Oppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:

Transkript

1 Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel. (Ie geometris eller aritmetis.) Litt ulart formulert; "om 0 år", jeg velger å tole dette som "i det tiende året". (Fasiten har brut te året på a) og 0 på b) og c), altså noså inonsevent.) Geometris følge med a 00 og. 07 Alle svar oppgitt i millioner. a) Omsetning 0de år: a 0 a [mil] 368 b) Samlet omsetning i 0 år: S 0 a c) a n a n blir som funsjonsuttry : f x a x Summen S n blir summen av stolper i et stolpediagram. Ved å utvide stolpene til retangler med bredde (ledd for hvert heltall), får vi retangler med samme areal som lengden av stolpene. Summen av slie retangler an tilnærmes med integral. Hvis vi legger retanglene mot høyre fra stolpene og tegner en figur, ser vi at vi må integrere fra tiln for å få med alle stolpene. (Alternativt fra 0.5 til n 0.5, hvis vi legger stolpene i midten av retanglene.) Generelt: S n n a n n f x dx,derf x a n an og x n. Tilnærmingen er best hvis: Antall ledd er relativt stort Endringen fra ledd til ledd er liten i forhold til størrelsen på leddene Altså: S x dx x dx x.07 ln ln.07 ln a) a, S a Formelen S a Her har vi: S n.07 fremommer som jent når n i S n a n n. 07x dx n n Som vi ser går dette mot, når antall ledd blir stort. b) Delene av vadratet har areal som leddene i reen. Vi ser at de totalt fyller ut vadratet, som har areal...9 a) S a 3 av 8 oppgaver_.tex

2 b) De brune flatene er leddene i reen. For hver brun flate er det to gule med samme størrelse, altså Gul Brun. Hvis vi lager en ny ree, hvor hvert ledd er en brun gule, vil vi fylle ut hele vadratet, som har arealet : Brun Gul Brun Brun 3Brun Brun 3.95 a) S a 3 b)slårvisammentoogtoleddfårvireen Her er hvert ledd dobbelt så stort som i oppgave.9, så summen må bli Oppgavesamling.0 a) Treanttall:,3,6,0,5,...alles dette fordi vi an lage treanter omtrent sli: 3. Somviserera n 3... n n n (Uttryet er av andre grad i n!) Treanttallene er altså summen av heltallene fra til n. Heltallene utgjør en aritmetis følge (første grad/lineær) og summene av denne blir altså treanttallene som er av andre grad! Det hadde vært fristende å summere enda en gang og se om vi da får tredje grad! n n Treanttall Summer av treanttall n n n n n 6 6 n3 n 3 n Følgen,,0,0,35,... alles tetraedertall, da vi an tegne dem som pyramider hvor alle sideflater er tetraedere. Tetra n n i Treant i (Summer) eller omvendt: Treant n Tetra n Tetra n Tetra n (Differanser) (Aurat som med derivasjon og integrasjon, minser eller øer graden med en, når vi ser på polynomfunsjoner!) Men, hvordan an man finne: n n n 6 6 n3 n 3 n? av 8 oppgaver_.tex

3 Vi sriver f n an 3 bn cn d og ved å sette inn de fire første verdiene i tabellen får vi fire ligninger med fire ujente: f som gir a b c d f som gir 8a b c d f 3 0 som gir 7a 9b 3c d 0 f 0 som gir 6a 6b c d 0 Dette sal gi a,b,c og d 0 som løsning. 6 3 Lommeregneren har også en funsjon som finner funsjoner hvor vi jenner noen av verdiene til funsjonen, såalt regresjon. Med STAT, EDIT legger vi inn de fire første n og f(n) verdiene: L L STAT, CALC, 6:CubicReg brues til å lage uttryet: CubicReg L,L som regner ut: a b 0. 5 c d 3. 7E altså,,,0 6 3 Pascals treant gir oss også følgene med naturlige tall, treanttallene, tetraedertallene o.s.v.: r n Kolonnen r gir de naturlige tallene (som er summen av de foregående olonnene i olonnen r 0) Kolonnen r gir treanttallene (som er summen av de naturlige tallene i r ) Kolonnen r 3 gir tetraedertallene (som er summen av treanttallene i r ) n I fjor i MX lærte dere at tallene i Pascals treant (binomialoeffisientene) unne srives r. Esempelvis er: eller (Sammenlign med tabellen 3 av 8 oppgaver_.tex

4 over!) Denne oppdagelsen gir oss: n De naturlige tallene i olonnen r : n n (selvsagt) n Treanttallene i olonnen r :, bortsett fra at de starter en rad lavere, sli at vi må justere til n n n (som er den samme formelen vi får ved å summere de naturlige tallene som aritmetis ree.) n Tetraedertallene i olonnen r 3:, bortsett fra at de starter to rader lavere, sli at vi må 3 n justere til n n n n n n n3 n n (som vi fi 3 lenger opp.) b) Pyramidetallene,5,,30,55,... har fått dette navnet fordi de an tenes som pyramider med vadrater som grunnflater. En figur vil da vise at lagene oppover i pyramiden vil bli sli: n a n Pyramidetallene er altså summer av vadrattall! Pyramidetallene bør derfor også bli en tredjegradsfunsjon i n. Prøvåviseat: Pyr n n n n 6 3 n3 n n 6 (Se det jeg gjorde på tetraedertallene!).5 a i i i a) Ved innsetting får vi tabellen: i: a i b) Hvis vi ser nøye på tabellen ser vi at summen av f.es. 6 ledd blir: Her opphever påfølgende ledd hverandre; Sli at vi får: S Dette betyr at vi har: S n n n c) Summen av uendelig mange ledd blir derfor grenseverdien (limes på godt latin) av 8 oppgaver_.tex

5 S lim n S n da.35 n går mot 0 når n blir svært stor. Litt ulart med nummerering i denne oppgavetesten.. Jeg antar at oljeforbruet i fjor var 3. mrd og at i år er n, da får a a) "Om" 30 år, toler jeg som i det 30te året: a 30 a [mrd] b) Samlet: S 30 a [mrd] c) Krav: S 30 a Dette er en 30te grads ligning(!), så vi må brue lommeregneren: Y 3.8*(X ^30-)/(X-) Y 80 Finner sjæring med CALC, 5:intersect, og får Alternativet er å prøve seg frem med: sum(seq(3.8*k ^(X-),X,,30) til man får 80. (Putt forsjellige tall i K med f.es..03 STO K ).5 m x m x a) m [g] b) Ved slutten av det 0de året har vi nettopp fått produsert g, det som ble produsert i fjor er det igjen g av, det som ble produsert året før er det igjen 0. 95, o.s.v. sli at vi får total mengde: c) Dette er en geometris ree med sum: S 0 m [g] 0.95 d) Den uendelige reen onvergerer, S lim n a n S [g].5 Mengde i en tablett: x a Setter man opp en tabell ser vi det som er i roppen på dag n er: x tabletten man nettopp to x 0. 6 fra tabletten dagen før x 0. 6 fra tabletten for to dager siden... x 0. 6 n fraførstedag Tilsammen en geometris ree med a x og Krav: S 8[mg] a 8 x 8 x 3. [mg] , da 5 av 8 oppgaver_.tex

6 a) Pytagoras gir: a a a 3 o.s.v. b) Geometris ree med a og c) Samlet lengde: S a.5 a) Lie tall: a n n, aritmetis ree med a,d S n n a a n n n n n n n b) Går vi diagonalt oppover fra nedre venstre hjørne, ser vi at L-ene (som er lenet sammen), er,,6,... Høyden tilsvarer n og bredden er en større, altså n. Antall uler blir altså n n..55 a) a n n gir S n n a a n n n Summene er S,S 3,S 3 6, S 0 (treant-tallene) b) Vi ser at i retangel n er sravert resten li hele retangelet. Bredden er n og høyden er n. Sravert Resten S n Altså: S n S n n n S n n n S n n n.56 a) Ulie tall: a n n,d S n n a a n S n n n S n n n n Summene er altså vadrat-tallene:,,9,6,... b) Se.5 (allerede gjort) c) Ulie tall: L-ene i vadratet til venstre har ulie tall som antall uler. Vi ser at siden er n, og da dette er et vadrat er totalt antall uler n..57 Interessant oppgave, verdt å mere seg! Viser en generell fremgangsmåte som an gjøre om et hvilet som helst periodis desimaltall til en brø. Alle periodise desimaltall er altså rasjonale tall Altså geometris ree: a 3, S a Et esempel til: a S a a a 0 7 a Vi ser på L nummer n: Den an deles i deler som er retangulære med høyde n og 6 av 8 oppgaver_.tex

7 bredde... n n n n n og et vadrat med sider m: Til sammen n n n n n n 3 n n 3 Alle L ene er til sammen: n n 3 og er lit hele vadratet med sider n n og areal n n Vi har derfor: n n 3 n n n n.60 Første figuren er som i.56 og viser at vadrattallene er summen av de ulie tallene. Andre figur viser hvorfor summer av naturlige tall (,,3,...) alles treanttall. Fjerde figur viser utledningen av formelen for treanttall sli som i oppgave.55. Tredje figur viser alternativ utledning: Venstre og minste treant: S n Høyre og større treant: S n n. (Som minste pluss en rad med n estra uler.) Vi får arealet: S n S n n n S n n n n n n n n n n S n n n.300 a) Geometris ree: a, x S n a n xn x Altså: f x xn x b) f x 0 x 3x... n x n (deriverer ledd for ledd) Dette er oppgitt følge. Deriverer vi uttryet vi fi får vi: f x nxn x x n x Dette er altså et uttry for summen i b).30 nxn nx n x n x n xn nx n x Vitig oppgave, viser en teni som ofte an brues når vi ie har formler for summen av en ree. a) Sriver vi ut leddene får vi: a 6 a 3 a a Vi ser at dette ie er geometris eller aritmetis. Summerer vi de første 6 leddene, får vi: Vi ser at siste ledd i hver parentes anselleres av første ledd i neste parentes! Vi sitter igjen med S b) Generelt: S n n ("en halv minus brø med en større og teller enda en større") n c) n n n n n n n d) Med c) får vi: S n n n n n Når n,fårvis (daførstebrøgårmot0.) 7 av 8 oppgaver_.tex

8 .30 Geometris: a, x og derfor S a (når x ) x Ligning: x x, når: x x x x x 0 x ( an ie brues da den strider med forutsetningene for at ligningen sal ha noen mening, det vil si at summen til venstre onvergerer og er et tall.).3 Pytagoras eller trigonometri viser at arealet av treanten er A 3 a. a) Treantene som er fjernet i midten er av den opprinnelige, A. b) Tilsvarende; 3 styer med areal av foregående, A 3 3A 6. a a A 3A 7A 6 6 c) Systemet er greit, vi får 3 ganger så mange nye treanter som i foregående ledd, og hver av dem har et areal som er en av arealet til treantene i foregående ledd. Vi har altså: S A n... Altså: S a A A 3 a 3 d) Nei, men det som blir igjen blir mindre og mindre og arealet av resten går mot null..3 Parabelsegmentet ABC (ACD ABE)... a a a... a a a... 6 Geometris følge: S a a a 3 Esempel: Parabelsegment som utgjør: 0 f x dx,derf x x x. Ved å grafe funsjonen ser vi at den sjærer x-asen i x 0(A) og x (B) og har topp-punt i f (C). Treant ABC har derfor i dette esemplet areal: a gh Etter arimedes sulle integralet da bli a 3 3. Vi prøver: 0 x x dx x x av 8 oppgaver_.tex