R2 - Algebra
|
|
- Asgeir Engen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 R - Algebra Løsningsskisser Oppgave 1 Gitt 5 tallfølger: 1 1) 1,, 1, 1,... ) 7, 49, 343, 401, ) 1, 3, 7, 11,... 4) 1,, 5, 7, ) 1, 3, 6, 10, 15, 1,... Skriv opp det eksplisitte uttrykket for n te ledd, a n, for følgene over. Finn summen av 100 ledd, S 100, for følgen i ). Finn en rekursiv formel for tallfølgene i 5). 1) a n 1 n ) Geometrisk: a n a 1 k n n 1 7 n 3) Aritmetisk: a n a 1 d n n 1 4n 5 4) a n n 1 n (Ulike tall i teller, kvadrattall i nevner.) 5) a n n n 1 (Vi gjenkjenner trekanttallene.) Geometrisk: a 1 7, k 7 k S n a n n 1 7 k n 1 S (Kontroll med GGB: Sum( 7 ^n,n,1,100) gir eller ) Differanser:, 3, 4, 5, 6,... altså d n n 1 a 1 1, a n 1 a n n 1 Oppgave Vi har en aritmetisk tallfølge der a 4 11 og a Finn det eksplisitte uttrykket for n te ledd i tallfølgen (a n ). Finn summen, S 100, av 100 ledd i tallfølgen a n. Finn en generell formel for summen av n ledd, S n i tallfølgen a n. H-P Ulven 1 av 5 r_90914_ls.te
2 d) Skriv opp hva du ville skrevet i GeoGebra CAS for å finne svarene på og, forutsatt at formelen for n te ledd allerede var definert og lagt inn i funksjonen a n. a 9 a 1 d8 og a 4 a 1 d3 a 9 a 4 5d d a 9 a a 1 a 4 3d ): a n a 1 d n n 1 5n 9 (Kontroll med GGB: Følge[ 5 n-9, n,1,10] gir {-4, 1, 6, 11, 16,1,6, 36, 41} ) S 100 a 1 a n n 4 5n 9 n S n a 1 a n n 4 5n 9 n 5n 13 n 5 n 13 d) Lagt inn: a(n): 5 n-9 Skriver inn: S_100: Sum( a(i), i, 1, 100) gir S 100 : 4350 ( ) S(n): Sum( a(i), i, 1, n) gir S(n): 5 n 13 ( ) Oppgave 3 Tallfølgen 1,, 3, 4,... er definert av den eksplisitte formelen a n n. n n n Det kan vises at summen av n ledd kan skrives slik: S n i 1 n n Bevis at denne formelen er riktig med induksjonsbevis. Hva blir summen av den uendelige rekken ? n 1 : Følge: S 1 a 1 1 Formel: S OK! Induksjonstrinnet t t 1: Forutsetter: S t t t Må vise: S t 1 t 1 T 1 t 3 t 1 S t 1 S t a t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t 4 t 1 t 3 OK! t 1 t lim n n n ( n i nevner vokser mye fortere enn n i teller!) t 1 n. Oppgave 4 H-P Ulven av 5 r_90914_ls.te
3 Figuren under viser sekskanttallene s n : Skriv opp hva du tror s 5 og s 6 blir. Finn de 5 første differansene d n s n 1 s n og bruk det du ser til å finne den rekursive formelen for sekskanttallene s n. Bruk figuren til å begrunne hvorfor s n T n n 3 T n 1 n 1, der T n er trekanttallene. d) Bruk til å finne et eksplisitt uttrykk for sekskanttallet s n. e) Vi har formelen s n s 1 n 1 i 1 d i. Finn et uttrykk for differansene d n i og skriv opp hva du ville skrevet for å finne et generelt uttrykk for s n i GeoGebra CAS. Ser på differanser: d n : 5, 9, 13,... som igjen har differansen 4, så vi antar at fortsettelsen blir: d n : 5, 9, 13, 17, 1, 5,... og får da sekskanttallene: s 5 s 4 d og: s 6 s 5 d Differansene i gitt ved: d n d 1 d n n 1 4n 1 Rekursiv formel blir da: s n 1 s n d n s n 4n 1 ): s 1 1, s n 1 s n 4n 1 Figuren viser at vi har delt opp i to sektorer med trekanttall, hvor første leddet, 1, er tatt med en gang for mye og må trekkes fra, og en sektor med summen av de n 1 te ulike tallene som vi bør vite er kvadrattallet n 1. H-P Ulven 3 av 5 r_90914_ls.te
4 d) s n T n 1 n 1 n n 1 1 n n 1 n n n n 1 e) Se : d n 4n 1 Vi skriver: d(n): 4 n 1 S(n): 1 Sum( d(i), i, 1, n-1) gir n -n (Skulle vi regne det ut manuelt, ville vi gjøre slik: s n 1 d 1 d n 1 n 1 (Formel summen av aritmetisk følge.) n 1 1 n 1 1 4n n 1 1 n 1 n 1 1 n n 1 n n n n 1 Som er det samme svaret vi fikk i d)! ) Oppgave 5 Du skal tilbakebetale et lån på ,- til banken, med faste beløp i slutten av hvert år i n 5 år. Banken bruker årlig rente r 3. 5%. Hva blir det årlige beløpet? Tabellarisk: Nåverdi: n: Nåverdien av alle innbetalingene er summen av geometrisk rekke: a 1, k 1, n Så vi har nåverdien: Nåverdien av alle innbetalingene skal være lik lånet, så vi får det årlige beløpet : [kr] Oppgave 6 I den lille byen Renvik har familiene Rikerud og Grisk nettopp startet en kjemisk fabrikk, Splu AS, som produserer innsektmidlet KillAll. All produksjon eksporteres til fattige utviklingsland, da innsektmidlet har visse bivirkninger også for mennesker. Splu AS vil hver dag slippe ut u 4 kg gift i den tilliggende idylliske innsjøen Renviksvannet, da de ikke er interessert i unødige utgifter på sikker destruering av produksjonsavfall. Volumet av Renviksvannet er V m 3 og gjennomstrømmingen er hvert døgn s 4000 m 3 /døgn. Vi skal lage en modell for giftmengden g n i sjøen i starten av døgnet, hvert døgn etter at utslippene startet: Hvis vi regner som om giften blir sluppet ut i starten av hvert døgn og at det H-P Ulven 4 av 5 r_90914_ls.te
5 resten av døgnet renner ut gn s kg gift (konsentrasjon gjennomstrømming), V får vi den rekursive formelen g n 1 g n u s g V n, eller omformet: g 1 u, g n 1 1 s g V n u Finn mengden gift i Renviksvannet de første fem dagene etter utslippet. Sett opp en tabell, omtrent som sparing med faste beløp, og vis at g n har det eksplisitte uttrykket g n n. Hva vil giftmengden i Renviksvannet stabilisere seg på i det lange løp? Rekursjonsformelen blir med oppgitte tall: g 1 4, g n g n 4 g 1 4, g n g n 4 Innsetting gir: g 1 4 g [kg] g [kg] g [kg] g [kg] n: n n n Summen av siste kolonne (n) er geometrisk med g 1 4, k : g n n n n QED I det lange løp: lim n g n lim n n 000 [kg] (Eksempelvis vil 10 år gi: ) H-P Ulven 5 av 5 r_90914_ls.te
R2-01.09.14 - Løsningsskisser
R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med
DetaljerR2 - Differensialligninger og Algebra
R - Differensialligninger og Algebra - 30.03.017 Oppgave 1 Gitt 3 tallfølger: 1) 4, 1, 36, 108,... ), 7, 1, 17,... 3), 3 4, 4 9, 5 16,... a) Skriv opp det eksplisitte uttrykket for n te ledd, a n, for
DetaljerTest, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
DetaljerFagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger. Arbeidsark
Fagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger Arbeidsark Versjon: 11.04.09 - Var dessverre en del trykkfeil... Plan/innhold: Innledning Terminologi (6.1) Hva en differensialligning, orden, grad og
DetaljerKommentarer til oppgavene
Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5,
DetaljerTallfølger med figurer.
Tallfølger med figurer. Når du skal lese til eksamen i forhold til oppgaver gitt på delprøve 1 med temaet tallfølger er det første du kan lære deg er aritmetiske tallfølger. Aritmetiske tallfølger er alle
DetaljerLøsningsskisser og kommentarer til oppgaver i kapittel 1 - Rekker
.3 Løsningsskisser og kommentarer til oppgaver i kapittel - Rekker Se også fagdag!.3,.7,.0,.30,.3,.47,.5,.7,.83,.93,.94 Trekanttallene:, 3, 6, 0, 5,... a)viseratdifferanseneer,3,4,5,...osv. Fortsetter
DetaljerHeldagsprøve R2 - Våren
Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x
DetaljerR2 eksamen våren ( )
R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx
DetaljerR2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
DetaljerPlan for fagdag 1. Plan: Viktig å få gjort arbeidsoppgavene! Differanse- og summefølger. Bruk av kurvetilpasning. Fagdag R
Plan for fagdag 1 R2-04.09.2014 Plan: Teori: Litt om de vanlige teknikkene for å finne ut av følger og rekker: - Differanse- og summefølger. - Bruk av kurvetilpasning. (Regresjon.) - Figur-tall. - Sammenhengen:
DetaljerDenne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
DetaljerKommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. er a2 4 og a5 13. a) Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos( x ) b) g( x) x sin x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) b) c) (4 3 ) d x x x 4 ln d 1 0 x x x x dx 4 x Oppgave 3 (3 poeng)
DetaljerEksamen S2 høsten 2010 Løsning
Eksamen S høsten 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 (4 poeng) a) Deriver funksjonene f x x 3x 4 1) 3 3 3 4 3 3 3 1 1 f x x x f x x f x x x g x 6x e ) x x 6x e x x 6 6 x 6 1 g x g x e x e g x e x P x x 6x 8x 4
DetaljerR2 - Kapittel 2 - Algebra. I a) Hvilken av disse tallfølgene er aritmetiske, geometriske eller ingen av delene?
R2 - Kapittel 2 - Algebra I Hvilen av disse tallfølgene er aritmetise, geometrise eller ingen av delene?.,,,,... 2 4 2. 2,6,8,54,.... 2,6,0,4,... 4.,, 2, 4,... 2 9 5., 5, 7, 9,... 4 9 6 Sriv opp uttryet
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerUDIRs eksempeloppgave høsten 2008
UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e
DetaljerEksamen S2, Høsten 2013
Eksamen S, Høsten 0 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene x a) fx f x x x x b) 5 g x 5 x 5 5 5 4 4 g x x x
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerAlgebra S2, Prøve 2 løsning
Algebra S, Prøve løsig Del Tid: 90 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave I rekkee edefor får du oppgitt a og e rekursiv formel for a. Du skal. skrive opp de fire første leddee og avgjøre om rekka er aritmetisk,
DetaljerS2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerFagdag 1 - S2. Kommentarer og oppsummering. Oppgave 1 - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker
Fagdag - S Kommentarer og oppsummering Oppgave - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker De naturlige tallene: Det n-te leddet er rett og slett det samme som nummeret (indeksen) i rekken: (Kunne
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
DetaljerLøsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)
Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3
DetaljerRekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
DetaljerR2 Eksamen V
R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerFagdag 3. Kommentarer og oppsummering
Fagdag 3 Kommentarer og oppsummering Oppgave I - Pascals trekant Se løsningsforslag oppgave 05 i uke 44. (www.ulven.biz/r/algebra/oppgaver.pdf) Oppgave II - Figurtall " Trekanttallene": a) Kan tenke oss
DetaljerEksamen vår 2009 Løsning Del 1
S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.
DetaljerEKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014
EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner
DetaljerEksamen R2 vår 2012, løsning
Eksamen R vår 0, løsning Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene ) f sin Bruker kjerneregelen på uttrykket sin der Vi har da guu sinu u cosu cos f cos 6cos ) g sin Vi bruker produktregelen for derivasjon.
DetaljerVi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a
Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerR2 eksamen høsten 2017 løsningsforslag
R eksamen høsten 017 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x sin3x f x cos3x 3 6cos3x sin x x sin x x sin x x x cos x sin x g x x x b) gx h x x cos x c) h
DetaljerRekker (eng: series, summations)
Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerEksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerFagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 2018 Antall sider: 11
Løsningsforslag Eksamen S, våren 014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 018 Antall sider: 11 Finner du matematiske feil, skrivefeil, eller andre typer feil? Dette dokumentet er open-source,
DetaljerLøsningsskisser eksamen R
R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx
Detaljer13/21. Høgskoleni østfold EKSAMEN. Emnekode: Emne: LSMATAF213 V3: Tall, algebra, funksjoner 2
13/21 Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSMATAF213 V3: Tall, algebra, funksjoner 2 Dato:Eksamenstid: 13. desember 2013kl. 09.00 til kl. 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærere:
DetaljerFASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009
FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Tallteori. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 09.01.2012. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager
DetaljerEksamen S2 vår 2009 Del 1
Eksamen S2 vår 2009 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) f x x 2 1x 2 1 2 2x 2) gx x e b) 1) Gitt rekka2 468 Finn ledd nummer 20 og summen av de 20 første leddene 1 1 2) Gitt den uendelige rekka
DetaljerR2 Eksamen høsten 2014 ( )
R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos
DetaljerS2 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1
Litt foreløpige, si ifra hvis dere finner feil! Oppgave 1 S - Eksamen V10-6.06.10 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x x lnx x 1 x x lnx x x lnx 1 ) Kjerneregel: f x 3e x 3e u, u x f x 3e u x 6xe
DetaljerEksamen S2 va r 2017 løsning
Eksamen S va r 017 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 1 f b) g ln 1 g h 1 e c) h e e e Oppgave
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
DetaljerEksamen S2 va ren 2015 løsning
Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
DetaljerRepetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerFigurtall en kilde til kreativitet
Vigdis Brevik Petersen Figurtall en kilde til kreativitet I læreplanen er det lagt vekt på at elevene skal bruke initiativ, kreativitet og utforskning for å etablere kjennskaper og innsikt i matematikkfaget.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 3.05.20 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerR2 - Vektorer og rekker
R2 - Vektorer og rekker Ny versjo: 0..09 Løsigsskisser 0.0.09 I Middels ivå: Flertris typeoppgaver, krever e viss forståelse av hva formlee uttrykker. To lijer er gitt ved: l : x,y,z,0, t2,, m : x,y,z
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerTenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.
Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2011
Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h
DetaljerOppgave 1. (a) Mindre enn 10 år (b) Mellom 10 og 11 år (c) Mellom 11 og 12 år (d) Mer enn 12 år (e) Jeg velger å ikke besvare denne oppgaven.
Eksamen Prøve-eksamen for MET 11802 Matematikk Dato November 2015 - Alternativ 2 Oppgave 1. En bank-konto gir 3% rente, og renten kapitaliseres kontinuerlig. Vi setter inn 100.000 kr på denne kontoen.
DetaljerPlan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
DetaljerEksamen S2. Va ren 2014 Løsning
Eksamen S. Va ren 04 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene f 3 a) f 3 3 3 6 3 b) 4 g e 4 4 4 4 4 g
DetaljerEt detaljert induksjonsbevis
Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3024 Matematikk R2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 REA04 Matematikk R Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy
DetaljerLøsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015
Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk)
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 02.12.2013 Eksamenstid: kl 0900 til kl 1300 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler. Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
S2 eksamen vår 2018 DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) ( ) 3 f x = 2x
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
Detaljerx n+1 rx n = 0. (2.2)
Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerR2 - Kapittel 4 - Funksjoner
R2 - Kapittel 4 - Funksjoner 31.01.13 Løsningsskisser Generelle kommentarer: Kurvetilpasning med lommeregner eller med datamaskin, skal beskrives, eksempelvis: LR: La tabell i listene L1 og L2, brukte
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,
DetaljerSystemer av differensiallikninger
Kapittel 18 Systemer av differensiallikninger I mange fysiske prosesser vil det være flere enn en størrelse som inngår. Disse størrelsene kan være avhengige av hverandre, slik at en endring av en påvirker
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING
SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4
DetaljerAlgebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (2 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) Løs likningssystemet.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x x 3 ( ) 2 4 1 b) g( x) x e x c) h x x x 2 ( ) ln( 4 ) Oppgave 2 (2 poeng) Løs likningssystemet 5x y 2z 0 2x 3y z 3 3x 2y z 3 Oppgave
DetaljerHELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon )
HELDAGSPRØVE Oppgave Fredag 9 Mai 4 Løsningsskisse (versjon 4.5.8) a) Deriver funksjonen fx cosx Kjerneregel: fu cosu, u x f x sinu x x sinx b) Bestem integralet x lnx dx Delvis integrasjon: u x u x 4
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
DetaljerEksamen S2 va ren 2016 løsning
Eksamen S va ren 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene x a) f x e f x e b) gx x x 3 x 4 1 x
DetaljerDerivasjonen som grenseverdi
Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/
DetaljerVi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten:
10 Tall og figurer Tallene 1,, 3, 4,, kaller vi de naturlige tallene De naturlige tallene deler vi ofte i partall og oddetall Partallene er de tallene vi kan dele med Det er tallene, 4, 6, 8, 10, Oddetallene
DetaljerR2 - Eksamen Løsningsskisser
R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:
DetaljerEksamen S2 høsten 2017 løsninger
Eksamen S høsten 017 løsninger Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f x x 4x 4 1 f x x x g x x e b)
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
Detaljer