2 Algebra R2 Oppgaver

Transkript

1 2 Algebra R2 Oppgaver 2 Tallfølger 2 22 Tallrekker 8 23 Uedelige geometriske rekker 5 24 Iduksjosbevis Eksamesoppgaver 2 Øvigsoppgaver Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra wwwudiro

2 2 Tallfølger 2 Fi de fem første leddee i tallfølge gitt ved a 22 Fi de fem første tallee i tallfølge gitt ved a 2 23 Gitt tallfølge 2 4 8,,, a) Fi e rekursiv formel for tallfølge b) Fi e eksplisitt formel for tallfølge c) Fi ledd ummer 0 i tallfølge 24 Gitt figuree edefor Figur Figur 2 Figur 3 a) Fi e tallfølge som gir atall kvadrater i figuree Skriv ed de fem første leddee i tallfølge b) Fi e rekursiv formel for tallfølge du fat i oppgave a) c) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i tallfølge 2

3 25 For hver av tallfølgee edefor skal du fie de 3 este leddee e rekursiv formel hvis mulig e eksplisitt formel hvis mulig a), 3, 5, b) 3, 9, 27, c) 2, 4, 8, 6, d),,, e), 3, 6, 0, 26 For hver av tallfølgee edefor skal du fie de 3 este leddee e eksplisitt formel hvis mulig e rekursiv formel ved å rege ut a a a) b) c),,, 2 4 6,,,, ,,, d), 2, 3, 2, 3

4 27 Figure edefor viser de tre første rektageltallee Det første rektageltallet, R 2 Det este rektageltallet, R2 6 Det tredje rektageltallet, R3 2 a) Hva blir det fjerde rektageltallet, R 4? b) Fi e eksplisitt formel for rektageltall ummer R, c) Fi e rekursiv formel for rektageltall ummer R, 28 Figure edefor viser de fire første trekattallee Atall prikker i disse figuree kaller vi for trekattallee Trekattall ummer kaller vi T Vi har da at T, T2 3, T3 6, a) Fi de to este trekattallee, T5 og T 6 b) Fi e rekursiv formel for T c) Fi e eksplisitt formel for T d) FiT 50 4

5 29 Avgjør om tallfølge er aritmetisk, geometrisk eller ige av delee a), 3, 5, b) 3, 9, 27, c) 99, 90, 8, d) 2, 4, 8, 6, e) f),,, 2 3 4,,, g), 3, 6, 0, 20 Gitt tallfølge 5, 9, 3, a) Forklar hvilke type tallfølge dette er b) Fi de rekursive formele for tallfølge c) Fi de eksplisitte formele for tallfølge d) Fi a 0 og a 0 Hvilke ummer i tallfølge er disse to leddee 5

6 2 E tallfølge er gitt ved a a 3 a a) Forklar hvilke type tallfølge dette er b) Fi de eksplisitte formele for tallfølge c) Skriv ed de 5 første leddee i tallfølge d) Fi differase mellom ledd ummer 0 og ledd ummer 20 i tallfølge 22 I e aritmetisk tallfølge er det femte leddet 24 og det tolvte leddet 45 a) Fi differase, d, mellom hvert ledd i tallfølge b) Fi a c) Fi e eksplisitt formel for tallfølge 23 I e kommue øker ibyggertallet med 500 hvert år Det bor i dag persoer i kommue a) Fi e formel som viser atall ibyggere, a, om år b) Hvor mage ibyggere er det i kommue om 0 år? c) Når passerer atall ibyggere i kommue ? 24 E hummerfisker atar at atall hummer ha får hver uke i løpet av de åtte ukee hummerfisket pågår, vil avta med tre for hver uke De første uka ha fisket, fikk ha 30 hummer a) Fi e formel som viser atall hummer ha vil få i uke, hvis det går som ha atar b) Hvor mage hummer ka fiskere rege med å få til samme de første 4 ukee? 6

7 25 Gitt tallfølge 3, 6, 2, a) Forklar hvilke type tallfølge dette er b) Fi de rekursive formele for tallfølge c) Fi de eksplisitte formele for tallfølge d) Fi ledd ummer 0 i tallfølge 26 I e geometrisk tallfølge er a4 8 og a8 656 a) Fi kvotiete, k, i tallfølge b) Fi a 27 E fiskebestad i et forureset va avtar med 5 % per år Fiskebestade i vaet er bereget til å være fisk i dag a) Skriv opp fiskebestade de fire første åree La det første året være fiskebestade i dag b) Forklar at fiskebestade, a, om år ka beskrives med formele a ,95 c) Fi fiskebestade i vaet om 0 år d) Hvor lag tid går det før fiskebestade i vaet er halvert? 7

8 22 Tallrekker 22 Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a) Fi de 5 første leddee i rekke a 2 b) Fi summe av de 5 første leddee c) Bruk et digitalt verktøy til å fie summe år 222 Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a a) Fi de 5 første leddee i rekke b) Fi S 50 og S 00 c) Bruk et digitalt verktøy og fi summe år 223 Leddee i e uedelig rekke er gitt ved formele a 2 a) Fi S 5 b) Fi S 50 c) Bruk et digitalt verktøy og fi a 8

9 224 Vi har tallrekke 375 a) Forklar hvorfor dette er e aritmetisk tallrekke b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke c) Fi e formel for summe av de første leddee i rekka d) Fi slik at summe S blir Gitt e aritmetisk rekke der det første leddet a og differase d 4 a) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke b) Fi summe av de 00 første leddee i rekke c) Fi et utrykk for summe av de første leddee i rekke d) Fi summe av de 00 første leddee i rekke 226 Gitt e aritmetisk rekke der a 5 og a6 5 a) Fi differase d i rekke b) Fi e formel for summe av de første leddee i rekke 9

10 227 Eksame 2MZ, 2005 E stabel med rør ligger delvis skjult bak e murvegg På tegige ser vi toppe av stabele I de øverste rade er det fire rør a) Skriv opp e rekke som gir atallet rør i de tre øverste radee Hva slags rekke er dette? b) Bruk formler og teori om rekker til å svare på ) Hvor mage rør ligger i de 0 rade reget ovefra? 2) Hvor mage rør er det til samme i de 0 øverste radee? Det er 270 rør i stabele c) Hvor mage rader består stabele av? 228 Eksame 2MZ, 2006 Summe av alle oddetallee uder 200 er gitt ved a) Forklar at dette er e aritmetisk rekke b) Fi ved regig hvor mage oddetall det er i rekka c) Bruk summeformele for e aritmetisk rekke, og bestem summe av rekka d) Skriv brøke så ekelt som mulig:

11 229 Gitt rekke a) Forklar hvorfor dette er e geometrisk rekke b) Fi e eksplisitt formel for ledd ummer i rekke c) Fi er formel for summe av de første leddee i rekke 220 Gitt e geometrisk rekke med kvotiet k 4 og a a) Fi et uttrykk for ledd ummer i rekke b) Bruk et digitalt verktøy og formele du fat i a) for å fie summe av de 00 første leddee i rekke c) Fi et utrykk for summe av de første leddee i rekke d) Bruk formele du fat i c) og fi summe av de 00 første leddee i rekke 22 Gitt rekke 6 84 a) Forklar at dette er e geometrisk rekke b) Fi e formel for S c) Fi summe av de 20 første leddee i rekke

12 Gitt rekke a) Forklar at dette er e geometrisk rekke b) Fi e formel for S c) Fi summe av de 20 første leddee i rekke 223 Du oppretter e sparekoto og setter i kroer på kotoe jauar 20 Du vil fortsette med å sette i kroer på dee kotoe jauar hvert år framover Rete du får på kotoe er fast med 6 % per år Fi ut hvor mye det står på kotoe 3 desember 204, altså rett før du skal sette i 5 beløpet 224 I e geometrisk rekke er a5 8 og a8 64 a) Bestem kvotiete og det første leddet i rekka b) Bestem år vi vet at S 5,5 225 Eksame 2MZ for privatister, Høste 2006 Vi har gitt rekka Bruk formler fra rekketeorie til å a) bestemme det 25 leddet i rekka b) bestemme summe av de 25 første leddee i rekka 2

13 226 E medisikur går over 8 dager De første dage får pasiete 50 mg av medisie Deretter reduseres megde med 5 % per dag a) Hvor mage milligram får pasiete de 8 dage? b) Hvor mage milligram får pasiete til samme i løpet av kure? 227 Eksame 2MZ, 2005 I forbidelse med omstilliger på jobbe blir Eva tilbudt økoomisk godtgjørig for å slutte Hu ka velge mellom to tilbud: ) Et egagsbeløp på kr utbetalt jauar ) E årlig utbetalig på kr de jauar hvert år, første gag i 2006 og siste gag i 205 Eva vil sette alle pegee i bake med e gag hu får dem, og bruke godtgjørige som supplemet til pesjoe år hu går av som pesjoist jauar 206 Eva øsker å sammelige tilbudee a) Hvor mye peger har hu i bake de jauar 206 år retesatse er 2,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i )? b) Hvor mye peger har hu i bake de jauar 206 år retesatse er 2,5 % per år, dersom hu velger tilbudet i 2)? Hvilket av tilbudee er best? c) Ved hvilke retesats er de to tilbudee like gode? Eva velger tilbudet med et egagsbeløp og setter pegee i bake Hu vil bruke hele det oppsparte beløpet til å supplere pesjoe Hu øsker å ta ut ti like store årlige beløp de jauar hvert år, første gag i 206 d) Hvor store årlige beløp ka hu ta ut hvis retesatse hele tide er 2,5 %? 3

14 228 Eksame 3MX for privatister, Våre 2007 E lite kule heger i e sor med legde 0,40 m Vi trekker kula ut til pukt A med stram sor Vi slipper kula De sviger da ut til pukt B 0,40 m A 40 Figur Vikele kula sviger fra A til B, er 40 Se figur Deretter sviger kula tilbake til C Vikele fra B til C, 2, er 2 % midre for hvert utslag Se figur 2 Kula fortsetter å svige slik at vikele er 2 % midre for hvert utslag Vi ser på rekka: 2 3 B a) Forklar at dette er e geometrisk rekke Bestem år 34 b) Hva er de miste verdie ka ha for at summe av vikelutslagee skal bli større e 360 C 2 Figur 2 B 229 Eksame 3MX for privatister, Våre 2005 Når e pedelkule trekkes ut fra si likevektsstillig og slippes, vil kula fortsette å svige, me de strekige kula tilbakelegger, blir midre for hver svigig For e bestemt pedel atar vi at de strekige kula tilbakelegger i løpet av e svigig, er % midre e i de foregåede svigige De første hele svigige er 30 cm La a være de strekige, målt i cm, som kula tilbakelegger på de - te svigige, der, 2, 3, a) Forklar at a 30 0,99 b) For hvilke verdier av er utslaget midre e 5 cm? c) Hvor mage hele svigiger må kula mist gjøre før de har tilbakelagt i alt 20 meter? d) Udersøk om de tilbakelagte strekige til kula ka bli 40 meter 4

15 23 Uedelige geometriske rekker 23 Gitt de uedelige rekke a) Forklar hvorfor dee rekke kovergerer b) Fi summe av rekke 232 Gitt de uedelige rekke 2 2 a) Forklar hvorfor dee rekke kovergerer b) Fi summe av rekke 233 Gitt de uedelige rekke Forklar hvorfor dee rekke divergerer 234 Nils Herik bestemmer seg for å ivitere oe veer med hjem Ha bestiller e pizza som ha vil servere gjestee Førstema som kommer forsyer seg med halve pizzae, estema tar halvparte av det som er igje og slik fortsetter det i det uedelige a) Sett opp e rekke som viser hvor stor del av pizzae gjestee spiser Hva slags rekke er dette? b) Fi summe av de uedelige rekke 5

16 235 Vi har gitt e uedelig geometrisk rekke der a4 5,832 og a8 3, Udersøk om de uedelige rekka kovergerer, og fi evetuelt summe av rekka 236 Eksame 3MX, Høste 2006 Vi har gitt e geometrisk rekke der a3,62 og a7,06288 Udersøk om de uedelige rekka kovergerer, og fi evetuelt summe av rekka 237 Martha har kjøpt seg båt og vil lage seg e båtplass ede ved elva Hu vil slå ed e solid påle som hu ka fortøye båte i Da hu slår første slag går påle 0,0 cm ed i elvebue For hvert slag deretter reduseres legde påle går ed i elvebue med 0 % a) Hvor lagt ed er påle kommet etter 20 slag? b) Vurder om det er foruftig å fortsette å slå på påle Vil dee komme mye leger ed i elvebue? 238 De greske filosofe Zeo (ca fkr) gjorde et takeeksperimet der ha arragerte et kappløp mellom datides raskeste ma, Akilles, og e skilpadde Zeo reget med at Akilles løp 0 gager så fort som skilpadde (E utrolig sprek skilpadde!) Tek deg at skilpadde starter med et forsprag på 00 meter Når Akilles har kommet dit skilpadde startet, har skilpadde fortsatt et forsprag på 0 meter Når Akilles har tatt igje dette forspraget, har skilpadde kommet seg ytterligere m av gårde, osv Etter dette resoemetet vil Akilles aldri kue ta igje skilpadde! a) Still opp e geometrisk rekke som beskriver dette problemet og bereg hvor lagt Akilles har løpt år ha tar igje skilpadde b) Det vil jo alltid være slik at år Akilles kommer dit hvor skilpadde var, så har skilpadde kommet et stykke videre Prøv å gi e forklarig på hvorfor Akilles likevel kommer seg forbi skilpadde (for det gjør ha) 6

17 239 E tablett ieholder e viss megde av et virkestoff Kroppe skiller ut 20 % av virkestoffet hvert døg Per skal ta e tablett hver dag fremover Megde av virkestoff i kroppe må ikke overstige 00 mg Hvor mage milligram av virkestoffet ka e tablett ieholde? 230 Figure viser de tre første av uedelig mage likesidete trekater De største trekate kaller vi T, de este trekate for T osv Trekat T blir daet av trekate T ved at vi velger midtpuktee på sidee i trekate T som hjører i trekate T Arealet til trekate T kaller vi La de største trekate T ha sidekat lik 4 A og omkretse av trekate T kaller vi a) Fi omkretse av de tre første trekatee og vis at summe av disse omkretsee daer de geometriske rekke 2 63 O b) Forklar hvorfor rekka kovergerer c) Bestem summe av omkretsee år atall trekater går mot uedelig d) Vis at høyde i trekatt er 2 3 e) Fi arealee av de tre første trekatee og vis at summe av disse arealee daer de 3 geometriske rekke f) Vis at A A2 A3 blir e koverget geometrisk rekke, og fi summe av dee rekke 7

18 23 Eksame 3MX, Høste 2004 Figure viser et kvadrat med sidekat I dette kvadratet er det iskrevet et ytt kvadrat slik at hjøree i det ye kvadratet ligger midt på hver av de fire sidee i det første kvadratet I det adre kvadratet er det iskrevet et tredje kvadrat etter samme prisipp, og deretter et fjerde osv Se figure a) Fi arealee av de fire første kvadratee og vis at summe av disse arealee daer de geometriske rekke b) Fi arealet av kvadrat r 0 og summe av de 0 første kvadratee c) Forklar hvorfor rekka kovergerer Bestem summe av arealee år atall kvadrater går mot uedelig d) Hvor mage kvadrater må rekke mist bestå av for at summe av arealee skal være større e 99,9 % av svaret i c)? 232 Gitt de uedelige geometriske rekke 2 3 x x x a) Fi i hvilket område dee rekke kovergerer (kovergesområdet til rekke) b) Fi summe Sx av rekke c) Teg grafe til S d) Fi ved regig summe år x 0,5 og år x 0,9 e) Hvorda stemmer summee du fat i oppgave d) med grafe til S? 8

19 233 Gitt de uedelige geometriske rekke 2 3 x x x a) Fi i hvilket område dee rekke kovergerer (kovergesområdet til rekke) b) Fi summe Sx av rekke c) Teg grafe til S d) Fi grafisk summe år x 0,5 234 Gitt de uedelige geometriske rekke 2 3 six six six x 0,360 a) Fi kovergesområdet til rekke b) Fi summe Sx av rekke c) Teg grafe til S 235 Gitt de uedelige geometriske rekke x x x x a) Fi kovergesområdet til rekke b) Fi summe Sx av rekke c) Teg grafe til S 9

20 24 Iduksjosbevis 24 Bruk iduksjo og vis at summe, 2 S, av de første oddetallee er S Gitt rekke a) Fi e formel for summe av de første leddee i rekke b) Bruk iduksjo og vis at formele du fat i a) er riktig 243 Gitt rekke 23 a) Fi e formel for summe av de første leddee i rekka b) Bruk iduksjo og vis at formele du fat i a) er riktig 244 Bruk iduksjo og vis at de deriverte av et polyom x x 245 Gitt rekke Vis ved iduksjo at summe av de første leddee i rekke ka skrives som S 2 20

21 25 Eksamesoppgaver 25 Eksempelsett R2, Høste 2008 E rekke er gitt ved at a 2 og a a 2 der N a) Skriv opp de 5 første leddee i rekke b) Bruk iduksjo til å bevise at det geerelle leddet er a Eksame R2, Våre 2009 Bestem summe av de uedelige rekka Eksame R2, Våre 2009 Trekattall ka illustreres som atall golfballer som daer e trekatfigur Figure edefor viser de tre første trekattallee a, a2, a 3 S er summe av de første trekattallee a) Skriv opp de fem første trekattallee a, a2, a3, a4 og a 5 og de fem første summee S, S 2, S 3, S 4 og S 5 b) Forklar at a 23 Bruk dette til å vise at a 2 c) Bruk regresjo på de fem første summee S, S 2, S 3, S 4 og S 5 til å fie et tredjegradsuttrykk for S Vis at tredjegradsuttrykket er e tilærmig av S 2 d) Bruk iduksjo til å bevise at formele 6 S 2 er riktig 6 2

22 254 Eksame R2, Høste 2009 I e rekke er a x, a2 2x og a3 4x 8 Bestem x slik at rekke blir geometrisk 255 Eksame R2, Høste 200 Summe av de første leddee i e geerell geometrisk rekke er S a k k Bevis dee formele ved iduksjo 256 Eksame R2, Våre 200 Summe av de første leddee i e rekke er gitt ved a) Forklar at S S k k Fi S 8 2 Summe av de første leddee i e ae rekke er gitt ved S k 8 27 k 3 3 b) Bruk digital verktøy til å udersøke hvor mage ledd rekke må ha for at summe av rekke skal være større e Det blir påstått at c) Bevis formele ovefor ved iduksjo (Spørsmål c) teller som to delspørsmål) 4 d) Forklar at