Kommentarer til oppgavene

Transkript

1 Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5, 7.0, 7.) Differanser (Oppgave 7.0) Kurvetilpasning/ligningsløsing: Finner polynomgrad med differanser. Formler: Aritmetisk følge: a n a dn, S n n a dn n a a n Geometrisk følge: a n a k n, S n a k n k Spesielle formler for polynom-følger: (Se eget notat for bevis/forklaringer!) grad: a n a n i d i a n d d n, der d n a n a n Mer generelt: Hvis differansefølgen er et polynom, eksempelvis: d n a n a n a n an bn c kan vi lage den opprinnelige følgen med: a n b cn C, der C bestemmes ved hjelp av første ledd a 0 0 c C der vi bruker en slags "integrasjonsregel" på n nn n, n nn Legg merke til at n r ikke er vanlig potens n r, men n npr r nn n...n r (Fakturell-notasjon) Dette kan også utnyttes for å lagen en rekke av polynomfølger: n n S n i a i An A n A, hvis A n a n a n a n (Som minner om integrasjon!) 7.4 a) Mønster rimelig opplagt, teller oppover, skifter retning og startsted for hver linje... b) Kolonne B:,7,9,5,... Legger til og annenhver gang. Kan dele opp: Ulike rader (,,5,7...): Aritmetisk følge:,9,7,... Like rader (,4,,...): Aritmetisk følge: 7,5,,... Altså: Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

2 b n 4n 4n, n Ulike b n 4n 4n, n Like n 000 (like): b n A B C D E Kunnne også sett på rad A og sett at a n 4n, n like, som gir a n direkte, og B som Dette løser også c) direkte: c) 000 er delelig med 4, så a n 4n 000 n a) Mønster: Hvert tall er summen av tallene over (skrått opp til høyre og venstre). (Må tenke oss at oppstillingen er rammet inn av nuller.) b) Jeg stiller opp i en mer rektangulær tabell: n\r Mønsteret blir da mer: "Hvert tall er summen av tallet over til venstre og tallet over, eller uttrykt ved radnummer n og kolonnenummer r: pn, r pn, r pn, r Tallene i Pascals trekant kalles binomiske koeffisienter og noteres n Da kan vi skrive: n r r n r n, uten brøkstrek! 7 betyr egentlig og kan regnes ut med 7 ncr 4 på lommeregner eller ncr[7,4] i GeoGebra. c) dje tall fra høyre er lik dje tall fra venstre, da Pascals trekant er symmetrisk, altså har vi: d) Summen av en diagonal er tallet rett under siste tall i diagonalen. Eksempelvis er summen av fire trekanttall lik tallet under 0, altså 0. Generelt er summen av n trekanttall:, da det siste tallet i summen ligger i n rad i n n n kolonne, eller, hvis vi ser på kolonne, hvor siste tall ligger i : Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

3 n nnn...4 n! n n n nnn...4 n! nnn! n! nn n n Legg merke til at vi her kunne brukt symmetri-regelen; r komme fra til, slik at: n n n Bevis for symmetri - regel: VS nn...nr r! HS nn...nnr nr! nr! nr! n! nr!r! nn...r nr! r! n! r! nr!r! nr til å Se også oppgave fra gamle bok, der disse summene av trekanttall kalles tetraedertallene: Tetraedertallene - fra eldre utvage Tetraedertallene er et tetraeder der hvert "lag" er trekanttall, slik at for eksempel tetraederet med n kuler i sidekant blir 0: a) Tegning viser at T 0 n c) T n i i eller: Tetraedertallene er summen av de n første trekanttallene, som vi tidligere har vist har formelen n nn :,,, 0, 5,,... Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

4 b) Vi har derfor tetraedertallene:, 4, 0, 0, 5, 5,... c) Se oppgave 7.7 med Pascals trekant! Pascals trekant: Tetraedertallene går på skrå nedover fra cellen i tabellen med n, r 0, så vi finner uttrykket for T n ved å se systemet: T 0 T 4 T 5... Altså høyere over og mindre under i den binomiske koeffisienten: T n n nnn...n n... nnn...54 n...54 nn nn ( Med symmetriregelen n n r nr kunne vi gjort mer direkte: T n n n nn nn Se oppgave 7.7 for bevis av symmetriregel.) Kan også bruke kurvetilpasning i GeoGebra: Vet at det er et tredjegradsuttrykk, så vi trenger 4 punkter:,,, 4,, 0,4, 0 RegPoly[{(,),(,4),(,0),(4,0)},] gir da: T n n n n n n n n n nn Femkanttallene Femkant-tallene: a), b) Vi får tabellen: n : n n f n : Differanser, d n : n Ved å se på differansene 4, 7, 0,,... ser vi at de er en aritmetisk følge: d n a dn 4 n n Ved å fortsette å legge til differanser får vi de første 8 femkanttallene. b) Dette mønsteret har vi egentlig allerede sett i a): f 4 5 f d f 5 7 f d f 4 0 f d Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

5 ... f n f n d n Så vi får den rekursive formelen: c) f f n f n d n eller f f n f n d n f f n f n n f n n f f n f n n d) Eksplisitt formel på forskjellige måter I Figurer: e), f) Figuren i boken viser at f 4 4 Så vi generaliserer til: f n n n nn nn n n n n n nn II Figurer: (Hustall-variant) g) Figuren viser at f n Kvadrattall " Taktall" ("Rett opp veggene" og juster litt på figurene med i femkanttallene!) n n n nn n n n n n nn III Differanseformel: Hvis differansene er aritmetiske eller geometriske, kan vi bruke denne formelen: a n a n i d i differanser! Kan finne a n ved å starte med a og legge til alle mellomliggende f n f n i d i n d d n n n 4 n n 4 n n n n n nn IV Kurvetilpasning Differansene er av første grad, så femkanttallene er av andre grad, trenger da punkter: RegPoly[ { (,), (,5), (,) }, ] gir:.5x² - 0.5x Altså: f n n nn n V Generell teknikk. (Se også eget notat.) Dette er spesielle formler, så dette er for spesielt interesserte. Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

6 Vi har en regel som minner om derivasjon: n n, n n, n 4 4n,... Obs: n r betyr her npr, ikke potens: n nn n nn n n 4 nn n n Starter vi med differansene til f n, d n f n f n f n, får vi første grad eller den aritmediske følgen: d n n Som da gir femkanttallene: f n n C C bestemmes ved hjelp av f C C 0 ): f n n nnn nn nn 7.4 For å illustrere bruk av lommeregner når man skal regne ut summen av rekker når man mangler formler: n te ledd i tilsvarende tallfølge: a n n! (Husk at n! n n n... og at 0! pr. definisjon/konvensjon.) For å finne 00 i a i bruker vi GeoGebra: a(n):/(n-)! S:Sum[a(i),i,,00] gir.78..., altså går summen mot Eulers tall e Pyramidetallene a) og b): p 5 p 5 4 p p osv. Pyramidetallene er summen av kvadrattallene! (Hvert lag er kvadrattall, fra toppen:,4,9,,...) c) p i i d) GeoGebra: k(n): n^ p(n):sum[k(i),i,,n] gir: n n n p(00) gir: 850 For spesielt interesserte: Her er differansene kvadrattallene, så vi får: Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

7 p n p n p n n Vi må få på fakturell-form, så vi omformer litt: p n n n n n n n nn n n n Ved å bruke differanse-reglene baklengs får vi pyramidetallene: p n n n C C gitt av at p 0 0 C C 0 ): p n n n nn nn n nn9nnn n9n n n n 4 9n 9 n n n nnn nn n n n n (Som over!) Annuitetslån Se eksempel 4! Sluttverdien av 4 terminbeløp i slutten av 4 terminer, rett etter at siste terminbeløp er betalt inn: (Viktig å tegne en ordentlig og tydelig tabell! Her bare siste kolonne.) X (Sluttverdi av lånebeløp) Geometrisk rekke med a 80000, k. 05 og n 4 gir oss: k S 4 a n k.05 Sluttbeløpet X av lånet X gir oss: X X Alternativ: Istedenfor å regne med sluttbeløp, kunne vi fremført alt til startbeløp ved lånetidspunkt. Da må alle terminbeløpene deles med. 05 n istedenfor å multipliseres: X (Startverdi av lånebeløp) Geometrisk rekke med a 80000, k og n 4 gir oss: X a k n k Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

8 7.9 a) Tabell viser at dette er omtrent som sparing med faste beløp: n... n n n For n : c eller kolonne i tabellen over! Siste kolonne viser at c n er en geometrisk rekke med c 0., k og n ledd: k c n c n n n n k b) Etter 0 dager: c [ng] d) For å få 5 ng: c n n n 5 n ln ln [dager] e) Den andre sauen må oppfylle ligningen: 0. k0 k. 0. k 0. k Dette er en 0-grads ligning i k, så her må vi bruke digitale hjelpemidler (grafisk skjæring eller CAS ) for å finne k , som tilsvarer k % nedbrytning i døgnet. I og med at nedbrytning og inntak skjer kontinuerlig gjennom hele døgnet, ikke diskret, en gang i døgnet, skulle man tro vi fikk et mer nøyaktig resultat med å bruke differensialligninger: Endring i døgnet: y y Løser vi denne differensialligningen, med initialbetingelse y0 0, får vi den spesielle løsningen: y e 0.0t, der t er døgn. Sammenligner vi med rekke-løsningen over: c n n og grafer begge som funksjoner ser vi at grafene ligger så og si oppå hverandre! Dette skyldes at e kx e kx er nokså lik k x hvis k ikke er altfor langt unna. Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex

9 (Hvis vi skriver k x e ln k x og sammenligner med e kx, ser vi at ln k må være nokså lik k for at den diskrete rekke-løsningen skal være tilnærmet lik den kontinuerlige løsningen med differensialligning. Dette gjelder sålenge k ikke er altfor forskjellig fra.) Ulven av 9 oppgaver_nybok.tex