R2 - Differensialligninger og Algebra

Transkript

1 R - Differensialligninger og Algebra Oppgave 1 Gitt 3 tallfølger: 1) 4, 1, 36, 108,... ), 7, 1, 17,... 3), 3 4, 4 9, 5 16,... a) Skriv opp det eksplisitte uttrykket for n te ledd, a n, for følgene over. 1) Geometrisk følge med a 1 4, k 3: a n a 1 k n1 4 3 n1 4 3n n ) Aritmetisk følge med a 1, d 5: a n a 1 dn 1 5n 1 5n 3 3) Ved å omforme litt og sammenligne med indeksen n ; n: a n : ser vi at: a n n1 n b) Finn summen av 100 ledd, S i1 a i, for følgene i 1) og ). 1) Geometrisk: S n a 1 k n 1 k1 4 3n n 1 S ) Aritmetisk: S n n a 1 a n n 5n 3 n 5n 1 S c) Finn rekursive formler for tallfølgene over. 1) Geometrisk, hvert ledd multipliseres med k 3: a 1 4 a n1 3 a n ) Aritmetisk, hvert ledd får differansen d 5 addert: a 1 a n1 a n 5 3) Egentlig ikke så mye vits i når vi har eksplisitt formel, men boken hadde slike oppgaver: a n1 a n n n1 nn n1n1 n3 n n 3 3n 3n1 n1 n n n1 n n1 H-P Ulven 1 av 6 r_300317_ls.te

2 n 3n1 n n1 n 3n1 n n1 Oppgave Ferkenberg skal låne kr. til bilkjøp. Lånet skal tilbakebetales med 5 like store innbetalinger (annuitetslån). Den første innbetalingen skjer et år etter at lånet er tatt opp. Hvor stor blir den årlige innbetalingen hvis banke vil ha 3.5% rente? Må tegne tabell her: Nåverdier: Kaller innbetalingene og tilbakefører alle til lånetidspunkt (startverdi): Ser at dette er en geometrisk rekke med: a , k og n 5, så nåverdien av innbetalingene blir: Som må være lik låneverdien: Årlig innbetaling: [kr] Oppgave 3 H-P Ulven av 6 r_300317_ls.te

3 Bildet over viser hesteeier Luresen og travhesten Strøket rett etter at Luresen har tilført Strøket en daglig dose av det prestasjonsfremmende medikamentet Sprotte. Produsentene av Sprotte, som foretrekker anonymitet, anbefaler en daglig dose på 10 gram Sprotte. For hvert gram Sprotte lagres det 5 mg av et sporstoff S i blodet på hesten. Sporstoffet S i blodet brytes ned med 15% hvert døgn. Luresen brukte anbefalt dose 10 gram Sprotte hvert døgn i 30 dager før et travløp. a) Hvor mye av sporstoffet S hadde Strøket i blodet på løpsdagen? (Anta at dosen gies hver morgen og at det går et døgn fra siste dose til løpet går. Bruk rekker i utregningene, selv om det også er mulig å gjøre denne oppgaven med differensialligninger.) Pass på å skille mellom Sprotte og sporstoffet S! 10 g Sprotte gir 10 5 mg S50 mg S I tabellform blir dette som sparing med faste beløp og rente. Regner ut S i blodet i starten av hvert døgn etter inntak av ny dose: n Løpsdag: (Obs: Ingen ny dose løpsdag!) Summen på løpsdagen blir en geometrisk rekke med a , k og n 30 (antall rader) H-P Ulven 3 av 6 r_300317_ls.te

4 Sporstoff S i blodet på løpsdagen: S [mg] b) Strøket ble desverre tatt i dopingkontrollen, da det viste seg at grensen for deteksjon lå på 00 mg av sporstoffet S. Hva er den maksimale dosen Sprotte Luresen kunne ha brukt hvis Strøket ikke skulle ha blitt tatt i kontrollen? Maksimalt inntak av sporstoff S hvert døgn: Krav: [mg S] Da 1g Sprotte tilsvarer 5 mg S, tilsvarer dette: [g Sprotte] 7. 1 [g Sprotte] ): Maksimal dose ca. 7.1 gram Sprotte. Oppgave 4 En pendel har lengden l m. Pendelkulen har massen m 1 kg og beveger seg i en væske slik at dempningsfaktoren blir d 4 Ns/m. Bevegelsen starter med at utslaget er f m og at pendelkulen er i ro. a) Forklar hvorfor differensialligningen for utslaget ft blir: f 4f 5f 0, hvis vi regner med små utslag og at g 10 m/s. Må lage en figur og markere positiv retning utover: Newtons andre lov: F ma dempningskraft(friksjon)fjærkraft ma df mg l cos f mf f d m f Med oppgitte tall og cos 1 får vi: g l cos f 0 f 4 1 f 10 f 0 1 f 4f 5f 0 QED b) Vis at differensialligningen har den generelle løsningen: ft e t C sin t Dcost Karakteristisk ligning: r 4r5 0 r i Dette gir generell ligning: e t C sin t Dcost QED c) Finn den spesielle løsningen av differensialligningen. H-P Ulven 4 av 6 r_300317_ls.te

5 Initialbetingelsen f gir: C 0 D1 D 0. 5 Så langt: ft e t C sin t 0. 5 cost f t e t C sin t 0. 5 cost e t C cost 0. 5 sin t e t C 1 cost C 0. 5 sin t Initialbetingelsen f 0 0 (I ro i starten!) gir: 0 1C 11 C C 1 C 1 ): Spesiell løsning: ft e t sin t 0. 5 cost Oppgave 5 Vi har en tallfølge a n :, 7, 14, 3, 34,... 8 a) Bruk tabell og differanser til å finne a 6, a 7 og a 8 og S 8 i1 a i. Vi lager tabell og bygger ut nedenfra: n: a n : a n : a n : ): a 6 47, a 7 6, a 8 79 S (Kunne også bygd opp en rad over a n og funnet summen som A 9 68: n: A n : a n : fordi i1 a i A 9 A 1, når A n a n ) b) Vis at differansefølgen d n a n1 a n har den eksplisitte formelen d n n 3. Vi ser av første tabell i a), at d n er aritmetisk med første ledd a 1 5 og differanse d, så vi får: d n d 1 dn 1 5 n 1 n 3 QED c) Vis at a n har den rekursive formelen a 1, a n1 a n n 3. a n a n1 a n d n n 3 a n1 a n n 3 H-P Ulven 5 av 6 r_300317_ls.te

6 Så vi har: a 1 a n1 a n n 3 QED d) Ut fra tabellen kan vi se at a n må ha en eksplisitt formel som er et andregradspolynom, og at vi har sammenhengen a n a 1 n1 i1 d i, der d n a n1 a n. Bruk denne formelen til å vise at a n n n 1. n Da d n er aritmetisk og i1 d i n d 1 d n, har vi: a n a 1 n1 i1 d i a 1 n1 d 1 d n1 n1 5 n 1 3 n1 n 1n 3 n n 1 QED n 6 e) Skriv opp nødvendige GeoGebra-kommandoer for å finne en generell formel n for summen S n i1 a i. a(n):n^ n-1 S(n):Sum[a(i),i,1,n] (som vil gi: Sn nn 9n1 6 ) Eller brukt RegPoly[{(1,),(,9),(3,3),(4,46)}, 3 ] da vi vet at S(n) må være av tredje grad. Kunne også brukt differanseregning: a n n n 1 n n n n 1 n 3n 1 A n 1 3 n3 3 n n C Velger C 0 og får da: S n A n1 A n 13 3 n 1 n 1 1 n1nn19n1n6n16 nn 19n 9n6n66 n3 n9n 3n n 3 9n n nn 9n1 6 6 H-P Ulven 6 av 6 r_300317_ls.te