LØSNING. Eksamensoppgave i TALM1004 Matematikk 2. Institutt for allmennfag. Faglig kontakt under eksamen: Kåre Bjørvik Tlf.

Transkript

1 Intitutt for allmennfag Ekamenoppgave i ALM4 Matematikk LØSNING Faglig kontakt under ekamen: Kåre Bjørvik lf.: Ekamendato: Ekamentid (fra-til): Hjelpemiddelkode/illatte hjelpemidler: Kalkulator type B

2 Oppgave a utgangpunkt i kreten R, R, L,5 H, C,F Maketrømmene kan uttrykke ved differenialligningytemet x x u x 4x u og målingene ved y y x x y3 u x ( penningen over polen L ) a) Ligningene til den elektrike kreten kan krive på tiltand-rom-formen Ax Bu y C x Du Skriv opp innholdet i matriene A, B, C og D. A, B, C, D 4 b) Betem egenverdiene til kreten. Hvilken teglengde og luttid vil du forelå derom ytemet kal imulere i f.ek. imulink? I A 4 ( ) j, 5,7,. Sluttid ca., og teglengde ca.,3 3 6

3 c) egn elementært blokkkjema til kreten, og betem de tajonære målingene for u = V. Stajonære beregninger : x x x 4x y x A, y x A, y u x V 3 d) Differenialligningytemet kal løe numerik ved bruk av Euler metode. Velg teglengden h =, og u = V, og foreta to iterajoner for å betemme maketrømmene ved tidpunktet t =,. Kreten er energilø før bryteren lukke. f ( x, u, t), x x h f, x tartvektor, h teglengde k k k x x f ( x, u, t) x 4x, x x, f,,, 8,38 x x, f,, 4,4

4 Oppgave a) Betem F() til tidfunkjonen i) f ( t) u( t ) u( t ) F( ) e e Betem f(t) til -funkjonen ii) A B F( ) ( )( ) A, B 9 9 t t f ( t) e e 9 b) a utgangpunkt i differenialligningytemet x x, x () x 4x, x () Benytt Laplacetranformajonen til å finne X( ) og X ( )

5 X X X ( ) X X X X 4X X ( 4) X ( 4) : Cramer regel X ( ) 6 6 ( 4) ( ) X ( ) 6 ( 4) c) En PID-regulator har overføringfunkjonen ( )( ) H ( ) (, ) Betem knekkfrekvenene til H(), og tegn opp aymptotike diagrammer for forterkningen (angitt i db) og faen (angitt i grader) til H(). ( )( ), H ( ) (, ), eller :, og Knekkfrekvener Nevner:, db faller med og kryer db linja for, og har fae 9 dek

6 d) PID-regulatoren påtrykke en inupenning med amplitude V og vinkelfrekven rad/. Betem tajonært utgangignal til PID-regulatoren. j j ( )( ) ( j)( j) H ( ) (, ) j(, j) H ( j),,88 9dB, H ( j) 9 arctan() arctan() arctan(,) 33,58 y ( t),83in t 33,6 ( temmer godt med avlening i Bode diagrammet) Oppgave 3 Et periodik ignal x(t) er vit i figuren under.

7 a) Betem gjennomnittverdien til ignalet x(t). Har ignalet noen ymmetriegenkaper? a f ( t) dt Gj. nitt a f ( t) f ( t) Like funkjon b) Finn fourier-rekka til x(t). Skriv opp de fem førte leddene i rekka. 4 n 4 n 4 6 n n a f ( t)co t dt co t dt in t in n n 6 n a, a, a3, a4, a5, a f ( t) co t co t co4 t co5 t..., I en tyritorkret er penningen x(t) over en latmottand vit i figuren under. I intervallet [.5,.] er den periodike penningen u(t) gitt ved funkjonen x( t) in t c) Betem gjennomnittverdien til ignalet x(t). Har ignalet noen ymmetriegenkaper? a ( ) in( ) co( ).,5 t Gj nitt,5 a f t dt t dt f ( t) f ( t) og f ( t) f ( t) Ingen ymmetriegenkaper

8 d) Finn amplituden til den førteharmonike komponenten til x(t). a in( t)co( t) dt,,5 in( A)co( B) in( A B) in( A B) in(3 t) in( t) in(3 t) in( t) a dt dt,5,5 a co(3 t) co( t) 3 3 3,5,5 b in( t)in( t) dt, in( A)in( B) co( A B) co( A B) co( t) co(3 t) co( t) co(3 t) b dt dt,5,5 4 b in( t) in(3 t) harmonik amplitude a b, Oppgave 4 a) i) Lø opp parenteen: x 5 f ( x) 3 k k k (x 3) ( x) ( 3) k k ( x) ( 3) ( x) ( 3) ( x) ( 3)... ( x) ( 3) 5, x 4x 7x 8x 8x 43 f ( x) x ii) Linearier funkjonen: omkring arbeidpunktet x = 4 f ( x) f ( a) f '( a)( x a) høyere orden ledd f ( x) x 3, f (4) 8 3 f '( x) x, f '(4) 3 f ( x) f ( a) f '( a)( x a) 8 3( x 4) 3x 4 3

9 b) a utgangpunkt i MacLaurin-rekka til x x x... x 8 6 og betem de fire førte leddene i MacLaurin-rekka til x arcin( x) dx x ( x ) x x... x x x... x x x arcin( x) dx x x x dx x x x x x c) Betem de tajonære punktene, og klaifier dem, til f ( x, y) 3x x 3xy x 3 f x y f 6xy x eller y y x y y : 3 3 y x x : 3 3 Stajonære punkter: (, ) og (,) A f 6 x, B f 6 y, C f 6x xx xy yy (, ) 36 AC B Sadelpunkt (,) 36, (,) 6, AC B A dv. (,) Lokalt max (, ) A 6, dv. (, ) Lokalt min d) Impedanen til en eriekopling av en mottand R, en pole L og en kondenator C kan uttrykke på følgende måte: Z R j L der R 6, L, H, C, 5 F, C Uikkerheten til mottandverdien, poleverdien, kondenatorverdien og vinkelfrekvenen er alle på %. Bruk totalt differenial til å angi impedanen Z med uikkerhet Z. Z kan krive på formen Z Z Z nominell

10 Z Z Z Z Z R L C R L C Z, nominell a a a a j,4, C C j j L Z, j(,4,4, 8), j,6 Z 6 j( ) 6 Z 6 (, j,6) a a a