Løsningsforslag til eksamen

Transkript

1 7. jauar 6 Løsigsforslag til eksame Emekode: ITF75 Dato: 5. desember 5 Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christia F Heide Eksamesoppgave: Oppgavesettet består av 7 sider iklusiv dee forside og et vedlegg på é side. Kotroller at oppgave er komplett før du beger å besvare spørsmålee. Oppgavesettet består av 5 oppgaver. Ved sesur vil alle de 5 oppgavee telle like me med utak av oppgave som teller som to oppgaver. I oppgaver med uderpukter vil krevede og mer omfattede uderpukter kue telle mer e ekle uderpukter. Der det er mulig skal du: vise utregiger og hvorda du kommer fram til svaree begrue die svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål Sesurdato: Torsdag 4. jauar 6 Karakteree er tilgjegelige for studeter på studetweb seest virkedager etter oppgitt sesurfrist. Følg istruksjoer gitt på: Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

2 Oppgave Ata at uiverset i dee oppgave er alle katter i verde. Følgede predikater er defiert: Hx): x har hale Mx): x fager mus ett disse predikatee samme med kvatorer og ) til å uttrkke følgede: a) Det fies mist e katt som ikke har hale. x Hx) b) Alle katter som ikke har hale fager mus. x H x) M x) Oppgave a) Koverter biærtallet til heksadesimalt. Vi grupperer fire og fire bit og koverterer til heksadesimalt, og vi beger med de mist sigifikate bitee: D Følgelig: E ED 6 b) Koverter desimaltallet 47 til biært. E sstematisk måte å gjøre dette på er å dele med gjetatte gager. Restee av disse divisjoee vil utgjøre det biære tallet. 47 : = med rest : = med rest : = 5 med rest 5 : = med rest : = med rest : = med rest De ederste reste utgjør det mest sigifikate bitet, og tallet blir derfor 47 Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

3 Oppgave a) ett vediagram til å vise at A A. Vestre side av uttrkket: A Høre side ka vi illustrere ved først å vise A : A Hvis vi å tar sittet av de grå megde og megde, får vi A som vi ser er det samme som A. b) ruk resultatet i oppgave a, altså at A A, samme med lovee på vedlagte ark til å vise at A A ) ka forekles til Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

4 A. ruk ku é lov i hvert tri og agi hvilke lov du bruker. Vi starter altså med A A ) ruker vi resultatet i oppgave a på uttrkket ie i paretese får vi, fordi A A: A A) Så ka vi bruke resultatet fra a på de gjeståede differese og får: A) A Vi bruker så De Morgas lov 4) på det første komplemetet: A) A Ivolusjoslove 7) sier at, og bruker vi dee får vi A) A Vi ka så bruke de kommutative lov ) på kojuksjoe, og får A A) Så ka vi bruke de distributive lov ), og får Iverslove 8) sier at A ) A A) A ) A A Idetitetslove 9) gir så at dette er lik A som er det søkte uttrkket., og bruker vi dee får vi altså Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 4 av 6

5 Oppgave 4 ruk sahetstabeller til å udersøke om følgede sammesatte utsag er e tautologi: p p q) p r) q r p p q p r p q) p r) S S S F S S S S S F F S S S S F S F F S S S F F F F S S F S S S S S S F S F S S F S F F S S S S S F F F S S F S Vi ser at det logiske utsaget er sat uasett hvilke sahetsverdi de atomære utsagee har. Utsaget er følgelig e tautologi. Oppgave 5 Du skal bevise utsaget Hvis + er et partall, så er et oddetall. a) Hva er det kotrapositive utsaget til det gitte utsaget. Det kotrapositive til et utsag «hvis p så q» altså p q ) er utsaget «hvis ikke q så ikke p altså q p ). Hvis vi ser på utsaget over, vil det det kotrapositive bli «hvis ikke er et oddetall, så er + ikke et partall». etter vi så at «ikke partall» er det samme som «oddetall» og motsatt, ka vi skrive dette som: Hvis er et partall, så er + et oddetall. b) ruk kotrapositivt bevis til å bevise utsaget «Hvis + er et partall, så er et oddetall». Fordi det kotrapositive utsaget er logisk ekvivalet med dette utsaget, ka vi altså bevise det istede, og det er det som ligger i begrepet kotrapositivt bevis. Ata å at er et partall. Da ka vi skrive = a hvor a er et heltall. Vi får da + = a + = a + Fordi a er et heltall, så vil a også være et heltall. gager et heltall er et partall, og a er følgelig et partall. Et partall pluss er et oddetall, og a + er følgelig et oddetall. Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 5 av 6

6 Vi har følgelig bevist at hvis er et partall, så er + et oddetall. Dette er logiske ekvivalet med «hvis + er et partall, så er et oddetall», hvilket skulle bevises. Oppgave 6 ruk iduksjosbevis til å vise at følgede gjelder for alle Z = {,,, }: ) asistri = ): Vestre side: Høre side: Vi ser at høre side er lik vestre side for =. asistriet er følgelig OK. Iduksjostri: Vi atar at uttrkket gjelder for = k dette kalles iduksjoshpotese), altså at k k k ) k og skal vise at det da følger at uttrkket gjelder for = k +. For = k + blir uttrkket k k k ) k ) k ) ) k ) De første k leddee på vestre side ka vi, basert på iduksjoshpotese, skrive som k. k Uttrkket blir derfor: k k k k ) k ) ) k ) Vi ka skrive k + ) + som k +. Uttrkket blir da k k k k ) k ) k Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 6 av 6

7 Det som gjestår å er å vise at vestre side er lik høre side. Vi gager så dette uttrkket med k + )k + ) for å få bort evere: k k k ) k ) k ) k ) k ) k ) k k ) k ) k Vi ka så forkorte like faktorer og får k k ) k ) k ) Reger vi videre på høre side og vestre side hver for seg, får vi k k k k Vi ser at vestre side er lik høre side, og vi har derfor vist at dersom uttrkket gjelder for = k så gjelder det også for = k +. Side vi også har vist at det gjelder for =, betr det at vi har vist at det gjelder for alle. Oppgave 7 Ved IT-studiet ved e høgskole, var det 67 studeter som tok eksame i mist ett av fagee matematikk, programmerig og databaser. 56 studeter tok eksame i matematikk, 55 tok eksame i programmerig, mes 5 tok eksame i databaser. 46 tok eksame i både matematikk og programmerig. Det var like mage som tok eksame i både matematikk og databaser som dem som tok eksame i både programmerig og databaser. 9 studeter tok eksame i alle tre fagee. Hvor mage tok eksame i både matematikk og databaser? Vi ka kalle megde av dem som tar eksame i matematikk for M, megde av dem som tar eksame i programmerig for P og megde av dem som tar eksame i databaser for D. Opplsigee som er gitt i oppgave ka da uttrkkes slik: M = 56 P = 55 D = 5 M P 46 M D P D M P D 9 Opplsige om at det totalt var 67 studeter som tok eksame i mist ett av disse fagee, ka vi uttrkke ved M P D 67 Iklusjos- og eksklusjosprisippet sier Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 7 av 6

8 M P D M P D M P M D P D M P D Side M D P D ka vi skrive dee som M P D M P D M P M D M P D Løser vi så dee med hes på M D får vi M D M P D M P M P D M P D Setter vi å i tall, fier vi M D For oversiktes skld: her er atall i de ulike kategoriee: M 4 6 D P Oppgave 8 På hvor mage måter er det mulig å lage e komite som består av tre jeter og tre gutter i e skoleklasse med jeter og 4 gutter? Side kalkulator ikke er tillatt på dee eksame, treger du ikke å rege ut svaret, me bare sette opp hvorda det skal reges ut og forkorte brøke du får mest mulig.) Side dette er e komite hvor det ikke er sagt oe om at oe skal ha spesielle roller i komitee, vil det være et uordet utvalg. Side e perso som er valgt til å sitte i komitee ikke ka plukkes ut igje til å sitte i de samme komitee, er utvalget ute tilbakeleggig. Atall måter vi ka gjøre et uordet utvalg av tre fra e gruppe på tolv ute tilbakeleggig tre jeter fra e gruppe på tolv), er! 9!! )!! 9! Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 8 av 6

9 På samme måte vil atall måter vi ka velge ut guttee på 4 4! 4! ! 4 )!!! Totalt atall måter å velge ut dee komitee på, er derfor 64 = 8 8 Oppgave 9 teller som to oppgaver) a) Fi de geerelle løsige til følgede differesligig: 4 4 De karakteristiske ligige til dee differesligige er 4 4 Dee har løsige De geerelle løsige til differesligige er derfor A ) ) A ) ) b) Fi de geerelle løsige til følgede differesligig: Merk at vestre side av dee differesligige er lik vestre side av ligige i spørsmål a. Løsige av e ihomoge differesligig er løsige av de tilhørede homogee ligige, og de ihomogee ligige. 6 hvor h) p) h) er p) er e partikulær løsig av h) fat vi i spørsmål a. Vi må altså fie p). Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 9 av 6

10 ) Vi atar at dee er på samme form som høre side, altså at K K. For å fie ut hva K og K i ligige. Vi observerer da at må være for at dette skal være e løsig, må vi sette dette i p K K K ) K K K K K ) K K K K Setter vi så dette i i ligige får vi K K 4 K K K ) 4 K K K ) 9 Løser vi så opp paretesee, får vi K K 4K 4K 4K 4K 8K 4K 9 Så better vi at faktoree fora på begge sider av likhetsteget til samme må være like: K K 4K 9 som gir 9K 9 og altså K Så better vi at kostatleddee på begge sider av likhetsteget til samme må være like: K K 4K 8K 4K 6 4 I tillegg må vi bruke det vi fat ovefor, emlig at K : K 4 4K 8 4K 6 som gir 9K 8 og 8 K 9 Vi har altså fuet at følgede er e partikulær løsig av de ihomogee differesligige: ) p Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

11 De geerelle løsige er følgelig h) p) A ) ) A ) ) c) Fi kostatee som igår i løsige til oppgave b år startbetigelsee er og 7, og skriv opp de løsige du da får. 4 Vi setter i startbetigelsee i løsige vi fat i b. Først 4 : A ) ) 4 som gir A 4 7 samme med A = gir: ) ) 7 ) ) Løsige av differesligige blir følgelig ) ) ) ) Oppgave E bitstreg sies å ha like paritet dersom atall -ere i bitstrege er et partall. Kostruer e edelig automat tilstadsmaski ute utgag) som gjekjeer alle ikke-tomme streger som har like paritet. Husk at reges som et partall. Dee ka kostrueres slik det ka fies adre korrekte løsiger): Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

12 Start s s s Oppgave Relasjoe R på megde A = { a, b, c, d} er gitt ved R = {a, a), a, b), a, c), b, a), b, b), b, d), c, a), c, c), c, d), d, b), d, c), d, d)} a) Hvilke av egeskapee refleksiv, smmetrisk, atismmetrisk og trasitiv har dee relasjoe? egru svaret for hver av egeskapee. Dette er lettest å se dersom vi teger relasjoe som e rettet graf: a b c d For at relasjoe skal være refleksiv, må alle elemeter i A ha relasjo til seg selv. Vi ser at dette er tilfelle. Relasjoe er derfor refleksiv. Vi ser videre at relasjoe er smmetrisk fordi for hver relasjo fra et elemet til et aet, eksisterer også relasjoe de motsatte veie. Relasjoe er ikke atismmetrisk blat aet fordi vi har de smmetriske paree a, b) og b, a). Relasjoe er ikke trasitiv. Dette ka vi se for eksempel av at vi vi har paree a, b) og b, d), me magler a, d). Vi ka altså gå fra a til d via b, me vi ka ikke gå direkte fra a til d. Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

13 b) ett disse egeskapee til å begrue om relasjoe er e ekvivalesrelasjo, e delvis ordig, e totalordig eller ige av delee. For at e relasjo skal være e ekvivalesrelasjo, må de være refleksiv, smmetrisk og trasitiv. For at e relasjo skal være e delvis ordig, må de være refleksiv, atismmetrisk og trasitiv. E totalordig er e delvis ordig hvor alle elemeter er sammeligbare. Fordi relasjoe ikke er trasitiv, er de hverke e ekvivalesrelasjo, e delvis ordig eller e totalordig. Oppgave a) Gitt e relasjo fra e megde A til e megde. Forklar hvilke krav må stilles til dee relasjoe for at de skal være e fuksjo. Forklar også hva som skal til for at fuksjoe skal være ijektiv og surjektiv. For at e relasjo skal være e fuksjo, må hvert elemet i A ha relasjo til øaktig ett elemet i. For at fuksjoe skal være ijektiv, må ulike elemeter i A ha relasjo til ulike elemeter i. For at fuksjoe skal være surjektiv, må alle elemeter i være bilde fuksjosverdi) av et elemet i A. Ige elemeter i må altså være ute relasjo fra et elemet i A. b) Gitt to megder A og, og e fuksjo f : A. Ata at f er surjektiv, me ikke ødvedigvis ijektiv. Hvilke av følgede påstader er da korrekte. egru svaret. i) A ii) iii) iv) v) A A A A Fordi f er e fuksjo, må hvert elemet i A ha relasjo til øaktig ett elemet i. Hvert elemet i A ka altså ikke «dekke opp for» mer e ett elemet i. Og side hvert elemet i må være bilde av et elemet i A fordi f er surjektiv), må atall elemeter i A være større eller lik atall elemeter i. Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side av 6

14 Påstad iv) er derfor riktig, altså at A. Oppgave Nedefor er grafee G V, ) og G V, ) teget. E E a b e 5 c d 4 G V, ) G V, ) E E Er G og G isomorfe? egru svaret. Dersom de er isomorfe må du også agi e isomorfi f : V V. Dersom de ikke er isomorfe må du forklare hvorfor de ikke er det. Vi ser at begge grafee har fem oder og fem kater. At de har like mage oder og kater er e ødvedig me ikke tilstrekkelig betigelse for at de skal være isomorfe. Vi ser at alle odee har grad, så odees grad gir ige føriger for hvorda vi skal pare odee i de to grafee. De eeste førige blir aboskap. E isomorfi f : V V ka være: f a) f b) f c) 5 f d) f e) 4 Vi ser at dee fuksjoe er ijektiv é-etdig), fordi ulike elemeter i defiisjosmegde har ulike bilder i verdimegde V. Vi ser videre at f V ) V, altså at fuksjoe er surjektiv. V Vi må også sjekke at aboskap beholdes, altså at dersom u og v er aboer i G så er fu) og fv) aboer i G. Det er lurt å være sstematisk år ma lister opp disse: først aboer til a, så aboer til b, osv. Da ser vi: a og b er aboer i G. Da må f a) og f b) være aboer i G, oe vi ser at de er. a og e er aboer i G. Da må f a) og f e) 4 være aboer i G, oe vi ser at de er. b og c er aboer i G. Da må f b) og f c) 5 være aboer i G, oe vi ser at de er. Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 4 av 6

15 c og d er aboer i d og e er aboer i G. Da må G. Da må f c) 5 f d) og og f d) f e) 4 være aboer i være aboer i G G, oe vi ser at de er., oe vi ser at de er. Vi ser at aboskap bevares uder f. Side f også er ijektiv og surjektiv altså bijektiv), ka vi kokludere med at f er e isomorfi. G og G er følgelig isomorfe. Oppgave 4 E grammatikk er gitt ved følgede megder og produksjosregler: N = { s, t, u} T = { a, b} i) s at ii) iii) iv) at u u at t b Er dette e kotekstfri grammatikk, e regulær grammatikk eller ige av delee? Svaret må begrues. Kravee for at e grammatikk skal være kotekstfri, er at de har: i. e edelig megde avslutigssmboler, kalt T ii. e edelig megde ikke-avslutigssmboler, kalt N, og hvor T og N er disjukte, altså at T N iii. e edelig megde produksjosregler på forme w w hvor megde N og er e vilkårlig streg av elemeter fra N og T. Her er både T og N edelige megder, og de er disjukte. De to første kravee er derfor oppflt. Vi ser imidlertid at de adre produksjosregele ikke oppfller det tredje kravet. Her er består vestreside av e kombiasjo av ett elemet fra T og ett elemet fra N. Dette er ikke tillatt. w w er ett elemet fra Dette iebærer at grammatikke ikke er kotekstfri. E grammatikk som ikke er kotekstfri, er heller ikke regulær. Grammatikke er følgelig hverke e kotekstfri eller e regulær grammatikk. Oppgave 6 Gitt matrisee Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 5 av 6

16 Eksame i Matematikk for IT, desember 5, løsigsforslag Side 6 av 6 A og Fi matriseproduktee A og A dersom de eksisterer. A ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) A ) ) ) ) ) ) ) ) 4