Nynorsk OPPGÅVE 1. a) Deriver funksjonane: b) Finn integrala ved rekning: c) Løys likninga ved rekning, og gi opp svaret som eksakte verdiar: + =

Transkript

1 OPPGÅVE a) Deriver fuksjoae: ) f ( x) = 3six+ cosx ) gx ( ) = six cosx b) Fi itegrala ved rekig: ) ) e 3e x d x l xd x Tips: l xdx= l xdx c) Løys likiga ved rekig, og gi opp svaret som eksakte verdiar: si x si x 0 x 0, π + = d) Eit pla α skjer koordiataksae i pukta A(a, 0, 0), B(0, b, 0) og C(0, 0, c), der a 0, b 0 og c 0. z C uuur uuur ) Bestem vektorkoordiatae til AB og AC. r ) Vis at v= [ bcacab,, ] til plaet α. er ei ormalvektor A B y 3) Fi likiga til plaet α, og vis at ho ka skrivast som x + y + z = a b c x Side 4 av 9

2 OPPGÅVE Fuksjoae f og g er gitt ved f ( x) = 3six og gx ( ) = cosx+ x 0, π a) Teik grafae til f og g i same koordiatsystem. b) Bruk figure i a) til å fie koordiatae til skjerigspukta mellom grafae til f og g. c) Løys likiga ved rekig: 3six cosx= x 0, π Visste du at: Likiga ovafor er kalla ei trigoometrisk likig. Trigoometri ka omsetjast med trekatmålig (frå lati). Hipparkhos (80 5 f.kr.) ka rekast som de første som utvikla det vi kallar ei siustabell. Nemiga trigoometri fi vi første gag på ei bok frå 595 skrive av B. Pitiscus (56 63). Kjelde: Matematisk etymologi av Ragar Solvag Side 5 av 9

3 OPPGÅVE 3 I eit forsøk kastar okre elevar ei valeg terig 500 goger. Vi lèt de stokastiske variabele X vere talet på seksarar. a) Bestem forvetigsverdie µ = E( X ) og stadardavviket σ = SD( X ). b) Fi P(75 X 9). Forklar kvifor du her ka bruke ormalfordelig. Nokre elevar vil udersøkje om ei pappeske forma som ei kube ka brukast i stade for ei terig. Dei kastar pappeska 500 goger og fi at ho ladar med toppe opp 77 goger. La p vere sasyet for at eska ladar med toppe opp. c) Fi eit estimat for p. d) Bestem eit 95 % kofidesitervall for p. Kommeter resultatet. Visste du at: Kofides kjem av det latiske substativet cofidetia, ei avleiig av verbet cofidere, som tyder å lite på, stole på. Jf. tysk Kofidez og frask cofidece. Vi bruker ordet i statistikk i samasetigar som kofidesitervall. Kilde: Matematisk etymologi av Ragar Solvag Side 6 av 9

4 OPPGÅVE 4 Du skal svare på ate alterativ I eller alterativ II. Dei to alterativa er likeverdige ved vurderiga. (Dersom svaret ieheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I Ei kurve K er gitt i polarkoordiatar ved = θ + 3 r θ [ 0, 3π ] a) Teik kurve K. b) Fi skjerigspukta mellom K og y-akse ved rekig. π c) Merk av puktet P år θ = og puktet P år 6 avgresa av kurva K og lijestykka OP og OP. π θ =. Rek ut arealet 3 Ei kurve er gitt i polarkoordiatar ved r aθ b = + [ 0, 3 ] θ π, a> 0ogb> 0 d) La b =. Udersøk korleis kurva edrar seg for ulike verdiar av a. e) La a =. Udersøk korleis kurva edrar seg for ulike verdiar av b. 3 Side 7 av 9

5 Alterativ II Trekattal ka illustrerast som talet på prikkar som daar ei trekatfigur. Figur viser dei tre første trekattala a, a og a 3. Figur Ei geerell formel for eit trekattal er gitt ved a = L+ a) Forklar at a = ( + ). Skriv opp dei fem første ledda. Vi ser o på rekkja L+ b b) Forklar at det geerelle leddet for dee rekkja ka skrivast som b = ( + ) c) Vis at b = = ( + ) + d) Bruk uttrykket for b frå c), og skriv ut okre ledd av rekkja. Forklar at summe av rekkja ka skrivast som S = + e) Fi summe av de uedelege rekkja L Side 8 av 9

6 OPPGÅVE 5 Når eit sykkelhjul trillar bortover vege, vil eit pukt på ytterkate av hjulet beskrive ei kurve som er kalla ei sykloide. De krumme kurva S på figur er ei sykloide. Sykkelhjulet på figure har radius a. Vikele t på figure viser kor stor vikel hjulet har dreidd frå bevegelse starta. Når hjulet har gjort éi heil omdreiig, er t blitt π. Figur viser to omdreiigar av hjulet. Vi legg i eit koordiatsystem slik figur viser. La (x, y) vere eit vilkårleg pukt på kurva S. Kurva S ka da skrivast på parameterforma x = at ( si t) y = a( cos t) a) Teik av sykloide på svararket ditt år a = 0,35. Bruk cm som eiig på begge π 3π aksae. Marker pukta på kurva år t = 0, t =, t = π, t = og t = π. Vi har ei sykkel der radius til hjula er 0,35 m. b) Bruk formele for bogelegda og lommerekare til å fie kor lagt eit pukt på yttersida av dekket har bevegd seg år hjulet har gått rudt éi gog. c) Vi tekjer oss at sykkele trillar km. Kor lagt har da eit pukt på yttersida av dekket bevegd seg? Side 9 av 9

7 Sykloideforma blir ofte brukt i dekorasjoar. Figur viser eit eksempel på slik bruk. Dei krumme kurvee på biletet er tilærma sykloideforma. Biletet er frå ei udergrusstasjo i Lodo. Figur Vi vil fie arealet av det fliselagde området som er avgresa av golvet og de krumme boge ærmast på biletet. Det tilsvarer å fie arealet av det flatestykket som er avgresa av kurva S og x-akse på figur år t 0, π. Dette arealet ka skrivast som πa A= y dx 0 d) Bruk parameterframstilliga til sykloide x = at ( si t) y = a( cos t) til å vise at ) d x = a( cos t)dt ) πa π d (cos cos )d A= y x= a t t+ t 0 0 e) Bestem ved rekig arealet A, uttrykt ved radie a. Side 0 av 9