EKSAMEN Løsningsforslag

Transkript

1 7. jauar 7 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 4. desember 6 Hjelpemidler: - To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Emeav: Matematikk for IT Eksamestid: Faglærer: Christia F Heide Kalkulator er ikke tillatt. Om eksamesoppgave og poegberegig: Oppgavesettet består av 7 sider iklusiv dee forside og to sider med vedlegg. Kotroller at oppgavesettet er komplett før du begyer å besvare spørsmålee. Oppgavesettet består av oppgaver med totalt 5 deloppgaver. Ved sesur vil alle deloppgaver telle like mye. Der det er mulig skal du: vise utregiger og hvorda du kommer fram til svaree begrue die svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sesurfrist:. jauar 7 Karakteree er tilgjegelige for studeter på Studetweb seest virkedager etter oppgitt sesurfrist.

2 Oppgave Gitt tre megder, A, B og C som vist i vediagrammee edefor. Agi de gråfargede megdee ved hjelp av megdeoperatorer (som sitt og uio). (Disse to spørsmålee teller som é deloppgave til samme). i) A B C Her er det flere korrekte løsiger. Blat disse har vi (merk bruke av pareteser): ( A B) C A B C ( A C) B ii) A B C Også her er det flere korrekte løsiger, blat aet: ( A C) B ( A C) B ( A B) ( C B) ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side av 4

3 Oppgave Megdedifferase ka defieres slik: A B A B. Beytt dette samme med lovee på vedlagte ark til å vise at A B A B Bruk ku é lov i hver tri, og agi for hvert tri hvilke lov du bruker. Vi tar utgagspukt i uttrykket A B A B A B A B 4. De Morgas lov 7. Ivolusjoslove Defiisjo av megdedifferase oppgitt i oppgave som er det søkte uttrykket. Oppgave 3 Koverter det biære tallet til det heksadesimale tallsystemet (altså tallsystemet med grutall 6). Vi grupperer fire og fire bit og koverterer til heksadesimalt, og vi begyer med de mist sigifikate bitee: A Følgelig: D DA 6 ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 3 av 4

4 Oppgave 4 Beytt sahetstabeller til å udersøke om følgede utsag er logisk ekvivalete: ( p q) i) q ii) ( p q) ( p q) p q q p q ( p q) q S S F F S S F S S F F S F F S F F S F S p q q p q p q ( p q) ( p q) S S F F S S S F S S S S F S F S F S F F S S S S Sammeliger vi siste koloe i hver av de to sahetstabellee, ser vi: uttrykkee er ikke logisk ekvivalete. Oppgave 5 Bruk iduksjosbevis til å vise at følgede gjelder for alle Z = {,, 3, }: (3 ) 4 7 (3 ) Basistri ( = ): Vestre side: (3 ) 3 Høyre side: Vi ser at høyre side er lik vestre side for =. Basistriet er følgelig OK. Iduksjostri: Vi atar at uttrykket gjelder for = k (dette kalles iduksjoshypotese), altså at k (3k ) 4 7 (3k ) ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 4 av 4

5 og skal vise at det da følger at uttrykket gjelder for = k +. For = k + blir uttrykket ( k )(3( k ) ) 4 7 (3k ) (3( k ) ) De første k leddee på vestre side ka vi, basert på iduksjoshypotese, skrive som k ( 3k ). Uttrykket blir da: k ( 3k ) ( k )(3( k ) ) (3( k ) ) Det som gjestår å er å vise at vestre side er lik høyre side. Vi gager uttrykket med for å få bort evere: k ( 3k ) (3( k ) ) ( k )(3( k ) ) Reger vi videre på høyre side og vestre side hver for seg, får vi: 3k k (3k 3 ) ( k )(3 k 3) 3k k 6k ( k )(3 k ) 3k 3k 5k 3k 5k 3k k 3k 5k Vi ser at vestre side er lik høyre side, og vi har derfor vist at dersom uttrykket gjelder for = k så gjelder det også for = k +. Side vi også har vist at det gjelder for =, betyr det at vi har vist at det gjelder for alle. Oppgave 6 Gitt e fuksjo f : A B. Ata at f er ijektiv, me ikke ødvedigvis surjektiv. Hvilke av følgede påstader er da korrekte. Begru svaret. (i) (ii) (iii) (iv) (v) A B A B A B A B A B ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 5 av 4

6 Fordi f er e fuksjo, må hvert elemet i A ha relasjo til øyaktig ett elemet i B. At fuksjoe er ijektiv, iebærer at ulike elemeter i A har ulike bilder i B. Av dette ka vi slutte at atall elemeter i B i det miste må være like stort som atall elemeter i A, for hvis atall elemeter i B var midre e atall i A, måtte mist to elemeter i A ha samme bilde i B. Me fordi fuksjoe ikke ødvedigvis er surjektiv, ka vi godt ha e situasjo hvor atall elemeter i B er større e atall elemeter i A, for det gjør da ikke oe om B har elemeter som ikke er bilde av oe elemet i A. Påstad (ii) er derfor riktig, altså at A B. Oppgave 7 Lag e edelig tilstadsmaski med biær igag og utgag som gir -er ut år idatasymbolet de leser er likt det foregåede idatasymbolet, og -er ut ellers. For eksempel skal idatastrege gi følgede ut:. Her treger vi mist tre tilstader. E starttilstad er ( s ) og e tilstad vi går til år vi leser e -er ( s ) ( s ), e tilstad vi går til år vi leser e -. Tilstadee s og s bruker vi altså til å huske hva sist ileste bit er slik at vi ka sammelige med det bitet vi leser å. Tilstadsmaskie ka da se slik ut (det ka fies adre korrekte løsiger): / s / Start s / / / s / ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 6 av 4

7 Oppgave 8 Gitt e rettet graf G = (V, E) med odemegde V { a, b, c, d, e} Katmegde er gitt av følgede abomatrise: M a) Teg de rettede grafe, G. a b c e d b) Vi ka betrakte katmegde, E, som e relasjo på megde V. i. Begru om dee relasjoe er refleksiv, symmetrisk, atisymmetrisk og/eller trasitiv. ii. Beytt dette til å avgjøre om relasjoe er e ekvivalesrelasjo, e delvis ordig eller ige av delee. Vi ser av figure over at alle elemeter har relasjo til seg selv, og relasjoe er følgelig refleksiv. Det er ige eksempler hvor det er relasjo fra et elemet til et aet me ikke relasjo motsatt vei (altså ige asymmetriske relasjoer). Relasjoe er følgelig symmetrisk. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 7 av 4

8 Fordi vi har mist ett symmetrisk par, f. eks. (a, b) og (b, a), er relasjoe ikke atisymmetrisk. Relasjoe er ikke trasitiv fordi vi for eksempel har paree (a, b) og (b, e) me magler paret (a, e) som skulle vært der dersom relasjoe var trasitiv. Side relasjoe ikke er trasitiv er de hverke e ekvivalesrelasjo eller e delvis ordig. Oppgave 9 a) Fi de geerelle (allmee) løsige av følgede differesligig: y y 8y De karakteristiske ligige til dee differesligige er 8 Dee har løsigee 4( 8) dvs. 6 4 og 6 8 De geerelle løsige til differesligige er derfor y A B( 4) 4 b) Fi de geerelle løsige av følgede differesligig: y y 8y De geerelle løsige til e ihomoge differesligig er y y y ( h) ( p) ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 8 av 4

9 hvor (h) y er de geerelle løsige av de tilhørede homogee ligige. Dee fat vi i spørsmål a. Det som gjestår er derfor å fie ( p) y som er e partikulær løsig av de ihomogee ligige. Vi forsøker med e løsig som er på samme forme som høyre side av ligige. Her blir det K Vi får da og y K y K ) ( K K K K y K ) K K ( K K Vi setter så dette i i ligige for å bestemme hva K og K skal være e løsig: y K K må være for at K K ( K K K) 8( K K K) y y Vi gager ut paretesee på vestre side, og får y og K K K K K 8K 6K 8K 5 K 4K 5K Så sammeholder vi samsvarede ledd. Førstegradsleddee på begge sider gir da og altså 5K K 5 Kostatleddee på begge sider gir 4K 5K Setter vi så i verdie vi fat for K og løser med hesy på K, får vi 5K 4 5 ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 9 av 4

10 K Dette betyr at 8 5 ( ) y p De geerelle løsige av de ihomogee differesligige er følgelig y y ( h) y ( p) A B( 4) Oppgave Gitt e grammatikk med startsymbol s, hvor megde av ikke-avslutigssymboler er N = {s, t, u} og megde av avslutigssymboler er T = {, }. Grammatikke har følgede produksjosregler: s tu u t t t Er dee grammatikke kotekstfri, regulær eller ige av delee? Begru svaret. Kravee for at e grammatikk skal være kotekstfri, er at de har: i. e edelig megde avslutigssymboler, kalt T ii. e edelig megde ikke-avslutigssymboler, kalt N, og hvor T og N er disjukte, altså at T N iii. e edelig megde produksjosregler på forme w w hvor megde N og w er e vilkårlig streg av elemeter fra N og T. Her er både T og N edelige megder, og de er disjukte. De to første kravee er derfor oppfylt. Vi ser videre at alle produksjosreglee oppfyller det tredje kravet, side alle vestresidee er ett elemet hetet fra N og høyresidee er vilkårlige streger av symboler hetet fra N og T. Grammatikke er altså kotekstfri. w er ett elemet fra E regulær grammatikk, er e grammatikk som er kotekstfri mes som har stregere krav til produksjosregelee. Hver produksjosregel for e regulær grammatikk må være på é av følgede former: a. w der w N og er de tomme strege (altså at w er ett elemet fra N.) w der w, w N og a T (altså at w og w er ett elemet fra N og a er ett elemet fra T.) der w N og a T (altså at w er ett elemet fra N og a er ett elemet fra T.) b. aw c. w a ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side av 4

11 Her ser vi at høyre side av de første produksjosregele består av to elemeter fra N. Dette er ikke e tillatt produksjosregel for e regulær grammatikk. Grammatikke er følgelig ikke regulær. Koklusjo: Grammatikke er kotekstfri me ikke regulær. Oppgave Nedefor er grafee G V, ) og G V, ) teget. ( E ( E a 3 c b e d 4 5 f 6 G V, ) G V, ) ( E ( E a) Er G ( V, E) e eulergraf? Begru svaret, og fi i så fall e eulersyklus. Et ødvedig og tilstrekkelig krav for at e graf skal være e eulergraf er at grade til hver ode er et partall samt at grafe er sammehegede. Her ser vi at grade til b og d er 4 mes grade til de adre odee er. Grafe er også sammehegede. Følgelig er G e eulergraf. E eulersyklus er e syklus som traverserer hver kat eksakt é gag. Et eksempel på e slik er b, a, d, c, b, e, d, f, b b) Er G og G isomorfe? Begru svaret. Dersom de er isomorfe må du også agi e isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe må du forklare hvorfor de ikke er det. Vi ser at begge grafee har seks oder og åtte kater. At de har like mage oder og kater er e ødvedig me ikke tilstrekkelig betigelse for at de skal være isomorfe. Vi ser at to av odee i hver graf har grad 4 (b og d, samt og 6) og de resterede har grad. Vi må sørge for å «pare» de odee som har samme grad. ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side av 4

12 Vi ka forsøke å begye med f ( b) og f ( d) 6 Side både b og d er abo med alle adre oder utatt hveradre, er det trolig ikke så øye hvorda vi parer de adre, og vi forsøker med f ( a) f ( c) 3 f ( e) 4 f ( f ) 5 Vi ser at dee fuksjoe er ijektiv (é-etydig), fordi ulike elemeter i defiisjosmegde har ulike bilder i verdimegde. Vi ser videre at, altså at fuksjoe er surjektiv. V V f ( V V Vi må også sjekke at aboskap beholdes, altså at dersom u og v er aboer i G ) G så er f(u) og f(v) aboer i. Det er lurt å være systematisk år ma lister opp disse: først aboer til a, så aboer til b, osv. Da ser vi: a og b er aboer i G. Da må f ( a) og f ( b) være aboer i G, oe vi ser at de er. a og d er aboer i f ( a) og f ( d) 6 være aboer i, oe vi ser at de er. b og c er aboer i f ( b) og f ( c) 3 være aboer i, oe vi ser at de er. b og e er aboer i f ( b) og f ( e) 4 være aboer i, oe vi ser at de er. b og f er aboer i G. Da må f ( b) og f ( f ) 5 være aboer i, oe vi ser at de er. c og d er aboer i f ( c) og f ( d) 6 være aboer i, oe vi ser at de er. d og e er aboer i f ( d) og f ( e) 4 være aboer i, oe vi ser at de er. d og f er aboer i f ( d) og f ( f ) 5 være aboer i, oe vi ser at de er. G. Da må G. Da må G. Da må G. Da må 3 G. Da må 6 G. Da må 6 Vi ser at aboskap bevares uder f. Side f også er ijektiv og surjektiv (altså bijektiv), ka vi kokludere med at f slik vi har defiert de, er e isomorfi. G og G er følgelig isomorfe. G G G G G G G Oppgave E turigmaski er defiert ved følgede fem-tupler:. (s,, s,, R). (s,, s,, R) 3. (s,, s,, R) 4. (s,, s,, R) 5. (s, B, s,, L) Ata å at vi kjører turigmaskie med e tape som ved oppstart ser slik ut: ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side av 4

13 B B i) Agi hvorda tape ser ut etter kjørige (altså hvilke symboler som står i de ulike cellee). ii) Agi også hvilke av tilstadee turigmaskie er i etter kjørige. E turigmaski starter i tilstad s og med lese-/skrivehodet over de celle legst til vestre som ikke er blak, altså slik B B s Lesehodet leser iholdet i celle, som altså er. Kombiasjoe tilstad s og e lest fra tape gjør at de velger det første fem-tuplet i defiisjoe. Dette fem-tuplet sier at maskie skal gå til tilstad s, skrive symbolet til tape og flytte skrive-/lesehodet til høyre. Vi vil da ha følgede situasjo: B B s Turigmaskie vil så lese symbolet i celle de å peker på, og vil da stå med kombiasjoe,. De velger derfor fem-tuppel ummer som svarer til dee s kombiasjoe. De sier at vi skal gå til tilstad Vi får da følgede situasjo: s, skrive e til celle og flytte til høyre. B B s Kombiasjoe derfor følgede: s, B gjør at maskie velger det 5. fem-tuplet. Dette agir s,, L, og vi får ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 3 av 4

14 B B s Vi har å kombiasjoe maskie stopper derfor. s,. Dee fies ikke i defiisjoe av turigmaskie, og Når maskie stopper vil de altså befie seg i tilstad s med følgede ihold på tape: B B ITF75 Matematikk for IT, desember 6 løsigsforslag Side 4 av 4