Løsning R2-eksamen høsten 2016

Transkript

1 Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( ) e si x si si ( ) x x g x e (si x )' e cos x c) hx ( ) x si Oppgave (5 poeg) Bestem itegralee 1 si x x cos x si x x cos x h( x) si x si x x a) x 3x dx x 3 x x C x x x b) xcos x dx Setter u cos x og v x. Har da at u si x og v 1. Får videre at x cos x dx v udx u v u vdx x si x si x 1 dx x si x ( cos x) C x si x cos x C C c) xsix dx Setter u x, som gir at u x du. Får videre at dx dx du. Dette gir så x du x si x dx x siu siudu cosu C cos x C x Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 1 av 14

2 Oppgave 3 (4 poeg) E rett lije går gjeom A(0, 0) og B(h, r), der h og r er to positive tall. a) Bestem ligige for lije, uttrykt ved h og r. Bruker ettpuktsformele og får r 0 y 0 x 0 h 0 r y x h Lijestykket AB roteres 360 om x-akse. Vi får da et omdreiigslegeme. b) Bestem et uttrykk for volumet til omdreiigslegemet. Hva slags legeme har du reget ut volumet til? r Setter f( x) x. Volumet V av omdreiigslegemet blir h h h h r r r 1 3 V f( x) dx x dx x dx x h h h 3 r 3 r h h 0 3h Dette er formele for volumet av e kjegle. Oppgave 4 (6 poeg) E fuksjo f er gitt ved f( x) 3si x 5, D f 0, 1 a) Bestem periode til f. Periode får vi år x, som gir x 4. Periode er 4. b) Bestem ekstremalverdiee ymi og ymaks. h Største verdi får vi år si 1 maks x y Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side av 14

3 Miste verdi får vi år si 1 mi 3 5 x y c) Forklar hvorfor grafe vil ha alle sie vedepukter på likevektslije. Bestem koordiatee til vedepuktee. 3 f( x) 3 cos x, f( x) 3 si x si x 4 Vedepuktee er der de adrederiverte er ull, det vil si der si 0 x ylikevektslije ymaks ymi 8 5. Det vil si at på likevektslije er si 0 x. Da må altså alle vedepuktee ligge på likevektslije og x-koordiatee til vedepuktee er der hvor si x 0 x x, 1,, 3, 4, 5 Vedepuktee blir, 5, 4, 5, 6, 5, 8, 5, 10, 5 d) Lag e skisse av grafe til f. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 3 av 14

4 Oppgave 5 (5 poeg) Vi har gitt differesialligige y 4y 5y 0 a) Vis at y e rx er e løsig til differesialligige år r 4r 5 0. rx rx rx y e y r e y r e. Setter dette i i differesialligige: rx rx rx rx r r r r r r e 4 e 5e e side b) Bestem de geerelle løsige til differesialligige. Løser ligige r 4r 5 0 : ( 4) ( 4) 4 1 ( 5) r r 5 r 1 De geerelle løsige av differesialligige blir vilkårlige kostater. 5x y C e C e der C1 og C er x 1 c) Bestem de spesielle løsige som tilfredsstiller betigelsee y(0) 6 og y (0) 0. y(0) 6 C e C e 6 C 1 C 1 6 C 6 C Da får vi at y 6 C e C e y 6 C ( 1)e 5C e 5C e 6 C e x x x x x x y(0) 0 5C e 6 C e 0 5C 6 C 0 6C 6 C 1 Dette gir videre at C 6 C De spesielle løsige blir 1 y x 5e e 5 x Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 4 av 14

5 Oppgave 6 (5 poeg) Brøke B er defiert ved at tellere er summe av de første oddetallee, mes evere er summe av de este oddetallee. a) Reg ut B 1 3, B , B Forkort svaree B B , B b) Vis at summe av de første oddetallee ka skrives S. Ser at tellere i B er summe av de to første oddetallee, 4 S. Tellere i B 3 er summe av de tre første oddetallee, 93 S 3 og tilsvarede for B 4. Atar å at formele gjelder for k Da er Sk k 1 k 1 k k k 1 1. Det betyr at S k 1 k k. Da er det vist at hvis formele holder for k, gjelder de for k 1. I tillegg har vi sett til at formele gjelder for =, = 3 og =4. Formele er derfor gyldig. c) Forklar at B S S S. Reg ut dee brøke. Tellere i B er S, som forklart i oppgave b). Nevere er summe av de este oddetallee, og vi ka skrive evere som summe av de første oddetallee mius summe av de første oddetallee. Altså ka evere skrives som S S. S Det gir B S S B S S S Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 5 av 14

6 Oppgave 7 (7 poeg) Ligige til e kuleflate er gitt ved x x y y z 6z 14 a) Vis at puktet A(4, 3, 3) ligger på kuleflate. Setter koordiatee til A i i ligige for kula, og skal da få 14 som svar: b) Vis at kula har setrum i S(1, 1, 3). Bestem radie til kula. Lager fullstedige kvadrater av leddee med x, leddee med y og leddee med z. x x x x 1 1 x 1 1 y y y y 1 1 y 1 1 z 6z z 6z 9 9 z 3 9 Det betyr at ligige for kula ka skrives x y z x y z x y z Dette er ligige til ei kule med setrum i S(1, 1, 3) og med radius på 5. c) Bestem ligige for tagetplaet til kuleflate i puktet A. Vektore SA 4 1, 3 ( 1), 3 3 3, 4, 0, som er e radiusvektor, må være ormalvektor til plaet som tagerer i puktet A. Det betyr at ligige for ka skrives 3x 4y 0z 3x 4y d, der d er e kostat. Bestemmer kostate ved å sette koordiatee til A i i ligige: d Ligige for plaet blir 3x4y 4 Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 6 av 14

7 Et aet pla går gjeom S og B(1, 0, 1) og står ormalt på. d) Bestem ligige til. Det betyr at vektore SB 1 1, 0 1, 1 3 0, 1, er parallell med plaet og vektore SA 3, 4, 0 er parallell med plaet. Kryssproduktet av vektoree vil derfor være e ormalvektor til plaet. ex ey ez SA SB 3, 4, 0 0, 1, , 6 0, 3 0 8, 6, Ligige for plaet blir da 8x 6y 3z t der t er e kostat. Bestemmer de ved å sette i koordiatee til B i ligige. t Ligige for plaet blir 8x 6y 3z 5 Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 7 av 14

8 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler utatt kommuikasjo Oppgave 1 (5 poeg) Ved igage til 015 var folketallet i Norge I e modell for befolkigsvekste atar vi at etto ivadrig per år vil være atall som blir født per år, vil være 1,1 % av folketallet atall som dør per år, vil være 0,8 % av folketallet Vi lar folketallet være yt (), der t er atall år etter 015. a) Forklar at vi ka skrive y 0,003 y 44000, y(0)= Edrige i folketallet per år, y, vil være summe av atall fødte per år mius atall døde per år pluss etto ivadrig. y 0,011 y 0,008 y ,003 y I tillegg vet vi folketallet år t = 0, i starte på året 015. Det gir at y (0) b) Løs differesialligige. Ligige ble løst med CAS: c) Når vil folketallet passere 7 millioer ifølge dee modelle? Hvor stor er vekstfarte i folketallet da? Setter y = og løser med CAS. Setter deretter løsige i i de deriverte av folketallsfuksjoe. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 8 av 14

9 Folketallet passerer 7 millioer etter este 9 år, det vil si mot slutte av år 043. Folketallsvekste da er per år. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 9 av 14

10 Oppgave (8 poeg) Fuksjoe f er gitt ved f( x) x x 4 a) Bruk grafteger til å tege grafe til f. Skrev i fuksjosuttrykket til f i algebrafeltet i GeoGebra. b) Bruk CAS til å bestemme de eksakte koordiatee til toppuktee på grafe til f. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 10 av 14

11 c) Bestem det samlede arealet av områdee som er avgreset av grafe til f og x-akse. Sjekker først ullpuktee til f. Arealet av områdee er 3 Grafe til f roteres 360 om x-akse. d) Bestem volumet av omdreiigslegemet som da framkommer. 4 Volumet av omdreiigslegemet er 15. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 11 av 14

12 Oppgave 3 (7 poeg) To pla og er gitt ved : x y 3 0 : x pz 4 0, p a) Vis at puktet (4, 1, 0) ligger i begge plaee. Setter i koordiatee til puktet i begge plaee. : : 4 p b) Bestem p slik at vikele mellom og blir 60. Skriver opp ormalvektoree til plaee. : N 1, 1, 0, N 1 1) 0 : N 1, 0, p, N 1 0 p 1 p Vikele er 60 betyr at 1 cos60 i skalarproduktet mellom de to ormalvektoree. N N N N cos60 1 1, 1, 0 1, 0, p 1 p p 1 p 1 1p p 1 p 1 p 1 Oppgave ka også løses med CAS ved å bruke kommadoe Vikel og kreve at svaret skal bli 60. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 1 av 14

13 c) Hvilke verdi for p vil gi de miste vikele mellom og? Hvor stor er vikele da? Kaller vikele mellom plaee for v. Fra b) får vi N N N N cosv cosv N N 1, 1, 0 1, 0, p 1 N N 1p 1p De miste vikele får vi år cosv er så stor som mulig. Da må evere i rotuttrykket være så lite som mulig. Det blir de år p = 0. Da får vi: cosv 1 0 v 45 Oppgave ka også løses ved å fie toppuktet til fuksjosuttrykket for cosv. De to plaee skjærer hveradre lags e lije l. d) Bestem e parameterframstillig for l uttrykt ved p. Kryssproduktee mellom de to ormalvektoree vil være e vektor som er parallell med begge plaee, altså parallell med skjærigslija. Vi får: ex ey ez N N p 0, p 0, 0 1 p, p, p Parameterframstillige blir pt 4 : pt 1, t t Oppgave ka også løses med CAS og kommadoe Lije. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 13 av 14

14 Oppgave 4 ( poeg) Om e uedelig geometrisk rekke vet vi at summe er 8 summe av de tre første leddee er 7 a) Sett opp et ligigssystem som uttrykker opplysigee ovefor. De første opplysige gir De adre opplysige gir a a k a k a k k a 1 1 k 8 der a1 er det første leddet i rekka og kvotiete er k. b) Bruk CAS til å bestemme kvotiete k og det første leddet a 1 i rekka. Eksame REA304 Matematikk R Hauste / Høste 016 Side 14 av 14