R2 eksamen våren 2018

Transkript

1 R eksame våre 08 DEL Ute hjelpemidler Oppgave (3 poeg) Deriver fuksjoee a) f ( x) = cos ( x ) b) g ( x) = x si x Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee a) ( 4x + 3 ) b) 4x l x dx x dx c) 0 x dx x + 4 Oppgave 3 (3 poeg) I e aritmetisk rekke a + a+ + a er a = og a 5 = 3. 4 Bestem e eksplisitt formel for summe av dee rekke. Oppgave 4 (3 poeg) E differesiallikig er gitt ved ( si ) y = x y a) Bestemt de geerelle løsige av differesiallikige. b) Bestem de løsige av differesiallikige som er slik at y ( ) =. Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side av 7

2 Oppgave 5 (4 poeg) Fuksjoe f er gitt ved ( ) = x f x Et flatestykke er avgreset av x-akse og grafe til f. a) Bestem arealet av flatestykket. Vi får et omdreiigslegeme ved å dreie flatestykket 360 om x-akse. b) Bestem volumet av omdreiigslegemet. Oppgave 6 (8 poeg) Fuksjoe f er gitt ved f ( x) = si ( x ), x,9 a) Bestem evetuelle toppukter og bupukter på grafe til f. b) Bestem ullpuktee til f. c) Lag e skisse av grafe til f. d) Løs likige f( x ) = 3 Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side av 7

3 Oppgave 7 (6 poeg) E kuleflate er gitt ved x 6x + y + 4y + z 8z 0 = 0 a) Vis at setrum i kule er S ( 3,, 4) Et pla er gitt ved 6x 3y + z 4 = 0 b) Bestem avstade fra kules setrum S til plaet.. Bestem radie til kuleflate. Skjærige mellom kuleflate og plaet er e sirkel. c) Bestem arealet av sirkele. Oppgave 8 (4 poeg) E uedelig geometrisk rekke er gitt ved 3 ( ) = S x x x x a) Bestem kovergesområdet til rekke. b) For hvilke verdier av a har likige S( x) = a løsig? Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side 3 av 7

4 DEL Med hjelpemidler Oppgave (6 poeg) Fuksjoee f og g er gitt ved ( ) = + + f x x 3x 3 ( ) = + g x x a) Bruk grafteger til å tege grafee til f og g i samme koordiatsystem. Grafee til f og g avgreser et flatestykke med areal A. b) Bestem A ved hjelp av CAS. Tygdepuktet T til flatestykket er M N,, der M og N er gitt ved A A b a ( ( ) ( )) M = x f x g x dx ( ( ) ( ) ) b N = f x g x dx a Tallee a og b er x-koordiatee til skjærigspuktee mellom grafee til f og g, der a b. c) Bestem koordiatee til T ved hjelp av CAS. Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side 4 av 7

5 Oppgave (6 poeg) Gitt puktee A ( 0, 0, 0), B(, t +, 3t ), C( 0, 4, t + ), ( 3, 8, ) a) Bestem arealet av trekate ABC for t =. b) Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til trekate ABC blir lik 6. c) Bestem t slik at volumet av pyramide ABCD blir størst mulig. Dt, der 0 t 0. Oppgave 3 (8 poeg) I e by med 000 ibyggere sprer det seg e smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarte i atall smittede persoer til ehver tid er proporsjoal med atall persoer som eå ikke er smittet. Vi lar k være proporsjoalitetskostate. a) Sett opp e differesiallikig som beskriver atall smittede persoer y( t ), der t er atall uker etter at sykdomme ble oppdaget. Da sykdomme ble oppdaget, var 00 persoer smittet. b) Vis at ( ) kt y t = e. Etter 0 uker var 4000 persoer smittet. c) Bruk dette til å bestemme k. d) Ved hvilket tidspukt var halvparte av ibyggere i bye smittet av sykdomme? Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side 5 av 7

6 Oppgave 4 (4 poeg) Figure edefor viser hvorda femkattallee er bygd opp. Femkattallee er gitt ved de rekursive formele P+ = P+ 3 +, P = a) Vis ved iduksjo at 3 P = Mathias observerer at det er mulig å rege ut P som summe av tre trekattall, der trekattall ummer er T = Se figure edefor. Ha brukte dette til å vise at 3 P = b) Bruk idee til Mathias til å utlede formele for P. Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side 6 av 7

7 Kilder for bilder, tegiger osv.: Alle grafer og figurer: Utdaigsdirektoratet Eksame REA304 Matematikk R Våre 08 Side 7 av 7