OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

Transkript

1 OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig) 1 større e de korteste. OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVILING AV REURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNSJONER De ekleste adregradsfuksjoe er y = x. De represeterer kvadrattallee, som har eksplisitt formel =. La oss fie de rekursive formele. Dersom vi kjeer, hva blir da + 1? Vi skjøer at det blir et større tall, me hvor mye større? = represeterer arealet av et kvadrat med sider lik. Dersom sidee er + 1, må. Arealet blir Så + 1 = Tillegget vi må gi for å få + 1 er altså + 1. Så da har vi de rekursive formele: + 1 = For sikkerhets skyld ka vi jo kotrollere at det stemmer. For eksempel: Dersom vi kjeer 48 (som er 48 ) skal vi fie 49 = 48 +! (som jo bør bli det samme som 49 ). arealet være ( +1) eller ( + 1 )( +1) Noe gager ka det være e utfordrig å fie formlee. Da må vi ty til adre metoder. For å illustrere ka vi sette opp følgede tabell for kvadrattallee: Tall Tallverdi differase differase Tabell Vi ser at økige fra til 1 er 3. Fra til 3 er økige 5 og så videre. De adre økige er altså større e de første. Så 1. differase øker med. differase som er e kostat lik. Vi ka sette: = 1 +! 1+ 1 (Vi ser at vi må legge til de siste 1 ere for å få 4.) = +! 1 (Her stemmer det også å legge til 1 ekstra.) = 3 +! (Og her også.) Vi ser at uasett hvilket -tall vi tar utgagspukt i, får vi det este ved + 1 = +! + 1 Og vi ser at formele ble de samme som vi fikk tidligere.

2 OPPGAVE 6 LØSNINGSFORSLAG RETANGELTALL OG TREANTTALL Vi ka lage tilsvarede tabeller (eller bruke tabellee edefor) for rektageltallee og trekattallee og fie rekursiv formel. Her er R 0 med. I de eksplisitte formele vil verdie her tilsvare c-leddet, altså år = 0. Rektageltallee: Tall R 0 R 1 R R 3 R 4 R 5 R.. R R +1 Tallverdi differase differase Tabell 3 Når vi vet at. differase er, ka vi rege oss tilbake og fier at R 0 = 0. Det betyr at vi ikke har oe c-ledd, og det stemmer jo med det vi fat fora. Så har vi trekattallee. Vi ka betrakte dem som halvparte av rektageltallee: For eksempel ser rektageltall ummer 3 slik ut: x x x x x x x x x x x x Her er dette delt og vi fikk fram trekattall ummer 3. Det ka vi framstille slik: x x x x x x Trekattallee: Tall T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T.. T T +1 Tallverdi differase differase Tabell 4 V ser at dette stemmer med de eksplisitte formele, som gir verdie halvparte av ( + 1)! rektageltallee, altså T = Også her ble T 0 = 0, altså er c = 0. Tilsvarede blir det også for kvadrattallee.

3 OPPGAVE 7 LØSNINGSFORSLAG FINN REURSIV FORMEL PÅ TO MÅTER Vi lager ei tallfølge ut fra de eksplisitte formele = Formele gir dee tallfølge: 13, 1, 31, 43, Og ser slik ut i tilsvarede tabell som vi har brukt før: Tall F 0 F 1 F F 3 F 4 F 5 F.. +1 Tallverdi differase differase Tabell 5 Her ser vi at 6 framkommer år vi trekker fra 8 altså er 1. differase fra F 0 til F 1 lik 6. Og dee differase ka vi skille ut, slik at vi får at de rekursive formele er gitt ved +1 = + a + 6 Ser vi så på utviklige, får vi F = F F 3 = F osv De rekursive formele ka altså skrives som +1 = Vi ka også merke oss at F 0 = 7, som er c-leddet i de eksplisitte formele. (Å rege ut 1. differase fra F 0 til F 1, vil lette arbeidet år vi skal fie formler.) Det vi har sett på å, er é metode å fie rekursiv formel på. E ae metode, som forutsetter at vi først har fuet de eksplisitte formele, er å rege ut og +1 hver for seg, og så fie forskjelle mellom dem. Dee forskjelle legger vi til for å fie +1. Det var de metode vi brukte tidligere med kvadrattall. Geerelt har vi at: +1 = + Tillegg Da må vi også ha at: Tillegg = +1 Dette er e grei metode år vi har relativt ekle uttrykk, mes det ka bli e del regig (som gir god øvelse!) dersom uttrykkee er mer kompliserte. Dessute forutsetter de siste metode at vi først fier eksplisitt formel. Ofte er imidlertid det eklest, som i eksemplet med kvadrattallee.

4 OPPGAVE 8 - LØSNINGSFORSLAG UTVILING AV ESPLISITT FORMEL For førstegradsuttrykk er det oftest relativt greit å fie eksplisitt formel. Her er det bare e 1. differase. Tidligere så vi at partallee ka skrives slik: P = og at oddetallee ka skrives slik: O =! 1. Har vi dee tallrekka: 3, 9, 15, 1,. ser vi at vi legger til 6 for hvert skritt, så 1. differase er kostat lik 6, mes. differase er 0. Da ka vi bruke metode vi har beyttet fora, til å vise at de rekursive formele er F + 1 = F + 6 (Det gir seg jo egetlig selv.) Litt verre blir det å fie de eksplisitte formele altså e formel som gir oss tallverdie uasett hvilket ummer,, i rekka vi har. Side dette er et førstegradsuttrykk (det er det alltid år det bare er 1. differase), er det geerelle uttrykket y = ax + b. Vi skriver det som: = a + b Vi har at F 1 = 3. Det betyr at a! 1 + b = 3, som gir b = 3! a. Og side F = 9, har vi at a! + b = 9. Ovefor så vi at b = 3! a. Vi setter i i a + b = 9 og får a + 3! a = 9 som gir a = 6. Side b = 3! a får vi at b = 3! 6, altså er b =! 3. Dermed har vi de eksplisitte formele: = 6! 3 Dette gir fie eksempler på likigssett med to ukjete. Side fuksjoe bare er defiert for hele tall (vi opererer jo med tallfølger), gir fuksjoe egetlig ikke ei lije, me pukter (e puktfuksjo).

5 OPPGAVE 9 LØSNINGSFORSLAG UTVILING AV ESPLISITT FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNSJONER Vi har allerede sett på -tall, R-tall og T-tall. Nå skal vi utvikle e metode (eller flere) for å fie de eksplisitte formele også for adre figurtall som har utgagspukt i adregradsfuksjoer. I slike tilfeller vet fra det vi har sett på tidligere, at det er e kostat adredifferase. Vi husker også på at de geerelle formele for e adregradsfuksjo er f ( x) = ax + bx + c eller evetuelt y = ax + bx + c Eller som vi vil skrive for figurtall: = a + b + c Vi prøver oss på tallfølge 9, 15, 3, 33,. Vi setter i i tabell: Tall F 1 F F 3 F 4 F 5 F.. +1 Tallverdi differase differase Tabell 6 Ved å bruke metode vi beyttet tidligere, ka vi vise at de rekursive formele er F 1 = F De eksplisitte formele ka vi fie ved å sette opp tre likiger med tre ukjete a, b og c. Vi hadde jo at de geerelle eksplisitte formele er = a + b + c Me her kjeer vi verke a, b eller c. Imidlertid vet vi at a! 1 + b! 1 + c = 9, som gir a + b + c = 9 a! + b! + c = 15, som gir 4 a + b + c = 15 a! 3 + b! 3 + c = 3, som gir 9 a + 3b + c = 3 Så da har vi tre likiger med tre ukjete og ka fie a, b og c.

6 Nå er det selvsagt et spørsmål hvor mage som behersker metoder for å løse likigssett, så vi viser e ae metode også. Vi ka ha oppdaget at a er halvparte av adredifferase. (Dette ka selvsagt vises ved hevisig til derivasjo og itegrasjo.) Altså: a = 1. Hva får vi dersom vi reger oss tilbake til F 0 tallet fora F 1? Side. differase er, må tillegget fra F 0 til F 1 være 4, så da er F 0 = 5 Og F 0 har vi år = 0. Altså er a! 0 + b! 0 + c = 5 og dermed har vi at c = 5. Da kjeer vi både a og c og ka sette = 1! + b + 5. Så utytter vi at for = 1 har vi at F 1 = 9, og da får vi 1 + b! 1+ 5 = 9 og vi fier at b = 3. Dermed har vi de eksplisitte formele: =