1 t f Bestem de partielle deriverte. når 2 2. og f y. Oppgave 2

Transkript

1 FOA50 eamen høt 004 ide av 5 Oppgave a) Regn ut f ( ) når (i) f( ) = e in (ii) f( ) = ln(+ ) (iii) = + t b) f Betem de partielle deriverte og f y når f(, y) = + y + y. c) Regn ut: f( ) t dt (i) 4 ln d (ii) d (iii) d Oppgave Et flatetye F i y-planet er avgrenet av -aen, linjen = 4 og urven y =. a) Betem arealet av F. Videre er et retangel R innrevet i F med én ide lang -aen og én ide lang linjen = 4 (e figur). b) Begrunn at arealet av det innrevne retanglet er gitt ved f( ) = (4 ), der tår for -oordinaten til puntet A. Regn ut hvilen verdi av om gir retangelet tørt areal amt hvor tort arealet da er. c) Når flatetyet F roterer om -aen beriver det et omdreininglegeme. Finn volumet av dette omdreininglegemet. d) Det innrevne retanglet vil berive en ylinder under rotajonen om -aen. Finn volumet av denne ylinderen uttryt ved. Betem hvilen om gir dette volumet tørt verdi.

2 FOA50 eamen høt 004 ide av 5 Oppgave To punt A(, 0, ) og C(,, ) amt en vetor u = (, 0, ) er gitt. Et tredje punt B er gitt ved at AB = u. a) Betem (i) AC og puntet B, (ii) AB AC og (iii) vinelen mellom AB og AC. b) Finn en vetor om tår vinelrett på både AB og AC og regn å ut arealet av treanten ABC. c) De tre puntene A, B og C ligger i et plan. Vi at + y z= blir ligning for dette planet og underø om puntet D(, 4, 5) ligger i planet. d) En linje er parallell med vetoren (,, ) og går gjennom P(0,, ). Finn jæringpuntet mellom planet og denne linjen. Oppgave 4 dy d = + a) Gitt differenialligningen: y ( ) Hva aller vi en li differenialligning? Lø ligningen. Finn den løningen om oppfyller ravet y () = /. b) Vi at yp( ) = ( ) er løning av den inhomogene lineære differenialligningen () y + y + y =. Finn å den generelle løningen av (). * * * * NB. dette eamenettet fortetter på de følgende idene med oppgave 5 om hører til ærpenum for de ulie linjene. Finn ritig oppgave 5 for din lae og regn den. * * * *

3 FOA50 eamen høt 004 ide av 5 Oppgave 5 Særpenum eletro-laene (04HELK, 04HEAU, 04HEEL) a) Betem Laplace-tranformajonen til følgende funjoner: i) t + 5+ cot ii) t e in t b) Betem den invere Laplace-tranformerte til følgende funjoner: i) ii) + c) i) Betem den laplacetranformerte av u( t ) Heaviidefunjonen. ii) Betem den invere Laplace-tranformerte til t. Her er u () t er e. d) Lø følgende tartverdiproblem ved hjelp av Laplace-tranformajon: y + 9y = 0 der ( 0) y = og ( ) y 0 = Særpenum jemi-laen (04HKJE) a) Ligningen in() = co() 0,5 har en løning i nærheten av = 0,4. Bru Newton metode til å finne denne løningen med 4 deimaler. b) Bru lineær interpolajon til å beregne in(0,4) når in(0,40) = 0,894, in(0,45)= 0,4497. c) Gitt differenialligningen: y = y med y(0) = Bru Euler metode med teglengde h = 0, til å finne en tilnærmet verdi y (0,) 0, for y (0,) d) Gitt differenialligningen y = y med tartverdi y(0) =. Bru Runge-Kutta metode av orden til å finne tilnærmet verdi for y(0,) når du velger h li 0,.

4 FOA50 eamen høt 004 ide 4 av 5 Særpenum bygg-laene (04HBYGA, 04HBYGB) a) Det raverte området på figuren er avgrenet av den poitive delen av -aen, linja = og grafen til y = /. For det raverte området al du beregne arealtreghetmomentet om både - og y-aen. b) En retangulær bjele med lat er fritt opplagret om vit på nete figur. π Laten er gitt om q( ) = q0 in. L Finn jærraften V() når du får oppgitt q0l tartravetv ( 0) =. π Tegn jærraftdiagram. c) Finn bøyemomentet M() når du får oppgitt tartravet M ( 0) = 0. Tegn bøyemomentdiagram. d) Finn et uttry for nedbøyningen av bjelen, u(). Hvor har bjelen maimal nedbøyning? Finn et uttry for den maimale nedbøyningen. Særpenum data-laene (04HDATA, 04HDATB) a) Vi har gitt en differeniallining med tartrav: y + e y = y, ( ) = y, y ( ) = 0 Bru en teglengde på h=0. i Euler utvidede metode til å finne y(.). b) Betem om die reene onvergerer eller divergerer: ) = c) Vi at 0 ( + ) ) =! ) + = ) n n n O n n + log + ( ), ) nlog n + n + / n Θ( nlog n) og ) + 8n Ω( n ) d) I en orteringalgoritme er tidbruen for å ortere n elementer gitt ved ummen: n Vi at denne orteringalgoritmen er O ( n ).

5 FOA50 eamen høt 004 ide 5 av 5 Særpenum marin/energi-laene (04HMMT, 04HETK) a) Et flatetye F er begrenet av parabelen y =, y-aen og linjen y = 4, e figur. Betem tyngdepuntet (, y) for F. b) En partiel har ved tiden t poijonvetoren r () t = in(), t co(), t in() t +. Finn hatighetvetoren dr v ( t) =, og aelerajonvetoren dt dv a ( t) =. dt c) Finn å poijonen til partielen ved tiden t = π /. Hva blir hatigheten til partielen ved amme tidpunt, ( t = π / )? d) Gitt puntet A (,,). En raft F = i + j + har angreppunt P(,,) Finn raften moment om puntet A. Hva er momentet om en ae gjennom A parallelt med z-aen? Særpenum main-laene (04HMAM, 04HMPR) Studentene i mainlaene an, om de vil, alternativt regne oppgaven meret marin/energi. a) Regn ut volumet til det romlige området under flaten med ligning z= y og over området Ω i,y-planet hvor { ( y, );, 0 y } Ω=. En fritt opplagret bjele på 4 meter er utatt for en raft F 0 om virer nedover amt en lat F om er fordelt over de to førte metrene til ventre på bjelen li at rafttettheten f() blir: f() = (-) for 0. Se figur. Anta at F 0 er på 4 N og at = 6. Vi oppgir at opplagerraften i ventre ende på bjelen blir li N. b) Regn ut raften F. Regn ut Q() = jærraften i bjelen for tverrnittet, 0 < < 4. c) Regn å ut bøyemomentet for tverrnittet om ligger meter fra ventre endepunt. d) En puntraft F = (, -, ) virer i et punt B. Regn ut momentet til raften F om puntet A idet vetoren AB = (,,). Angi å momentet til F om en ae gjennom A parallelt med y-aen. Bevar amme pørmål for en ae parallelt med z-aen. Kommenter reultatet