For at en funksjon i to variable skal ha en grenseverdi i punktet (a,b), dvs.

Transkript

1 Øving ue 3 Grenser og ontinuitet For at en funsjon i to variable sal ha en grenseverdi i puntet (a,b), dvs. lim Hx,yL Ha,bL f Hx, yl = L sal esistere, må denne unie verdien oppnåes uansett hvilen vei man nærmer seg puntet. Anta videre f Ha, bl er definert. Dersom f Ha, bl = L, sies f å være ontinuerlig i puntet (a,b). Kravet til grenseverdi og ontinuitet er derfor mye strengere for funsjoner av to variable enn for funsjoner y = f HxL av en variabel,der det er bare en vei å nærme seg puntet - nemlig langs xasen,. Esempel La f Hx, yl = - x - y 8x, y< ¹ 8, <. 8x, y< = 8, < Grenseverdien følger her ved direte innsetting av puntets oordinater: lim8x,y< 8,< f Hx, yl = LimitALimitA - x - y, x E, y E Da f H, L =, følger at funsjonen er ontinuerlig i puntet H,, L, Polynomer i flere variable er alltid ontinuerlig i alle variable. Figuren under viser at uansett hvilen vei du nærmer deg (,,) vil grenseverdien være, funsjonsverdien i puntet, Plottet pp viser grafen til paraboloiden, mens plottet pp tegner en urve på paraboloiden for en gitt t - verdi.

2 Øving ue 3.nb pp = ParametricPlot3DA9r Cos@tD, r Sin@tD, - r =, 8r,, <, 8t,, <, Boxed False, Axes NoneE; := ParametricPlot3DA9r Cos@tD, r Sin@tD, I - r M =, 8r, -, <, Boxed False, Axes None, PlotStyle 8Thic, Red<E; Show@pp, pp@-.3d, pp@.6d, ImageSize 3, ViewPoint 8-3, 5, <D Esempel xy x +y, Pga. nevneren er det naturlig å sifte til polaroordinater.grensever- dien når {x,y} {,} svarer til at r -> i uttryet. f@, D := xy f@x_, y_d := x + y g@r_, Θ_D := f@x, yd. 8x r Cos@ΘD, y r Sin@ΘD < Simplify@g@r, ΘDD sinhθl coshθl Men dette uttryet er uavhengig av r, og grenseverdien blir derfor li g (r, Θ). Limit@g@r, ΘD, r D sinhθl coshθl Denne verdien er altså en funsjon av vinelen Θ, som besriver retningen vi nærmer oss puntet (,,} på. For hver definert retning får vi en ny verdi. Det an derfor ie esistere noen grenseverdi når {x,y} {,}. Flaten an ie defineres ontinuerlig i origo uansett hvilen verdi vi tilordner f(,). Spesielt er grenseverdien null når Θ = (=) eller Θ = H L, men li når Θ = ( = ) Du an vise disontinuitet i puntet {,,} uten bru av polaroordinater. Legg mere til at linjen y = x er nivåurve med f Hx, xl = +. For hver rett linje gjennom puntet parallell med x y -planet får du altså en onstant funsjonsverdi, men onstanten avhenger av parameteren. Grenseverdien blir derfor også avhengig av, og an ie være entydig.

3 Øving ue 3.nb 3 f@x, xd Simplify + ContourPlot@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourLines, PlotPoints, ContourStyle Directive@8Thic, Red<DD På 3D- grafen er tegnet strålen y = x gjennom puntet {,,.5}. Du ser at f(x, x)\ = langs denne linjen, unntatt i puntet {,, } hvor funsjonen er udefinert. Det samme gjelder for ghr, Du ser også at grensen er null når Θ = eller Θ =. M.

4 Øving ue 3.nb p = Plot3D@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D; pp = ParametricPlot3D@8x, x,.5<, 8x, -, <, PlotStyle 8Thic, Red<D; Show@p, ppd Esempel 3 xy x +y, x y f@x_, y_d := x + y Legg mere til at parablene y = x er nivåurver til f(x). Vi finner f(x, x ) = +. Konstanten avhenger av parametern, som i forrige esempel. Flaten an ie defineres ontinuerlig i origo uansett hvilen verdi vi tilordner f(,). fax, x E Simplify PowerExpand +

5 Øving ue 3.nb yd, 8x, -, <, 8y, -, <, ContourStyle Red<DD På grafen til f (x, y) er tegnet inn nivåurven f Hx, yl = p = Plot3D@f@x, yd, 8x, -, <, 8y, -, <D; langs parabelen y = x. pp = ParametricPlot3DA9x, x,.5=, 8x, -, <, PlotStyle 8Thic, Red<E; Show@p, ppd Du an også illustrere nivåurvene direte på grafen ved å tegne rutenettlinjer for ulie z- verdier. 5

6 6 Øving ue 3.nb yd, 8x, -, <, 8y, -, <, MeshFunctions 8ð3 &<, MeshStyle 8Thic, Red<D Oppgave xy x +y. Undersø om lim8x,y< 8,< f Hx, yl esisterer ved å sifte til polaro- ordinater. Sje deretter med Mathematica, Hvis grensen esisterer, hvilen verdi må f H, L defines for at funsjonen an være ontinuerlig i puntet 8,, <. Oppgave x y Ix +y M 3. Vis ved håndregning at linjer y = x er nivåurver til grafen til f Hx, y), men du må sille mellom x > og x < fordi Ix M = x en onstant parameter. Vis spesielt at f Hx, xl = 3 x = x x. Her er når x > og f Hx, xl = - Sje ved å tegne 3D - plottet og onturplottet i Mathematica. Begrunn hvorfor grenseverdien lim8x,y< 8,< f Hx, yl ie esisterer. når x <.