Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad.

Transkript

1 Differensligninger Vi startet med en repetisjon om løsning av. ordens differensligninger.. ordens differensligning. a n = c 1 a n-1 + c a n-, der c 1 og c er konstanter. Vi ser her at neste ledd i følgen dannes på grunnlag av de to foregående leddene. Dermed vil en slik følge kreve to startebetingelser. Differensligningen for Fibonaccitallene er et eksempel på en differensligning av. orden. Vi skal løse den senere. Løsning av differensligninger Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av. grad. Tips: Prøv å merk deg i fremgangsmåten skritt for skritt, på samme måte som du gjør når du skal følge en bruksanvisning. Løsning av. ordens differensligning. Gitt differensligningen a n = c 1 a n-1 + c a n-, der c 0 Ved å bruke c 1 og c i ligningen over kan man lage en. gradsligning: r = c 1 r + c (kan også skrives som r - c 1 r - c = 0) Dette polynomet kalles for differensligningens karakteristiske polynom. (Siden vi her har en. ordens differensligning blir polynomet en. gradsligning.) Eksempel 1 a n = 5a n-1-6a n- r = 5r r - 5r + 6 = 0

2 Eksempel a n = a n-1 + 3a n- r = r + 3 r - r - 3 = 0 Differensialligningens karakteristiske polynom skal hjelpe oss å finne løsningen av ligningen. Denne løsningen vil som sagt være en formel for å bestemme det n te elementet i den tallfølgen som differensligningen beskriver. Vi må først finne løsningene (også kalt røttene) til.gradsligningen. NB! Husk formelen for. gradsligninger: ar + br + c = 0 r = b ± b 4ac a Vi får de to løsningene: r 1 = b+ b 4ac a Eksempel. Gitt differensligningen r = b b 4ac a a n = - a n-1 + 6a n- med startbetingelsene a 0 = 1, a 1 = 3. Differensligningens karakteristisk polynom blir: r = - r + 6 som er det samme som r + r - 6 = 0 Løser. gradsligningen og får røttene r 1 og r : r = 1± 1 4( 6) = 1± 5 = 1± 5 r 1 = 1+ 5 = r = 1 5 = 3

3 Anta at det karakteristiske polynomet r = c 1 r + c har to forskjellige reelle løsninger (røtter) r 1 og r. Da vil differensligningen ha følgende løsning: a n = αr 1 n + βr n der α og β er vilkårlige konstanter. Vi kjenner a 0 og a 1, men trenger et ligningssett med to ligninger for å finne α og β. Ved å velge n = 0 og n = 1 i a n = αr 1 n + βr n får vi: n = 0: a 0 = αr βr 0 = α + β n = 1: a 1 = αr βr 1 = αr 1 + βr Dermed har vi det ligningssettet vi trenger for å finne α og β: α + β = a 0 αr 1 + βr = a 1 Eksempel Løsning:

4 Anta at det karakteristiske polynomet r = c 1 r + c har kun en reell løsning r 0 (dvs. r 1 = r ). Hvis røttene er sammenfallende, dvs. r 1 = r, har det karakteriske polynomet bare en rot. Den generelle løsningen av differensligningen a n = c 1 a n 1 + c a n, c 0 vil da være Ved å velge n = 0 og n = 1 n = 0: a n = αr 0 n + βnr 0 n a 0 = αr β 0 r 0 0 = α i ligningen over får vi: n = 1: a 1 = αr β 1 r 0 1 = αr 0 + βr 0 Dermed har vi det ligningssettet vi trenger for å finne α og β: Hvis vi kjenner a 0 og a 1 kan vi finne α og β ved å løse følgende ligningssett med to ukjente: α = a 0 αr 0 + βr 0 = a 1

5 Eksempel: Gitt differensligningen a n = 4a n 1 4a n, der a 0 = 1 og a 1 = 4. Vi får følgende karakteristisk polynom: r = 4r 4 Må løse r 4r + 4 = 0 r = 4 ± = 4 = Dermed er det bare en løsning (rot) og r 0 = Den generelle løsningen blir a n = α n + βn n Vi vet at a 0 = 1 og a 1 = 4 og får ligningssettet: α = 1 α + β = 4 α = 1 gir + β = 4 som videre gir β = 1 Løsningen og formelen for det n te leddet i tallfølgen blir: a n = n + n n = n (n + 1) Sjekker a og a 3 og ser at vi får samme svar med formelen og differensligningen: Formelen: a = ( + 1) = 4 3 = 1 Differensligningen: a = 4 a 1 4 a 0 = = 1 Formelen: a 3 = 3 (3 + 1) = 8 4 = 3 Differensligningen: a 3 = 4 a 4 a 1 = = 3

6 Vi har nå en formel for å finne et hvilket som helst ledd i følgen, f.eks. a 10 : a 10 = 10 (10 + 1) = = ordens differensligning a n = c a n-1 + d, der c og d er konstanter. Vi ser her at neste ledd i tallfølgen dannes på grunnlag av det foregående leddet. Hanois tårn, der H n = H n er det minste antall trekk som trengs for å flytte n brikker, er et eksempel på en differensligning av 1. orden. Den skal vi løse senere. Se for øvrig: Løsning av 1. ordens differensligning. a n = c a n-1 + d, der c og d er konstanter. Den generelle løsningen for tilfellet c 1 er Hvis vi kjenner a 0, finner vi α slik: Eksempel a n = αc n + d 1 c α = a 0 d 1 c Hanois tårn, se: H n = H n-1 + 1

7 H n = α n = αn 1 Vi vet at H n = 0, hvilket gir oss α: α = = ( 1) = 1 Løsningen og formelen for det n te leddet i tallfølgen blir: H n = α n 1 = n 1 Vi ser at dette stemmer: H n = H n gir oss følgende tall i følgen: H 0 = 0 = 0-1 H 1 = H = = 1 = 1-1 H = H = 1+ 1 = 3 = - 1 H 3 = H + 1 = = 7 = 3-1 H 4 = H = = 15 = 4-1 H 5 = H = = 31 = 5-1 H 6 = H = = 63 = 6-1 H 7 = H = = 17 = 7-1 : H n = H n = n - 1 Vi får tallfølgen: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 17,., n - 1 I dette tilfellet kunne vi faktisk ha funnet formelen n 1 ved ren regning: H n = H n = ( H n- + 1) + 1 = H n = ( H n-3 + 1) = 3 H n = 3 ( H n-4 + 1) = 4 H n : = n-1 H 1 + n- + n = n-1 + n- + n = n + 1

8 Rekursive metoder i Java: I Java kan man lage rekursive metoder. Dette er metoder som inneholder kall på samme metode som den kallet står i. Nedenfor ser du en rekursiv metode som finner a n der a n er et ledd i tallfølgen Fibonaccitallene: Nedenfor ser du en rekursiv metode som beregner det minste antall flytt som kreves for å løse problemet i Hanoi tårn, se: