Eksamensoppgave i TMA4125 BARE TULL - LF

Transkript

1 Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA425 BARE TULL - LF Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 8.april-5. juni 29 Eksamenstid (fra til): : - 24: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Kode C: Bestemt, enkel kalkulator, og vedlagte formelark. Annen informasjon: Denne eksamenen består av delpunkt som alle teller like mye. Alle svar skal begrunnes. Valgfritt programmeringsspråk i programmeringsoppgaver. Lykke til. Målform/språk: bokmål Antall sider: 8 Antall sider vedlegg: Informasjon om trykking av eksamensoppgave Originalen er: -sidig 2-sidig sort/hvit farger skal ha flervalgskjema Dato Kontrollert av: Sign Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.

2

3 TMA425 Matematikk 4N Side av 8 Oppgave Laplacetransformen til en funksjon er gitt ved L(f) = f(t)e st dt = F (s). a) Dersom f er en integrerbar funksjon, kan vi skrive f(t)e at dt f(t)e st dt og siden e st alltid er større enn, kan vi skrive Dersom f(t)e at dt = for to konstanter M og a, kan vi si at f(t) e st dt f(t) Me at f(t) e st dt. Me at e st dt = M e (a s)t dt, og dersom s > a, slik at s a er negativ, konvergerer dette integralet. Vi oppsummerer alle ulikhetene og beregner det siste integralet: f(t)e at dt f(t) e st dt M e (a s)t dt = M s a. b) Det er klart at f(t) = e at er en integrerbar funksjon som tilfredsstiller e at Me bt for to konstanter b og M. Man kan for eksempel velge b = a og M =. La s > a. Vi beregner: f(t)e at dt = e at e st dt = e (a s)t dt = s a. Oppgave 2 Siden f 2 (x) dx = dx = 2 er det klart at det er trygt å fouriertransformene f. Vi beregner 2π f(x)e iwx dx = 2π e iwx dx = ( e iw e iw) 2 sin w = 2π iw π w.

4 Side 2 av 8 TMA425 Matematikk 4N Oppgave 3 Her bruker vi D Alemberts formel u(x, t) = 2 (f(x + ct) + f(x ct)) + 2c x+ct x ct g(v) dv med f(x) = e x2 og g(x) =, og c =. Vi får u(x, t) = 2 Her er et plot av funksjonen u(x, ) = e x2 : ( e (x+t) 2 + e (x t)2) Funksjonen e (x t)2 ser helt lik ( ut, men har maksimum i x = t istedet for x =. Her er et plot av u(x, ) = 2 e (x+) 2 + e (x )2) :

5 TMA425 Matematikk 4N Side 3 av ( For pedagogikkens skyld tar vi med et plot av funksjonen u(x, ) = 2 e (x+2) 2 + e (x 2)2) : Merk likheten mellom u(x, t) og bølgene som oppstår etter du har kastet en stein ned i et endimensjonalt vannspeil. Oppgave 4 og at vi må skrive om til formen og kjøre fikspunktmetoden Det er klart at vi skal løse likningen x 2 = sin x x = g(x) x n+ = g(x n ). Omskrivningen til x = g(x) kan gjøres på to åpenbare måter, nemlig x = sin x eller x = arcsin x 2. Vi tar en liten analyse. (Dette er ikke spurt etter på eksamen, men vi skal jo være litt pedagogiske.) Dersom g(x) = sin x, er g (x) = cos x 2 sin x. På intervallet [.5, ] har cos x maksimum i x =.5, og sin x minimum i x =.5, slik at g får et maksimum i x =.5. Vi bruker kalkulator, og beregner g (.5) = cos.5 2 sin ser vi at g (x) < på intervallet [.5, ]. Siden g(.5) = sin >.5 og g() = sin < og g er monoton, ser vi at.5 < g(x) <, og vi kan derfor garantere at fikspunktmetoden konvergerer til løsningen dersom x [.5, ]. Vi prøver x =.7, og får

6 Side 4 av 8 TMA425 Matematikk 4N x x x x x x x Etter rundt førti iterasjoner ser metoden ut til å konvergere til x Den andre omskrivningen x = arcsin x 2 konvergerer til x =. Dette kan man også forutse ved å analysere g 2x (x) =. x 4 Siden g (.5) og g er monotont stigende på [.5, ], vil ikke fikspunktmetoden konvergere mot roten. Hvis du prøver med x =.7, vil du se at iterasjonen konvergerer mot x =. Oppgave 5 Chebyshevs nullpunktgitter med n + punkter får man ved formelen x k = cos π 2k + k n. 2n + 2 Tenk at du tar et ekvidistant gitter på [, π] med n + 2 punkter, der endepunktene er inkludert: θ Dette gitteret er gitt ved formelen θ k = πk n + k n +. Nå flytter vi alle punkter et halvt knepp til den ene siden, og tar vekk et punkt: θ

7 TMA425 Matematikk 4N Side 5 av 8 Dette gitteret er gitt ved formelen θ k = π(2k + ) 2n + 2 k n. Merk at nå er endepunktene ikke med. Hvis vi cosinustransformerer dette gitteret, får vi Chebyshevs nullpunktgitter, gitt ved den første formelen. Vi bruker n = 3 for å få fire punkter. Dette gir punktene x x x x For å flytte gitteret fra [, ] til [, ], kan vi bruke formelen slik at gitteret blir y k = x k +. 2 x x x x Lagranges interpolasjonspolynom på dette gitteret er: p(x) = e x (x x )(x x 2 )(x x 3 ) (x x )(x x 2 )(x x 3 ) + (x x ex )(x x 2 )(x x 3 ) (x x )(x x 2 )(x x 3 ) + e x (x x 2 )(x x )(x x 3 ) (x 2 x )(x 2 x )(x 2 x 3 ) + (x x ex 3 )(x x )(x x 2 ) (x 3 x )(x 3 x )(x 3 x 2 ). For Chebyshevs nullpunkttgitter finnes et pent feilestimat: f(x) p(x) (b a)n+ 2 2n+ max s [a,b] f n+ (s) Her er b a =, og n = 3. f (x) = e x, som har maksimum i x =. Vi kan derfor konkludere at e x p(x) e

8 Side 6 av 8 TMA425 Matematikk 4N Oppgave 6 Dette kan gjøres på forskjellige måter. Det enkleste er å observere at dette er bare Simpsons metode på intervallet [, 2]. Simpsons metode er en Guass-Lobatto-regel med n = 3, og siden intervallene [, ] og [, 2] er like lange, kan vi plukke vektene fra tabellen, og få A = A 2 = og A 3 = 4. Kommer man 3 ikke på dette er Gauss-Lobatto med n = 3, kan man beregne vektene ved formelen A k = 2 l k (x) dx der l k er lagrangepolynomet tilhørende punkt k. Disse må da settes opp, ganges ut, og integreres. Oppgave 7 Eulers implisitte metode blir y k+ = y k 2hy k+ eller Matlab: y k+ = y k + 2h. n=; h=/n; y=zeros(n+,); y()=; for i=:n y(i+)=y(i)/(+2*h); end disp(y(n+)) Python: import numpy as np n=.; h=/n; y=np.zeros(int(n+)); y[]=; for i in range(int(n)): y[i+]=y[i]/(+2*h) print y[int(n)] Kjører man kodene, får man y Dette går fint å gjøre på kalkulator.

9 TMA425 Matematikk 4N Side 7 av 8 Oppgave 8 a) Vi gitrer opp x-aksen med gitteravstand h, og t-aksen med gitteravstand k. Et typisk gitterpunkt blir (x i, t j ) = (ih, jk), og vi skriver Setter vi inn approksimasjonene og u ij u(x i, t j ). u t (x i, t j ) u i,j+ u ij k u xx (x i, t j ) u i+,j 2u ij + u i,j h 2, inn i varmelikningen, får vi det eksplisitte skjemaet: u i,j+ = u ij + k h 2 (u i+,j 2u ij + u i,j ). b) Matlab: n=5; h=/n; m=; k=/m; r=k/h^2; x=:h:; u=zeros(n+,m+); u(:,)=x.*(-x); for j=:m for i=2:n u(i,j+)=u(i,j)+r*(u(i+,j)-2*u(i,j)+u(i-,j)); end end

10 Side 8 av 8 TMA425 Matematikk 4N Python: import numpy as np n=5. h=/n m=. k=/m r=k/h**2 x=np.linspace(,,int(n)+) u=np.zeros((int(n)+,int(m)+)) u[np.arange(int(n+)),]=x*(-x) for j in range(,int(m)): for i in range(2,int(n)+): u[i-,j]=u[i-,j-]+r*(u[i,j-]-2*u[i-,j-]+u[i-2,j-])