S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

Transkript

1 Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså = 0 b Her er hvert ledd midre e det forrige Vi må altså trekke fra for å få det este leddet, som blir 4 = c I dee tallfølge er det adre leddet større e det første Det tredje er større e det adre Det fjerde er større e det tredje Etter dette møstret er det sjette leddet lik det femte pluss fem Vi får at det sjette leddet er + 5 = 6 d Hvert ledd er her fire gager større e det forrige Da blir det este tallet 56 4 = 04 e Adrehvert ledd har egativt forteg Det ka tyde på at hvert ledd er lik det forrige multiplisert med oe egativt For dee tallfølge er det Altså blir det este leddet 8 = 4 ( ) f For dee tallfølge er differase mellom leddee, 5,7,9,, så vi ka ata at vi får det este leddet ved å legge til det siste kjete: + 5 = 6 (E ae måte å se dee tallfølge på er at de lister opp kvadrattallee) a Differase mellom leddee er, så de maglede leddee blir 4+ = 6 og 4 + = 6 b Hvert ledd er dobbelt så stort som det forrige De maglede leddee blir da = 4og 64 = 8 c Her er differase mellom leddee, så de maglede leddee blir 4 + = 7, 8 = 5 og 4 = 7 d Vi ser at ekspoete øker med for hvert ledd Det første leddet blir 800, og det siste 4 blir 800,04 e Hvert ledd er summe av de tre foregåede leddee Det gir at de maglede leddee blir = 68 og = 0 a Differasemetode gir Metode virker, og este ledd blir 8 b Her får vi Metode virker, og este ledd blir 70 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

2 c etter vi opp skjemaet, får vi Metode virker til slutt, og vi får at este ledd i følge blir 46 Løsiger til ilærigsoppgavee d Vi prøver metode: Etter e lije ser vi at vi eder opp med de samme følge år vi tar differasee Metode virker altså ikke 4 a Vi setter i for =,,,4,5 og får at de fem første leddee blir,4,5,6,7 b På samme måte får vi her 5, 9,,7, c Tilsvarede for c, de fem første leddee blir,,,6,8 9 d Med de samme -verdiee får vi at de fem første leddee i d blir 000, 900, 80, 79, 656, 5 a Hvert ledd er det dobbelte av leddummeret, altså a = b Dette er omtret de samme tallfølge som i forrige deloppgave De er forskjøvet ett ledd Vi ka skrive b = = ( ) c Vi ka ta utgagspukt i tallfølge i oppgave a Vi trekker fra hvert ledd Det ka skrives c = d Dee er ikke så opplagt ved første øyekast Hvis vi trekker det -te kvadrattallet fra det -te leddet i dee tallfølge, står vi igje med leddummeret, altså Det betyr at tallfølge ka skrives som d = + e Nevere i leddee er kvadrattallee Vi skriver e = f Her har leddee vekselvis positivt og egativt forteg Absoluttverdie av hvert ledd er det dobbelte av leddet før Det betyr at vi ka skrive ( ) ( ) f = g Vi ser at ekspoete øker med for hvert ledd Formele blir 0 første leddet skal være 800,06 g = 800,06, for det 6 a Vi legger i tallfølge i vårt digitale verktøy (se eksempel 6) og får at de eksplisitte formele blir a = 0,5 +,5 b På samme måte får vi at b = + Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

3 Løsiger til ilærigsoppgavee 7 a Det første leddet er, og hvert påfølgede ledd er e doblig av det foregåede Det gir a = b Vi kjeer de fire første leddee, og det femte er første leddee blir 5 = = 6 5 a 5 = =, så summe av de fem 8 a etter vi i for =,,,4,5,6 i formele, får vi de seks første leddee: b umme av de to første leddee er = + 7= 0 umme av de seks første er 6 = = 78 9 a ummerer vi rekka trivis fra vestre, får vi = = + 7= 8 = 8+ 9= 7 4 = = 64 = = 5 5 b Vi ser at =, =, = osv Altså får vi at = 6 c etter vi i for = 00 i formele for, får vi at 00 = 00 = 0 0 a Partallsrekka starter slik: b De første summee blir = = 6 = = 0 4 Formele for summe av de første leddee blir (se løsige på oppgave 5d) = + c Leddet som har verdi 46, er ledd ummer Vi skal altså fie summe av de første leddee Det gjør vi ved å sette i for i formele for : = + = 5 5 a Vi legger i rekka i vårt digitale verktøy umme av de hudre første leddee blir = b Tilsvarede får vi for summe av de 00 første leddee av b = + : 00 = c På samme måte blir summe av de 00 første leddee av 5000, = : 00 =, 0 c Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

4 Løsiger til ilærigsoppgavee d Til slutt mater vi verktøyet vårt med leddee blir 00 = d = og får at summe av de 00 første,005 a Rekka blir umme blir 5 b Rekka blir umme blir = umme blir 0 c Her blir rekka ( ) ( ) ( ) a Dette er partallsrekka Det 50 leddet har verdie 00, så vår sum ka skrives Vårt digitale verktøy oppgir summe av de 50 første leddee til å være 550 b Her har vi ok e rekke med bare partall, me de starter ved verdie 0 i stedet for verdie umme vår ka da fies ved å trekke summe av de fire første leddee fra summe vi fat i forrige deloppgave: = = = 50 = 5 = = c Rekka består av de ti første kubikktallee umme ka da skrives Vårt digitale verktøy oppgir dette til 05 0 = 50 = 4 a Rekka er aritmetisk, da differase mellom leddee er de samme hele veie, emlig d = b Rekka er ikke aritmetisk Differase mellom første og aet ledd er, mes mellom adre og tredje ledd er de c Her har vi e aritmetisk rekke Hvert ledd er 0,5 midre e leddet før, altså d = 0,5 d Alle leddee i rekka er like Da ka vi si at rekka er aritmetisk med e differase d = 0 5 a Vi skal starte på 0 og legge til 4 for hvert ledd Rekka blir b Det adre leddet er 0, og hvert ledd er 4 større e det foregåede Rekka blir c Rekka starter på 0, og vi trekker fra 4 for hvert ledd Rekka blir d Det 0 leddet er 8, og hvert ledd er større e det foregåede Det vil si at for å komme til 8 på det tiede leddet, har vi lagt til i gager Altså er det første leddet lik 8 9= De fem første leddee blir a a = a + ( ) d = 8 + ( ) = 5+ b Her må vi rege ut a Vi har at a5 = a + (5 ) ( ) Det gir a = 4+ a5 = 4+ 8= Vi får følgede formel for det -te leddet: = + ( ) ( ) = c Vi ser at d = og a = Vi får altså a = + ( ) = a Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 4 av 6

5 Løsiger til ilærigsoppgavee d Vi ser at d = 7 og a = Da får vi a = + ( ) ( 7) = a Her ka vi rege ut d direkte: d = a6 a5 = 7 = 4 Mellom og er det fire differaser, så a = a5 4d = 6= 7 Det -te leddet er a = 7 + ( ) 4 = + 4 Da blir de fem første leddee b Det er åtte differaser mellom og a Vi skriver a59 a5 = = 60 = 8d a Det betyr at d = = 0 For a får vi a = a5 50d = = 57 8 Det -te leddet er a = 57 +( ) 0 = 0 77 De fem første leddee i rekka blir a 5 a a + a 8 Vi tar utgagspukt i sumformele for aritmetiske rekker: =, med = a Her ka vi sette rett i i formele: 0 = 0 = 700 b Vi må først rege ut det 0 leddet: a0 = a + 9d = 40+ 7= å ka vi sette i i formele: 0 = 0 = 55 c Her går vi fram på samme måte, a0 = a + 9d = 40 7= 40 + umme av de ti første leddee: 0 = 0 = 65 d Vi reger først ut d: d = a a = 4 = Da blir a0 = a + 9d = + 7 = Altså blir summe av de ti første leddee 0 = 0 = 45 a6 a 5 e Her må vi først rege ut d: d = = = Da blir a = a d = 5 7=, og a0 = a6 + 4d = + 8= Nå ka vi rege ut summe av de ti første leddee, som blir 0 = 0 = 95 f I dee rekka er alle leddee like Det vil si at a = a0 = 5 Dermed har vi e sum med ti ledd som alle er lik fem Det blir altså 0 = 50 = 50 9 a Rekka er gitt ved a = 6 5 Vi må vite atallet ledd, altså hvilket ledd som har verdie Vi setter a = 6 og løser for : = = Vi skal altså fie summe av de første leddee: = = 4 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 5 av 6

6 Løsiger til ilærigsoppgavee b Rekka er gitt ved a = For å fie leddummeret til det siste leddet setter vi + 0 a = 0 og løser for : = = Vi skal fie summe av de 4 første leddee: 4 = 4 = 7 0 a Moas røykeforbruk starter med e gitt verdi de første måede og syker så med det samme atallet sigaretter hver måed Dette tilsvarer e aritmetisk rekke med a = 440 sigaretter og d = 60 sigaretter per måed b Hvis vi skriver røykeforbruket i det -te måede som a = , ka vi sette a = 0 og løse for for å fie hvilke måed hu kom ed i ull sigaretter: 500 = = 8, Hu røykte altså si siste sigarett i løpet av august 60 Teller ma de første måede ute røyk, ble hu røykfri i september c Moa røykte si siste sigarett i august, altså må vi fie summe av de åtte første leddee i rekka Det åttede leddet er a 8 = = 0 Da ka vi skrive = 8 = 840 Hu røykte altså 840 sigaretter i 007 a Iskuddet ha gjør i slutte av september gir tre måeders rete Det blir 600 0,04 = 6 Ha får altså 6 kr i rete for septemberiskuddet b Vi lager et tidsskjema over iskuddee til Odi c aldoe på Odis sparekoto ved igage til 006 er summe av sluttverdie til alle iskuddee Av skjemaet i forrige deloppgave ka vi se at dette tilsvarer summe av e aritmetisk rekke med ledd, a = 600 og a = ,04 Da får vi ,04 = = 9 55 Odi har altå 9 55 kr på koto ved igage til 006 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 6 av 6

7 Løsiger til ilærigsoppgavee a Det første termibeløpet er 000 kr kr = 700 kr Det este er 780 kr midre, altså 700 kr 780 kr = 90 kr Trekker vi fra 780 kr e gag til, får vi det tredje beløpet: 90 kr 780 kr = 40 kr b Termibeløpee daer e aritmetisk rekke fordi det er e fast differase mellom hvert av dem d = 780 c Det er i alt 5 ledd i rekka Det første er a = 700, og det siste er a 5 = 780 Ved sumformele for aritmetiske rekker får vi 5 = 5 = Hu skal altså betale kr i reter og avdrag Hvis vi trekker fra låesumme, får vi kr kr = kr, som stemmer med summe av retee fra eksempel 7 d Hvis hu fordelte låesumme på 0 avdrag, ville hvert avdrag bli kr Rete på det første avdraget er fremdeles kr 0,065 = 700 kr, og rete ville mike med 8000 kr 0, 065= 70 kr for hvert år Det siste året ville hu betalt 70 kr i reter om i eksempel 7 daer dette e aritmetisk rekke, me å med 0 ledd i stedet for Vi skriver 0 = 0 = Dette er 9 50 midre e retee for lået hvis hu betaler over 5 termier a Her er hvert ledd er dobbelt så stort som det forrige Rekka er geometrisk, med k = b Rekka er ikke geometrisk, da for eksempel c Rekka er ikke geometrisk, for 8 6 d I dee rekka blir leddee gradvis midre Hvert ledd er av det foregåede Det betyr at rekka er geometrisk Kvotiete er k = e Her har hvert ledd motsatt forteg av det foregåede er vi bort fra forteget, er hvert ledd dobbelt så stort som det forrige Det betyr at rekka er geometrisk med e egativ kvotiet Kvotiete er k = a f Deler vi hvert ledd på det foregåede, får vi hele tide =, Derfor er rekka a geometrisk, og kvotiete er k =, 4 a Det første leddet er Det adre er 4 = 4 Det tredje blir 44 = 6, osv De fem første leddee blir altså b På samme måte får vi her (Legg merke til at forteget skifter for hvert ledd år vi har e egativ kvotiet!) c Av de to oppgitte leddee ser vi at kvotiete må være k = 5 Det første leddet blir da 5 De fem første leddee er Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 7 av 6

8 5 a Her ka vi sette rett i i formele for det -te leddet: Løsiger til ilærigsoppgavee a = 65 b Her må vi først fie Vi kjeer a, så vi setter = 4 og bruker formele for a 4 det -te leddet (vi løser for ): a 80 a = = = 0 ( ) 4 a k Nå kjeer vi både a og k, så vi ka skrive c Her er a = 65 Kvotiete er Da ka vi skrive a = 65 5 k = 5 a, eller evetuelt = 0 ( ) 4 5 a = 5 5 = 5 4 d Vi ser at kvotiete i dee rekka er k = Det første leddet er a = Vi får a = = 4 4 = = a5 405 e Vi fier først kvotiete: k = = =, 5 a4 70 Videre vet vi at a = ak, så vi setter = 4 og løser for a : a4 70 a = = = 80 k,75 Formele for det -te leddet blir = 80,5 a a5 8 a f Her er kvotiete gitt ved k = = = Det første leddet blir a = = = a k Formele for det -te leddet blir = 6 a Her ka vi bruke sumformele direkte: 0 0, 5 a 0 0 k 0 a k 5 = = 4 = b 0 = 000 =, 0, 5 0 (,9) c 0 = = 66,9 a 4 d Vi må først fie kvotiete: k = = = 4 å ka vi bruke sumformele: a 0 0 k 4 0 = a = = k e Nok e gag må vi fie kvotiete først: k = 7 = = 0,6 Da ka vi også fie det 5 5 a 5 første leddet: a = = = 08, å heter vi fram sumformele: k 0,6 0 k 0,6 0 = a = 08, = 57,7 k 0,6 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 8 av 6

9 Løsiger til ilærigsoppgavee f Her går det ikke å bruke sumformele Prøver vi, får vi ull i både teller og ever Heldigvis er det slik at alle leddee er like Vi skal fie summe av ti slike ledd De blir rett og slett = 0 a = 0 5 = a Rekka er geometrisk og har kvotiet k = For å kue bruke sumformele må vi fie ummeret til leddet som har verdie 79 Formele for det -te leddet er a = ak l a l a l 79 Vi løser for og setter i de kjete verdiee: = + = + = 7 l k l 7 7 k Vi skal altså fie summe av de sju første leddee: 7 = a = = 09 k b Dee rekka er geometrisk og har kvotiet k = Vi ser at første ledd er det samme som det sjuede leddet i rekka i forrige deloppgave Tilsvarede for siste ledd i vår rekke; det er det samme som det første i rekka i forrige deloppgave De to rekkee ieholder altså de samme sju leddee, så summe blir de samme, emlig 09 c Her er hvert ledd skrevet ut på forme og at rekka har = ledd umme av dem blir a = ak, så vi ser raskt at 5,, a = k =,, = 5 = 890, d Rekka er geometrisk, med kvotiet k = og a = 64 Vi skal summere fram til leddet som har verdi a =, så vi må fie ummeret til dette leddet 64 l a l a om i oppgave a får vi = + = l k 0,5 umme av de første leddee blir = ,5 8 a Rekka er geometrisk, med a = og k = Vi vil summere rekka itil summe er større k e 000, altså > 000 umformele gir = a Dermed får vi k ulikhete l 00 > 000 Vi løser de for og får > = 6,9 Det betyr at e l summerig til og med ledd ummer sju er tilstrekkelig for e sum større e 000 0,8 b Dee rekka har a = 00 og k = 0,8 Vi må løse ulikhete 00 > 000 0, l 0, Vi løser for og får > 9 l = 4, Det betyr at det er ok å summere til og med 0,8 ledd ummer fem for å få e sum større e 000 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 9 av 6

10 Løsiger til ilærigsoppgavee 9 a Vi bruker formele på side i læreboka luttverdie av 5000 kr om 7 år med 4,5 % 7 rete blir K 7 = 5000 kr,045 = 6804 kr b Her setter vi K 0 = og skriver = K, K0 = = , 05 Hvis rete er 5 % per år, må du altså sette i kr for å kue ta ut é millio kroer om ti år 0 a Ved utgage av 05 har Odd gjort 8 iskudd Det siste har forretet seg til 5 000,05 kr, det est siste til 5 000,05 kr, og så videre Av tidsskjemaet ser vi at sluttverdie av iskuddee tilsvarer e geometrisk rekke med 8 ledd, der a = 5 000, 05 og k =, 05 umme blir 8, 05 8 = 5000,05 = 50 98, 05 b Like etter iskuddet i jauar 05 hadde Odd allerede gjort 8 iskudd, me det siste har ikke fått reter eå, og alle de adre iskuddee har fått ett år (altså e faktor,05) midre Det vil si at vi får e tilsvarede sum som i deloppgave a, me det første leddet er å a = , 05 8 = = 4 7, 05 Legg merke til at 47,05 = 5098 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 0 av 6

11 a Vi lager et tidsskjema for å få oversikt over situasjoe Løsiger til ilærigsoppgavee, 05 aldoe til Odd ved utgage av de -te reteperiode er = 5 000,05, 05 Vi vil at dette skal være større e e millio, så vi setter > og løser for, ,05 > ,05 6, 05 > 6 l 6 l 6 > l, 05 > 9, Ha må spare i 0 år for å å é millio kroer, dvs at ha passerer kr på sparekotoe i løpet av 07 b Vi lager et tidsskjema til Like etter iskuddet i jauar 00 har Odd gjort iskudd Vi kaller det årlige iskuddet x Det siste er ikke forretet, det est siste har forretet seg til x,05 og så videre Rekka vår blir å gitt ved a = x og k =, 05 umme av de trette første leddee av dee rekka skal være lik :, 05 = x = 7,7 x= , 05 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

12 Løsiger til ilærigsoppgavee Løser vi for x, får vi x = , 7 Ha vil altså måtte sette av kr i året hvis ha vil bli millioær ie 00 5 luttverdie av to millioer kroer etter 5 år blir ,06 kr Det skal tilsvare summe av sluttverdiee av alle termibeløpee ha betaler Vi kaller termibeløpet T Av skjemaet ser vi at sluttverdiee av termibeløpee utgjør e geometrisk rekke med 5 5 ledd, a = T og k =, 06 umme av de 5 leddee blir 5 = T,06,06 5,06 5 Vi løser likige T = ,06 og får T = ,06 Ha betaler altså kr i reter og avdrag hvert år Av skjemaet ser vi at sluttverdiee utgjør e geometrisk rekke med 4 ledd, 4,05 a = og k =, 05 umme er da gitt ved 4 = ,05 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

13 Løsiger til ilærigsoppgavee Vi setter låesumme lik L luttverdie av lået om 4 år ka vi da skrive som 4 L,05 Det må tilsvare summe av sluttverdiee av alle termibeløpee Vi løser 4 4,05 likige L,05 = og får L = ,05 Trude har altså låt kr 4 9b: Vi bruker formele på side 6 Nåverdie av é millio kroer om ti år er kr K 0 = = 6 9 kr 0, 05 : Ola låer to millioer kroer Det må tilsvare åverdie av alle termibeløpee Vi kaller termibeløpee T Av skjemaet ser vi at åverdiee av termibeløpee utgjør e T geometrisk rekke med 5 ledd, a = og k = umme av de 5 leddee blir,06,06 5 T,06 5 =, og dette skal være lik :,06,06 5, T =, ,06 T = = , 06 Vi får det samme svaret som da vi reget med sluttverdier Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide av 6

14 Løsiger til ilærigsoppgavee : Vi kaller lået for L Lået må tilsvare summe av åverdiee av alle termibeløpee, ,05 som er gitt ved 4 = Det gir 00 76,05,05 L = Igje får vi det samme svaret som da vi reget med sluttverdier 5 a For å sammelike verdie av avbetaligsordige med kotat betalig må vi se på åverdie av alle avbetaligsbeløpee umme av åverdiee utgjør her e geometrisk 475 rekke med a =, k = =,005 og = 6,005, , 005 umme av dee rekka er 6 = = 5 64,005,005 Joh sparer altså omtret 64 kr på å velge kotat betalig 475 b Første avbetaligsbeløp har åverdie,005, det este har åverdie 475, og så, videre til det siste avbetaligsbeløpet, som har åverdie Vi har altså fortsatt 47,005 e geometrisk rekke med k =, 005, me det første leddet er å 475 a =, ,005 6 = = umformele gir,005,005 Med dee avtale ser vi at Joh sparer ca 0 kr på å velge avbetaligsordige Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 4 av 6

15 Løsiger til ilærigsoppgavee 6 a Vi må fie åverdie av alle avbetaligsbeløpee De daer de geometriske rekka x + + umme blir =, og de må være lik kotatprise 6 x x x x x for vaskemaskie Vi setter = 8999 og fier x =,06 med et digitalt verktøy Måedsrete er altså,6 % Det tilsvarer e årlig vekstfaktor på,06 =,0, altså e årsrete på,0 % 8 Vi bruker her sumformele for e geometrisk rekke og reger ut de forskjellige summee for de ulike verdiee av kvotiete k Vi har at a = 50, så sumformele blir = 50 Vi får følgede tabell: k k =, 5 66,6 7,40 0 9,8 0 Divergerer k = 0,75 88, Kovergerer k = 0,75 6,96 8,57 8,57 Kovergerer k =, 5 84,7 6, 56 0,09 0 Divergerer Vi ser at kvotietee som har absoluttverdi midre e gir rekker som kovergerer, mes de med absoluttverdi større e gir rekker som divergerer 9 a Igje setter vi opp e tabell: k 0,85 0, 0, 7, 0 k 0,97 00 k 8,7 0 8, ,08,594, , b Av tabelle ser vi at der k <, går potese k mot ull år går mot uedelig 40 a Kvotiete er k = 0,5 Rekka kovergerer, for k < umme er b Kvotiete er c Kvotiete er k =,4 Rekka divergerer, for k k = Rekka divergerer, for k 56 = = 5 0,5 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 5 av 6

16 d Kvotiete er k = Rekka kovergerer, for k < umme er Løsiger til ilærigsoppgavee 7 = = 6, e Rekka er aritmetisk, ikke geometrisk Aritmetiske rekker er divergete, med utak av det ekle tilfellet der alle leddee er lik ull Rekka divergerer 4 a Hvis vi går fra at de første utbetalige skjer om ett år, daer åverdiee (tilærmet) de uedelige geometriske rekka + + +, 08, 08, 08 Kvotiete er positiv og midre e, så rekka kovergerer, , 08 umme av rekka er derfor = , 08 Egagsbeløpet må være på kroer b Vi setter egagsbeløpet lik x, og krever at det skal gi 6000 kr i rete år rete er 8 % 6000 per år: x 0,08 = 6000 Det gir x = = ,08 Aschehoug Udervisig wwwlokuso ide 6 av 6