LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling

Transkript

1 Side1av4 HØGSKOLEN I NARVIK Istitutt for data-, elektro-, og romtekologi Siviligeiørstudiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital sigalbehadlig Tid: Fredag , kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjet programmerbar kalkulator, med tomt mie. Ige trykte eller hådskreve hjelpemidler tillatt. Faglærer: Professor, Dr.ig. Per J. Nicklasso, Tlf Eksame består av 4 sider (derav 1 side med formler) og 10 oppgaver med deloppgaver Hver deloppgave gir 5 poeg..

2 Side2av4 Oppgaver 1. Forklar hva som mees med begrepet superposisjo, og hvilke sammeheg dette har med lieære diskrete systemer. Lieære systemer defieres ved superposisjosprisippet, som slår fast at følgede må gjelde foratetsystemy T x skal være lieært: T x 1 x 2 T x 1 T x 2 y 1 y 2 T ax at x y 2. Forklar begrepet tidsivarias mhp.diskrete systemer. Er systemet gitt ved y tidsivariat? Tidsivarias betyr at dersom respose for e gitt igag x er y, såvile tidsforskyvig x 0 av dee igage gi e tilsvarede tidsforskyvig av utgage y 0. Systemets egeskaper er uavhegig av tide. Dette systemet er tidsivariat. La x 1 x 0. Vi vil vise tidsivarias ved å berege både y 0 og y 1,ogsåviseatdisse er like. 0 y 0 x k. Har videre y1 x 1 k x k 0. Ved å substituere k 1 k 0 får vi y 1 0 k 1 x k1 y 0 3. Ata at et siusformet sigal x Asi 0 sedes i på et lieært system. Hvilket sigal kommer ut? Hva ville skje dersom systemet var ulieært? Utgagssigalet blir da y A H e j 0 si 0 H e j 0. Dersom systemet er ulieært vil det ormalt ikke komme ut et siussigal med e ekelt frekves. Ofte beskrives dette som utgagssigalet består av flere frekveser utfra et forsøk på å beskrive utgage fra et ulieært system vha. Fourier-teori. 4. Nedefor er det gitt impulsresposer for 4 ulike LTI systemer. Hvilke av disse systemee er kausale? a. h 1/2 u Et system med impulsrespos h er kausalt dersom h 0, 0. Dette systemet er kausalt. Impulsrespose er e høyresidig følge. Evt. ka ma utfra betrakiger i z-plaet utlede at impulsrespose er høyresidig. b. h 1/2 u 1 Kausalt. c. h 1/2 Ikke-kausalt d. h u 2 u 2 Ikke-kausalt. 5. Nedefor er det gitt impulsresposer for 4 ulike LTI systemer. Hvilke av disse systemee er stabile? a. h 4 u Systemet er stabilt dersom impulsrespose er absolutt summerbar. Ikke stabilt. h år. Alterativt ka betraktiger i z-plaet beyttes for å begrue stabilitet. b. h u u 10 Stabilt. c. h 3 u 1 1 Stabilt. h 3 1/3 1/2 1 d. h si /3 u x k

3 Ikke stabilt. h si /3 6. Bereg impulsrespose h år systemfuksjoe H z er gitt som: a. 1/ z 1 Merk at kovergesområdet ikke er agitt. Det blir derfor to mulige løsiger: h 1/2 u 1 eller h 1/2 u. b. 1/ z z 1, z 1/2 Ved delbrøkoppspaltig får e H z 1/ z 1 2/ z 1 som gir h 2 1/2 u 1/4 u. 7. Ata at ma øsker å utføre Fourier-aalyse på et aalogt sigal s c t med Fourier-trasformert S c j som gjegitt uder (Figur (a)). Sigalet passerer et atialias-filter før det samples og e DFT V k bereges. Skisser de prisipielle forme på de resulterede kurvee V e j og V k. For ekelhets skyld ka du ata at vidusfuksjoe har Fourier-trasform W e j som gitt uder (Figur (e)). Se figur (f) uder.

4

5 Side3av4 8. Nedefor er Fourier-trasforme V e j til et sigal med to siuskompoeter skissert. V e j fremkommer som omhylligskurve til e DFT av sigalet. Forklar hvorda skisse ideelt sett burde se ut, og hvorfor de ser slik ut som de gjør. Hvorda ka ma evetuelt påvirke forme av kurve ved å gjøre edriger i de beregiger som gjøres uderveis i aalyse? Ideelt sett burde dette ha vært fire impulser side et harmoisk sigal har e uedelig sum av skalerte impulser som Fourier-trasformert cos 0 e j 0 2 k e j 0 2 k. Nå er det slik av vi må kutte av tidssserie for å kue berege DFT e, og dermed multipliserer vi med e vidusfuksjo. I frekvesplaet blir de resulterede Fourier-trasformerte e kovolusjo mellom de virkelige FT e til sigalet, og FT e til vidusfuksjoe. Dette gir det karakteristiske utseedet med avrudede topper og rippel. For å edre utseedet ka vi edre forme av vidusfuksjoe og evetuelt fylle ut med ullere for å få flere pukter på omhylligskurve. 9. Bereg DFT e til sigalet x. Hva sier DFT e deg om frekvesiholdet i dette sigalet? N 1 X k W k N 1, 0 k N 1. Dette betyr at sigalet ieholder absolutt alle frekveser Spørsmålee edefor gjelder digitale filtre. a. Hvilke fordeler har FIR-filtre fremfor IIR-filtre? Lieær fase, ka tilærme kompliserte amplitudekarakteristikker, ferdig implemeterte (iterative) metoder for desig, beregigsmessig effektive filtre (lav orde). b. Forklar i grove trekk fremgagsmåte ved desig av optimale filtre. Er det oe ma må passe spesielt på? Ma starter med e ideell spesifikasjo av de øskede frekvesrespose (amplitude, gresefrekveser osv.) H d e j. Ma daer så et polyom A e e j der filterkoeffisietee igår, og forsøker å miimalisere maksimalverdie av et vektet (i frekves) avvik mellom de ideelle frekvesrespose og filterets frekvesrespos E W e j H d e j A e e j. Dette ka gjøres ved å edre polyomets form (og dermed filterkoeffisietee) vha. e eller ae iterativ algoritme, f.eks. Parks-McClellas metode (som beytter alterasjosteoremet fra matematisk approksimasjosteori). På dee måte fier ma altså det filteret som er best tilpasset de ideelle frekvesrespose.

6 Ma bør passe spesielt på trasisjossoee, da det viser seg at det optimale filterets frekvesrepos ha uøsket form i disse frekvesområdee. Optimaliserige foregår bare over lukkede delitervaller i frekves, og dermed tas ikke trasisjossoee hesy til uder optimaliserige. c. Hva er det som skiller de ulike vidusfuksjoee som beyttes ved desig av filtre (og også ved frekvesaalyse)? Ideelt sett skulle ma øske at de Fourier-trasformerte av vidusfuksjoe var e impulsfuksjo, da kovolusjo mellom dee og de virkelige Fourier-trasformerte (som er de vi egetlig søker) ville gi det perfekte resultatet ute utsmørig og rippel. Da måtte i såfall tidsserie som aalyseres (eller legde av filteret ved filterdesig, dvs. atall impulsresposkoeffisieter) være uedelig. Fordi det perfekte i dette tilfellet er uoppåelig, forsøker ma å komme frem til et akseptabelt resultat ved å edre vidusfuksjoes form, slik at dee ikke leger er rektagulær. Alle vidusfuksjoee er symmetriske, me har ulike form (eller vektig) ut mot edee. Se skisse uder. Dette gir ulike fordeler og ulemper i frekvesplaet (utsmørig, rippel). Valget mellom de ulike fuksjoee gjøres ofte utfra e betrakig av hovedlobes bredde kotra sidelobees høyde. d. Forklar hvorfor Kaiser-vidu ka være gustig å bruke ved desig av digitale filtre. Ved bruk av Kaiser-vidu for desig av digitale filtre, har e mulighet til å spesifisere øsket bredde av trasisjossoe Δ og approksimasjosfeil. Ut fra disse spesifikasjoee ka e så berege legde M og form (agitt med av vidusfuksjoe. På dee måte ka e kotrollere ivirkige av vidusfuksjoe på resultatet direkte ute altfor mye prøvig og feilig.

7 Side4av4 Laplace-trasformasjoe DFT Kovolusjo Z-trasformasjoe Rekker Fourier-trasforme Formelsamlig L 1 1/s t 1 / 1!, ( 1,2,3,... L 1 1/ s a t 1 e at / 1!, 1,2,3,... L 1 1/ s 2 2 1/ si t N 1 N 1 X k x W k N, x 1 k X k W N N 0 k 0 x y X z x z 0 x k y k Z u 1/ 1 z 1, z 1 Z u 1 1/ 1 z 1, z 1 Z m z m Z a u 1/ 1 az 1, z a Z a u 1 1/ 1 az 1, z a Z a u az 1 / 1 az 1 2, z a Z a u 1 az 1 / 1 az 1 2, z a N 2 k N 1 k N 1 N 2 1 1, N 2 N e j 0 H lp e j 1, c 0, c h lp si c,