KOMPLEKSE TALL KARL K. BRUSTAD

Transkript

1 KOMPLEKSE TALL KARL K BRUSTAD 1 Defiisjoer og otasjo Defiisjo 1 Et kompleks tall er et objekt på forme x + i der x og er reelle tall og kalles heholdsvis realdele og imagiærdele til det komplekse tallet Smbolet i kalles de imagiære ehet To komplekse tall, x+i og u+iv er like hvis og bare hvis de har samme realdel og imagiærdel Altså x + i u + iv x u og v Defiisjo Algebra med komplekse tall La a + ib og c + id være to komplekse tall Summe av de to komplekse tallee er et kompleks tall gitt ved a + ib + c + id a + c + ib + d Produktet av de to komplekse tallee er et kompleks tall gitt ved a + ibc + id ac bd + iad + bc Vi ka la é bokstav represetere et kompleks tall, som feks z x + i Teorem 1 La z x + i og w u + iv være to komplekse tall Da er 1 z + w w + z zw wz i0 + z z i0z z Bevis 1 z + w x + i + u + iv x + u + i + v u + x + iv + u + iv + x + i w + z zw x + iu + iv xu v + ixv + u ux v + iu + vx u + ivx + i wz Date: 6 april 014 1

2 KARL K BRUSTAD i0 + z 0 + i0 + x + i 0 + x + i0 + x + i z i0z 1 + i0x + i 1x 0 + i1 + 0x x + i z Notasjo 1 Hvis imagiærdele til et kompleks tall er 0, skriver vi a istedet for a + i0 Spesielt skriver vi 0 istedet for 0 + i0 Hvis realdele til et kompleks tall er 0, skriver vi ib istedet for 0 + ib Spesielt skriver vi i istedet for 0 + i1 Teorem 1, del 3 og 4 sier altså at 0 + z z og at 1z z For et kompleks tall z, meer vi med z det komplekse tallet 1z og med w z meer vi det komplekse tallet w + z Teorem For alle komplekse tall z, w og v, er 1 z + w + v z + w + v zwv zwv 3 zw + v zw + zv 4 0z 0 Bevis Merk at i ii 0 + i10 + i i og det er ikke ødvedig å huske defiisjoe av produktet av to komplekse tall fordi pga teorem 1 og er a + ibc + id a + ibc + a + ibid ac + ibc + iad + i bd ac bd + iad + bc Hvis vi lar C betege megde av alle komplekse tall, ka megde av alle reelle tall, R, ses på som e delmegde av C Nemlig de delmegde av de komplekse tallee med imagiærdel lik ull Av dee gru ka adjektivee kompleks og reell ofte sløfes og vi kaller et elemet z C rett og slett for et tall Det er altså ikke ødvedig å bruke pareteser rudt realdele for å skille mellom addisjo av reelle og komplekse tall ettersom alle algebraiske operasjoer ka sees på som operasjoer på komplekse tall

3 KOMPLEKSE TALL 3 Det komplekse pla Hvert kompleks tall z x + i ka åpebart tilordes øaktig ett pukt x, i plaet R ettersom to pukter i plaet er like hvis og bare hvis begge koordiatee er like Feks vil tallet i tilsvare puktet 1, 0 T og tallet i 0 + 1i vil tilsvare puktet 0, 1 T og hvis z x + i og w u + iv så vil tallet z + w x + u + i + v tilsvare puktet x + u x u + + v v og vi ser at addisjo av komplekse tall tilsvarer vektoraddisjo i plaet Vi skal å se at produktet av to tall ka tilordes et pukt i plaet som også har e ekel geometrisk beskrivelse La x, T R være et pukt i plaet Da er x r cos θ r si θ der r x + er avstade fra origo til x, T ev legde av vektore, og der θ er vikele mellom de positive x-akse og lije fra origo til x, T Vi sier at r, θ er polarkoordiater til puktet x, T La u, v T R også være et pukt i plaet og ata at dette puktet har polarkoordiater s, ϕ De to puktee tilsvarer to komplekse tall og Nå er z x + i r cos θ + ir si θ rcos θ + i si θ w u + iv scos ϕ + i si ϕ zw rcos θ + i si θscos ϕ + i si ϕ rs cos θ cos ϕ si θ si ϕ + isi θ cos ϕ + cos θ si ϕ rs cosθ + ϕ + i siθ + ϕ der vi i de tredje likhete har brukt e velkjet trigoometrisk idetitet Altså tilsvarer tallet zw, vektore i plaet med polarkoordiater rs, θ + ϕ Dvs de vektore i plaet som har e legde lik produktet av legdee til x, T og u, v T og vikel lik summe av viklee til x, T og u, v T Pga dette e-til-e-forholdet mellom C og R, er det ikke alltid ødvedig å presisere om vi sakker om et kompleks tall eller et pukt i plaet 3 Komplekse fuksjoer Med e kompleks fuksjo f : D C, der D C, meer vi e regel f som tilorder for hvert tall z D et uikt tall fz C Feks vil fuksjoe f gitt ved fz z dobble legde til z, me bevare retige, mes fuksjoe g gitt ved gz iz vil bevare legde, me rotere z 90 mot klokke 31 Noe viktige fuksjoer De kojugerte, z, av et tall z x + i C er speilige av z om x-akse Dvs z x i Moduluse eller orme, z, til et tall z x + i C er legde av de tilsvaree vektore Dvs z x + Merk at z z z reg ut! og det ka også vises at zw z w

4 4 KARL K BRUSTAD Argumetet, Arg z, til et tall z x + i C er de uike vikele θ π, π] slik at x r cos θ r si θ der r z Altså er z, Arg z polarkoordiater til z Med arg z argumetet med lite a meer vi megde av alle vikler θ slik at z rcos θ + i si θ Dvs arg z {Arg z + kπ k Z} Merk at det ikke alltid er sat at Argzw Arg z + Arg w Feks er Derimot, har vi alltid at 0 Arg 1 Arg 1 1 Arg 1 + Arg 1 π argzw arg z + arg w : {Arg z + Arg w + kπ k Z} Likhetee over er likheter mellom megder der de adre likhete defierer hva som mees med summe av de to megdee arg z og arg w Selv om arg z er e megde, er det ofte valig å missbruke otasjoe e take og rege med arg z som om det var et tall Dette er mulig fordi alle operasjoer mellom tall har si aturlige tilhørede defiisjo av operasjoer mellom megder, akurat som summe av arg z og arg w er defiert over Kvadratrote, z til et tall z x + i C er det uike tallet w slik at w z og Arg w π/, π/] Gitt et kompleks tall z med polarkoordiater r, θ, θ π, π], fies det lik som i det reelle tilfellet to tall w og w slik at w z w, me bare et av dem vil ha et argumet i itervallet π/, π/] For hvis w z, vil w vil ha polarkoordiater r, θ/, mes w vil ha polarkoordiater r, θ/ ± π Merk at med dee defiisjoe av kvadratrot, er 1 i fordi Arg i π/ π/, π/], mes Arg i π/ 3 De komplekse ekspoesialfuksjoe Det er ikke åpebart hvorda ma ka defiere et utrkk som a z der a er et reelt tall, mes z er kompleks Hva vil det si å opphøe oe i et kompleks tall? For å besvare dette spørsmålet forsøker vi å defiere de komplekse ekspoesialfuksjoe e z Bare koklusjoe, og ikke utledige, av det følgede er pesum: For et reellt tall x, er lim 1 + x e x og vi bruker dee idetitete som grulag for å defiere e z : La z x + i C og for alle 1,, 3,, la c 1 + z Merk at for alle er c et veldefiert kompleks tall Vi defierer å e z c i betdige e z rcos θ + i si θ der r c og θ lim arg c

5 KOMPLEKSE TALL 5 Vi fier r: c 1 + x + i + x + i + x x + x + / Det følger da at l r l lim c l c l 1 l + x + x x + x + / x x x + x + x + x x + x + x, l Hôp 1 / Dvs r e x For et kompleks tall z x + i der x r cos θ 0 og r si θ, er ta θ x Så hvis θ π/, π/, dvs x > 0, så er Arg z θ arcta x Nå er c +x + i, og for store ok, er +x > 0 og + x Arg + i / arcta arcta + x/ + x

6 6 KARL K BRUSTAD Dermed er Altså har vi følgede defiisjo: [ + x lim arg c arg + x arg arcta lim x ] + i + i, l Hôp 1/ 1 1/ Defiisjo 3 For alle komplekse tall z x + i er de komplekse ekspoesialfuksjoe e z defiert som Vi skal fie løsigee til sstemet e z e x+i e x cos + i si 4 Komplekse egeverdier dx 41 dt Ax år egeverdiee til x-matrise A har komplekse egeverdier Egeverdiee til A er løsigee til ligige 0 deta λi λ tr Aλ + det A og vi atar å at : tr A 4 det A < 0, slik at λ 1 tr A + tr A + i λ tr A i Vi ser at λ λ 1, så vi lar λ : α + iω der α tr A og ω Egevektore tilhørede λ er e løsig w 0 av ligige 0 A λiw Dee egevektore er kompleks og ka skrives på forme u1 + iv w 1 u + iv u + iv der u, v R Egevektore tilhørede egeverdie λ er w fordi A har reelle elemeter, så Aw Aw λw λw

7 KOMPLEKSE TALL 7 Derivasjo av komplekse fuksjoer er ikke pesum, me det viser seg at de komplekse vektorfuksjoe x : R C gitt ved 4 xt c 1 e λt w + c e λt w er e løsig av 41 for alle komplekse kostater c 1 og c Fuksjoe 4 er de geerelle komplekse løsige av 41 Vi skal å vise at hvis det er gitt e reell iitsialbetigelse til sstemet 41, så er c 1 og c komplekskojugerte av hveradre Dvs hvis x0 x 0 R, så er c c 1 : La W være de komplekse x-matrise med egevektoree som koloer Dvs Da er W w, w x 0 x0 c 1 e λ0 w + c e λ0 w c 1 w + c w W Me ettersom x 0 R, er x 0 x 0, så vi har også at Dermed er x 0 x 0 c 1 w + c w c w + c 1 w W W c1 c W c c 1 c c 1 c1 c og på samme måte som i det reelle tilfellet, er W iverterbar fordi egevektoree er forskjellige, så ved å multiplisere likhete over med W 1 fra vestre får vi at c 1, c T c, c 1 T, altså c c 1 Skriv c : c 1 a + ib, a, b R For reelle iitsialverdier er altså løsige reell fordi xt ce λt w + ce λt w e αt ce iωt w + ce iωt w e αt ce iωt w + ce iωt w e αt Rce iωt w R, t R Vi har brukt at e iωt e iωt og idetitete z + z Rz For å fie løsige uttrkt ved si og cos bereger vi at ce iωt w e iωt a + ibu + iv cos ωt + i si ωtau bv + iav + bu cos ωtau bv si ωtav + bu + i og de geerelle reelle løsige av 41 er da 43 xt e αt[ cos ωtau bv si ωtav + bu ] der α tr A 4 det A tr A ω u + iv w, er e egevektor til λ α + iω

8 8 KARL K BRUSTAD og der a og b tilfredsstiller c a + ib a x 0 W u + iv, u iv u, v c a ib b Vi øsker å løse iitsialverdiproblemet 5 Eksempel dx x, dt x0 1 d x 3, dt 0 1 Dette ka skrives på matriseform dx 1 51 dt Ax, x0 1 der A Nå er tr A 4 og det A 5, så α og ω 1 4 det A tr A Dermed ka vi umiddelbart si at likevektspuktet 0, 0 T er e stabil spiral Det gjestår å fie egevektore til λ α + iω og kostatee a og b 0 A λiw 1 λ 1 w1 3 λ w 1 + i 1 w1 3 + i w 1 i 1 w1 1 i Vi vet at matrise er sigulær, så likhete over holder hvis og bare hvis w 0 1 iw 1 w Så hvis w 1 t, må w 1 it og for alle t er ligige Altså er w w1 w i : u + iv 1 i 1 1 e egevektor til A med tilhørede egeverdi λ Fra 43 ser vi at x0 au bv, så x0 au bv a b t e løsig av 1 i

9 KOMPLEKSE TALL 9 hvilket gir a 1/ og b 0 Isatt i 43 blir dette xt e αt[ cos ωtau bv si ωtav + bu ] e t[ cos tu/ si tv/ ] e cos t 1 0 t si t 1 1 e t cos t cos t + si t Vi sjekker at dee fuksjoe virkelig er e løsig av sstemet 51: For det første oppfller fuksjoe iitsialbetigelse fordi x0 1, 1 T og ved produktregele er dx dt e t cos t cos t + si t e t cos t si t cos t 3 si t + e t, si t si t + cos t som er det samme som 1 1 Ax e t cos t 3 cos t + si t e t cos t si t cos t 3 si t