablett som ieholder 0, mg av e bestemt medisi. Kroppe bryter ed, % av dee medisie på ett døg. Hvis pasiete har mer e,5 mg av dee medisie lagret i kroppe, ka det gi alvorlige bivirkiger. d) Ville du ha abefalt dee medisibehadlige for pasiete? Begru svaret ditt. Itaket av tabletter ka framstilles som e geometrisk rekke med a 0,. Etter ett døg er det 67,7 % av medisie igje i kroppe. Kvotiete blir dermed k 0,667. Bruker sumformele, S, for uedelige geometriske rekke og fier hvor mye som lagres i kroppe. a S k 0, S 0,667 S 0,999 Det blir maksimalt lagret,0 mg av medisie i kroppe. Medisierige ka abefales. 48
49 S, Algebra.4 Faktoriserig.4. Faktoriser uttrykkee. a) 8a aa b bbb b) 4a a aa a aa c) a 6a a a d) x 6 x 4x 4 e) x 8 x 9x 9 f) x x x.4. Faktoriser uttrykkee. a) 4x 5 x 5x 5 b) 8 x 9 x x x c) x 6 x 6 x 6x 6 x 4x8 d) x x x x x e) x 4x49 x x7 7 x 7 f) 6 4b 4b 49 6b b 4 b b 4 b 49
50 S, Algebra.4. Faktoriser uttrykkee. a) x x Vi faktoriserer uttrykket x x ved hjelp av ullpuktmetode. Vi setter uttrykket lik ull og får e adregradslikig. Vi løser så adregradslikige ved å bruke abc-formele. x x 0 4 x x 4 x x Det betyr at x x x x x x b) 4a 6a 4 Vi faktoriserer uttrykket 4a 6a 4 ved hjelp av ullpuktmetode. Vi setter uttrykket lik ull og får e adregradslikig. Vi løser adregradslikige ved å bruke abc-formele. 4a 6a 4 0 (a a ) 0 : a a 0 4 a 5 a a a 4 4 a a a a a a Det betyr at
51 S, Algebra c) x 8 Vi faktoriserer uttrykket x 8 ved å bruke kojugatsetige. x 8 x 9 x x d) x 4x 8 Vi faktoriserer uttrykket x 4x 8 ved hjelp av ullpuktmetode. Vi setter uttrykket lik ull og får e adregradslikig. Vi løser adregradslikige ved å bruke abc-formele x 4 6 x Ige reell løsig. Uttrykket ka ikke faktoriseres. e) xx x Vi faktoriserer uttrykket x x ved hjelp av ullpuktmetode. Vi setter uttrykket lik ull og får e adregradslikig. Vi løser adregradslikige ved å bruke abc-formele. x x 0 4 x x 4 x x Vi har da at x x x 0 x 0 eller x eller x Det betyr at xx x x 0x x xx x f) Faktoriser uttrykkee ovefor ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. 5
52 S, Algebra Polyomdivisjo.4.4 Utfør polyomdivisjoee: a) x x : x x x x x : x x x ( x ) 0 Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x x x b) x x : x x x x x : x x x x 0. Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x x x. c) x x : x 5 x x : x x x x 4 x x x 6 5 Divisjoe «gikk ikke opp». Det betyr at x ikke ka være e faktor i x x. 5
53 S, Algebra d) Faktoriser tellere i oppgavee a) og b) ved hjelp av ullpuktmetode. Kommeter svaree. Tellere i a) er adregradsuttrykket x x Vi faktoriserer uttrykket x x ved hjelp av ullpuktmetode. Setter uttrykket lik 0 og får e adregradslikig. Løser adregradslikige ved å bruke abc-formele. x x 0 4 x 9 x 4 4 x eller x Det betyr at x x x x x x Vi får det samme svaret som i oppgave a) Tellere i b) er adregradsuttrykket x x Vi faktoriserer uttrykket x x ved hjelp av ullpuktmetode. Setter uttrykket lik 0 og får e adregradslikig. Løser adregradslikige ved å bruke abc-formele. x x 0 4 x 5 x x eller x Det betyr at x x x x x x Vi får det samme svaret som i oppgave b) 5
54 S, Algebra.4.5 Gitt polyomuttrykkee edefor. Avgjør i hvert tilfelle hvilke faktorer uttrykkee er delelige med. Fyll ut reste av tabelle. Vi vet at x x er e faktor i et polyomuttrykk hvis polyomuttrykket blir lik ull år x x. Vi bruker dette år vi løser oppgave. Polyom Faktore ( x ) Faktore ( x ) Faktore ( x ) x x x Ja Ja Nei x x x 6 Nei Nei Ja x 4x Ja Nei Ja x 4x x 4 Ja Ja Nei x x x Ja Ja Ja.4.6 Bestem tallet a slik at divisjoe går opp: a) x x x : x a Prøvig og feilig viser at tredjegradspolyomet blir lik ull for x. Vi vet da at x er e faktor i polyomet, og at divisjoe går opp. Me a ka ha adre verdier også. Vi utfører polyomdivisjoe x x x x x : x x 5x 5x x 5x 5 x x 0 x 54
55 S, Algebra Vi løser så adregradslikige x 5x x 5 5 x x 4 4 og Det betyr at x x, og for at divisjoe skal gå opp. også er faktorer i tredjegradspolyomet og at a ka ha verdiee b) x x ax a: x Vi setter i x i tredjegradspolyomet og fier hvilke verdi av a som fører til at polyomet blir lik ull. a a 0 8 a a 0 a 4 Når a 4, går divisjoe opp. c) x ax 5x 6 : x Vi setter i x i tredjegradspolyomet og fier hvilke verdi av a som fører til at polyomet blir lik ull. a a Når a, går divisjoe opp. 4a 8 a 55
56 S, Algebra.4.7 Utfør polyomdivisjoe og faktoriser tredjegradspolyomet a) x 6x x 6 : x x x x x x x x x 6 6 : 5 6 5x x 6 5x 5 x 6x 6 0 6x 6 Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x 6x x 6 x 5x 6x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x 5x6 0. Ved å bruke abc-formele får vi x 5x x 5 x x x Det betyr at x 5x 6 x x x x og de ferdige faktoriserige blir x x x x x x
57 S, Algebra b) 6x x 9x 4 : x 6x x 6x x 9x 4 : x x x 4 x x 9 x x 8x 4 8x 4 0 Divisjoe «gikk opp». Det betyr at 6x x 9x 4 x x 4x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x x4 0. Ved å bruke abc-formele får vi x x x 7 x 6 4 x x 4 Det betyr at x x 4 x x x x 4 og de ferdige faktoriserige blir 6x x 9x 4 x x x 4. 57
58 S, Algebra c) x x 4x 4 : x x x x x 4x 4 : x x 4 4x 4 4x 4 0 Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x 4x 4 x 4 x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av kojugatsetige. x x x 4 og de ferdige faktoriserige blir x x 4x 4 x x x. 58
59 S, Algebra.4.8 Faktoriser utrykket. a) x x x 4 6 Vi prøver oss fram og fier at uttrykket x 4x x 6 Vi vet da at x er faktor i x 4x x 6. er lik ull for x. Vi utfører divisjoe x x x x x x x x 4 6 : 5 6 5x x6 5x 5 x 6x 6 0 6x 6 Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x 4x x 6 x 5x 6x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x 5x6 0. Ved å bruke abc-formele får vi x 5x 6 0 x 5 x x x Det betyr at x 5x 6 x x x x og de ferdige faktoriserige blir x x x x x x
60 S, Algebra b) x 4x Vi prøver oss fram og fier at uttrykket x 4x er lik ull for x. Vi vet da at x er faktor i x 4x. Vi utfører divisjoe 0x x x x 4x : x x x x 4x x x x x 0 Legg merke til at det ka være lurt å skrive et ekstra ledd dersom det «magler»! Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x 4x x x x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x x 0. Ved å bruke abc-formele får vi x x 0 : x x 6 0 x 5 x x x 4 6 Det betyr at x x x x x x og de ferdige faktoriserige blir x 4x x x x. 60
61 S, Algebra c) 4 6 x x x Tredjegradsuttrykket ka skrivesx 4x 6x xx x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x x 0. Ved å bruke abc-formele får vi x x 0 x 4 x x x 4 Det betyr at x x x x x x og de ferdige faktoriserige blir x 4x 6x x x x. 6
62 S, Algebra d) x x x Vi prøver oss fram og fier at uttrykket Vi vet da at x er faktor i x x x. er lik ull for x. x x x Vi utfører divisjoe x x x x x x x x : 4 4x x 4x 4 x x 0 x Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x x x 4x x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x 4x 0. Ved å bruke abc-formele får vi x 4x 0 x 4 x x x Det betyr at x 4x x x x x og de ferdige faktoriserige blir x x x x x x. 6
63 S, Algebra e) x x x 4 Vi prøver oss fram og fier at uttrykket Vi vet da at x er faktor i x x x 4. 4 er lik ull for x. x x x Vi utfører divisjoe x x x x x x x x 4 : x 4x x x x 0 x Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x 4x x x x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x x 0. Ved å bruke abc-formele får vi x x 0 x 4 4 x Vi får ige reelle løsiger. Det betyr at x x ikke ka faktoriseres. De ferdige faktoriserige blir x x 4x x x x. 6
64 S, Algebra f) x x 4 Vi prøver oss fram og fier at uttrykket Vi vet da at x er faktor i x x 4. x x 4er lik ull for x. Vi utfører divisjoe 0x x x x x 4 : x x 4x 4 4x 0x 4 4x 4x 4x 4 4x 4 0 Legg merke til at det ka være lurt å skrive et ekstra ledd dersom det «magler»! Divisjoe «gikk opp». Det betyr at x x 4 x 4x 4x. Tredjegradspolyomet er dermed faktorisert i et adregradspolyom og et førstegradspolyom. Vi ka faktorisere adregradspolyomet ved hjelp av ullpuktsetige. Vi setter x 4x 4 0. Ved å bruke abc-formele får vi x 4x x 4 0 x x x Det betyr at x 4x 4 x x og de ferdige faktoriserige blir x x x x x x x 4. 64
65 S, Algebra.5 Likiger Tredjegradslikiger.5. a) Vis at x er e faktor i polyomet x x x. Vi setter i x i polyomet. 0, og x er dermed e faktor i polyomet. b) Løs likige x x x 0. x er e faktor i likige, og vi foretar først polyomdivisjoe x x x x x x x x : x x x x x x Da er x x x x x x. 0 Vi fier ullpuktee til x x Tredjegradslikige blir med løsigee x x 0 x x x x 4 x x x 0 x x x 0 x, x og x 65
66 S, Algebra.5. a) Prøv deg fram og fi e løsig til likige Vi prøver oss fram og fier at uttrykket (Vi vet da at x er faktor i x x x 4 6.) x x x x x x er lik ull for x. b) Løs likige x 4x x 6 0 x er e faktor i x 4x x 6, og vi foretar først polyomdivisjoe x x x x x x x x 4 6 : 5 6 5x x6 5x 5 x 6x 6 6x 6 Da er x 4x x 6 x x 5x 6. 0 Vi fier ullpuktee til x 5x 6 x 5x 6 0 x 5 x x x Tredjegradslikige blir x x x x x x 0 med løsigee x, x og x 66
67 S, Algebra.5. Gitt tredjegradspolyomet ax x x 4 4 a) Bestem a slik at polyomet er delelig med x Dersom polyomet skal være delelig med x, må polyomet være lik ull for x. Vi setter x og setter polyomet lik ull. ax 4x x 4 0 Når a, er polyomet delelig med x. a a a b) Løs likige ax 4x x 4 0 ved regig år e av løsigee i likige er x Når x, er a (Se oppgave a) x er e faktor i likige, og vi foretar polyomdivisjoe x x x 4x x 4 : x x x 4 x x4 x x 4x 4 4x 4 Da erx 4x x 4 x x x 4. Vi fier ullpuktee til x x 4 Tredjegradslikige blir 0 x 4x x 4 0 x x 4 0 : x x x x 0 x 0 x x x x 4 med løsigee x, x og x 67
68 S, Algebra.5.4 Løs likige ved regig. a) x x 0 Vi prøver oss fram og fier at uttrykket faktor i x x. x xer lik ull for x. Vi vet da at x er 0x x x x x : x x x x x x 4x x x Da er x x x x x 0. Legg merke til at det ka være lurt å skrive et ekstra ledd dersom det «magler»! Adregradsuttrykket x xka faktoriseres med første kvadratsetig x x x Tredjegradslikige blir x x x x x 0 0 med løsigee x og x 68
69 S, Algebra b) x x0 0 Vi prøver oss fram og fier at uttrykket faktor i x x 0. x x0 er lik ull for x. Vi vet da at x er 0x x x x x 0 : x x x 5 x x0 x 4x 5x 0 5x 0 Da er x x 0 x x x 5 0. Legg merke til at det ka være lurt å skrive et ekstra ledd dersom det «magler»! Vi fier ullpuktee til x x 5 x x 5 0 x 4 5 Ige reelle løsiger. Tredjegradslikige blir x x x x x med løsige x 69
70 S, Algebra c) 4 x x x x 0 4 x x x x x x x x Vi prøver oss fram og fier at uttrykket faktor i x x x. er lik ull for x. Vi vet da at x er x x x Polyomdivisjo gir x x x x x : x x x x Da er x x x x x. 0 Adregradsuttrykket x ka faktoriseres ved hjelp av kojugatsetige x x x Fjerdegradslikige blir 4 x x x x 0 x x x x 0 med løsigee x, x 0, x og x 70
71 S, Algebra d) x 5x Vi prøver oss fram og fier at uttrykket faktor i x 5x 4. 4 x 5x 4er lik ull for x. Vi vet da at x er 4 Polyomdivisjo gir 4 x x 4 x x x x x x x x : x 5x 0x 4 x 4x x x x 0 4 x x 4 x 4 0 Da er x 4 5x 4 x x x x. Vi prøver oss fram og fier at uttrykket faktor i x x x. Polyomdivisjo gir er lik ull for x. Vi vet da at x er x x x x x x x x x x x : x x x x x x Da er x 4 5x 4 x x x x x x x x 0. 7
72 S, Algebra Vi fier ullpuktee til x x x x 0 x x x 4 Fjerdegradslikige blir x 5x x x x x 0 med løsigee x, x, x og x 7
73 S, Algebra Likiger med rasjoale uttrykk.5.5 Løs likige. a) x 6 x x x x b) x x x x 0 5 x x x 0 x x 5x0 0 6 x 5x0 0 8x 6 x 0 c) x x Nevere i e brøk ka ikke være ull. Vi vet derfor at x og x 0. Fellesever er xx. x x x x x x x x x x x x x 0 x x x Vi sjekker løsigee ut fra kravet ovefor. Begge løsigee er gyldige. 7
74 S, Algebra.5.6 Løs likigee. x a) x x x Nevere i e brøk ka ikke være ull. Vi vet derfor at x og x 0. Fellesever er xx. x x x x x x x x x x x 0 x x 4 ( ) x x x Vi sjekker løsigee ut fra kravet ovefor. Side x og x 0, har likige løsig x. b) x x x Nevere i e brøk ka ikke være ull. Vi vet derfor at x. Fellesever er x. x x x x x x x 4 x x x 0 x x x x 4 Vi sjekker løsigee ut fra kravet ovefor. Begge løsigee er gyldige. 74
75 S, Algebra.5.7 Løs likigee. x a) x 4 x Vi ser av likige at x og x. Fellesever er x x xx. x x x x x x x Vi sjekker løsige ut fra kravet ovefor. Løsige er gyldig. x x x x x x x 6 x 4 x 0 b) x x x 4 x Vi ser av likige at x. Likige ka forekles før vi fier fellesever x( x) x x x) 4 x x 4 x Fellesevere er x. x x x 4 x x x x 4 x x 4x 4 x 6 x Vi sjekker løsige ut fra kravet ovefor. Løsige er gyldig. 75
76 S, Algebra x c) x x x 5x 6 Vi ser av likige at x og x. Fellesever er x x. x x x x x x x x x x x x x 6 0 x 90 x x x x x x Vi sjekker løsigee ut fra kravet ovefor. Likige har løsige x Likigssett.5.8 Løs likigssettet. xy5 x y Vi løser likige xy 5 med hesy på x x5 y Så settes dette uttrykket i for y i de adre likige 5y y 5 y y y y x 5 76
77 S, Algebra.5.9 kg torskefilet og,5 kg ulkefilet koster til samme 85 kr. kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 5 kr. Hva blir kilo prise for torske- og ulkefilete? Vi setter prise for torskefilet lik x kroer og prise for ulkefilet lik y kroer, og får likigee x,5y85 x0,5y5 Løser likige 0,5y5 x med hesy på y 0,5y 5 x y 60 6x Stekt torsk med olivepotetpurre og sopp. Så settes dette uttrykket i for y i de adre likige x,5(60 6 x) 85 x 945 9x 85 7x 560 x 80 Torskefilete koster 80 kroer per kg og ulkefilete koster 50 kroer per kg. 77
78 S, Algebra.5.0 kroer per stk. 4 kroer per stk. Lærer Hase kjøpte e dag til samme 5 epler og pærer. Ha betalte 45 kroer. Hvor mage epler og hvor mage pærer kjøpte ha? Hvis lærer Hase kjøpte x epler og y pærer, får vi følgede likiger xy5 x 4y 45 x 5 y 5 y 4y y 4y 45 y 70 x Lærer Hase kjøpte 45 epler og 70 pærer. 78
79 S, Algebra.5. Marthe jobber i e butikk. Hu tjeer 90 kr per time på dagtid og 0 kr på kveldstid. E måed hadde hu jobbet 5 timer og tjet 400 kr. Hvor mage timer hadde hu jobbet dagtid, og hvor mage timer hadde hu jobbet kveldstid? Vi setter opp to likiger med to ukjete og løser disse. Vi setter x som atall timer hu jobbet dagtid og y som atall timer hu jobbet kveldstid. 90x0y 400 x y 5 x 5 y 90 5 y 0y y 0y 400 0y 50 y 5 x Hu jobbet 0 timer på dagtid og 5 timer på kveldstid dee måede. 79
80 S, Algebra.5. Løs likigssettet x y z 6 x y z x y z 0 Løser likige x y z 6 med hesy på x x 6 y z Så settes dette uttrykket i for x i de to adre likigee. 6 yz yz 6 yz y z 0 y z y z 8 y z y z 0 y 4z 4 yz 8 Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. y 4z 4 y 4 4z Videre er som gir 4 4z z 8 4 4zz 8 z 6 z y 4 4 x 6 Vi har dermed løsige x, y og z 80
81 S, Algebra.5. Eksame S. Høste 009 Løs likigssettet x y z 0 x y z 4x y z Vi løser likige x y z 0 med hesy på x x z y Så settes dette uttrykket i for x i de to adre likigee. z y 4z y y z yz z y y z 4z 4y y z zy z y Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. z y yz videre er som gir z z z z 6 z 5 z 5 y 5 x 5 Vi har dermed løsige x, y og z 5 8
82 S, Algebra.5.4 Eksempelsett S Løs likigssettet x y z x y z 7 4x y z 0 Vi løser likige x y z med hesy på x x y z Så settes dette uttrykket i for x i de to adre likigee. y z y z 7 4 y z y z 0 y z y z 7 4 4y 4z y z 0 4y z 4 y5z 6 Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. 4y z4 z 44y videre er som gir y 5 4 4y 6 y 0 0y 6 9y 4 4 y z x Vi har dermed løsige x, y og z
83 S, Algebra.5.5 Eksame S. Våre 009 Tre veer hadlet frukt. Kari kjøpte kg epler, kg pærer og kg appelsier. Hu betalte 8 kroer. Per kjøpte kg epler, kg pærer og kg appelsier. Ha betalte 7 kroer. Lise kjøpte kg av hver av fruktsortee. Hu måtte betale 7 kroer. Sett opp et likigssett, og fi kiloprise for epler, pærer og appelsier. Setter opp tre likiger der x er kilopris for eplee, y er kilopris for pæree og z er kilopris for appelsiee. x y z 8 x y z 7 x y z 7 Vi løser likige x y z 7 med hesy på x x 7 y z Så settes dette uttrykket i for y i de to adre likigee. z 7 y y z 8 7 y z y z 7 74 y z y z 8 7 y z y z 7 yz7 y z 4 Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. videre er som gir yz7 y 7 z 7 z z 4 z 7 z 9 y x Eplee koster kr per kg, pæree 6 kr per kg og appelsiee 9 kr per kg. 8
84 S, Algebra.5.6 Per, Pål og Espe skal lage fruktcoctail. Alle tre har kjøpt baaer, druer og epler. Per betalte kr 9 for,5 kg epler, kg druer og kg baaer. Pål kjøpte kg epler, 0,5 kg druer og,5 kg baaer. For dette betalte ha kr 59. Espe betalte kr 0 for kg epler,,5 kg druer og kg baaer. Sett opp tre likiger og fi kiloprise på eplee, druee og baaee? Setter opp tre likiger der x er kilopris for eplee, y er kilopris for druee og z er kilopris for baaee.,5x y z 9 x 0,5y,5z 59 x,5y z 0 Løser likige,5x y z 9 med hesy på y y 9,5x z Så settes dette uttrykket i for y i de to adre likigee. x 0,5 9,5xz,5z 59 x,5 9,5xz z 0 x 46 0,75x z,5z 59 x 8,5x z z 0 0,5x0,5z 0, 5xz7 Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. videre er som gir 0,5x0,5z x 5 z 0,5( 5 z) z 7 0,5zz 7,5z 4 z 6 x y 9, Eplee koster 0 kr per kg, druee 0 kr per kg og baaee 6 kr per kg. 84
85 S, Algebra.5.7 På e gård er det kyr, griser og høs. Det er 40 flere griser e kyr. I alt er det 50 hoder og 460 bei. Sett opp tre likiger der du lar k stå for atall kyr, g for atall griser, h for atall høs og fi hvor mage dyr av hvert slag det er på gårde? Setter opp tre likiger. k g h 50 atall hoder 4k 4g h 460 atall bei gk40 forskjelle mellom atall griser og kyr Vi løser likige gk 40 med hesy på g g40 k Setter så dette uttrykket i for g i de to adre likigee. k k 40 h 50 4k 4 40 k h 460 k 40 k h 50 4k 60 4k h 460 kh0 8kh00 Vi har å et likigssett med to ukjete som vi løser. kh0 h0 k videre er 8k 0 k 00 8k 0 4k00 4k 80 k 0 som gir h g På gårde er det 0 kyr, 60 griser og 70 høs. 85
86 S, Algebra.5.8 Tre søske er til samme 6 år, Aldersforskjelle mellom de eldste og de ygste av søskee er år. Aldere til de ygste av søskee er tredjedele av aldere til de eldste. Sett opp tre likiger der du lar y stå for aldere til de ygste av søskee, m for aldere til de mellomste og e for aldere til de eldste av søskee. Bruk likigee til å fie aldere på søskee. Setter opp tre er likiger. y m e 6 samlet alder ey differase mellom eldst og ygst e y forholdet mellom eldst og ygst Løser likige ey med hesy på g e y Sette så dette uttrykket i for e i de to adre likigee. y m y 6 y m y 4 y y y y ym4 y4 y m4 y y dermed er m4 y y 6 m e 6 8 Søskee har aldere 6 år, år og 8 år. 86
1 Algebra oppgaver S2
1 Algebra oppgaver S Ihold 11 Tallfølger 1 Tallrekker 9 13 Uedelige geometriske rekker 17 14 Faktoriserig Polyomdivisjo 3 15 Likiger 6 Tredjegradslikiger 6 Likiger med rasjoale uttrykk 7 Likigssett 8 Øvigsoppgaver
2 Algebra R2 Oppgaver
2 Algebra R2 Oppgaver 2 Tallfølger 2 22 Tallrekker 8 23 Uedelige geometriske rekker 5 24 Iduksjosbevis 20 25 Eksamesoppgaver 2 Øvigsoppgaver Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra
Algebra S2, Prøve 2 løsning
Algebra S, Prøve løsig Del Tid: 90 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave I rekkee edefor får du oppgitt a og e rekursiv formel for a. Du skal. skrive opp de fire første leddee og avgjøre om rekka er aritmetisk,
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66
Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
1 Algebra. Innhold. Algebra S2
Algebra S Algebra Ihold Kompetasemål Algebra, S.... Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)
2 Algebra R2 Løsninger
Algebr R Løsiger. Tllfølger.... Tllrekker... 7. Uedelige geometriske rekker... 8. Iduksjosbevis... 55.5 Eksmesoppgver... 6 Øvigsoppgver og løsiger Stei Aese og Olv Kristese/NDLA Eksmesoppgvee er hetet
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f xx lx ) gx 3 e x b) Gitt
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
Terminprøve R2 Høsten 2014
Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
Kommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
Eksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
Eksamen R2, Va ren 2013
Eksame R, Va re 013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x f x 3 six 3si x b) gx x 6si 7 Bruker kjereregele på uttrykket si x der og Vi har da guu siu u cosu cos x gx 6cos x 6 cos x u x g u
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA3028 S2, Våre 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (24 poeg) a) Deriver fuksjoee 1) 3 f x x 2x 3 2) 2 2
2 Algebra. Innhold. Algebra R2
Algebra Ihold. Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3 Geometriske rekker... 6 Praktiske problemer
Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
Fagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
Løsning eksamen S2 våren 2010
Løsig eksame S våre 010 Oppgave 1 a) 1) f( ) l 1 f ( ) l l l l ( l 1) ) g ( ) 3e g( ) 3e 3e 6e b) Rekke er geometrisk med Rekke kovergerer. Summe er a1 1 1 s 1 k 1 1 1 1 1 k og oppfller dermed kravet 1
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
Eksamen R2, Våren 2013
Eksame R2, Våre 2013 Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) f x 3cos x b) gx x 6si 7 2x c) hx 3e si3x Oppgave 2 (4 poeg) Bestem itegralet a) variabelskifte 2x dx x 4 2 ved å bruke b) delbrøkoppspaltig
Eksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
Eksamen S2, Høsten 2013
Eksame S, Høste 013 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee 1 x a) fx b) gx 5x 1 5 c) hx x e x 3 Oppgave (5 poeg)
Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
Algebra R2, Prøve 1 løsning
Algebra R, Prøve løsig Del Tid: 70 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave E rekke er gi ved a og a Du skal ) udersøke hva slags rekke de er Vi fier de førse leddee: a a a a, 6, 3 0, 4 4 3 4 De ser u som
Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5
Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:
Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast
Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres
MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
Eksamen R2, Våren 2010
Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1)
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f( ) cos5 f 5 si5 0 si5 g e si Vi bruker produktregele for derivasjo,
Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.
Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.
Kapittel 10 fra læreboka Grafer
Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet
R2 - Vektorer og rekker
R2 - Vektorer og rekker Ny versjo: 0..09 Løsigsskisser 0.0.09 I Middels ivå: Flertris typeoppgaver, krever e viss forståelse av hva formlee uttrykker. To lijer er gitt ved: l : x,y,z,0, t2,, m : x,y,z
8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
Løsning R2-eksamen høsten 2016
Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( )
DEL 1. Uten hjelpemidler 500+ er x
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeg) 500 = + 8 er a) Vis at de deriverte til fuksjoe ( ) O O ( ) = 500+ 16 b) Deriver fuksjoee 1) f( ) = l( ) ) g( ) = e c) Vi har gitt polyomfuksjoe f( ) = 1 + 15
Løsning eksamen R1 våren 2010
Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6
2. Bestem nullpunktene til g.
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).
2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter
EKSAMEN Løsningsforslag
..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%
TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk
Løsning eksamen R2 våren 2010
Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012
Løsigsforslag til prøveeksame i MAT, våre Oppgave : Vi har A = 3 III+I I+II 3 ( )II 3 3 Legg merke til at A er de utvidede matrise til ligigssystemet. Vi ser at søyle 3 og 4 i de reduserte trappeforme
Del1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene: b) Gitt den uendelige rekken. Avgjør om rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen av rekken.
Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x lx ) g x 3e x b) Gitt de uedelige rekke 1 1 1 4 Avgjør om rekke kovergerer, og bestem evetuelt summe av rekke. c) Sasylighetsfordelige til e stokastisk variabel
Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.
Obligatorisk oppgave nr. 3 i Diskret matematikk
3. obligatoriske oppgave i Diskret matematikk høste 08. Obligatorisk oppgave r. 3 i Diskret matematikk Ileverigsfrist. ovember 08 Oppgave er frivillig og tregs ikke leveres, me hvis dere leverer de ie
R2 eksamen våren 2018
R eksame våre 08 DEL Ute hjelpemidler Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f ( x) = cos ( x ) b) g ( x) = x si x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) ( 4x + 3 ) b) 4x l x dx x dx c) 0 x dx x + 4 Oppgave
Eksamen S2 høsten 2010
Eksamen S høsten 010 Del 1 Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene f x x 3x 4 1) 3 g x 6x e ) x P x x 6x 8x 4 b) Vi har gitt funksjonen 3 1) Vis at P3 0(1 poeng) ) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere
Eksamen S2 høsten 2010 Løsning
Eksamen S høsten 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene f x x 3x 4 1) 3 3 3 4 3 3 3 1 1 f x x x f x x f x x x g x 6x e ) x x 6x e x x 6 6 x 6 1 g x g x e x e g x e x P x x 6x 8x 4
Mer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)
Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober
Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..:
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består
Bokmål OPPGAVE 1. a) Deriver funksjonene: b) Finn integralene ved regning: c) Løs likningen ved regning, og oppgi svaret som eksakte verdier: + =
OPPGAVE a) Deriver fuksjoee: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegralee ved regig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løs likige ved regig, og oppgi svaret som eksakte verdier:
EKSAMEN Løsningsforslag
7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: 9. 3. Faglærer: Christia F Heide Kalkulator
Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 9.11.013 REA308 Matematikk S Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast i etter timar. Del skal leverast i seiast
Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008
Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 69 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud
Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk
Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 9. ovember 017 Tid: Atall sider (ikl. forside): 9 Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider
Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.
Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka
Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs i aalyse II Vår 09 9 Vi har rekke Dette er e geometrisk rekke som beskrevet på side 50 i læreboka, med x (side ) Spesielt
R2 eksamen høsten 2017
R eksame høste 017 DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeg) Deriver fuksjoee a) f x si3 b) g x si x x h x x cos x c) x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee 3 a) x 3x dx b) xe x dx c) x x 1 dx Oppgave 3 (4
Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 21 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.
.. Løsigsforslag Emekode: ITF7 Dato:. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Faglærer: Christia F Heide Eksamesoppgave: Oppgavesettet
Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable
Del1. c) Nedenforerdetgitttoutsagn.Skrivavutsagneneibesvarelsen.Iboksenmellom utsagneneskaldusetteinnettavsymbolene, eller.
Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee 1) ) f ( ) l g ( ) 4e b) Vi har polyomfuksjoe P ( ) 4 4 16. 1) Reg ut P (). Bruk polyomdivisjo til å faktorisere uttrykket P( ) i førstegradsfaktorer. ) Løsulikhete P
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) x x. Deriver funksjonene. a) f( x) 2 sin 3x. Bestem integralene
DEL 1 Ute hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeg) Deriver fuksjoee a) f( x) si 3x b) c) si x g ( x) x h( x) x cos x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) 3 ( 3 ) d x x x b) xe x dx c) x x 1 dx Oppgave 3 (4 poeg)
Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver
5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB
3. Beregning av Fourier-rekker.
Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +
Numeriske metoder: Euler og Runge-Kutta Matematikk 3 H 2016
Numeriske metoder: Euler og Ruge-Kutta Matematikk 3 H 06 Iledig Differesiallikiger spiller e setral rolle i modellerigsproblemer i igeiør viteskap, matematikk, fsikk, aeroautikk, astroomi, damikk, elastisitet,
Påliteligheten til en stikkprøve
Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee
x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + = 1 1 x
Potesrekker Forelest: 29. Sept, 2004 Vi lærte fra de geometriske rekkee at x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x + = 1 1 x så lege x < 1. For uttrykket til høyre er ikke oe aet e sum-formele for geometriske
Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk
Side 1 av 9 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 10. desember 018 Tid: 09:00 1:00 Atall sider (ikl. forside): Atall oppgaver: 6 Tillatte
Eksamen 30.11.2010. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30.11.2010 REA3028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011
Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om
Sinus S2 > Følger og rekker. 01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd :31:27
8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:7 Følger og rekker MÅL for opplærige er t eleve skl kue fie møstre i tllfølger og bruke dem til å summere edelige ritmetiske og geometriske
Ma Analyse II Øving 5
Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)
Statistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
Test, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 57 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud
OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
LØSNING: Eksamen 17. des. 2015
LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade
Oppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.
ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse
«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6
«Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:
Eksamen vår 2009 Løsning Del 1
S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.