Sinus S2 > Følger og rekker. 01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd :31:27

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sinus S2 > Følger og rekker. 01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd :31:27"

Transkript

1 8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:7

2 Følger og rekker MÅL for opplærige er t eleve skl kue fie møstre i tllfølger og bruke dem til å summere edelige ritmetiske og geometriske rekker og dre rekker, med og ute digitle hjelpemidler vgjøre om e uedelig geometrisk rekke er koverget, og berege summe v rekk løse prktiske problemer i forbidelse med sprig, lå og vbetligskjøp ved å bruke rekker 9 0 Sius S kp teoridel.idd :3:8

3 . Følger og rekker Mrte går i 3. klsse på e videregåede skole. Til jul fikk hu krkteree 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5 Det vr i fgee orsk hovedmål, orsk sidemål, orsk mutlig, historie, religio, kroppsøvig, fysikk og mtemtikk. Rekkefølge v krkteree hr her betydig, for rekkefølge forteller hvilket fg det er. Tllee 4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5 er et eksempel på det vi kller e tllfølge eller e følge. Forskjelle på e tllfølge og e tllmegde er t i e tllfølge hr rekkefølge v tllee betydig. Leddee er ummerert. I e tllmegde er rekkefølge ute betydig. Mrte øver seg i hoderegig. Hu begyer med tllet og dobler det. Deretter dobler hu svret. Slik holder hu på så lege hu klrer. På de måte får hu frm tllee, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 04, I prisippet k hu fortsette i det uedelige. Tllee der e uedelig følge. Tllee i e tllfølge kller vi ledd. Ofte bruker vi symbolet om det første leddet i e tllfølge, om det dre leddet, osv. I tllfølge ovefor er Vi ser t, 4, 8, 6, ,,,,... Ledd r. er 3 4 Vi hr fuet e formel for ledd r.. Med de k vi fie ledd r. 0 direkte: EKSEMPEL Leddee i e følge er gitt ved formele 3 Fi de fem første leddee i følge ved regig. 0 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:9

4 Løsig: Noe gger kjeer vi ikke formele for leddee i e tllfølge. Vi kjeer bre det første leddet og smmehege mellom et ledd og det este. EKSEMPEL I e tllfølge er det første leddet For lle turlige tll > er 3 Fi de fem første leddee i tllfølge. Løsig: Vi vet t det første leddet er I formele 3 velger vi for å fie det dre leddet. Det gir For å fie det tredje leddet setter vi For å fie det fjerde leddet setter vi For å fie det femte leddet setter vi De fem første leddee er, 6, 8, 54 og 6. 0 Sius S kp teoridel.idd :3:3

5 ? OPPGAVE.0 I e følge er ledd r. gitt ved 5 Fi ledd r., ledd r. 5 og ledd r. 0. OPPGAVE. I e følge er ledd r. gitt ved 3 Fi de fem første leddee og ledd r. 0 i følge. OPPGAVE. I e tllfølge er det første leddet 3. Når >, er + 4 Fi de fem første leddee i følge. OPPGAVE.3 I e tllfølge er det første leddet 6. Når >, er Fi de fem første leddee i følge. Det regestykket vi får år vi skl summere leddee i e tllfølge, kller vi e rekke. Tllfølge gir rekk 6,, 4, 48, Tllee 6,, 4, 48 og 96 er leddee i rekk. Rekk ovefor hr fem ledd og er et eksempel på e edelig rekke. De uedelige tllfølge,, 4, 8, gir de uedelige rekk E uedelig rekke hr uedelig mge ledd. Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:3

6 På smme måte som i tllfølger bruker vi ofte symbolet om det første leddet i e rekke, om det dre leddet, osv. I rekk er 6,, 4, 48 og Det tllet vi får år vi legger smme leddee i e edelig rekke, kller vi summe v rekk. Vi bruker s som symbol for summe v de første leddee. I rekk ovefor er Geerelt er s s s Ofte er leddee i e rekke gitt ved e formel. EKSEMPEL Leddee i e rekke er gitt ved ) Skriv dee rekk med de fem første leddee. b) Fi s 3 og s 5 ved regig. c) Fi s 0 og s 00 digitlt. Løsig: ) Først fier vi de fem første leddee i rekk Rekk er b) s s Sius S kp teoridel.idd :3:33

7 c) I GeoGebr CAS fier vi summe v de 0 første leddee på dee måte: Legg merke til t vi først skriver formele, deretter vet på vribele og til slutt de miste og de største verdie v vribele. Når vi skl fie summe v de 00 første leddee, går vi frm slik: s 00 og s ? OPPGAVE.4 Fi summee s 5, s 6, s 7 og s 8 i rekk OPPGAVE.5 Leddee i e rekke er gitt ved 3 ) Fi summe s 6 ved regig. b) Fi summe s 0 digitlt. OPPGAVE.6 Leddee i e rekke er gitt ved ) Fi summe s 5 ved regig. b) Fi summe s 5 digitlt. 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:33

8 . Figurtll Når vi kvdrerer et turlig tll, får vi et kvdrttll. Her er de miste kvdrttllee:, 4, 9, 6, 5, 36, Dette er e tllfølge der vi k klle leddee K, K, K 3,. Kvdrttll r. er gitt ved formele K Kvdrttllee k vi også frmstille ved hjelp v kuler på dee måte: K K 4 K 3 9 K 4 6 Vi ser t for eksempel kvdrttll r. 4 der et kvdrt med 4 kuler i hver retig. Tllfølger som vi k få frm slik som ovefor ved å sette smme for eksempel kuler på e bestemt måte, kller vi figurtll. Kvdrttllee er dermed et eksempel på figurtll.? OPPGAVE.0 Nå skl vi se på oe figurtll som vi k klle rektgeltll. Her er de miste rektgeltllee: R R 6 R 3 ) Fi rektgeltllee R 4 og R 5. b) Fi e formel for rektgeltllet R. c) Tllet 870 er et rektgeltll. Hvilket ummer hr det? 5 0 Sius S kp teoridel.idd :3:34

9 ? OPPGAVE. Nå skl vi se på oe tll som vi kller trekttll. Her er de miste trekttllee: T T 3 T 3 6 T 4 0 ) Fi trekttllee T 5 og T 6. b) Smmelik trekttllee med figurtllee i oppgve.0, og bruk formele du ft i oppgve.0, til å vise t trekttll r. er gitt ved formele T ( + ) c) Fi ummeret til trekttllet 80. d) Se på summe v to trekttll som følger etter hverdre. Hvilke regel ser ut til å gjelde? Vis t regele di er riktig både ut fr kulee og ved regig. Vi ser å på rekk v de miste positive oddetllee Summe v de første leddee er: s s s s s På side 4 ft vi t s s Det k se ut som om summe v de første oddetllee er s 6 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:34

10 I GeoGebr CAS k vi udersøke om dette stemmer. Oddetll r. i er gitt ved formele i i Summe v de første oddetllee fier vi dermed slik: Det ser ut til t s er lik kvdrttllet K. Dette k vi også se ved hjelp v figurtllee på side 5. Ut fr dette ser vi for eksempel t K er smmestt v de røde og de grøe kulee. K K 3 3 er smmestt v de røde, de grøe og de blå kulee. K K 4 4 er smmestt v de røde, de grøe, de blå og de svrte kulee. K Vi legger merke til t hver gg vi legger på ye kuler for å lge et ytt kvdrttll, må vi legge på kuler mer e gge før. Atllet kuler vi må legge til er 3, 5, 7, 9,, osv. Dermed blir K ( ) Kvdrttllet K er summe v de miste positive oddetllee. Her brukte vi figurtll til å vise t summe v de miste oddetllee er? I oppgve.43 skl du vise ved regig. 7 0 Sius S kp teoridel.idd :3:36

11 ? OPPGAVE. I oppgve.0 så vi på rektgeltllee: R R 6 R 3 Vi ft dee formele: ( ) R + ) Fi summe v de to miste, de tre miste, de fire miste og de fem miste positive prtllee. Hvilke regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regele di ved å summere flere prtll. b) Forklr regele i oppgve ut fr figurtllee. c) Bruk CAS til å fie e formel for summe v de miste prtllee. d) Bruk formele til å fie summe v de 50 miste prtllee. OPPGAVE.3 I oppgve. så vi på trekttllee: T T 3 T 3 6 T 4 0 Vi ft dee formele for trekttll r. : T ( + ) ) Fi summe v de to miste, de tre miste, de fire miste og de fem miste turlige tllee. Hvilke regel ser ut til å gjelde? b) Hvord k du ved hjelp v figurtllee se t regele i oppgve er riktig? c) Bruk CAS til å fie e formel for summe v de miste turlige tllee. d) Bruk regele til å fie summe v de 40 miste turlige tllee. 8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:36

12 .3 Aritmetiske og geometriske følger I e ritmetisk følge er det er e fst differse d mellom to ledd som følger etter hverdre. Følge, 5, 8,, er ritmetisk med differse d 3, for vi legger 3 til et ledd for å få det este leddet. I dee følge er EKSEMPEL I e ritmetisk følge er det første tllet 9 og d. Fi de fem første leddee. Løsig: 9 + d 9+ ( ) d 7+ ( ) d 5+ ( ) 3 +d 3+ ( ) 5 4 Vi skl utlede e formel for leddet i e ritmetisk følge. D begyer vi med å rege ut de første leddee for å se etter et møster: + d 3 + d ( + d)+ d + d d ( + d)+ d + 3d +d ( + 3d)+ d + 4d 5 4 Vi ser t for lle leddee her gjelder formele + ( ) d Dette kue vi h fuet ut direkte. Når vi skl fie ledd r., må vi legge differse d til i lt gger. ( ) 9 0 Sius S kp teoridel.idd :3:38

13 I e ritmetisk følge med differse d er det første leddet lik. Ledd r. er d gitt ved formele + ( ) d EKSEMPEL I e ritmetisk følge er det første leddet 3, og differse d. ) Fi e formel for ledd r.. b) Fi ledd r. 37. Løsig: ) Ledd r. er gitt ved formele + ( ) d 3+ ( ) 3+ + b) Ledd r. 37 er ? OPPGAVE.30 Skriv opp de fem første leddee i e ritmetisk følge der ) og d 5 b) 4 og d OPPGAVE.3 Fi differse og e formel for leddet i de ritmetiske følgee. ) 5,, 7, 3, b) 8, 64, 47, 30, OPPGAVE.3 Kri får 00 kr i ukepeger i uke r.. Beløpet skl økes med kr hver uke. ) Fi e formel for beløpet i uke r.. b) Omtret hvor mye får hu i ukepeger om år? OPPGAVE.33 I e ritmetisk følge er det femte leddet 5 3 og differse d 4. ) Fi det første leddet. b) Fi e formel for ledd r.. c) Fi ummeret til leddet Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:40

14 I e geometrisk følge fis det et tll k slik t vi lltid får det este leddet ved å gge med tllet k. Tllet k kller vi kvotiete. I følge 3, 6,, 4, 48, får vi det este leddet ved å gge med. Det er e geometrisk følge der kvotiete k. I dee følge er osv. EKSEMPEL I e geometrisk følge er det første leddet 8, og kvotiete k. Fi de fem første leddee. Løsig: De fem første leddee er 8 k k ( 4) 4 k 3 5 k 4 ( ) I e geometrisk følge fier vi et ledd ved å gge det forrige leddet med et fst tll k. Dermed er forholdet mellom et ledd og leddet for lltid lik kvotiete k.! E følge der vi bre hr oppgitt de første leddee, er geometrisk hvis lle forholdee,, er like for de leddee som vi kjeer. 0 Sius S kp teoridel.idd :3:4

15 EKSEMPEL Udersøk om følge er geometrisk, og fi evetuelt kvotiete. 9, 6, 4, 8 3, Løsig: Vi udersøker om det er et fst forhold mellom de leddee som er oppgitt Alle forholdee er like. Følge er geometrisk med kvotiet k 3.? OPPGAVE.34 Skriv opp de fem første leddee i e geometrisk følge der ) 5 og k b) 6 og k c) 8 og k 3 OPPGAVE.35 Fi kvotiete k i de geometriske følgee. ), 3, 9, 7,... b) 65, 5, 5, 5,... c) 3,, 3 9 7, 4, 8,... Nå skl vi utlede e formel for leddet i e geometrisk følge. Først fier vi de første leddee for å se etter et møster. k 3 k k ( k ) k 3 4 k 3 k ( k ) k k 4 k ( k ) k Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:44

16 Slik k vi fortsette. Vi ser t for lle leddee gjelder formele k Dette kue vi h fuet direkte. For å fie ledd r. må vi multiplisere med k i lt gger. ( ) I e geometrisk følge med kvotiet k er ledd r. gitt ved k der er det første leddet. EKSEMPEL Fi det 0. leddet i de geometriske følge 3, 6,, 4, Løsig: I dee følge er 3 og k. Det gir 0 9 k EKSEMPEL På ei øy blir det stt ut 00 kier. Vi reger med t kibestde øker med 4 % per uke. Hvor mge kier er det på øy om ett år? Løsig: Vekstfktore til 4 % er,04. Ettersom kibestde øker med 4 % per uke, må vi gge tllet kier ei uke med,04 for å fie tllet este uke. Atllet kier er dermed e geometrisk følge med kvotiet k,04. Tllet på kier i uke r. 5 er 5 5 k 04, Om ett år er det 739 kier på øy. 3 0 Sius S kp teoridel.idd :3:44

17 ? OPPGAVE.36 Fi e formel for leddet og fi deretter 0 for hver v følgee i oppgve.35. OPPGAVE.37 Udersøk om følgee er geometriske og fi evetuelt kvotiete. ) 9, 6, 4, 8 3, 6 9 b), 9, 6, 4, 3 c),,,, 4 OPPGAVE.38 Tek deg t Juds stte e sølvmyt i bke i året 30 e.kr. ) Hvor mge sølvmyter ville det h stått på de kotoe i 05 hvis vi reger med % rete per år? b) Hv blir beløpet med % rete per år?.4 Aritmetiske rekker Når vi skl summere leddee i e ritmetisk følge, får vi e ritmetisk rekke. I e ritmetisk rekke er det dermed e fst differse d mellom to ledd som følger etter hverdre i rekk. Rekk er ritmetisk med differse d 3. Fr kpittel.3 vet vi t ledd r. i e ritmetisk rekke er gitt ved + ( ) d På slutte v dette delkpittelet viser vi t vi hr dee formele for summe v de første leddee i e slik ritmetisk rekke: Summe v de første leddee i e ritmetisk rekke er gitt ved s ( + ) 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:45

18 EKSEMPEL Reg ut summe Løsig: Uttrykket er e ritmetisk rekke der og differse d. Rekk hr 00 ledd, slik t 00, og det siste leddet er Summe blir s ( + 00) 00 ( + 00) EKSEMPEL Heidi får 00 kr i ukepeger. Beløpet skl økes med kr hver uke. ) Hvor mye får Heidi i ukepeger i hver v de fire første ukee? b) Hvor mye får Heidi i ukepeger i uke r. 04 (om to år)? c) Hvor mye får Heidi smlet i ukepeger de to første år? Løsig: ) De fire første ukee får hu 00 kr 00 kr + kr 0 kr 3 0 kr + kr 04 kr 4 04 kr + kr 06 kr b) Ukepegee der e ritmetisk følge der det første leddet 00 kr og differse d kr. I uke r. 04 (om år) får hu 04 + ( 04 ) d 00 kr + 03 kr 306 kr c) Summe v lle kroebeløpee de to første år blir s ( + 04) 04 ( 00 kr kr) kr Smlet får Heidi kr i ukepeger de to første år. 5 0 Sius S kp teoridel.idd :3:47

19 ? OPPGAVE.40 Fi summe v de første leddee i e ritmetisk rekke år ), d 5og 0 b) 00, d 3og 30 c) 5, 0 og d) 50, 3 og 50 0 OPPGAVE.4 Fi summe v de ritmetiske rekkee både ved regig og ved hjelp v digitlt hjelpemiddel. ) b) c) d) OPPGAVE.4 ) Fi summe v lle de turlige tllee som er midre e b) Fi summe v lle de positive oddetllee som er midre e c) Fi summe v lle de positive prtllee som er midre e OPPGAVE.43 Vis t summe v de første positive oddetllee er lik. EKSEMPEL I e ritmetisk rekke er det første leddet 5 og differse d. Summe v rekk er 9. ) Skriv opp de første leddee i rekk. b) Fi et uttrykk for ledd r.. c) Fi ved regig og digitlt tllet ledd i rekk. Løsig: ) Det første leddet er 5. De este leddee får vi frm ved å legge til. Rekk er b) Ledd r. i de ritmetiske rekk er gitt ved + ( ) d + ( ) c) Ved regig: Her er tllet ledd ukjet. Formele for summe v ledd gir s ( ) ( 5 ( 3)) ( 8) + 8 ( + 4) Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:49

20 Dette gir e likig som vi k løse. s Ettersom må være et positivt tll, får vi løsige. Rekk består v ledd. Digitlt: Vi bruker t + 3 og lr x være tllet ledd i rekk. I GeoGebr CAS k vi løse oppgve slik: Rekk består v ledd.? OPPGAVE.44 I e ritmetisk rekke med og d 7 er summe 350. Hvor mge ledd er det i rekk? OPPGAVE.45 Kri får å 00 kr i ukepeger. Beløpet skl økes med kr hver uke. Hvor lg tid går det før hu i lt hr fått utbetlt kr? OPPGAVE.46 E bedrift omsetter for 00 millioer kr i 05 og reger med å øke omsetige med 5 millioer kr per år. Fi de smlede omsetige i periode fr og med 05 til og med 04 ved å summere e rekke. OPPGAVE.47 Vis t summe v de første leddee i e ritmetisk rekke er gitt ved s + ( ) d der er det første leddet og d er differse. 7 0 Sius S kp teoridel.idd :3:50

21 BEVISET FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN ARITMETISK REKKE Nå skl vi utlede e formel for summe s v de første leddee i e ritmetisk rekke. Vi viser utledige for 5. For e rekke med ledd k vi gå frm på de smme måte. Vi utytter t i + ( i ) d og får s ( + d)+ ( + d)+ ( + 3d)+ + 4d ( ) Vi k også uttrykke lle leddee med det siste leddet. d 4 5 d 3 5 3d 5 4d 5 Hvis vi begyer med det siste leddet, får vi dette uttrykket for summe: s ( d)+ ( d)+ ( 3d)+ 4d Vi summerer de to uttrykkee for s 5 : ( ) s5 + s5 + ( + d)+ ( + d)+ ( + 3d)+ ( + 4d) + + ( d)+ ( d )+ ( 3d)+ 4d Nå løser vi opp pretesee og trekker smme leddee. s + s s 5 + s ( ) ( + ) Hvis rekk hr ledd, får vi på tilsvrede måte t s ( + ) ( ) 8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:5

22 .5 Serielå De fleste v oss må før eller seiere t opp lå til for eksempel bolig eller bil. D må vi betle reter og vdrg. Når vi betler et beløp i vdrg, blir lået redusert med det beløpet. Retee betler vi til bke ute t lået miker. Ret reger vi lltid i proset v restlået. Når vi vtler lået med bke, vtler vi også hvor mge termier vi skl h i året. Det er hvor mge gger vi skl betle rete og vdrg per år. Det vlige er t vi hr termier per år. D betler vi rete og vdrg hver måed. Me vi k også vtle fire termier eller é termi per år. De pegesumme vi betler hver termi, kller vi termibeløpet. Det er smmestt v rete og vdrg og kskje også et gebyr. Gebyret skl dekke de utgiftee som bke hr ved pegeoverførige. Vi ser bort fr gebyree her. Dermed er termibeløpet vdrg + rete Vi k også vtle med bke hvord vdrgee skl reges ut. Hvis vi velger et serielå, er lle vdrgee like store. Avdrget fier vi d ved å dividere låesumme med tllet termier i hele låeperiode. For et serielå er vdrget låesumme tllet på termier Avdrgee er dermed like store i hele låeperiode. Me retee reger vi lltid i proset v restlået. Retee miker dermed utover i låeperiode etter hvert som lået miker. Termibeløpet er d størst i begyelse og miker etter hvert som vi betler ed på lået. E fmilie låer kr til bolig. Lået er et serielå over 0 år med é termi per år og 4 % rete. Hvert vdrg er d på kr kr 0 Det første året betler fmilie Avdrg kr + Rete kr 0, kr Termibeløp kr Når de hr betlt kr i vdrg, er restlået kr kr kr 9 0 Sius S kp teoridel.idd :3:5

23 Det dre året betler de Avdrg kr + Rete kr 0, kr Termibeløp kr Nå skl vi fie e formel for termibeløp r.. Lået blir redusert med kr hvor hver termi. Restlået for hver termi er dermed e ritmetisk følge med differse d Restlået i kroer like før de betler termibeløp r. er R + ( ) d ( ) ( ) R R Ret er 4 % v restlået. Ret i termi r. er dermed 0, 04 R 0, 04 ( ) Termibeløpet er summe v vdrg og rete. I kroer blir det T T Legg merke til t termibeløpee er e ritmetisk tllfølge med differse d Det siste termibeløpet blir T Det siste termibeløpet er kr. Ettersom termibeløpee der e ritmetisk rekke, er summe v de 0 beløpee 0 ( T+ T0 ) 0 ( ) s Fmilie låer kr og betler tilbke kr. EKSEMPEL E fmilie låer kr med 5 % rete. Lået er et serielå med é termi per år og 5 års edbetligstid. ) Hvor store er de årlige vdrgee? b) Fi e formel for termibeløp r.. c) Fi ved regig hvor mye fmilie betler til smme i løpet v 5 år. d) Bruk CAS og fi hvor mye fmilie betler til smme i løpet v 5 år. e) Hvor mye betler de til smme i reter? 30 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:53

24 Løsig: ) De årlige vdrgee er kr kr 5 b) Restlået miker med kr per termi. Like før termi r. er restlået i kroer R + ( ) d ( ) ( ) R R Ret er 5 % v dette. Det er 0, 05 R 0, 05 ( ) Termibeløpet i kroer blir T c) Det første termibeløpet er T Det siste er T Termibeløpee er e ritmetisk rekke. Summe er 5 ( T+ T0 ) 5 ( ) s Fmilie betler i lt kr. d) Fr oppgve b vet vi t termibeløp r. er gitt ved Summe v de 5 termibeløpee k vi dermed fie i GeoGebr CAS på dee måte: Fmilie betler i lt kr. e) Summe v lle vdrgee er lltid lik låesumme, som her er kr. Reste v det de betler, er reter. Det er kr kr kr 3 0 Sius S kp teoridel.idd :3:54

25 ? OPPGAVE.50 Frid Ford låer kr til bil. Lået er et serielå med 6 % rete per år og med é termi per år. Nedbetligstid er på 5 år. ) Fi termibeløpee for hvert v de 5 år. b) Hvor mye betler Frid til smme i reter på de 5 år? OPPGAVE.5 Kut hr et serielå over 0 år der vdrgee er kr per år. H betler 3,4 % rete per år. ) Hvor stort er lået? b) Fi termibeløpee for de to første år. c) Fi e formel for termibeløp r.. d) Fi ved regig hvor mye Kut betler til smme i løpet v 0 år. e) Hvor mye betler h til smme i reter? OPPGAVE.5 E fmilie låer kr med 3,7 % rete. Lået er et serielå med é termi per år og 30 års edbetligstid. ) Fi termibeløpee for de to første år. b) Fi e formel for termibeløp r.. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v de 30 år? d) Hvor mye betler de til smme i reter? På ettsidee fier vi regerket «Serielå», som vi k bruke til å berege serielå. EKSEMPEL Mri Mkeløs skl kjøpe e leilighet og låer kr. Det er et serielå med 3,8 % rete med e edbetligstid på 0 år og med måedlige termier. Hvor mye må hu betle til smme i løpet v de 0 år, og hvor mye betler hu i reter? 3 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:55

26 Løsig: Vi legger i tllee i regerket «Serielå» og får dette resulttet: Hu betler i lt kr. Av det er kr rete.? OPPGAVE.53 Frid Fruktbr treger et større hus og må låe kr. Det er et serielå med 4, % rete per år. Nedbetligstid er 5 år, og det er termier per år. ) Hvor mye må hu betle til smme på de 0 år, og hvor mye rete betler hu? b) Frid sys t dette lået blir for dyrt. Hu får et ytt tilbud fr bke med lvere rete. Nå skl hu betle til smme kr i rete. Fi de ye retefote..6 Geometriske rekker Når vi skl summere leddee i e geometrisk følge, får vi e geometrisk rekke. I e geometrisk rekke er dermed hvert ledd lik det foregåede leddet multiplisert med e kvotiet k. Rekk er geometrisk med kvotiet k Sius S kp teoridel.idd :3:55

27 Fr kpittel.3 vet vi t ledd r. i e geometrisk følge er gitt ved formele k På slutte v dette delkpittelet beviser vi dee formele for summe v de første leddee i e geometrisk rekke: L s være summe v de første leddee i e geometrisk rekke med kvotiet k. Hvis k, er s k k Hvis k, er s EKSEMPEL Fi summe v de geometriske rekk ved å bruke formele for summe. Løsig: Dette er e geometrisk rekke med seks ledd der kvotiete k. Summe er s k k Når rekk hr så få ledd, er det eklere å summere leddee direkte. EKSEMPEL I eksempelet på side 5 fikk Heidi 00 kr i ukepeger. Beløpet skulle så økes med kr for hver uke. Me hu vr ikke forøyd med dee ordige og foreslo t hu i stedet skulle få e økig på % hver uke. Foreldree reget på hv dee ordige ville koste i de første ukee, og kom til t det vr lite forskjell på de to ordigee. De godtok derfor forslget fr Heidi. 34 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:56

28 ) Hvor mye får Heidi i ukepeger i hver v de fire første ukee? b) Hvor mye får Heidi i ukepeger i uke r. 04 (om to år)? c) Hvor mye får hu smlet de to første år? Løsig: ) De fire første ukee får hu disse kroebeløpee: 3 00 kr 00 kr,0 0 kr 0 kr,0 04,04 kr 4 04, 04 kr,0 06, kr Smmelik med beløpee på side 5. Sys du det er rrt t foreldree gikk med på dee ordige? b) Ettersom 0,, er beløpee ledd i e geometrisk følge. Beløpet i uke r. 04 er bestemt ved k kr, ,8 kr Om to år får Heidi 769 kr per uke i lommepeger. Med de gmle ordige ville hu h fått 306 kr. c) Summe v lle de 04 beløpee blir s k , kr kr k 0, Heidi får til smme kr i lommepeger disse to år. Med de gmle ordige ville hu h fått kr (jf. side 5) Sius S kp teoridel.idd :3:56

29 EKSEMPEL E gmmel legede forteller t sjhe v Persi ble svært begeistret d h fikk lære å spille sjkk. Læremestere kue derfor øske seg hv h ville som tkk for istse. Til sjhes forudrig øsket læremestere seg bre litt ris. H ville h ett riskor i de første rut på sjkkbrettet, to riskor i de dre, fire i de tredje, osv. Sjhe godtok dette ekle øsket. ) Hvor mge riskor blir det i de siste rut år sjkkbrettet hr 64 ruter? b) Hvor mge riskor skulle læremestere h til smme? c) Hvor mye veier lle riskoree til smme hvis ett riskor veier 0,0 g? Løsig: ) Tllet på riskor blir Dette er e geometrisk rekke med og k. Tllet på riskor i rute r. blir k Tllet på riskor i rute r. 64 blir , 0 8 b) For å fie ut hvor mge riskor det blir på brettet, må vi summere e geometrisk rekke med 64 ledd: s k , k c) Smlet veier riskoree 64 9, ,0 g, kg 3,7 0 4 kg Riskoree veier c to. Dette blir omtret 60 to ris til hver perso som bor på jord i dg. Sjhe v Persi fikk ssyligvis visse problemer med å oppfylle dette øsket. 36 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:57

30 ? OPPGAVE.60 Fi summe v e geometrisk rekke med ledd år ), k og 0 b) 3, k og 0 c) 0, og 5 OPPGAVE.6 Fi summe v de geometriske rekkee ved hjelp v sumformele. ) b) c) ,8 + 07,36 d) e) , ,05 9 OPPGAVE.6 E bedrift hr e omsetig på 00 millioer kr på ett år og hr som mål å øke omsetige med 7 % per år. ) Hvor stor blir d omsetige om ti år? b) Fi de smlede omsetige i dee tiårsperiode ved å summere e rekke. OPPGAVE.63 E bedrift slipper ut 36 to CO per år. Bedrifte får pålegg om å redusere utslippet med 5 % per år. ) Hvor stort blir d det årlige utslippet om 0 år? b) Fi det smlede utslippet i periode ved å summere e rekke. EKSEMPEL Mri setter kr i bke hvert år. Hu får 3 % rete per år. ) Fi ved regig hvor mye Mri hr i bke like etter det tolvte iskuddet. Hvor mye rete hr Mri fått? b) Fi digitlt hvor mye Mri hr i bke like etter det tolvte iskuddet. c) Hvor mye hr Mri i bke like før hu setter i det 4. beløpet? d) Hvor mge år går det før Mri hr kr i bke? 37 0 Sius S kp teoridel.idd :3:57

31 Løsig: ) Like etter t det tolvte beløpet er betlt i, hr Mri ikke fått oe rete på det beløpet, så det er fortstt kr. Det est siste beløpet hr stått i bke i ett år og hr vokst til kr,03. Det tredje siste beløpet hr stått i bke i to år og er blitt til kr,03. Slik k vi fortsette. Det første beløpet hr stått i bke i år og hr vokst til kr,03. Til smme blir dette kr kr, kr, kr,03 Dette er e geometrisk rekke med tolv ledd og kvotiet k 03,. Det første leddet er kr. Summe er s k 03, kr 4 90 kr k 03, Mri hr betlt kr i tolv år. Til smme er det kr kr Reste v beløpet er rete. Retee er 4 90 kr kr 90 kr b) I GeoGebr CAS k vi løse oppgve slik: Mri hr 4 90 kr i bke etter år. c) Vi reger først ut hvor mye hu hr i bke like etter det 3. iskuddet. Det k vi ete gjøre ved regig slik vi gjorde det i oppgve, eller så k vi fie beløpet digitlt som vist her: Hu hr 56 77,90 kr i bke like etter hu stte i det 3. beløpet. Like før hu setter i det 4. beløpet, hr dette beløpet stått ett år i bke og hr vokst til 56 77,90 kr, kr d) L x være tllet år til beløpet er kr. Vi løser dee likige i GeoGebr CAS: Beløpet psserer kr etter 6 år. 38 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:58

32 ? OPPGAVE.64 Otto setter i kr på e sprekoto i begyelse v hvert år. Ret er 3 % per år. ) Fi ved regig hvor mye peger Otto hr på kotoe like etter t h stte i det 6. beløpet. b) Fi digitlt hvor mye peger Otto hr på kotoe like etter t h stte i det 0. beløpet. c) Når hr Otto kr på kotoe? OPPGAVE.65 Kri begyte å spre. jur 05. Hu setter 500 kr i bke de første dge i hver måed. Hu får 0, % rete per måed. ) Fi ved regig hvor mye hu hdde i bke like etter iskuddet de. jur 06. b) Fi digitlt hvor mye hu hr i bke på yttårsfte 09. c) Fi digitlt og ved regig hvor lg tid det går før hu hr kr i bke. På ettsidee til Sius fier du regerket «Sprig», som du k bruke til å løse oppgvee i eksempelet på side 37. Vi fyller ut regerket på dee måte:? OPPGAVE.66 Løs oppgve.64 ved hjelp v regerket «Sprig» Sius S kp teoridel.idd :3:58

33 BEVIS FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN GEOMETRISK REKKE Nå skl vi utlede e formel for summe s v de første leddee i e geometrisk rekke. Vi viser utledige for 5. For e vilkårlig k vi gå frm på de smme måte. Vi utytter t i e geometrisk rekke i er k, og får i s k + k + k + k 3 + k + k + k + k 4 L oss å fie summe ( ) t + k + k + k + k Vi multipliserer t 5 med k og får Det gir 3 4 ( ) k t k + k + k + k + k 5 k t k + k + k + k + k k t t k + k + k + k + k + k + k + k + k ( k ) t5 k + k + k + k + k k k k k 5 ( k ) t k Dersom k, blir t k k ( ) Ettersom s5 t5, får vi dee formele: s k 5 5 k Hvis k, blir lle leddee lik. Det gir s Vi får tilsvrede formler hvis rekk hr ledd. 3 4 Hvis rekk hr ledd, går vi frm på tilsvrede måte og viser t s k k år k, og s, år k. 40 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:00

34 .7 Nåverdi og vbetlig Du skylder e perso 5000 kr. Beløpet skl betles tilbke om 3 år. For å være helt sikker på t du klrer å betle dette, setter du et beløp x i bke i dg slik t beløpet om 3 år er blitt til 5000 kr. Du får 5 % rete per år. Beløpet x fier du d ved hjelp v dee likige: x, kr 5000 kr x 439 kr 3,05 Hvis du setter 439 kr i bke i dg, hr beløpet vokst til 5000 kr om 3 år hvis ret er 5 % per år. Beløpet 439 kr kller vi åverdie til 5000 kr om 3 år år klkulsjosret er 5 % per år. Nåverdie N til et beløp B som du skl betle om perioder, er N B f der f er vekstfktore til klkulsjosret per periode. EKSEMPEL E ve skylder deg kr. H skl betle deg tilbke disse pegee om 5 år. Hv er åverdie v beløpet år klkulsjosret er 6 % per år? Løsig: Nåverdie er kr kr 5 06,? OPPGAVE.70 Reg med 5 % klkulsjosrete og fi åverdie v 8000 kr år du får utbetlt beløpet om ) 5 år b) 0 år c) 5 år Når vi hdler på vbetlig, betler vi et fst beløp hver måed i stedet for å betle vre kott. Når vi skl vurdere hvor dyrt det er å hdle på vbetlig, må vi rege ut hvilket beløp vi må sette i bke i dg for t beløpet skl dekke lle ibetligee. Vi reger d ut åverdie for hvert beløp og summerer. 4 0 Sius S kp teoridel.idd :3:0

35 EKSEMPEL Helee skl kjøpe e dtmski. Hu k velge mellom å betle kr kott eller 400 kr per måed i 3 år. Det første beløpet skl betles om måed. ) Fi ved regig summe v åverdiee for lle vbetligsbeløpee år hu reger med 0,5 % rete per måed. b) Fi summe v åverdiee digitlt. c) Bør Helee velge vbetlig eller kott betlig? Løsig: ) Når Helee skl betle et beløp hver måed i 3 år, blir det i lt 3 36 beløp. Når de måedlige ret er 0,5 %, er vekstfktore,005. Det første beløpet skl hu betle om måed. Nåverdie er 400 kr,005 Det dre beløpet skl hu betle om måeder. Nåverdie er 400 kr,005 Slik k vi fortsette. Det siste beløpet skl hu betle om 36 måeder. Nåverdie er 400 kr, Summe v lle åverdiee er 400 kr, kr 400 kr 400 kr ,005,005 3, Dette er e geometrisk rekke med 36 ledd og kvotiet k, kr Det første leddet er. Summe er,005 s k kr 36 k, , 3 48 kr, 005 b) I GeoGebr CAS k vi summere lle åverdiee slik: Summe v åverdiee er 3 48 kr. 4 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:0

36 c) Nåverdie v lle vbetligsbeløpee er 3 48 kr. Helee må sette 3 48 kr i bke hvis hu skl betle lle vbetligsbeløpee ved hjelp v disse pegee. Det er mer e kr. Helee bør velge kott betlig. Hvis Helee hdde reget med høyere rete, ville koklusjoe h blitt e e. Hvis ikke Helee hr kr til disposisjo i dg, vil hu ok velge vbetlig selv om det ikke løer seg.? OPPGAVE.7 Odd skl kjøpe seg ytt hus. H får vlget mellom å betle,0 millioer kroer kott eller å betle kr per år i år. Det første beløpet skl betles om ett år. Odd reger med 5 % rete per år. ) Hv er åverdie v det første beløpet? b) Fi summe v lle åverdiee ved regig. c) Fi summe digitlt. d) Hvilket ltertiv bør Odd velge? OPPGAVE.7 Ae skl kjøpe seg ytt fjersy. Hu får vlget mellom å betle 8000 kr kott eller å betle 350 kr per måed i 4 måeder. Det første vdrget skl betles om måed. Hu reger med 6 % rete per år. ) Fi åverdie v det første beløpet. b) Fi summe v lle åverdiee ved regig. c) Fi summe digitlt. d) Bør Ae velge vbetlig eller kott betlig?.8 Auitetslå I kpittel.5 lærte vi om serielå. D vr lle vdrgee like store. Termibeløpee vr store i begyelse og miket etter hvert som restlået ble midre. Når vi tr opp et uitetslå, blir vdrgee bestemt slik t lle termibeløpee blir like store. Ettersom er vdrget + retee termibeløpet vdrget termibeløpet retee De første år er restlået stort, og d betler vi mye reter. Avdrgee blir dermed små i begyelse og vokser etter hvert. Mge velger uitetslå i stedet for serielå for å ugå de store termibeløpee de første år Sius S kp teoridel.idd :3:0

37 EKSEMPEL E fmilie skl kjøpe bil og tr opp et uitetslå på kr med 5 % rete per år. Lået skl betles ed over 5 år med é termi per år. Termibeløpet er på kr. Hvor mye betler fmilie i reter og vdrg i hvert v de fem år? Løsig: Det første året: Reter: kr 0, kr Avdrg: kr 500 kr kr Restlå: kr kr kr Det dre året: Reter: kr 0, kr Avdrg: kr 0 38 kr kr Restlå: kr kr kr Det tredje året: Reter: kr 0, kr Avdrg: kr 7863 kr kr Restlå: kr kr kr Det fjerde året: Reter: kr 0, kr Avdrg: kr 5368 kr kr Restlå: kr kr kr I de siste termie betler vi lltid restlået. På gru v vrudig termibeløpet bli et et i siste termi. Avdrg: kr? OPPGAVE.80 Hege låer kr for å kjøpe bil. Hu får et uitetslå med tre årlige ibetliger og 6 % rete per år. Termibeløpet er kr. ) Hvor mye betler hu i reter og i vdrg i hvert v disse tre år? b) Hvor mye betler hu til smme? 44 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:03

38 Når bke skl fie termibeløpet for et uitetslå, gjør de det på e slik måte t summe v åverdie til lle termibeløpee blir lik låebeløpet. For et uitetslå er summe v åverdie til termibeløpee lik låebeløpet. Vi tr opp et uitetslå i bke. Ret er 4 % per år, og termibeløpet er kr per år i 0 år. Vi skl fie hvor stort lået er. Det første beløpet betler vi om ett år. Nåverdie i kroer er , Det dre beløpet betler vi om to år. Nåverdie er , Det tredje beløpet betler vi om tre år. Nåverdie er , 3 Slik k vi fortsette. Det siste beløpet betler vi om ti år. Nåverdie er , 0 Summe v åverdiee blir , 04, 04, 04, Dette er e geometrisk rekke der det første leddet er , og kvotiete er k 04, Summe v de ti leddee er s k , k 04, 04, Sius S kp teoridel.idd :3:03

39 Ettersom summe v åverdiee er lik låebeløpet, skullet låebeløpet være på kr. Vi k d t t lået vr på, millioer kroer. I GeoGebr CAS fier vi låebeløpet slik: Ovefor det åverdiee v termibeløpee e geometrisk rekke. Det gjelder for lle uitetslå. Ved et uitetslå der åverdiee v termibeløpee e geometrisk rekke der det første leddet er T f og kvotiete er k f der T er termibeløpet og f er vekstfktore til ret per termi. EKSEMPEL For et uitetslå med 4,5 % rete per år betler Mrti kr per år i 5 år. ) Fi ved regig hvor stort lået vr. b) Fi digitlt hvor stort lået vr. Løsig: ) Nåverdiee er ledd i e geometrisk rekke der det første leddet er kr, 045 Kvotiete er k, Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:03

40 Summe v de 5 åverdiee er s k kr 5, k 045,, kr Dette er låebeløpet ettersom det er lik summe v åverdiee. På gru v vrudig i termibeløpet er ok summe 3 kr for høy. Lået vr på kr. b) I GeoGebr CAS fier vi summe slik: Lået vr på kr. EKSEMPEL E fmilie låer kr med 5 % rete per år. Lået er et uitetslå med é termi per år og 5 års edbetligstid. Jmfør eksempelet med serielå på side ) Fi termibeløpee ved regig. b) Fi termibeløpee digitlt. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v 5 år? Løsig: ) L T være termibeløpet. Nåverdiee der d e geometrisk rekke med T 05, og kvotiet k. Summe v åverdiee blir 05, s k 5 T 05 5, k 05, 05, T 5 05, T 5 05, 05, 005, 5 Dee summe skl være lik låebeløpet, som er kr. Det gir likige på este side Sius S kp teoridel.idd :3:04

41 T 5 05, kr 005, T 0, kr kr 5 0, 5 b) I GeoGebr CAS fier vi termibeløpet slik: Termibeløpet er kr. c) Fmilie betler 5 slike termibeløp. Det blir kr kr Hvis de hdde vlgt et serielå, ville de h betlt kr til smme. Me vi k ikke smmelike disse tllee direkte. Når vi skl fie ut hvilket lå som er billigst, må vi smmelike summe v åverdie til lle termibeløpee.? OPPGAVE.8 Kut hr et uitetslå der h skl betle kr per år i 0 år. H betler 4,4 % rete per år. Hvor stort er lået? OPPGAVE.8 E fmilie låer kr med 3,7 % rete per år. Lået er et uitetslå med é termi per år og 30 års edbetligstid. ) Fi termibeløpee ved regig. b) Fi termibeløpee digitlt. c) Hvor mye betler fmilie til smme i løpet v de 30 år? OPPGAVE.83 Frid Ford låer kr til bil. Lået er et uitetslå med 6 % rete per år og med é termi per år. Nedbetligstid er på 5 år. ) Fi termibeløpee. b) Hvor mye betler Frid til smme i løpet v de 5 år? 48 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:05

42 På ettsidee fier vi regerket «Auitetslå» som vi k bruke til å berege uitetslå. EKSEMPEL Mri Mkeløs skl kjøpe e leilighet og låer kr. Det er et uitetslå med 3,8 % rete per år med e edbetligstid på 0 år og med måedlige termier. Fi termibeløpet og hvor mye hu betler til smme i rete. Løsig: Vi skriver i tllee i regerket «Auitetslå». Utklippee edefor viser de første og de siste termiee. Termibeløpet er 999 kr. Hu betler i lt kr i reter.? OPPGAVE.84 Frid Fruktbr treger større hus og må låe kr. Det er et uitetslå med 4, % rete per år. Nedbetligstid er 5 år, og lået hr termier per år. ) Fi termibeløpee og hvor mye hu betler i reter til smme. b) Frid sys t dette lået er for dyrt. Hu får et ytt tilbud fr bke med lvere rete. Hu må betle kr for det ye lået. Fi de ye retefote Sius S kp teoridel.idd :3:05

43 .9 Uedelige rekker? OPPGAVE.90 Vi hr gitt de uedelige rekk Fi digitlt summe v de 0 første, de 0 første og de 00 første leddee. Hv ser du? I oppgve.90 ft du sikkert ut t de uedelige rekk ser ut til å h e edelig sum. Det k vi også vise ved regig. Vi ser på summe v de første leddee: s 3 s s s Det ser ut som summe s v de første leddee k være gitt ved formele s Stemmer det for lle? Rekk er geometrisk med kvotiete k og med det første leddet. Summe v de første leddee blir 50 Sius S > Følger og rekker s k k Dermed hr vi vist t s for lle. Hvis vi lr tllet på ledd gå mot uedelig, går mot ull. D går summe s mot. 0 Sius S kp teoridel.idd :3:06

44 Dette skriver vi med symboler på dee måte: s år Symbolet leser vi uedelig. Det er ikke oe tll. Vi skriver år vi meer t vokser over lle greser. Vi hr å vist t summe v de første leddee i rekk ærmer seg år. Vi sier t rekk kovergerer og hr summe s. E uedelig rekke kovergerer og hr summe s hvis summe s v de første leddee ærmer seg tllet s år. Hvis summe s v de første leddee ikke ærmer seg oe bestemt tll år, sier vi t rekk divergerer.? OPPGAVE.9 Fi et uttrykk for summe s v de første leddee i hver rekke. Avgjør om rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe v de uedelige rekkee. ) b) c) , + 00, + d) , ,9 + Nå skl vi studere de uedelige geometriske rekk 3 + k + k + k +... Vi øsker å fie ut år rekk kovergerer. Hvis 0, er lle leddee i rekk lik ull. Rekk kovergerer og hr summe 0. Vi forutsetter heretter t 0. Hvis k, er summe v ledd gitt ved s k k Hvis k > eller k < vil bsoluttverdie v k vokse over lle greser år. Dermed vil bsoluttverdie v s vokse over lle greser. Rekk divergerer. 5 0 Sius S kp teoridel.idd :3:07

45 Hvis k, er lle de leddee lik. Summe blir s, og d vil bsoluttverdie v s vokse over lle greser år. Rekk divergerer. Hvis k, blir rekk Summe s veksler mellom tllee 0 og lt etter om er et prtll eller et oddetll. Summe ærmer seg ikke oe fst tll, og rekk divergerer. Dersom < k <, vil k 0 år. Rekk kovergerer fordi s k k 0 k k k k Summe er s. k E uedelig geometrisk rekke med første ledd 0 er koverget hvis og bre hvis kvotiete k,. Rekk hr d summe s k EKSEMPEL ) Udersøk om de uedelige geometriske rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe. ) ) b) Bruk et digitlt hjelpemiddel til å løse oppgve. Løsig: ) ) Vi vet t rekk er geometrisk. Kvotiete k er k Rekk kovergerer fordi k,. Summe v rekk er s k Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:09

46 ) Kvotiete k er 9 k Rekk divergerer (kovergerer ikke) fordi k ikke er et tll mellom og. b) ) Ledd r. i rekk er k 54 3 I GeoGebr CAS fier vi summe v de uedelige rekk slik: 4 3 Symbolet fier vi ved å klikke på α til høyre i CAS-feltet. Summe er 8. ) I de dre rekk er ledd r. gitt ved 7 k Vi prøver å fie summe v de uedelige rekk i GeoGebr CAS. Rekk divergerer. EKSEMPEL De greske filosofe Zeo, som levde rudt 500 f.kr., l frm et problem som seiere er blitt kjet som Zeos prdoks. Zeo fortlte om Akilles, de rskeste me i Hells på de tid, som skulle løpe om kpp med ei skilpdde. Akilles kue løpe 00 m like fort som skilpdd løp 0 m. Skilpdd fikk derfor et forsprg på 00 m Sius S kp teoridel.idd :3:0

47 D Akilles kom til det puktet skilpdd hdde strtet fr, vr skilpdd 0 m for hm. D Akilles kom dit, vr skilpdd på et pukt m for hm. Akilles løp videre, me skilpdd vr ed 0, m for hm d h ådde dette puktet. Slik kue Zeo fortsette resoemetet i det uedelige, og Zeo kokluderte med t Akilles ldri ville t igje skilpdd. For grekere vr dette et stort problem. Erfrige viste jo t Akilles tok igje skilpdd. Me tke kom til motstt koklusjo. Skulle e tro på tke eller på erfrige? På de tid mete emlig grekere t det vr tke som formidlet shete. Erfrige bestod v illusjoer. Hv er glt med Zeos resoemet? Løsig: Hvis vi summerer de vstdee som Akilles løp, får vi 00 m + 0 m + m + 0, m + Dette er e uedelig geometrisk rekke med 00 m og kvotiet k 0,. Summe v rekk blir s k 00 m 00 0, 09, m m 9 m Akilles tr igje skilpdd etter m. Summe v uedelig mge 9 legder blir e edelig legde. Det vr utekelig for grekere. De trodde t det eksisterte e miste og udelelig legde (tomteorie). Med e slik miste legde k ikke summe v uedelig mge legder bli edelig.? OPPGAVE.9 Avgjør ved regig om de geometriske rekkee kovergerer, og fi evetuelt summe v rekkee. ) b) +,5 +,5 + c) , 7,9 + d) 0 +, 3, OPPGAVE.93 D Heidi ble født, ble det vtlt t hu skulle få et fst pegebeløp hver måed hele livet. De første måede skulle hu få 000 kr. Deretter skulle beløpet mike med % per måed. ) Hvor stort er det. beløpet? b) Hvor mye peger får Heidi det første året? c) Hvor mye peger får Heidi til smme? d) Hv ville du h svrt på oppgve c hvis beløpet hdde økt med % per måed i stedet? Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:

48 ? OPPGAVE.94 ) Fi summe v de uedelige geometriske rekk digitlt og ved regig b) I kvdrtet edefor hr sidekte legde Vi deler kvdrtet i to like store deler som vist ovefor. Hver del får relet. De ee v de to delee deler vi i to like deler. Hver v de to delee får d relet. Slik fortsetter vi. 4 Bruk figure til å fie summe v de uedelige rekk i oppgve. OPPGAVE.95 ) Fi summe v rekk digitlt og ved regig b) Hvord k du fie summe ut fr dee figure? 55 0 Sius S kp teoridel.idd :3:

49 SAMMENDRAG Tllfølge (følge) E tllfølge er e serie v tll i e bestemt rekkefølge.,,,... 3 Hvert tll i følge blir klt et ledd. Rekke Vi får e rekke år vi summerer leddee i e tllfølge. E rekke er dermed et uttrykk v type Tllee i rekk kller vi ledd. I e uedelig rekke er det uedelig mge ledd. Summe v e edelig rekke Det tllet vi får år vi summerer leddee i e edelig rekke, kller vi summe v rekk. s Aritmetisk følge I e ritmetisk følge er det e fst differse d mellom et ledd og leddet for. Ledd r. fier vi med formele + ( ) d Aritmetisk rekke I e ritmetisk rekke der leddee e ritmetisk følge. Summe s v de første leddee er gitt ved formele s ( + ) Geometrisk følge I e geometrisk følge fis det et tll k slik t hvert ledd er lik det foregåede leddet multiplisert med tllet k. Ledd r. fier vi med formele k 56 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd :3:

50 Geometrisk rekke I e geometrisk rekke der leddee e geometrisk følge. Dersom kvotiete k, er summe s v de første leddee gitt ved formele s k k Dersom k, er summe s. Koverget rekke E uedelig rekke kovergerer og hr summe s dersom summe s v de første leddee ærmer seg tllet s år går mot uedelig. Diverget rekke E uedelig rekke divergerer hvis de ikke kovergerer. Uedelig geometrisk rekke E uedelig geometrisk rekke kovergerer dersom kvotiete k,. Summe s v rekk blir d s k Nåverdi Nåverdie v et beløp B som skl betles om perioder, er B, der f er f vekstfktore til klkulsjosret per periode. Serielå For et serielå er lle vdrgee like store. Dermed er vdrget låesumme tllet på termier Auitetslå For et uitetslå er lle termibeløpee like store. Nåverdie v termibeløpee der e geometrisk rekke der det første leddet er T og f kvotiete er k. Her er T termibeløpet og f vekstfktore til ret f per termi. Summe v åverdiee er lik låebeløpet Sius S kp teoridel.idd :3:3

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d) Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3

Detaljer

PARENTESER Matematikerne har funnet på at i regneuttrykk kan vi bruke parenteser for å markere hvilken regneoperasjon som skal gjøres først.

PARENTESER Matematikerne har funnet på at i regneuttrykk kan vi bruke parenteser for å markere hvilken regneoperasjon som skal gjøres først. Smmedrg kpittel SAMMENDRAG Dette er et smmedrg v det du hr rbeidet med om lgebr i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du treger mer treig utover oppgvee i Nummer 10, fier du ekstr oppgver på elevettstedet.

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Særtrykk. Matematikk 1T

Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Særtrykk. Matematikk 1T Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Særtrykk Mtemtikk T Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Mtemtikk T Ihold Alger A Tllregig 7 B Tllmegder C Potesregig 0 D Store og små tll

Detaljer

Logaritmen til et tall er det vi må opphøye 10 i for å få tallet. Logaritmen til et tall a kan vi indirekte definere slik:

Logaritmen til et tall er det vi må opphøye 10 i for å få tallet. Logaritmen til et tall a kan vi indirekte definere slik: Logritme til et tll er det vi må opphøye 10 i for å få tllet. 10 2 = 100 Logritme til 100 er 2. log 100 = 2 10 3 = 1000 Logritme til 1000 er 3. log 1000 = 3 Logritme til et tll k vi idirekte defiere slik:

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

f '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0

f '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0 Fsit obligtorisk oppgve Oppgve (9 poeg) Deriver følgede fuksjoer med hes på lle rgumeter ) f ( ) 7 f '( ) 8 6 svr: b) Svr: g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) c) h( ) f ( )( ) Svr: h( ) f '( )( ) f ( ) d) Svr:

Detaljer

( ) 3 3 P a a a a. ( 3) ( 3) 3 ( 3) ( 3) b Px ( ) er delelig med x 3 dersom P( 3) 0. P( 3) 3a 3 0

( ) 3 3 P a a a a. ( 3) ( 3) 3 ( 3) ( 3) b Px ( ) er delelig med x 3 dersom P( 3) 0. P( 3) 3a 3 0 Løsiger til oppgvee i ok S kpittel 7 Eksmestreig Løsiger til oppgvee i ok Ute hjelpemidler Oppgve E P ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) 7 9 7 7 P ( ) er delelig med dersom P( ) 0. P( ) 0 c Vi utfører polyomdivisjoe

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra? Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 2 løsningsforslag. Torsdag 27. oktober 2016 S S F S F F S F S F S S F S F S F F F F S S F F

Matematikk for IT. Prøve 2 løsningsforslag. Torsdag 27. oktober 2016 S S F S F F S F S F S S F S F S F F F F S S F F Mtemtikk for IT Prøve løsigsforslg Torsdg 7 oktober 06 7 oktober 06 Oppgve ) Fi ved hjelp v shetstbeller om de to følgede smmestte utsg er logisk ekvivlete: i) p q ii) q p q) Utsg i): q p q S S F F S F

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall

Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp

Detaljer

Løsning på kontrolloppgaver 1 Rekker

Løsning på kontrolloppgaver 1 Rekker Løning på kontrolloppgver Rekker Oppgve ) ) Når følgen er ritmetik, er: = + d 8 = + d 8 = d d = 6 = 8 = + d = + 8 = 0 ) Når følgen er geometrik, er: = k 8 = k k = 8 = 9 k = eller k = Siden tllfølgen betår

Detaljer

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksme TFY450 7. ugust 006 - løsigsforslg Oppgve Løsigsforslg Eksme 7. ugust 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk. Grutilstde ψ (x hr ige ullpukter. Første eksiterte tilstd ψ (x hr ett ullpukt. Når potesilet

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1

s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1 TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om

Detaljer

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut Høgskole i Agder Avdelig for relfg EKSAMEN Emekode: MA 410 Emev: Reell lyse Oppgver med forslg til løsiger Dto: 4. mi 000 Vrighet: 09.00-14.00 Atll sider iklusivt forside: Tilltte hjelpemidler: Alle Nyorsktekste

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Løsning eksamen S2 våren 2010

Løsning eksamen S2 våren 2010 Løsig eksame S våre 010 Oppgave 1 a) 1) f( ) l 1 f ( ) l l l l ( l 1) ) g ( ) 3e g( ) 3e 3e 6e b) Rekke er geometrisk med Rekke kovergerer. Summe er a1 1 1 s 1 k 1 1 1 1 1 k og oppfller dermed kravet 1

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Chpter - Dscrete Mthemtcs d Its pplctos Løsgsforslg på utvlgte oppgver vstt Oppgve Gtt 7 ) E mtrse med rder og koloer er e mtrse Geerelt hr v t e m mtrse er e mtrse med m rder og koloer Uttrykket m klles

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

e n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim

e n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim TMA400 Høst 206 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 9 9..8 Vi er gitt følge { ( ) } {a }. e De første leddee i følge er a e, a 2 2 e 2, a e, a 4 4

Detaljer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer

Kapittel 10 fra læreboka Grafer Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet

Detaljer

Læringsmål og pensum. Funksjoner hittil (1) Oversikt. Læringsmål Anonyme og rekursive funksjoner Funksjoner som inn-argumenter Subfunksjoner

Læringsmål og pensum. Funksjoner hittil (1) Oversikt. Læringsmål Anonyme og rekursive funksjoner Funksjoner som inn-argumenter Subfunksjoner 1 Lærigsmål og pesum TDT4105 Iformsjostekologi grukurs: Uke 44 Aoyme fuksjoer, fuksjosfuksjoer og rekursjo Lærigsmål Aoyme og rekursive fuksjoer Fuksjoer som i-rgumeter Subfuksjoer Pesum Mtlb, Chpter 10

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig).

Detaljer

Det neste tallet er 11+5=16. d Vi får tallene i følgen ved å multiplisere det foregående tallet med 4.

Det neste tallet er 11+5=16. d Vi får tallene i følgen ved å multiplisere det foregående tallet med 4. Løiger til oppgvee i ok R kpittel 7 Følger og rekker Løiger til oppgvee i ok 7. Vi får tllee i følge ve å legge til et foregåee tllet. Det ete tllet er. Vi får tllee i følge ve å trekke fr et foregåee

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Sensorveiledning ECON 1410: Internasjonal Økonomi; vår a) NORD har absolutt fortrinn i produksjonen av begge varer siden A < a og

Sensorveiledning ECON 1410: Internasjonal Økonomi; vår a) NORD har absolutt fortrinn i produksjonen av begge varer siden A < a og 1 Sesorveiledig ECO 1410: Itersjol Økoomi; vår 2004 ) ORD hr solutt fortri i produksjoe v egge vrer side < og < ; det rukes færre timer per ehet produsert v hver vre i ORD e i SØR. Komprtive fortri er

Detaljer

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z

OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Bergen kino. Aktive dager på Kvamskogen! KulTur

Bergen kino. Aktive dager på Kvamskogen! KulTur Nr. 4 April 2015 20. årgg Berge kio Aktive dger på Kvmskoge! KulTur Bjørr hådbll I o h ld io k e Berg KulTur Kjære leser! De beste tide på året? Det er pril det! Edelig k vi legge bort ulludertøy, store

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5

Detaljer

Ma Analyse II Øving 5

Ma Analyse II Øving 5 Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1 Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011

Løsningsforslag Eksamen MAT112 vår 2011 Løsigsforslag Eksame MAT vår OPPGAVE Gitt følge {a } defiert rekursivt ved a = 5, a + = a + 6, =,,, 3,.... (a) Vis (for eksempel ved iduksjo) at {a } er stregt avtagede og edtil begreset. (b) Avgjør om

Detaljer

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012

Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012 apport mai 013 ØBE- G ITEIØBSJEE 01 1 3 IHD 01 Iledig 01 Iledig 0 øbelhadele 03 Boligtekstilbrasje 0 Servise- og kjøkkeutstyrbrasje 05 Belysigsutstyr 06 Butikkhadele med iredigsartikler 07 Spesialbutikker

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

3. Beregning av Fourier-rekker.

3. Beregning av Fourier-rekker. Forelesigsoaer i maemaikk. 3. Beregig av 3.. Formlee for Fourier-koeffisieee. Vi går re på sak: a f være e sykkevis koiuerlig fuksjo med periode p. De uedelige rigoomeriske rekka cos( ) si ( ) a + a +

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon. October 14, 2014. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Deprtmet of Mthemticl Scieces, NTNU, Norwy Octoer 14, 2014 Forelesig 01.10.2014, 5.1, 5.2 Summer Arel uder grfe til e fuksjo som greseverdi til e summe Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Grunnok 8 Kpittel 5 Bokmål Kpittel 5 5.1 Figurtll: 8, 13, 18, 23, 28 19 etsjer 5.2 Figurtll: 1, 7, 10, 13, 16, 19 3 c Figurtllet er 3 gnger figurnummeret pluss 1. d Figurtllet er 5 gnger figurnummeret

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer